Теория автоматического управления

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ Теория автоматического управления ( ТАУ ) КУРС ЛЕКЦИЙ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ГОРНЫЙ ИНЖЕНЕР Москва 2017 Предисловие Целью данного учебника является простое и последовательное изложение основ теории автоматического управления (ТАУ) для студентов факультета техники разведки и разработки МГРИ. В настоящее время такого учебника нет, а по-хорошему преподаваемый предмет должен быть обеспечен не только учебником, но и задачником. Если серьёзно, то курсу ТАУ, должен предшествовать курс ТФКП, алгебры, теоретической механики и дифференциальных уравнений (как минимум), а у нас уже к 4ому семестру студенты заканчивают изучать математику. Это так же, как поменяв табличку названия института на университет, университетом стать невозможно, однако мы таковым называемся. В университете даже теоретическая механика совсем другая. Поэтому я в данном учебнике по возможности в силу своих небольших знаний и способностей описываю ТАУ неформально, постоянно делая экскурсы в математику и другие предметы. Язык структурных схем ТАУ является основой для понимания курсов по автоматизации технических систем и технологий, используемых при разведке и разработке полезных ископаемых. При этом многие задачи ТАУ на языке структурных схем быстро решаются в системе Mathlab/Simulink. Материал учебника, главным образом, базируется на советской классической литературе по ТАУ, на учебниках и задачниках МАИ и МВТУ. Сегодня в системах автоматического управления используются процессоры, разного рода контроллеры. Например, под капотом современного автомобиля работает целая сеть полевого уровня. Управление системой питания двигателя осуществляется на основе информации, получаемой с многочисленных датчиков входящих в распределенную систему автоматики 3-его поколения. Однако списывать простые аналоговые схемы управления неправильно, они хорошо работают, и изучать их надо. В ТАУ изучаются процессы управления при помощи математических средств, выявляются свойства систем автоматического управления и разрабатываются рекомендации по их проектированию. Русским ученым принадлежит значительное место в научных открытиях по теории автоматического регулирования (ТАР). Вышнеградский И.А. заложил основы ТАР. Большой вклад в теорию автоматического управления внесли отечественные ученые: Чебышов П.Л., Жуковский Н.Е., Рерих К.Я., Грдина Я.И., Петров Б.А., Попов Е.П., Красовский А.А., Поспелов Г.С., Шаталов А.С., Солодовников В.В., Кухтенко А.И., Фельтбаум А.А., Куневич В.М., Пугачев В.С., Болтянский В.Г. и многие другие. Автор Лекция 1. Моделирование систем управления. Модель – это объект (или мыслимый образ), который мы используем для изучения другого объекта (оригинала). Нас будут интересовать в первую очередь механические модели, выраженные в виде дифференциальных уравнений и алгебраических формул. Обычно управление техническим объектом описывается с помощью дифференциальных уравнений. При этом стараются сложный объект представить в виде простых линеаризованных звеньев, изображаемых в виде прямоугольников, с указанием входных и выходных переменных. Внутри прямоугольника указывается передаточная функция звена. Рис.1.1. Модель-схема системы управления. Кружок с секторами это сумматор. Черный сектор обозначает отрицательную обратную связь, то есть сигнал обратной связи вычитается из задающего основного сигнала. Модель, представленная на рис.1.1, характеризуется входными величинами (x-сигнал управления, g- внешнее воздействие на объект и m – шумы при измерениях), и выходными (выход системы y, сигнал управления u и ошибка e). В прямоугольниках стоят обозначения передаточных функций. Это необычные функции для нас, живущих в трехмерном временном пространстве. Это функции комплексной переменной s. Поясним это. В элементарной математике при переходе от чисел к их логарифмам действия умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня упрощаются. Выполняют более простые действия над логарифмами чисел (типа сложения), а затем по вычисленным логарифмам результатов путем их потенцирования получают ответы в привычном виде. То есть, мы переходим в страну логарифмов для упрощения вычислений. То же самое и в ТАУ. Для упрощения решения дифференциальных уравнений в качестве преобразования, позволяющего реализовать указанную выше идею, обычно применяется прямое и обратное преобразование Лапласа. Мы, образно говоря, уходим в страну комплексной переменной. Эти «волшебные» преобразования позволяет там заменить решение дифференциальных уравнений алгебраическими вычислениями, то есть, операциями с полиномами (многочленами) и рациональными функциями. Итак, для функции х(t) вводится прямое преобразование Лапласа, которое обозначается как L{ х(t)}:  X(s)  L{x(t)}   x(t)  e  st dt и обратное преобразование Лапласа L-1{ X(s)}: σ  i x(t)  L1{X(s)}  1 0 X(s) e st ds , 2π  i σ0 i где i  -1 Функция x(t) называется оригиналом, а X(s) – изображением. Обычно в ТАУ считается, что оригинал x(t) удовлетворяет следующим условиям: 1) x(t) является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой функцией (т. е. x(t) и x'(t) на каждом конечном отрезке имеют не более конечного числа точек разрыва и притом только первого рола); 2) x(t) ≡ 0 при t < 0; 3) с возрастанием t модуль функции x(t) растет не быстрее некоторой показательной функции; точнее, │x(t)│≤ M emt , где М и m - постоянные. Ниже приводится таблица 1, с помощью которой легко осуществляется переход от функций-оригиналов к их изображениям и обратно. Заметим только, что в ней комплексная переменная обозначена буквой p. Каждое звено системы (рис.1.1) работает по своим правилам, по которым входной сигнал преобразуется в выходной сигнал. Это правило называется оператором. Запись y =U[x] означает, что выход y получен в результате применения оператора U ко входу x (рис.1.2). Рис.1.2. Передаточная функция U(s). Среди операторов самые простые – это линейные операторы (оператор дифференцирования или интегрирования). Вообще слово дифференцирование означает линеаризацию. То есть, приращения в некоторой точке нелинейной функции заменяются приращениями, взятыми по линии, в которую исходная функция превращается при сильном увеличении (если её график под сильным микроскопом - прямая линия, то тогда функция называется дифференцируемой в рассматриваемой точке). В учебниках по математике эти приращения по касательной к графику функции называются дифференциалами. Что же означает линейность, это выполнение двух свойств: 1) выполняется свойство однородности при умножении на константу: U[α∙ x] =α∙ U[x] , где α – любая постоянная (то есть, при увеличении входа в несколько раз выход увеличивается во столько же раз); 2) выполнение принципа суперпозиции: если на вход подать сумму двух сигналов, выход будет представлять собой сумму реакций того же оператора на отдельные сигналы: U[x1 + x2] = U[x1] + U[x2] Модели, которые описываются линейными операторами, называются линейными. С ними мы и будем иметь дело, в ТАУ теория управления линейными системами наиболее развита и позволяет легко решать большинство известных практических задач управления техническими системами. Теория линейных операторов описывается в высшей алгебре. Суперпозиция (композиция) линейных операторов линейность модели не изменяет. Прямое и обратное преобразование Лапласа тоже линейные операторы (ведь это интегралы!). Обычно оригиналы обозначаются маленькими (строчными) буквами, а их изображения большими (прописными) буквами. Помимо табличных соотношений между оригиналами и их изображениями (см. таблицу 1.1) надо знать ещё семь основных свойств преобразования Лапласа. таблица 1.1. Все эти формулы выводятся в курсе высшей математики. См. например, 2 -ой том Пискунова Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление» Ниже стрелками обозначены переходы от оригиналов к их изображениям. 1) с1  x1(t)  c2  x2(t)  c1  X 1(p)  c2  X 2(p) 2) x (t)  p X(p) - x( 0 ) ; x(t)  p 2 X(p)  pX( 0 )  X ( 0 );    x(n)(t)  p n X(p)  p n1 X( 0 )  p n2 X ( 0 )      X (n 1 )( 0 ). t 3)  x(t) dt  X(p) p 4) x(t  τ) e  pτ X(p) 1 p X( ) a a at 6) e x(t)  X(p  a) «→» - обозначение 5) x(at)  7) x( 0 )  lim x(t) t  0 x()  lim x(t) t  преобразования x( 0 )  lim p X(p) Лапласа p x()  lim p X(p) , p0 где с1, с2, τ – вещественные константы; t- время; здесь (и в таблице 1) p – это комплексная переменная. Зависимость между установившимися значениями входа x и выхода y называется статической характеристикой. В ТАУ передаточной функцией непрерывной системы называют отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях. Поясним изложенное выше на примере. Пусть входная функция x(t) и выходная функция y(t) объекта управления связаны следующим дифференциальным уравнением второго порядка: d 2 y(t) dy(t) d x(t) b2  b1  b0 y(t)  a1  a0 x(t ) 2 dt dt dt Применим к левой и правой частям этого уравнения преобразование Лапласа, считая, что все начальные условия нулевые. Получается уравнение в изображениях, связывающее преобразования Лапласа входа X (s) и выхода Y(s) : b2 s 2 Y(s)  b1s Y(s)  b0Y(s)  a1s X(s)  a0 X(s) Можно вынести за скобки Y(s) в левой части и X (s) в правой части уравнения для изображений: b2 ∙ s2 ∙Y(s)+ b1 ∙ s ∙Y(s) + b0 ∙ Y(s) = a1∙s∙X(s) + a0 ∙ X (s) . (b2 ∙ s2 + b1 ∙ s + b0) ∙ Y(s) = (a1∙s + a0 ) ∙ X (s) Разделив обе части этого равенства на ( b2 ∙ s2 + b1 ∙ s + b0 ), получим Y(s)  a1  s  a0 a  s  a0  X(s)  W(s) X(s) , где W(s) 1 2  X(s) 2 b2 s  b1s  b0 b2 s  b1s  b0 W(s) – это передаточная функция нашего объекта, записанная в виде функции от комплексной переменной s. Таким образом, при нулевых начальных условиях изображение выхода линейного объекта вычисляется как произведение его передаточной функции на изображение входного сигнала. Данный пример поясняет определение передаточной функции. Ещё раз: передаточная функция равна отношению изображений по Лапласу выхода и входа при нулевых начальных условиях. Поясним, что такое статическая характеристика объекта регулирования. Это очень важно для понимания. Статическая характеристика звена – это зависимость выхода y от входа x (рис. 1.2) при условии, что x′=y′=y″=0. Рисунок 1.3 поясняет, как эта характеристика получается. Мы же будем заниматься динамикой, переходными процессами при изменении входных управляющих сигналов. При статическом регулировании регулируемая величина при разных внешних воздействиях на объект регулирования принимает по окончании переходного процесса различные значения, зависящие от величины внешнего воздействия. Например, простая система бака с водой. Из бака расход воды регулируется краном, а приход воды (входная величина) краном с регулятором поплавкового типа. При этом, чем больше расход тем больше отклонение уровня воды в баке от заданного, и нельзя эту ошибку статическим звеном сделать нулевой! Ещё заметим, что прежде чем заниматься динамикой привода, необходимо оценить его энергетические возможности. То есть, никакая система управления исполнительным двигателем не может обеспечить требуемые моменты или скорости, если они не заложены в его конструкции. Первым делом надо провести анализ динамических возможностей привода, понять, что можно от него получить. Другими словами, сначала надо провести расчет мощности для заданных режимов работы системы. Рис. 1.3. Пояснение, как получают статическую характеристику объекта управления (для линейных звеньев увых=α ∙ x вх; α = const). В отличие от статического регулирования астатическое регулирование приводит нулевому отклонению регулируемой величины от желаемого. Для дальнейшего в качестве профессионального примера мы будем рассматривать следящий привод труборазворотов бурильных труб выполненных на основе двигателя постоянного тока с независимым возбуждением и управляемого контроллером распределенной сети автоматики для автоматизации спускоподъемных операций (СПО). В качестве распределённой системы автоматики управляемой СПО выбирается стандартная технология LonWorks, с которой студенты МГРИ могут познакомиться практически. Расчетная зависимость для оценки скоростей при заданных номиналах имеет вид ωтр(t)  q  ωc(t); 1 M тр(t)  [(J дв  q 2  J н )  εc(t)  M н(t)] , q где ωтр(t) и M тр(t) - скорость и момент на валу двигателя для обеспечения требуемого закона движения следящего вала; c (t ) и  c (t ) - заданный закон изменения скорости и ускорения следящего вала; M н(t) - момент нагрузки на следящем валу; J дв и Jн - это моменты инерции вала двигателя и нагрузки; q - передаточное число редуктора, связывающего следящий вал с валом двигателя. Зависимость требуемого момента на валу двигателя M тр(t) от требуемой скорости двигателя ωтр(t) называется диаграммой нагрузки привода. Приведенные выше уравнения являются параметрическими уравнениями диаграммы нагрузки. Вид диаграммы нагрузки зависит от требуемого закона движения, момента нагрузки, передаточного числа редуктора и к.п.д. входящих в систему силовых звеньев. Далее заметим, что мы в ТАУ мы будем в основном работать с линеаризуемыми путем разложения в ряд Тейлора отклонениями величин от их значений на статических характеристиках. Больше того, гораздо удобней пользоваться безразмерными относительными величинами, рассматривая не отклонения переменных, а отношение их к некоторым базовым величинам. Например, для электрических машин – это номинальные значения мощности, тока, напряжения, скорости вращения вала. Лекция 2. 1 Общие сведения. В этой лекции будут даны важные для дальнейшего понятия, примеры построения математических и структурных моделей и решение дифференциальных уравнений операторным методом. Напряжение (условное обозначение: U, иногда E). Напряжение между двумя точками - это энергия (или работа), которая затрачивается на перемещение единичного положительного заряда из точки с низким потенциалом в точку с высоким потенциалом (т. е. первая точка имеет более отрицательный потенциал по сравнению со второй). Иначе говоря, это энергия, которая высвобождается, когда единичный заряд «сползает» от высокого потенциала к низкому. Напряжение также называют разностью потенциалов или электродвижущей силой (э. д. с.). Единицей измерения напряжения служит вольт (В). Ток (условное обозначение: I). Ток - это скорость перемещения (прохождения) электрического заряда в точке. Единицей измерения тока служит ампер (А). Главное помните: напряжение всегда измеряется между двумя точками схемы, а ток всегда измеряется в точке схемы, или течет в каком-то элементе схемы. Говорить «напряжение в резисторе» нельзя - это неграмотно. Однако часто говорят о напряжении в какой-либо точке схемы. При этом всегда подразумевают напряжение между этой точкой и «землей», то есть такой точкой схемы, потенциал которой всем известен. Напряжение создается путем воздействия на электрические заряды в таких устройствах, как батареи (электрохимические реакции), генераторы (взаимодействие магнитных сил) и т. п. Ток мы получаем, прикладывая напряжение между точками схемы. Несколько простых правил, касающихся тока и напряжения: I. Сумма токов, втекающих в точку, равна сумме токов, вытекающих из нее (сохранение заряда). Иногда это правило называют законом Кирхгофа для токов. Инженеры называют такую точку схемы узлом. Из этого правила вытекает следствие: в последовательной цепи (представляющей собой группу элементов, имеющих по два конца и соединенных этими концами один с другим) ток во всех точках одинаков. II. При параллельном соединении элементов напряжение на каждом из элементов одинаково. Иначе говоря, сумма падений напряжения между точками А и В, измеренная по любой ветви схемы соединяющей эти точки, одинакова и равна напряжению между точками А и В. Иногда это правило формулируется так: сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна нулю. Эго закон Кирхгофа для напряжений. III. Мощность (работа, совершенная за единицу времени), потребляемая схемой, определяется следующим образом: Р=U ∙I. Если напряжение U измерено в вольтах, а ток I - в амперах, то мощность Р будет выражена в ваттах. Мощность величиной 1 ватт - это работа в 1 джоуль, совершенная за 1 с (1 Вт=1 Дж/с). В дальнейшем при рассмотрении изменяющихся токов и напряжений во времени, мы обобщим простое выражение P= U ∙I. В таком виде оно справедливо для определения мгновенного значения мощности. К числу важнейших деталей, из которых конструируются электроприборы, принадлежат резистор (сопротивление), индуктивность (самоиндукция) и конденсатор (емкость). Каждая из этих деталей является двухполюсником, т. е. обладает двумя контактами, которые при монтировании электроприбора присоединяются к полюсам других деталей (рис.2.1). Во время работы электроприбора через двухполюсник проходит электрический ток, и при этом электрическое состояние двухполюсника характеризуется в каждый момент времени t двумя величинами: током (силой тока) Iab(t), идущим от полюса а к полюсу b двухполюсника ab, и напряжением (падением напряжения) Uab (t) от полюса а к полюсу b. Ток (сила тока) Iab(t) может принимать как положительные, так и отрицательные значения; если ток «течет» от полюса а к полюсу b (имеется в виду так называемое техническое направление тока), то число Iab(t) положительно; в противном случае оно отрицательно. Рис.2.1. Двухполюсники: резистор, ёмкость и индуктивность. Падение напряжения Uab (t) от полюса а к полюсу b представляет собой разность Va(t) - Vb(t) потенциалов в полюсе а и полюсе b. Таким образом, обе величины Iab(t) и Uab(t), характеризующие состояние двухполюсника ab в момент времени t, зависят от того, какой из полюсов поставлен на первом месте и какой на втором. При перемене порядка полюсов каждая из величин Iab(t) и Uab(t) меняет знак: Iab(t) = - Iba(t) Uab(t) = - Uba(t). Для каждого двухполюсника ab функции Iab(t) и Uab(t) времени t связаны некоторым соотношением, представляющим собой физический закон, управляющий работой двухполюсника. Для резистора (сопротивления), индукции (самоиндукции) и конденсатора (емкости) физические законы, управляющие их работой, даются нижеследующими предложениями. Для двухполюсника ab, представляющего собой резистор (сопротивление), имеет место соотношение (закон Ома): Uab(t) = RabIab(t), здесь Rab - положительный коэффициент, называемый сопротивлением и могущий для различных двухполюсников принимать различные значения, но постоянный для каждого данного двухполюсника; при этом мы имеем всегда: Rba = Rab Сопротивление Rba измеряется в омах. Для двухполюсника ab, представляющего собой индуктивность, имеет место соотношение: Uab(t) = Lab d Iab(t); dt здесь Lab есть положительный коэффициент, называемый индуктивностью и могущий для различных двухполюсников принимать различные значения, но постоянный для каждого данного двухполюсника. При этом Lba = Lab. Индуктивность Lba измеряется в генри. Для двухполюсника ab, являющегося емкостью (конденсатором), имеет место соотношение Iab(t) = Cab d Uab(t), dt где Cab есть положительный коэффициент, называемый емкостью и могущий принимать различные значения для различных двухполюсников, но имеющий для данного двухполюсника вполне определенное значение; при этом мы имеем: Cab = Cba. Ёмкость конденсатора Cab измеряется в фарадах. Пример. Рассмотрим RLC-цепочку, то есть последовательное соединение резистора с сопротивлением R, катушки индуктивности с индуктивностью L и конденсатора с емкостью С (рис.2.2). Она может быть описана с помощью двух уравнений: u(t)  u c (t )  L i (t )  C di (t )  R  i (t ) dt duc (t ) dt Первое уравнение означает, что разность потенциалов на концах RLCцепочки равна сумме разностей потенциалов на всех промежуточных участках. Рис.2.2. RLC-цепочка Разность потенциалов R∙i(t) на резисторе вычисляется по закону Ома, а на катушке - по формуле, приведенной выше. Второе уравнение описывает связь между напряжением и током для конденсатора. Вход этого объекта – напряжение u(t) на концах цепочки, а выход разность потенциалов uс(t) на пластинах конденсатора. Подставим i(t) из второго уравнения в первое, получим: u(t)  uc(t)  LС d 2uc(t) du (t)  R C c 2 dt dt Пусть начальные условия равны 0, тогда это уравнение можно переписать в операторной форме: U(p) U c(p)  L С p 2U c (p)  R  C p U c (p) U c(p) W(p) U(p), г де W(p)  1 1  LCp 2  RCp Посмотрим повнимательней на уравнения, описывающие связь напряжений на входе и на выходе RLC-цепочки. Во-первых, заметим, что дифференциальное уравнение относится к классу линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Во-вторых, мы имеем дело с линейным оператором дифференцирования. В инженерных применениях обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами важную роль играет операционное исчисление. Инженеры используют символические (или, иначе, операционные) обозначения лежащие в основе операционного исчисления. Суть этих обозначений заключается в том, что производная по времени t от произвольной функции z = z(t) обозначается не через d z (t ) , а dt через р ◦ z(t), буква р, стоящая слева от функции, является символом оператора дифференцирования по t. Если применить последовательно к результату первого применения оператора p ещё раз его же и так далее k-раз, то получим новый оператор дифференцирования к-ого порядка (оператор нахождения производной к-ого порядка от функции z(t)). Его обозначение будет pk : pk  z  dk z(t) dt k Итак, мы в нашем курсе вначале рассматриваем в основном простые (односвязные) объекты, линейные модели которых характеризуются одной управляющей и одной управляемой (регулируемой) величиной (см. рис. 1.2). Зависимости между ними устанавливаются неявно, то есть в уравнениях могут содержаться эти неизвестные нам функции (x(t), y(t)) под знаками производных и дифференциалов. Передаточная функция таких объектов в общем виде записывается либо в операторной форме либо в «изображениях» (рис.2.3). Рис. 2.4. Суммироване сигналов. Пример структурной схемы был дан в первой лекции (рис.1.1). 2 Правила преобразования структурных схем. 3 Представление электрических звеньев в операционном виде. Дальнейший материал из этой лекции прорабатывается студентами самостоятельно. 4 Решение дифференциальных уравнений операционным методом. Помимо операционного метода при решении важно уметь разлагать правильную рациональную дробь на сумму элементарных дробей. 5 Упражнение. Преобразовать схему системы управления из лекции 1 (рис. 2.Х.) к простейшему виду, по-другому, записать передаточную функцию этой структурной схемы. Рис. 2.Х. Повтор схемы системы управления из лекции 1 Рещение. Лекция 3. 1 Электрическое и механико-математическое моделирование процессов. Любой объект взаимодействует с внешней средой с помощью входов и выходов. Входы это возможные воздействия на объект, выходы – это те сигналы, которые можно измерить. Например, для электродвигателя входами могут быть напряжение питания и нагрузка, а выходами – частота вращения вала, температура. Входы независимы, они «приходят» из внешней среды. При изменении информации на входе меняется внутреннее состояние объекта (так называют его изменяющиеся свойства) и, как следствие, выходы. Это значит, что существует некоторое правило, по которому элемент преобразует вход x в выход y. Это правило называется оператором. Напомним (см. лекцию 1), что запись y =U[x] означает, что выход y получен в результате применения оператора U к входу x. Построить модель – это значит найти оператор, связывающий входы и выходы. С его помощью можно предсказать реакцию объекта на любой входной сигнал. Порядок моделирование процессов: 1.Функциональную схему управления представляют в виде структурной схемы, разбив её на простейшие звенья. При этом в каждом звене должны быть определены входные и выходные величины (координаты). 2. Используя основные законы механики, гидравлики, пневматики и электротехники (законы Кирхгофа, Ньютона, законы сохранения энергии и вещества для гидравлических и пневматических звеньев), даётся математическое описание звена. 4. Осуществляется линеаризация полученных дифференциальных и алгебраических уравнений. Линеаризация невозможна для скачкообразных зависимостей (реле, сухое трение). Последние зависимости называются нелинейными, и мы вначале их исследовать не будем. 5. Для упрощения исходного математического описания переходят от оригиналов к изображениям. 2 Принцип детерминированности. Для описания состояния движения материальной точки используется        пара понятий: положение r (t)   x(t), y(t) , z(t)  и скорость v (t)  r { x (t), y (t), z (t)} , здесь дифференцирование по времени обозначается точкой над соответствующим символом. Положение и скорость объекта, в принципе, независимы. В основе механики лежит принцип детерминированности, а именно: движение материальной точки полностью определяется текущим моментом    времени t и её положением (r0 , r0 ) в начальный момент времени t0 :            r (t)  r (t, t0 ,x(t0 ), y(t0 ) , z(t0 ), x (t0 ), y (t0 ) , z (t0 )), (1) r (t)  r (t, t0 ,x(t0 ), y(t0 ) , z(t0 ), x (t0 ), y (t0 ) , z (t0 )) Обычно предполагается t0= 0 (этого можно всегда достичь заменой t на t – t0) . 2 Ускорение материальной точки. Ускорение вычисляется по формуле       a (t)  r (t )  f (t , r 0 , r 0 )    Исключая r 0 и r 0 , с помощью уравнений (1), получим       a (t)  r (t )  f (t , r , r ) (2) Мы доказали, что ускорение точки не является независимой характеристикой движения, а зависит от текущего состояния движения. При этом (2) – это динамическая система, а (1) её решения. Например, 2-ой закон Ньютона      m  r  F (t, r , r ) , где F – это сила, зависящая от положения, скорости и от явно входящего времени. Если время явно не входит в правую часть, то такая система называется автономной. Уравнение (2) в механике называется уравнением движения, а (1) – законами движения, одно с другим связано. Принцип детерминированности Ньютона утверждает, что состояние механической системы, заданное в любой момент времени, однозначно определяет все ее дальнейшее движение. На языке формул этот закон часто имеет вид дифференциального уравнения. Например, в классической механике это уравнения движения Ньютона, которые позволяют предсказать траекторию движения частицы в любой момент времени, если известны начальные координата и скорость. Данная схема объяснения и предсказания явлений природы составила идеал причинного описания явлений, к которому стремились и в других науках. Однако такое описание не стало универсальным. Например, такой причинности нет в микромире. Здесь понятие причинности пришлось расширить, его называют квантово-механической причинностью. Теорема Шаля: произвольное перемещение твердого тела в пространстве можно представить в виде двух движений: поступательного и вращательного. Для математического описания работы САУ удобно разбивать, на динамические звенья. Динамическим звеном называется часть системы управления, описываемая алгебраическим или дифференциальным уравнением. Под это определение подходит любой элемент автоматики, совокупность таких элементов и даже вся система автоматического управления в целом. Существенно то, что в отличие от функционального элемента автоматики, динамическое звено не обязательно является конструктивно или схемно-оформленным устройством. Например, в качестве динамических звеньев можно рассматривать отдельные части функциональных элементов САУ и даже отдельно обмотки возбуждения электрических генераторов, якорные обмотки электродвигателей, каскады усилителей и т. д. Состояние любого динамического звена описывается совокупностью обобщенных координат. Например, обобщенными координатами могут служить напряжения, токи, перемещения, скорости, ускорения и их производные и. т. д. . Звенья автоматических устройств характеризуются направленностью действия. Они передают действие от входа к выходу. В таких звеньях при изменении входной величины xвх изменяется и выходная величина xвых, изменения же выходной величин ы никак не сказывается на входной величине. Например, свойство направленности в одну сторону реализуется за счет усиления входного сигнала звена по мощности. Пассивные звенья (рычаг, редуктор, пассивные электрические цепи и др.) свойством направленного действия не обладают. Уравнение звена должно быть составлено так, чтобы оно выражало зависимость (в динамическом процессе) между теми величинами, которые в схеме исследуемой системы указаны на выходе и входе данного звена, т. е. между величинами, представляющими воздействие данного звена на последующее по схеме звено и воздействие предыдущего звена на данное звено. Звено иногда может иметь не одну входную величину (рис.1 лекции 1), а несколько (например, при наличии дополнительных обратных связей). Кроме входной и выходной величин звена, которые выражают собой внутренние связи между звеньями данной системы, может учитываться также внешнее воздействие на данное звено. В большинстве случаев математическое описание динамических звеньев приводит к дифференциальным уравнениям того или иного вида. В результате физическая задача определения выходной величины звена при изменяющемся входном сигнале сводится к математической задаче отыскания решения дифференциального уравнения, описывающего работу звена. 3 Линеаризация методом разложение в ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора применяется для аппроксимации функции многочленами. Для разложения в ряд Тейлора функции переменных , которая в некоторой окрестности точки имеет полные производные вплоть до -го порядка включительно, вводится дифференциальный оператор Тогда разложение функции в ряд Тейлора по степеням ( xi − ai )k в окрестности точки ( a1 , a2 , . . . , an ) имеет вид где Rm ( x1 , x2 , . . . xn ) — m-тый член ряда. Ряд Тейлора для большого числа переменных может быть также записан, как где Например запишем её для функции трёх переменных , и в окрестности точки до второго порядка малости. В этом случае оператор T будет иметь вид Разложение в ряд Тейлора запишется в виде учитывая, что получим Видим, что даже для небольшого числа переменных разложение до второго порядка малости уже громоздкое. Поэтому линеаризация уравнений в ТАУ происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше второго (первого) порядка. Предположим, что у нас имеется дифференциальное уравнение 2-го порядка    F (x1 (t ) , x1 (t ) , x 2 (t ) , x2 (t ), x2 (t ) )  0 (3) Это дифференциальное уравнение от двух координат x1 и x2, которые в свою очередь являются функциями времени t. При установившемся режиме оно будет выглядеть так F (x1 (0),0, x 2 (0),0,0 )  0 Обозначим отклонения реальных значений x1, x2 через Δx1, Δx2 , тогда: x1 (t )  x1 (0)  x1 (t ); x1 (t )  x1 (t ); x 2 (t )  x2 (0)  x 2 (t ); x2 (t )  x2 (t ); x2 (t )  x2 (t ) Разложим левую часть уравнения (3) в ряд Тейлора до второго порядка малости. Будем ещё считать, что x1 и x2 рассматриваются при разложении как независимые переменные, получим:  F x1 t 0  x1 (t )   F x1 t 0  x1 (t)   F x 2 t 0  x 2 (t )   F x2 t 0  x2 (t)   F x2 t 0  x2 (t)  0 Уравнение (4) называется дифференциальным уравнением звена в отклонениях. Обычно опускают при этом знак отклонения Δ. Введем обозначения:  F x1 t 0   b0 ;  F x1  F x 2 t 0  a2 ;  F x2 t 0 t 0    b1  a1 ;  F x2 t 0  a0 . a2  x2(t)  a1  x2(t)  a0  x2 (t)  b1  x1(t)  b0  x1(t) или так a0 d 2 x2(t) dx (t) dx (t)  a1 2  a2  x2(t)  b0 1  b1  x1(t) 2 dt dt dt Запишем последнее уравнение в операторной форме d2 d d (a0 2  a1  a2 )  x2(t)  (b0  b1 )  x1(t) dt dt dt или так (a0 p 2  a1 p  a2 )  x2(t)  (b0 p  b1 )  x1(t) , или вводя обозначени я : D(p)  a0 p 2  a1 p  a2 K(p)  b0 p  b1 получим D(p) x2(t)  K(p) x1(t) , В левой и правой части стоят дифференциальные операторы, представляющие собой полиномы. Если пойти дальше, и получить (4) коэффициенты a2= 1 или b1=1, то такая запись операторных уравнений будет называться стандартной. В общем в левой части операторного уравнения записываются все внутренние координаты системы управления со своими дифференциальными операторами; справа - внешние воздействия для системы в целом. Например, для звена изображённого на рис.1, уравнение будет выглядеть в следующей форме : D1(p)x1(t)+ D2(p)x2(t) +D3(p)x3(t)=K(p)f(t) Рис.1 Динамическое звено. Лекция 4. 1 Принцип действия и устройство двигателя постоянного тока Учитывая то, что нашему курсу ТАУ не предшествовал курс электротехники, в этом разделе кратко рассматривается принцип действия и основные характеристики привода на базе двигателя постоянного тока независимым возбуждением якоря. Работа двигателя постойного тока основана на взаимодействии электромагнитного поля образующегося вокруг проводника с током, и магнитного поля, в которое помещен этот проводник. Если виток с током поместить в магнитное поле, то на каждую половину витка (рис. 4.1) будет действовать сила F , направление действия которой может быть определено по правилу ладони левой руки. Из курса физики [1] знаем, чему эта сила равна: F=I∙ B ∙l ∙cos(α) , (4.1) где I - ток, протекающий по витку; B - магнитная индукция; l - длина активной части витка; α - угол между плоскостью витка и направлением силовых линий магнитного поля. Рис. 4.1. Проводник с током в магнитном поле. Под влиянием пары сил F виток стремится повернуться, причем при α=0 сила F максимальна, а при α=90 0 сила вращения F равна нулю (F=0). Реально вращающаяся часть (якорь) в двигателе постоянного тока имеет не один, а большое количество витков, так что создаваемый ими суммарный момент практически не зависит от угла поворота. В электрическом двигателе постоянного тока можно выделить три основные части (рис.4.2): статор, якорь и коллектор. Рис.4.2. Основные части электродвигателя. Статор - неподвижная часть двигателя - состоит из ярма 1 (у мощных двигателей - станина) - стального стакана, являющегося одновременно частью магнитопровода, к которому крепятся полюса статора 3. Полюса статора набираются из листовой стали. На каждом полюсе имеется катушка 2, которая является частью обмотки возбуждения двигателя, служащей для создания магнитного потока. Катушки возбуждения обычно наматываются медным проводом. Якорь - вращающейся часть машины постоянного тока - имеет стальной сердечник» набираемый из листов электротехнической стали с выштампованными пазами. В пазы железа якоря укладывается обмотка 6, представляющая собой те самые витки, о которых говорилось выше. Части обмотки якоря, уложенные в пазах якоря, называются активными сторонами, а проходящие с торцевых сторон якоря, - лобовыми. Коллектор 5 вместе со щетками 4 представляет собой механический выпрямитель и служит для того, чтобы направление тока в витках, находящихся под полюсами, при вращении якоря не изменялось. Коллектор набирается из медных пластин, изолированных друг от друга и от корпуса коллектора миканитом, и вместе с якорем закрепляется на валу машины. К нему подводится напряжение постоянного тока с помощью щеток, которые крепятся в специальном щеточном узле. К каждой коллекторной пластине подсоединяются концы секций обмотки якоря. Секцией называется часть обмотки, заключенная между двумя коллекторными пластинами, К каждой коллекторной пластине подводится начало одной секции и конец другой. 2 Вращающий момент и противо - Э.Д.С. двигателя. Рассмотрим величины, от которых зависит развиваемый двигателем момент. На один проводник, находящийся под полюсом, действует вращательный момент (рис.4.1) M F Da , 2 где F – сила, действующая на один проводник; Da - расстояние между проводниками. Если в якоре N активных проводников, то M дв  F N Da , 2 На проводник действует сила F=ia∙ Bср ∙la ∙, где ia∙- ток в одной параллельной ветви (параллельная ветвь - часть обмотки, заключенная между разноименными щетками); Bср – средняя величина индукции под полюсом.∙ la - длина активной часта проводника; Выражения для ia и Bср могут быть записаны в следующем виде: ia  Iя Ф Ф , Bср  в  в 2a S la  , где Фв - поток возбуждения в машине, в∙сек; τ - полюсное деление (длина дуги под одним полюсом); 2a - число параллельных ветвей. Подставив в формулу для Мдв выражения Bср и ia и учитывая, что Da  2 pτ π М дв  , получим Np Фв  I я 2π a , где р - число пар плюсов. Если поток в машине постоянный, то М дв  см I я , г де см  Np н м Фв  называется коэффициен том момента , , 2π a а зависящий от конструктивных параметров двигателя и величины потока возбуждения. При вращении якоря витки его обмотки пересекают магнитные силовые линии, и в обмотке якоря наводится Э.Д.С. По правилу правой руки можно определить, что наводимая в витках якоря Э.Д.С. направлена против тока якоря. Эта Э.Д.С. носит название противо - Э.Д.С. Получим выражение для противо - Э.Д.С. двигателя. Э.Д.С. одного проводника e = Bср ∙ l a∙v, где v - окружная скорость проводника, v  Da Ωдв 2 Ω - угловая скорость якоря двигателя. Противо - Э.Д.С. двигателя, определяемая числом проводников в одной параллельной ветви, т.е. Поскольку Bср  N , имеет следующее значение: 2a N N D Eдв  e  Bср la a дв 2a 2a 2 , Da Фв , ;  l p la  где τ – ширина полюсного деления; p – число пар полюсов. Отсюда Eдв  Np Фв дв . 2 a Если Фв = const, то Eдв  сe дв , где ce  Np Фв , 2 a где се - коэффициент противо - Э.Д.С., в [в сек/рад] , зависящий, как см, от конструктивных параметров и величины Фв. Сравнение се и см показывает, что в системе единиц СИ эти коэффициенты численно равны друг другу. 3 Статические характеристики двигателя постоянного тока К статическим характеристикам двигателя относятся следующие: механические Ωдв  f(M дв ) M дв  f ( дв ) при U я  const при U я  const ; регулировочные Ωдв  f(U я ) при M дв  const. Двигатель постоянного тока может быть представлен эквивалентной схемой, показанной на рис. 4.3. В схеме приняты следующие обозначения: Rдв - активное (омическое) сопротивление якоря, ом; Lя - коэффициент самоиндукции якоря, гн; EДВ - источник Э.Д.С., численно равный противо-Э.Д.С. двигателя, в; Uя - напряжение, прикладываемое к якорю, в. В установившемся движении ( Ωдв  const. ) все переходные процессы в двигателе считаются законченными, и уравнения, характеризующие состояние двигатели, могут быть записаны в следующем виде: U я  I я Rдв  Lя d Iя  Eдв  I я Rдв  Eдв . dt Переписав это равенство относительно момента, получим M дв  M п  fдв дв (4.5) Из выражений (4.4) и (4.5) следует, что механические характеристики линейны. На рис.4.4 показано семейство механических характеристик двигателя для различных значений Uя . Если в (4.4) полагать M дв  const , то это выражение, рассматриваемое как функция Ωдв  f(U я ) , представляет собой регулировочные характеристики двигателя, которые также линейны. В этом случае говорят, что двигатель обладает хорошими регулировочными свойствами. Максимальная скорость, развиваемая двигателем (при U я  const и M дв  0 ), называется скоростью холостого хода ( Ωхх ). Эта скорость определяется состоянием двигателя, когда напряжение источника питания уравновешивается противо -Э.Д.С. , и ток якоря равен нулю: Ωхх  Uя . се Различают три основных режима работы двигателя (рис. 4.4). А. Двигательный режим. Момент нагрузки имеет направление, противоположное вращению двигателя; противо - Э.Д.С. направлена навстречу приложенному к якорю напряжению и по величине меньше последнего, т.е. E дв  U я , а sign Uя = - sign Uдв Б. Генераторный режим. Момент нагрузки действует в сторону вращения двигателя; противо – Э.Д.С. направлена также навстречу приложенному напряжению и по величине больше последнего. E дв  U я , а sign Uя = sign Uдв . В этом режиме ток якорея протекает т двигателя к источнику питания, поэтому часто такой режим называют режимом генераторного, или рекуперативного (с отдачей энергии в сеть) торможения. Частным случаем генераторного режима является режим электродинамического торможения, когда Uя = 0. В. Режим противовключения двигателя (торможение противовключением). Вращение двигателя происходит в сторону, противоположную направлению, определяемому полярностью приложенного напряжения. В этом режиме напряжение источника питания и противо – Э.Д.С. двигателя складываются: Iя  U я  ce dдв dt Rя . 4 Динамические характеристики двигателя постоянного тока (ДПТ) Движение выходного вала двигателя в линейной области характеристик может быть описано следующей системой дифференциальных уравнений (влиянием коэффициента самоиндукции якоря Lя на динамические свойства двигателя вначале пренебрегаем): d дв  iя Rдв ; dt M дв  cмiя ; u я  ce M дв  J дв d 2 дв , d t2 где Jдв - момент инерции вращающихся частей двигателя. Решая совместно эти три уравнения, получим: J дв d 2 дв cмce d дв U я   cм d t2 Rдв d t Rдв или cмce R d 2 дв d дв U я ( J дв дв  ) cм Rдв cмce d t 2 dt Rдв Разделив обе части равенства на c м ce и обозначив Rдв электромеханическую постоянную времени двигателя, J дв Rдв  Tдв , cмce запишем Tдв С учетом d 2 дв d дв 1   uя d t2 d t ce d дв  дв перепишем это выражение так: dt Tдв d дв 1  дв  u я . dt ce (4.6) Если к двигателю в момент времени t = 0 прикладывается напряжение uя = const , то решение уравнения (4.6) имеет вид (4.7): t t   u Ωдв  я ( 1 e Tдв )  Ωуст ( 1  e Tдв ) , ce где Ωуст  (4.7) uя - установившееся значение скорости двигателя после сe окончания переходного процесса, вызванного скачкообразным изменением входной величины Uя . Уравнение (4.7) показывает, что если в момент времени t = 0 скачком приложить напряжение Uя , подаваемое на якорь двигателя, то скорость двигателя будет нарастать по экспоненциальному закону (рис. 4.5), определяемому электромеханической постоянной времени двигателя Tдв . Заметим, что за время t = Tдв скорость двигателя достигает величины 0,682 Ωуст Обычно переходный процесс считается закончившимся, когда Ωдв  0.95  Ωуст . Этого значения скорость двигателя достигает за время t = 3 Tдв (рис.4.5). Динамические свойства двигателя тем лучше, чем быстрее двигатель может изменять свою скорость, т.е. чем меньше Tдв. Лекция 5. 1 Передаточная функция двигателя постоянного тока с независимым возбуждением. Лекция 6. Рис.1. Реакция САУ с передаточной функцией W1на единичное ступенчатое воздействие. Рис.2. Реакция САУ с передаточной функцией W2 на единичное ступенчатое воздействие. Рис.3. Реакция САУ с передаточной функцией W1 на идеальное импульсное воздействие. Рис.4. Реакция САУ с передаточной функцией W2 на идеальное импульсное воздействие. По рисункам 1-4 видно, что вторая САУ обладает некоторыми колебательными свойствами. 3 Связь между передаточной, переходной и весовой (импульсной) функциями. Вспомним также некоторые полезные свойства (теоремы). Для дальнейшего мы будем считать, что передаточная функция имеет вид правильной рациональной дроби. Для этого записывается (рисуется) подробная схема САУ. Её рисунок будет состоять из прямоугольников, в которых записаны передаточные функции отдельных элементов (динамических звеньев). Ещё раз отметим, что мы рассматриваем линейные САУ. Они описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Вспомним также, что дифференцирование синусов и косинусов за рамки этих функций не выводит. Лекция 7 1 Язык ЛАФЧХ и типовые динамические звенья структурных схем. Для анализа динамических свойств САУ и их элементов (звеньев) амплитудные и фазовые частотные характеристики представляют графически в логарифмическом масштабе. Это выражение напрашивается на логарифмирование! В результате получим сумму двух функций. В советские времена наряду с обычной миллиметровкой на прилавках магазинов лежала миллиметровка, в которой линии были проведены в логарифмическом масштабе. Данный масштаб построения графиков присутствует в среде MathCad в качестве стандартного, и мы будем им активно пользоваться для построения графиков ЛАФЧХ. В математическом анализе (раздел интегрирование рациональных функций) было показано, что рациональную функцию, представляющую собой отношение двух полиномов можно разложить на многочлен и сумму простейших правильных дробей (I-IV типов). Правильными рациональными дробями и описываются типовые звенья САУ, перечисляемые ниже. 2 Простейшие типовые динамические звенья структурных схем. Лекция 8 1 Типовые динамические звенья структурных схем САУ I порядка. Лекция 9 1 Типовые динамические звенья структурных схем САУ II порядка. Лекция 10 Лекции 11-12 Построение областей устойчивости. D-разбиение. Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам. Напомним функциональную и структурную схемы САУ (рис.1,2) Обратите внимание на удобство работы с передаточными функциями. Это канонические (алгебраические) правила анализа САУ. Это было предварительное разъяснение (повторение), теперь пойдем дальше. Практическое занятие 1 Определение устойчивости по ЛАФЧХ. Ниже приводится пустой лист миллиметровки в логарифмическом масштабе (стандартный масштаб для ТАУ) для ручного выполнения практической работы№1. Практическое занятие 2 Знакомство с программной средой «MatLab – Simulink». Данный материал специально вынесен в конец изучения курса ТАУ, чтобы студенты сначала поняли основы теории, а затем, используя учебники В. А. Бессекерского, В. В. Солодовникова и С.Г. Германа-Галкина, смогли увеличить свою производительность и наглядность изучения ТАУ. Здесь нужна не ловкость рук на клавиатуре, а проникновение головой в классические основы ТАУ, в материал по ТАУ, который традиционно изучают студенты МАИ, МВТУ и других технических государственных ВУЗов. Например, на прошлой практике мы разбирались ЛАЧХ, но её можно было построить за пять минут в программе MathCad (рис.1). Что-нибудь в голове после такого построения осталось? Мало что!. Рис.1. Соответствующие учебники и пособия, а также дистрибутив MatLab и программа MathCad предоставляются студентам в электронном виде (в частности на DVD-диске, прилагаемом к данному пособию автора). Литература 1. К.А. Путилов. Курс физики. Том II. Часть третья. Учение об электричестве. М.: ГИ ФМЛ, 1963, 583 с.