Теория автоматического управления.Линейные системы

Теория автоматического управления Линейные системы Программа курса 1. Введение. Предмет ТАУ. Основные задачи теории управления. Классификация САУ. Основные понятия и определения. 2. Математическое описание САУ и ее элементов. Линеаризация характеристик. Динамические характеристики элемента (дифференциальное уравнение, уравнение вход-выход, уравнение в операторной форме). 3. Свойства преобразования Лапласа. Передаточная функции звена. Частотные характеристики звеньев. АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ВЧХ, МЧХ. Логарифмические (асимптотические) частотные характеристики звена. 4. Регулярные сигналы. Переходная характеристика и весовая функция. 5. Типовые звенья систем автоматического управления (все виды математических моделей, построение частотных характеристик): усилительные, дифференцирующие, форсирующее, интегрирующее, звено второго порядка (апериодическое, колебательное, консервативное). 7. Преобразования в структурных схемах. Последовательное соединение звеньев. Параллельное соединение. Встречно-параллельное соединение. Правила переноса. 8. Системы с обратной связью. Виды обратной связи. 9. Устойчивость систем автоматического управления: 9.1. Анализ устойчивости САУ по корням характеристического уравнения 9.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. О критическом коэффициенте усиления (передачи). 9.3. Принцип аргумента. Частотный критерий устойчивости Михайлова. 9.4. Частотный критерий устойчивости Найквиста. Разомкнутая система а)устойчива, б)неустойчива, в)нейтральная. Обобщенная формулировка критерия Найквиста. 9.5. Логарифмический критерий устойчивости Найквиста. Общая формулировка. 10. Структурная устойчивость ( неустойчивость) САУ. 10.1. Запас устойчивости систем автоматического управления. 10.2. Построение области устойчивости систем: А) на основе критерия Гурвица; Б) методом корневого годографа. 11. Оценка качества регулирования: 11.1. Показатели качества переходных характеристик. Интегральные оценки качества. 11.2. Оценка качества переходного процесса по расположению нулей и полюсов передаточной функции. Литература: К.П. Власов Теория автоматического управления. Изд.Гуманитарный Центр. Харьков. 2013. Введение Прежде всего, следует отметить, что ТАУ является составной частью науки об управлении - кибернетики. Кибернетика как наука об оптимальном управлении сложными системами изучает: • Внутренние свойства (структура) объектов управления (ОУ) и устройств, реализующих функции управления (УУ). • Информационные свойства ОУ при внешних воздействиях. • Протекание динамических процессов в системах и процессы обработки информации. • Методы выработки управляющих воздействий, обеспечивающих в определенном смысле оптимальное управление. Объектами управления, с которыми имеет дело кибернетика, могут быть живые организмы, коллективы людей, производственные объединения (предприятия, цехи) и отдельные технические устройства (станки, механизмы, установки). Часть кибернетики, связанная с изучением и управлением техническими объектами, называется технической кибернетикой. Техническая кибернетика включает в себя: • Изучение теории автоматического управления сложной технической системой, работающей без участия человека, и функционирующей в соответствии с целью управления. • Изучение оператора (человека) как сложного объекта, законов его функционирования и управления в системе «человек – машина». Технической кибернетике сопутствуют такие важные понятия, как АСУ и САУ. АСУ – автоматизированная система управления (система с участием человека в процессе управления). В ней оператор – человек является частью системы (внутри ее). САУ – система автоматического управления – где функции человека (оператора) сводятся к запуску (включению) системы и ее выключению. Операции управления в ней осуществляются автоматически. Теория управления, как первая компонента технической кибернетики, изучает целенаправленное управление в техническом объекте, связанное с преобразованием энергии. Предмет ТАУ – это изучение законов и методов управления. Базируется он на математических моделях технических реализованных систем автоматического управления техническими устройствами (рабочая машина) и технологическими процессами. В большинстве САУ техническим объектом является система электромеханического преобразования энергии, включающая в себя: - преобразователь электрической энергии (выпрямитель, частотный преобразователь, усилитель мощности), - преобразователь электрической энергии в механическую (электродвигатель), - передаточное звено (редуктор), - рабочая машина. Такие системы называются ЭМС (электромеханическими системами). Целью настоящего курса является ознакомление с теорией и методами управления техническими устройствами. Во всех САУ техническими устройствами и технологическими процессами обязательно имеет место преобразование энергии!!! Частной задачей автоматического управления является задача автоматического регулирования, то есть поддержание или изменение по заданному закону состояние объекта на основании измерения его параметров или действующих на него возмущений. ТАУ, как наука, начала складываться в 19 веке. В числе ее основоположников можно назвать французских ученых – инженеров Понселя и Пуанкаре, чешского инженера Ауреля Стофолу, русского ученого Ивана Алексеевича Вышнеградского, английского ученого Максвелла, русских математиков и инженеров Николая Егоровича Жуковского, Александра Михайловича Ляпунова. Большинство фундаментальных положений этой науки сложилось к 40-м годам 20 века. Исторические сведения можно почерпнуть в книгах: • Д.К. Ньютон, Л.А.Тулд, Д.Ф. Кайзер «Теория линейных следящих систем». ГИФМА, 1961. (ранний период) • Техническая кибернетика. Ред. В.В. Солодовников. Кн. 1. Машиностроение. 1967. (поздний период). Однако за последние почти 50 лет ТАУ обогатилась новыми значительными разделами, которые лягут в основу данного курса. Сокровищницу знаний этой науки пополнила целая плеяда талантливых ученых и инженеров, с именами которых мы неоднократно встретимся в данном курсе. Среди них, по праву, достойное место занимают наши соотечественники. Теория автоматического управления включает в себя следующие основные части: • Теория управления линейными системами (линейные САУ). • Нелинейные САУ. • Дискретные САУ (системы, управляемые вычислительным устройством). • Системы оптимальные, адаптивные. Каждая из этих частей имеет 4 раздела: • Математические основы ТУ. Математические модели элементов САУ. • Устойчивость САУ (работоспособность). • Анализ САУ – влияние их устройств и элементов на качество основных процессов. • Синтез математической модели САУ. 1.1 Предмет теории автоматического управления Теория автоматического управления изучает методы математического моделирования, анализа и синтеза систем автоматического управления (САУ). Под САУ понимается совокупность объекта управления (ОУ) и управляющего устройства (УУ). Информационно-измерительное устройство (ИИУ) обычно рассматривается как составная часть устройства управления. Под объектом управления понимается некий механизм, агрегат, устройство, некий технологический, энергетический, экономический, социальный процесс, желаемое поведение или протекание которого должно быть обеспечено. Поведение объекта управления, результат его функционирования определяется некоторыми показателями. Чаще всего ими являются значения физических (или другой природы) величин, называемых выходными величинами. В реальных условиях на каждый объект управления многочисленные воздействия оказывает окружающая (внешняя) среда. Из всего многообразия воздействий в поле зрения оставляют лишь те, которые оказывают наибольшее влияние на выходные величины, и называют их входными воздействиями. Входные воздействия с точки зрения их влияния на ОУ разделяются на две принципиально отличные группы. Некоторые из них обеспечивают желаемое изменение поведения объекта, достижение поставленных целей. Такие входные воздействия называются управляющими, при их отсутствии задача управления вообще не имеет места. Управляющие воздействия представляют собой контролируемую величину. Другие входные воздействия мешают достижению цели управления и называются возмущающими или помехами (это могут быть и неконтролируемые величины). Задача управления заключается в формировании такого закона изменения управляющих воздействий, при которых достигается желаемое поведение объекта независимо от наличия возмущений. В случае, когда ОУ характеризуется одной управляющей и одной управляемой (выходной) величинами, то он называется односвязным (простым). При наличии нескольких координат объект и систему в целом называют многосвязной. В ТАУ воздействия и процессы изучаются с позиций теории информации, когда воздействия являются переносчиками информации, а не энергии!!! Функциональная схема САУ Схема САУ, в которой заложено функциональное назначение ее элементов и направление передачи информационных и энергетических воздействий, называется функциональной. В самом общем виде функциональная схема САУ состоит из двух подсистем: 1. управляющего устройства; 2. объекта управления. В управляющее устройство входят: - преобразователи контролируемых величин – измерительные и преобразовательные устройства; - устройство сравнения; - усилитель мощности (УМ), преобразующий информацию в энергетическое воздействие; - исполнительное устройство, реализующее управляющее воздействие на объект управления. В ЭМС в качестве исполнительного устройства выступает электродвигатель. Корректирующее устройство предназначено для придания процессам, протекающим в системе, заданных качеств и свойств. Управляемая величина подается на вход устройства сравнения, где сравнивается с управляющим воздействием. Полученный контур называют цепью обратной связи. По существу обратная связь является главным и основным элементом, позволяющим создать САУ. Замкнутые системы обычно называются системами, работающими по отклонению. В качестве объекта управления предполагается какой-либо механизм. Каналы передачи воздействий, расположенные справа от усилителя мощности, являются каналами передачи информации. В УМ поток информации управляет потоком энергии, воздействующим на исполнительное устройство. 1.2 Основные задачи теории управления Основными задачами ТАУ ЭМС являются анализ и синтез систем автоматического управления, оценка энергетических характеристик ее элементов. При анализе решается следующая задача: определение поведения системы и отдельных ее элементов при заданном входном сигнале. Под синтезом понимается задача определения структуры и параметров элементов САУ, удовлетворяющим заданным качествам выходного сигнала (при известном входном воздействии). При оценке энергетических характеристик анализируются условия обеспечения работы элементов в зоне допустимых значений параметров, не приводящих к аварийным ситуациям, оценке допустимой мощности элементов для обеспечения необходимой динамики объекта управления и другие вопросы. 1.3 Классификация систем автоматического управления 1. По принципу управления (регулирования): - разомкнутые; - замкнутые; - комбинированные. Разомкнутые и замкнутые системы представимы вполне понятными структурными схемами. Системы управления с обратной связью реализованы по принципу Ползунова-Уатта (системы управления по отклонению). Обратной связью в САУ называется такая связь, при которой сигнал снимается с выхода последующих элементов системы и подается на вход предыдущих. Связь будет отрицательной, если соответствующий ей сигнал поступает на «вычитающий» вход устройства сравнения. При положительной обратной связи сигнал складывается с управляющим сигналом x(t). В САУ обратная связь почти всегда отрицательная. Замкнутые системы могут иметь не одну обратную связь. В этом случае к ним применимо название: многоконтурные системы. В некоторых разомкнутых системах реализуется принцип управления по возмущению (принцип Понселе-Чиколева): При включении в систему звена обратной связи получают комбинированную систему: 1. По цели управления (по характеру управляющего воздействия): - системы стабилизации (предназначены для поддержания регулируемой величины на заданном уровне); - системы программного управления (в таких системах входной сигнал x(t) изменяется по известной функции времени); - следящие системы (входной сигнал таких систем представляет собой неизвестную функцию времени); - адаптивные (самонастраивающиеся) системы (данные САУ имеют способность приспосабливаться к условиям окружающей среды или улучшать условия своего функционирования в зависимости от опыта работы); - стохастические САУ, в которых управляющий сигнал x(t) случайного вида. 2. По количеству регулируемых величин: - одномерные (односвязные); - многомерные (многосвязные). 3. По характеру сигналов в САУ: - непрерывные (аналоговые). К ним относятся системы, во всех элементах которых не нарушается непрерывность передачи информационных и энергетических воздействий. - дискретные (релейные, импульсные, цифровые) – это такие САУ, в которых хотя бы в одном из элементов нарушается непрерывность передачи информации. - с гармоническим модулированным сигналом; в них используется принцип амплитудной, фазовой и частотной модуляции сигнала. 4. По характеру параметров: - стационарные. Параметры таких систем не зависят от времени; - нестационарные САУ; - системы с распределенными параметрами. У таких САУ некоторые элементы описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. 5. По идеализации математического описания: - линейные – когда все элементы САУ описываются линейными уравнениями. - нелинейные системы, содержащие хотя бы один нелинейный элемент. Деление на линейные и нелинейные системы присуще как непрерывным, так и дискретным устройствам. 1.4 Основные понятия и определения Древние говорили: «Прежде чем спорить, дискутировать – договоримся о понятиях, т.е. что понимать под тем или иным словом, определением». Рассмотрим основные определения: Теория автоматического управления (ТАУ) – это совокупность методов и специального математического аппарата, позволяющих спроектировать работоспособную промышленную систему автоматического управления (САУ), отвечающую заданным требованиям. Объект управления (ОУ) – устройство (машина, аппарат, технологический процесс), в котором необходимо поддерживать некоторое значение переменной или показателя. Объект управления, подвергаемый управляющим воздействиям, называется управляемым объектом. Управлением называется такое воздействие на управляемый объект, которое обеспечивает достижение заранее намеченной цели. Выработка управляющих воздействий включает сбор, передачу и обработку необходимой информации, принятие решений, обязательно включающее определение управляющих воздействий. Осуществление управляющих воздействий включает передачу управляющих воздействий и при необходимости преобразование их в форму, непосредственно воспринимаемую объектом управления. Целью управления объектом обычно является определение и/или поддержание заданного режима. Если целью управления является поддержание заданного режима, то управление называется регулированием. Управление называется автоматическим, если оно осуществляется без непосредственного участия человека. Система автоматического управления (САУ) – это система, состоящая из устройства управления и объекта управления, с помощью которой достигается цель управления. Устройство управления (УУ) или регулятор (Р) – это совокупность устройств, реализующих управление технологическим процессом или технической системой. Управляющее воздействие – это воздействие на объект управления, предназначенное для достижения цели управления. Структура системы управления – это совокупность и характер связей и отношений между элементами (подсистемами) системы управления. Возмущение – это воздействие извне на любой элемент (подсистему) системы управления, включая объект управления, затрудняющее, как правило, достижение цели управления. Различают контролируемые и неконтролируемые возмущения. Задающее воздействие – это воздействие на управляющий объект, предназначенное для изменения цели управления. Обратная связь – это зависимость текущих воздействий на объект от его состояния, обусловленного предшествующими воздействиями на этот же объект. Обратная связь может быть естественной и искусственно организуемой. Различают отрицательную и положительную обратные связи. В первом случае обратная связь действует в сторону уменьшения, а во втором - в сторону увеличения, отклонений текущих значений координат объекта от их предшествующих значений. Закон управления – это математическая форма преобразования задающих воздействий, возмущений, воздействий обратных связей, определяющих управляющие воздействия. Алгоритм управления - это алгоритм, определяющий управление в реальном времени. Качество управления – это совокупность характеристик управления, принятая для оценки полезности управления. Показатель качества управления – это количественная оценка качества управления. 2.1 Математическое описание САУ и ее элементов Для анализа и синтеза САУ необходимо иметь математическое описание систем. Любая САУ может быть представлена набором соединенных между собой элементов, которые называются звеньями. Звеном в теории управления называется такой элемент САУ, которому соответствует одна математическая операция преобразования сигнала. Структурной схемой САУ называется такое ее изображение, при котором указываются все ее звенья и связи между ними. Иными словами, структурная схема есть изображение математической модели системы. Следовательно, для получения математической модели системы необходимо разделить ее на отдельные звенья и составить уравнения, описывающие поведение этих звеньев. Уравнения составляются на основании анализа физических, химических, технологических, экономических, социальных и иных процессов, происходящих в конкретных элементах. Используются соответствующие законы (закон сохранения массы, энергии, вещества и пр.), применяются специальные исследования и экспериментальные методы для получения математического описания звеньев систем. Все математические модели (ММ) разделяются на: 1. Дифференциальные уравнения; 2. Разностные уравнения (для дискретных САУ); 3. Передаточные функции; 4. Структурной схемы. 2.2 Линеаризация статических характеристик Статической характеристикой САУ или отдельных ее элементов называется связь между входными и выходными величинами в установившемся состоянии. Статическая характеристика описывается в общем случае некоторым нелинейным уравнением (уравнением преобразования): y = f(x). Линеаризация проводится, если в окрестности некоторой рабочей точки (x0,y0) линеаризованная функция непрерывна: если члены старших порядков отбросить, то получаем: или Отсюда: ; ; ; ; . Линеаризация проводится (с погрешностью) обязательно в окрестности некоторой (рабочей) точки. Кроме рассмотренной линеаризации (линеаризация касательной) существует еще и линеаризация секущей. 2.3 Динамические характеристики звена Уравнения, описывающие поведение звена (системы), разделяются на дифференциальные и разностные уравнения. Для случая многомерного звена данные уравнения связывают входные и выходные переменные и их производные (сколь угодно большого порядка). Данные математические модели могут быть как в виде одного уравнения, так и в виде систем уравнений. В одномерном случае имеет место связь между одной входной и одной выходной переменными и их производными: . Применяя формулу Тейлора и отбрасывая старшие производные (2-й степени и выше) получаем: , или линейное уравнение с постоянными коэффициентами, с учетом того, что : . Такое уравнение описывает поведение звена только в окрестности некоторой точки . При значительном удалении от точки линеаризации данное уравнение, как правило, несправедливо. Полученное уравнение также называется уравнением в отклонениях или уравнением вариации. Практически и заменяют на x и y. Тогда окончательно имеем дифференциальное уравнение: , или в операторной форме . Откуда получается : . Можно обозначить A(p) =- собственный полином, B(p) = - входной полином. При наличии возмущений уравнение, описывающее звено, усложняется: , а в операторной форме: , или , где - полином возмущения. Полученные уравнения носят названия уравнения вход-выход. Уравнения исследуются следующими методами: 1. аналитическим, 2. численным, 3. операторным, 4. частотным. Аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений изучаются в соответствующих разделах математического анализа и вычислительной математики. Операторный метод и частотный методы базируются на использовании оператора Лапласа. 3.1 Основные свойства преобразования Лапласа Преобразование Лапласа основано на применении понятий оригинала и изображения . Оригинал - функция вещественного аргумента. Изображение - функция комплексного аргумента. Для того, чтобы функция была оригиналом, она должна удовлетворять условиям Дирихле: 1. Функция f(t) растет ограниченно в рассматриваемом промежутке: . 2. На рассматриваемом промежутке времени функция ограничена сверху и снизу (имеет max и min). 3. На рассматриваемом промежутке функция имеет конечное число разрывов первого рода. Разрывы второго рода отсутствуют. При соблюдении всех этих условий функция является оригиналом. Для получения изображения используется прямое преобразование Лапласа: . С помощью данного преобразования переходят к изображению: ; =ℒ; ; =ℒ; Обратное преобразование по Лапласу: . Свойства преобразования Лапласа 1. Линейность ℒ; . 2. Теорема смещения : ℒ. 3. Дифференцирование ℒ, ℒ. 4. Интегрирование ℒ ; . 5. Теорема умножений (свертка) ℒ, где ; . 6. Теорема подобия ℒ. 7. Теорема о начальном значении . 8. Теорема о предельном значении . Примеры преобразования Лапласа для некоторых функций: Оригинал Изображение ; ; ; ; ; ; ; (ступенчатая функция); (импульсный сигнал). 3.2 Передаточная функция звена Передаточной функцией элемента называется отношение изображения выходного сигнала звена к изображению его входного сигнала (обычно – при нулевых начальных условиях). Иногда для описания передаточных функций звена используется обозначение K(s). В качестве примера получим передаточную функцию звена, поведение которого описывается дифференциальным уравнением . В случае, когда входной сигнал x(t) = const (для определенности пусть x(t) = 1(t)), решение данного дифференциального уравнения (изменение выходной координаты звена) будет определяться выражением: . Переходя к изображениям, получаем: и . В соответствии с определением передаточной функции будем иметь: . Из полученной передаточной функции можно записать: - уравнение математической модели звена в операторной форме. Из исходного дифференциального уравнения после введения оператора дифференцирования также получается уравнение «вход-выход» звена в операторной форме . Сравнивая подчеркнутые выражения, можно сделать важный вывод о тождественности математических моделей звена в операторной форме, записанных в функции времени t и оператора Лапласа p. Связь оператора Лапласа с физикой В линейной системе переходный процесс, описываемый дифференциальным уравнением, может быть очень сложной функцией времени, но весь он состоит из линейной комбинации двух видов кривых – экспонент и синусоид (экспоненты используются в качестве коэффициентов у синусоид). При этом в устойчивой системе все экспоненты затухающие. Оператор Лапласа p - число комплексное: . с – свидетельствует о величине экспоненты; - характеризует частоту сигнала. 3.3 Частотные характеристики звеньев Для количественной оценки свойств линейных (линеаризованных) звеньев пользуются взаимосвязанными частотными характеристиками. Физически частотные характеристики звена имеют очень простую интерпретацию. Пусть на вход системы подано синусоидальное входное воздействие . Тогда в установившемся режиме выходной сигнал также будет синусоидальным: . Комплексный коэффициент передачи звена . Более правильной будет запись . Комплексный коэффициент передачи звена называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). - АЧХ – амплитудно-частотная характеристика звена; - ФЧХ – фазо-частотная характеристика звена. АЧХ определяет как изменится амплитуда гармонического сигнала после прохождения его через звено. ФЧХ определяет фазовый сдвиг выходного сигнала звена по отношению ко входному. Кроме того, переход от передаточной функции звена к частотным характеристикам осуществляется простой заменой в передаточной функции звена . То есть из рассматриваемого процесса как бы исключается экспонента. После преобразований в комплексном коэффициенте передачи выделяют его вещественные и мнимую составляющие: , где - ВЧХ – вещественная частотная характеристика; - МЧХ – мнимая частотная характеристика. Как следует из рисунка можно по ВЧХ и МЧХ определить АЧХ и ФЧХ: ; И окончательно . АФХ звена также может быть получена и экспериментальным путем. 3.4 Логарифмические частотные характеристики ЛАХ и ЛФХ Частотные характеристики звеньев и очень часто в ТАУ вычисляют и изображают не в обычном, а в логарифмическом масштабе. Например, если прологарифмировать АФХ звена (полагая безразмерной величиной): , то можно наблюдать независимость и . Величина обычно оказывается очень малой и поэтому вместо нее вводят в рассмотрение другую функцию: [Дб]. По оси ординат откладываются значения зависимости . Амплитуда базового гармонического сигнала имеет ту же физическую размерность, что и сигнал , а численное значение =1. Относительная амплитуда измеряется в децибелах (дб). На практике, как уже было отмечено, для получения ЛАХ используют упрощенную формулу , опуская размерность у . По оси абсцисс откладывается угловая частота (относительное значение). Если откладывается в логарифмическом масштабе по основанию 10 (как на рисунке), то единицей измерения является декада. При использовании логарифмического масштаба по основанию 2 вместо декады будет октава. Таким образом, логарифмические частотные характеристики являются зависимостями относительных величин. Логарифмические характеристики, как будет показано ниже, применяются из-за удобства их использования при анализе и синтезе систем. Кроме того, АЧХ чаще всего очень сложные функции от , то ЛАХ легко аппроксимируются отрезками прямых. 4.1 Элементарные сигналы Сигналы на входе звена – произвольная временная функция. Как известно, сигнал любой формы можно представить линейной комбинацией более простых сигналов. В теории управления для возможности изучения звеньев вводится 3 вида элементарных (регулярных) сигналов: 1. Единичное ступенчатое воздействие 2. Импульсный сигнал (единичный импульс) Реально - импульс достаточно короткий с крутыми фронтами. 3. Гармонический сигнал . С помощью совокупности сигналов любого из названных типов можно представить сигнал произвольной формы (вспомните ряды Фурье, например). Эти элементарные сигналы сами по себе являются удобными (и удачными) для исследования статических и динамических свойств звеньев и систем, так как в спектре и содержатся частоты от самых малых до очень больших значений, а гармонический сигнал может быть функцией от любого действительного значения частоты. 4.2 Переходная характеристика звена Под переходной характеристикой понимается реакция звена на единичное ступенчатое воздействие x(t) = 1(t). = ℒ . Переходная характеристика звена может быть получена не только в соответствии с приведенными выше формулами, но и экспериментально. Также, если известны корни полинома знаменателя передаточной функции звена , то переходную характеристику можно получить с помощью формулы Оливера Хэвисайде: , где n –порядок полинома A(p), pk –корни полинома A(p)=0. Весовая функция (импульсная переходная характеристика) звена Под весовой функцией w(t) понимается реакция звена на единичный импульс . w(t) ℒ. Так как (t)=1(t), то w(t)=h(t). 5. Минимально фазовые и не минимально фазовые звенья Передаточную функцию звена (системы автоматического управления) можно преобразовать, разложив на множители полиномы ее числителя и знаменателя. Конечно, если известны корни уравнений (нули) и (полюса). . Если в передаточной функции произвести замену , то получаем , называемое частотной характеристикой звена (частотный, комплексный коэффициент передачи звена, АФХ). Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз, определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Об этом будет более подробно в соответствующем разделе ниже. Корни полиномов числителя и знаменателя можно изобразить на плоскости. Комплексная плоскость корней и : Отсюда: 1. Корень расположен в правой полуплоскости, то есть Repe0 . 2. Корень расположен в левой полуплоскости, то есть Repk0 . 3. Углы наклона векторов и таковы, что ke, причем , . Звено, у которого все корни (полюса и нули) расположены в левой полуплоскости (являются левыми) называется минимально фазовым звеном. Если хотя бы один из корней звена расположен справа, то такое звено - не минимально фазовое звено. У минимально фазовых звеньев существует однозначная зависимость между их частотными характеристиками. То есть, располагая одной частотной характеристикой, можно построить остальные. Другими словами, в любой частотной характеристике заключена вся информация о поведении звена. Неустойчивые звенья - всегда не минимально фазовые. 6 Типовые звенья. Характеристики звеньев Все многообразие звеньев может быть по математическому описанию представлено лишь несколькими характерными (типовыми) звеньями. Минимально фазовые звенья: 1. идеальное усилительное звено (пропорциональное безинерционное, усилительное, звено нулевого порядка); 2. реальное усилительное звено (апериодическое, инерционное первого порядка); 3. идеальное дифференцирующее звено; 4. реальное дифференцирующее звено; 5. идеальное интегрирующее звено (интегратор); 6. идеальное форсирующее звено; 7. звенья второго порядка: - апериодическое (вообще-то это комбинация двух апериодических звеньев первого порядка); - колебательное; - консервативное. Идеальное усилительное звено Это делитель напряжения, реостат - идеальное звено, если пренебречь его индуктивностью. Получим частотные характеристики идеального усилительного звена. Заменяем в передаточной функции : ; Тогда ВЧХ и МЧХ звена будут определяться как ; ; Фазо-частотная характеристика ФЧХ звена: ; Амплитудно-частотная характеристика АЧХ: ; Логарифмическая амплитудная (амплитудно-частотная) характеристика ЛАХ звена: . Переходная характеристика ℒ. Весовая функция (импульсная переходная характеристика) . Все характеристики идеального усилительного звена изображены на рисунках: В электромеханических системах типичным примером идеального усилительного (безинерционного) звена является датчик – преобразователь скорости вращения в напряжение – тахогенератор. Реальное усилительное звено Математические модели данного звена имеют вид: дифференциальное уравнение: ; соответствующая ему передаточная функция: ; частотные характеристики: - АФЧХ; - ВЧХ; - МЧХ; причем , . Следовательно, (АФЧХ) располагается в четвертом квадранте координатной плоскости. Кроме того (выполнили деление). Если подставить в , то получим , откуда после преобразований: ;  ;  . Имеем окружность радиусом , сдвинутую на вправо по оси абсцисс. Можно утверждать, что АФЧХ расположена, как показано на рис.: Амплитудно-частотная характеристика реального усилительного звена имеет вид: Фазо-частотная характеристика: , причем , . На графиках представлены все полученные зависимости: Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ): . Для ее построения выполним исследования. а) Зона низкой частоты. Н.Ч. , . б) Зона высокой частоты. В.Ч. , ; ; Наклон характеристики в области высоких частот . Изображенная на рис. логарифмическая характеристика в виде кусочно-ломаной линии называется асимптотической ЛАХ. Определим погрешность в точке  = 1/T. . Это соответствует ошибке по коэффициенту усиления в раз. Но ошибка с изменением частоты быстро уменьшается (смотри на рисунок). Значит, имеет смысл пользоваться асимптотическими характеристиками. Для определения переходной характеристики звена можно выполнить обратное преобразование Лапласа: ℒ. Также можно было воспользоваться и формулой Хэвисайде. Весовая функция реального усилительного звена: . По переходной характеристике h(t) можно определить характеристики звена (постоянную времени и коэффициент усиления). Аналогично те же величины можно определить и из весовой функции звена Идеальное дифференцирующее звено Дифференциальное уравнение, передаточная функция и АФЧХ звена имеют вид: ; . ВЧХ, МЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ звена соответственно равны: ; ; ; ; . Ниже представлены графики этих зависимостей: Переходная характеристика и весовая функция звена равны: ℒℒℒ; . Примеры дифференцирующих звеньев: 1) 2) . y = Ic ; x = Uc . 3) ; . y = UL ; x = IL . Во всех трех случаях имеет место идеальное дифференцирование. Дифференцирующие звенья - лучшее средство коррекции! Реальное дифференцирующее звено Дифференциальное уравнение и передаточная функция такого звена имеют вид: . Примером реального дифференцирующего звена может служить RC - цепочка: с передаточной функцией . Амплитудно-фазовая частотная характеристика реального дифференцирующего звена: ; ВЧХ и МЧХ: Причем, при , . Вся АФЧХ расположится в первом квадранте. Так же, как для апериодического звена, можно показать, что это уравнение окружности. АЧХ: ; ЛАХ: Для построения ЛАХ рассматриваются две частотные области - низкочастотная и высокочастотная: Н.Ч.: ; В.Ч.: . ФЧХ: Переходная характеристика: ℒ; Весовая функция:. Это звено также опережающее и его можно применять для коррекции. Интегрирующее звено Данному звену соответствует интегральное уравнение и передаточная функция . Ниже приведены частотные характеристики интегрирующего звена. АФЧХ:; ВЧХ: ; МЧХ: ; АЧХ: ; ФЧХ: ; ЛАХ: . Построение их не вызывает сложностей. ЛАХ интегрирующего звена изображена на рисунке: Форсирующее звено Данное звено используется в системах автоматического управления для целей коррекции. Его передаточная функция имеет вид: ; Частотные характеристики: АФЧХ: ; ВЧХ: ; МЧХ: ; ФЧХ: ; ; при . АЧХ: . ЛАХ: ; Для построения ЛАХ форсирующего звена рассматриваются области низких частот НЧ и высоких частот ВЧ: НЧ: ; ; ВЧ: ; . Точка пересечения ЛАХ оси ординат определяется как: . Звенья второго порядка. Передаточные функции Математически модели данных звеньев могут быть представлены дифференциальным уравнением и передаточной функцией . В зависимости от величины коэффициентов это звено может быть апериодическим второго порядка, колебательным, либо консервативным. Примером звена второго порядка является RLC-цепочка: Получим передаточную функцию RLC-цепочки. На основании законов Кирхгофа имеем: ; ; . Далее, после соответствующих подстановок и преобразований, получаем дифференциальное уравнение в операторной форме: и передаточную функцию: . где постоянные времени . Другим примером может служить двигатель постоянного тока независимого возбуждения Если составить уравнение якорной цепи и уравнение движения: , ; , то можно получить передаточную функцию: где . В зависимости от постоянных времени Тм и Тя двигатель может являться либо колебательным, либо апериодическим звеном второго порядка: Если , то звено апериодическое 2 порядка; Если , - колебательное звено; Если , - граничный случай. Представим передаточную функция звена второго порядка в виде: где ; . Характеристическое уравнение (смотри знаменатель передаточной функции): , корни которого: . 1. Если постоянные таковы, что , то корни . Такому звену соответствует апериодическое движение 2 порядка. Передаточная функция трансформируется к виду: . 2. Если , тогда корни - движение колебательное. 3. Если - граничный случай: . 4. Если , - консервативное звено. Физически это означает, что в данном звене отсутствует рассеяние энергии. При этом . Передаточную функцию колебательного звена можно привести к виду: , где - частота собственных, недемпфированных колебаний (при ). , откуда , - коэффициент затухания. 1) 0 < <1 - звено колебательное. 2)  > 1 - апериодическое звено. Частотные характеристики звеньев второго порядка АФЧХ: ВЧХ: ; МЧХ: ; АЧХ: ; ЛАХ: . Ниже приводится изображение частотных характеристик Для построения логарифмической амплитудной характеристики рассматриваются области частот: Н. Ч. ; . В. Ч. ; ; . Асимптотической ЛАХ пользоваться нельзя. Очень велика погрешность. При =1 она составляет 6 дб. На практике пользуются нормированными кривыми поправок (добавок). ФЧХ: , , при  < 1/T1, при  > 1/T1. ЛФХ: Логарифмическую фазовую характеристику, как и амплитудную, также можно брать нормированную (из соответствующего справочника): Переходная характеристика звена: ℒ-1. Весовая функция звена определяется путем дифференцирования переходной характеристики. 1. 6 Преобразования структурных схем 6.1 Правила переноса При структурных преобразованиях бывает необходимо поменять местами узлы суммирования или точки ветвления, либо перенести какую-то из этих точек через звено. Идея заключается в том, чтобы при таких преобразованиях не изменились входные и выходные сигналы. 2. Перенос узла суммирования через узел 2. Перенос точки ветвления через точку ветвления 3. Перенос узла суммирования через точку ветвления 4. Перенос точки ветвления через узел суммирования 5. Перенос узла суммирования через звено по ходу сигнала 6. Перенос узла суммирования через звено против хода сигнала 7. Перенос точки ветвления через звено по ходу сигнала 8. Перенос точки ветвления через звено против хода сигнала 6.2 Последовательное соединение звеньев Последовательным соединением звеньев называется такое соединение, при котором выходная величина предыдущего звена поступает на вход последующего. Что будет с передаточной функцией соединения ? Выполним преобразование передаточной функции, умножая ее числитель и знаменатель на равные члены : . Следовательно, при последовательном соединении звеньев их передаточные функции перемножаются! Нули и полюса. Что произойдет с ними при последовательном соединении звеньев? . Из общего вида передаточной функции соединения следует, что полюса соединения есть объединение полюсов передаточных функций компонентов соединения. Аналогичный вывод можно сформулировать относительно нулей соединения. Если все звенья минимально фазовые, то и все соединение будет также минимально фазовым, так как дополнительных нулей и полюсов не возникает. Частотные характеристики: АЧХ: ; ФЧХ: . Амплитудные характеристики звеньев перемножаются, а фазовые - складываются (показать истинность данного утверждения в соответствии с правилами перемножения комплексных чисел). ЛАХ: . Логарифмические характеристики звеньев при их последовательном соединении складываются. О переходной характеристике ничего сказать нельзя. Нужно рассматривать целиком все соединение и получать для него переходную характеристику. Пример: . Пусть . Можно представить (в виде последовательного соединения четырех элементарных звеньев). Ниже показаны ЛАХ четырех составляющих: , , , . Выполнив сложение ЛАХ элементарных звеньев, можно получить логарифмическую амплитудную характеристику всего соединения: 6.3 Параллельное соединение звеньев При этом выполняются соотношения: ; , то есть изображение выходной величины определяется как сумма изображений выходных величин отдельных звеньев. Передаточная функция соединения определяется суммой передаточных функций отдельных звеньев (обязательно вывести самостоятельно): . Для получения информации о нулях и полюсах соединения рассмотрим случай двух параллельно соединенных звеньев. . Новые полюса не добавились, но нули при параллельном соединении изменились. В общем случае, если параллельно включены минимально фазовые звенья, то соединение, будучи устойчивым, может оказаться не минимально фазовым. Частотные характеристики соединения нужно строить. Заранее о их форме сложно сказать что-либо определенное. 6.4 Встречно-параллельное соединение звеньев Для определенности рассматривается схема, когда звено K1(s) охватывается отрицательной обратной связью с помощью звена K2(s). В рассматриваемом соединении имеют место соотношения: ; ; . Выполнив последовательно необходимые преобразования, можно получить передаточную функцию соединения: ; . Пусть передаточные функции звеньев соединения представлены в виде: Тогда . К нулям добавились полюса . Полюса соединения изменились! Частотные характеристики также стали новыми. Звено - звено обратной связи. Чаше обозначается как . Звено - звено прямого тракта. Обозначается - . Обратная связь в соединениях может быть местной и глобальной, положительной и отрицательной. ПРИМЕР Окончательно получаем: . Проверку правильности полученной передаточной функции предлагаю выполнить самостоятельно, обозначив соответствующими переменами вход и выход каждого звена, и учитывая, что Данные соотношения необходимо подставить в передаточную функцию с целью получения тождества, преобразую правую часть соотношения: . 7 Замкнутые системы автоматического управления. Виды обратной связи В зависимости от места приложения обратной связи различают местную и главную обратные связи. Местная обратная связь охватывает какой-либо отдельный элемент (группу элементов) системы автоматического управления. Главная ОС охватывает всю совокупность звеньев системы. Также различают положительную и отрицательную обратные связи. На рисунке приведена система с отрицательной главной обратной связью. Обратная связь, как местная, так и главная, может быть следующих видов: 1. Если в обратной связи стоит звено с передаточной функцией (идеальный усилитель), либо (реальный усилитель), то такая ОС - жесткая. На выходе звена обратной связи сигнал пропорционален входному сигналу. При этом имеет место запаздывание сигнала, свойственное апериодическому звену. 2. Если передаточная функция звена обратной связи или (имеется дифференцирование, реальное или идеальное), то такая ОС - гибкая, дифференцирующая. Гибкая ОС дает на выходе величину, пропорциональную производной входного сигнала. Саму величину сигнала такая обратная связь не передает. 3. Если - интегрирующее звено. Такая ОС - интегрирующая. В реальных системах в качестве звеньев обратных связей могут быть комбинации рассмотренных частных случаев ОС. 8 Устойчивость линейных систем автоматического управления 8.1 Анализ устойчивости САУ по корням характеристического уравнения Свойства устойчивости проявляются в способности линейной системы возвращаться в первоначальное состоянии или близкое к нему при приложении к системе импульсного входного воздействия. Иными словами, при оценке устойчивости САУ рассматривается ее «свободное» движение, независимое от внешних воздействий. Понятие устойчивости системы не распространяется на нелинейные системы. В связи с этим различают три ситуации: 1) система устойчива; 2) система неустойчива; 3) система "безразличная", нейтральная. Оценить устойчивость системы можно в результате исследования ее математической модели, то есть решить соответствующую систему дифференциальных уравнений. Для разомкнутой системы математическая модель в операторной форме: , или , где - оператор дифференцирования. Для замкнутой системы: , или . Если (единичная обратная связь), то . С учетом введенного понятия устойчивости для ее анализа необходимо рассматривать только собственное движение системы, определяемое однородным дифференциальным уравнением или . Рассмотрим замкнутую систему. Если подать на ее вход импульсное воздействие , то реакция системы на данный сигнал (весовая функция системы): . n - порядок системы (старшая степень полинома D(p)). Рассмотрим составляющую весовой функции, обусловленную i-м корнем: . Пусть (вещественный корень). Если , тогда возрастает, смотри рисунок: То есть, если хотя бы одно звено "расходящееся", то вся система - неустойчива. Если , тогда , как следует из рисунка, асимптотически убывает: Если все корни характеристического уравнения вещественные отрицательные: , то система устойчива. Если хотя бы один при всех остальных отрицательных , то система - "безразличная": В случае пары комплексных корней, , , соответствующие составляющие весовой функции имеют вид: Если вещественная часть комплексных корней отрицательна (),то система устойчива. Если - система неустойчива. Если (чисто мнимые корни) при всех остальных "устойчивых" корнях система "безразличная". Если все вещественные корни и вещественные части всех комплексных корней характеристического уравнения системы отрицательны, тогда система - устойчива. Весовая функция такой системы есть убывающая к нулю зависимость. Физически это означает, что по окончании импульсного внешнего воздействия устойчивая система возвращается в первоначальное состояние. Распространение устойчивости на линеаризованные системы. 1892г. Ляпунов А.М. 1. Для устойчивости линеаризованных систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения математической модели системы (полюса) были либо отрицательными вещественными, либо имели отрицательные вещественные части. При этом никакие отброшенные при линеаризации члены высших порядков не сделают систему неустойчивой. 2. Если в линеаризованный системе хотя бы один корень характеристического уравнения будет положительным вещественным, либо иметь положительную вещественную часть, то система будет неустойчива, и никакие отброшенные члены высших порядков не сделают ее устойчивой. 3. Если один или пара корней характеристического уравнения системы находятся на мнимой оси, а остальные корни все левые, то система находится на границе устойчивости. Ее реальная устойчивость целиком определяется отброшенными при линеаризации малыми высших порядков. Поскольку для установления факта устойчивости системы необходимо знать только знак вещественной части корня, то желательно иметь какие-то критерии, которые бы позволяли определять этот знак без нахождения корней характеристического уравнения, тем более без процедуры решения дифференциального уравнения, соответствующего математической модели исследуемой системе. Критерии устойчивости Различают алгебраические и частотные критерии. Алгебраические: критерий Гурвица. Частотные: критерий Михайлова; критерий Найквиста. 8.2 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 1895 г. На основании характеристического уравнения системы . строится определитель Гурвица (при ). Свободные места заполняются нулями. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительны. Диагональные миноры: ; ; ; . . . Пример 1. Пусть имеется система первого порядка, . ; (или ; ); . - не абсолютная величина, а определитель!!! Вывод. Для устойчивости системы первого порядка необходима положительность коэффициентов характеристического уравнения. Здесь и ниже использовано свойство идентичности операторных форм уравнений системы (в операторах Лапласа s и дифференцирования p). Пример 2. Система второго порядка, n = 2. ; ; должно быть. Откуда . Вывод. Для устойчивости системы второго порядка достаточно положительности коэффициентов характеристического уравнения. Пример 3. Система третьего порядка; n = 3. Вывод: Для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения выполнение неравенства: . О критическом коэффициенте усиления ; ; ; ; . (так как К > 0). Неравенство . Откуда ; При KКРИТ = 8 . Следовательно, в системе для обеспечения ее устойчивости должно выполняться неравенство К < KКРИТ . (Более правильнее было бы вести все выкладки в операторах р). 8.3 Частотные критерии устойчивости Основаны на использовании записи уравнений в форме Лапласа, когда в характеристическом полиноме системы (полиноме знаменателя передаточной функции) оператор Лапласа s заменяется на j. Первоначально рассмотрим принцип аргумента. Принцип аргумента Полином можно разложить на множители, тогда . Корни находятся из уравнения . Для лучшего понимания рассматриваемого вопроса удобно представить в виде: . Среди n корней уравнения n-m - левых, m- правых. Граничные корни можно отнести к правым корням. 1) Пусть все корни уравнения - вещественные. Значит, находятся на вещественной оси. При изменении  от 0 до аргумент (угол вектора ) изменится на - для левого корня, на - для правого корня. 2) В случае пары комплексных корней при изменении  от 0 до суммарное изменение аргумента составит: для правых корней и : ; для левых корней и . В целом приращение аргумента (по правилу перемножения комплексных чисел) составит: . Для устойчивости системы необходимо потребовать, чтобы корни были только левые (m = 0). Тогда система будет устойчива, если при изменении  от 0 до приращение аргумента будет равно: . Критерий устойчивости Михайлова (1936) Характерной особенностью данного критерия является то, что об устойчивости системы судят по поведению годографа Михайлова исследуемой системы: • - для разомкнутой системы; • - для замкнутой системы. Под годографом понимается кривая, которую описывает конец вектора или на комплексной плоскости при изменении  от 0 до . Здесь и - полиномы знаменателей соответствующих передаточных функций. На основании принципа аргумента формулируется критерий Михайлова: Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора Михайлова для замкнутой и для разомкнутой системы) при изменении  от 0 до + повернулся в положительном направлении на угол (/2)n или, иначе, пересек по очереди n квадратов без пропусков. Все эти годографы (и системы соответственно) устойчивы. Эти системы неустойчивы, так как вектор годографа Михайлова вращается в отрицательном направлении. Система неустойчива, так как квадранты проходятся непоследовательно. Система находиться на границе устойчивости. При подсчете порядка системы каждое прохождение годографа через 0 повышает порядок на 1. Следствие из критерия Михайлова: Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни мнимой и вещественной частей годографа Михайлова перемежались. Если корни не перемежаются, то система неустойчива. Если характеристическое уравнение не имеет какого-либо члена, то система также неустойчива. 8.4 Частотный критерий устойчивости Найквиста Частотный критерий Гарри Найквиста (1936) дает возможность определить устойчивость замкнутой системы по АФХ ее разомкнутой цепи (разомкнутой системы) . Ниже показано, как определяется передаточная функция разомкнутой системы для случая единичной и неединичной обратной связи. Следовательно, об устойчивости замкнутой системы с передаточной функцией будем судить по передаточной функции разомкнутой системы , а именно по поведению годографа . Рассмотрим вспомогательную операторную функцию , где обозначено . Пусть порядок полинома равен n и порядок полинома , причем (в основном так и бывает). Тогда порядок полинома также будет равен n. Различают три возможных ситуации: 1. не содержит правых или нулевых корней, то есть разомкнутая система устойчива. 2. имеет хотя бы один правый корень, следовательно, система в разомкнутом состоянии неустойчива. 3. Все корни левые, но есть и корни на мнимой оси (нейтральная система). Задача. Определить условия, при которых в замкнутом состоянии система будет устойчива в каждом из трех случаев. Случай 1. Число правых корней равно 0. Все корни - левые. Разомкнутая система устойчива. . Для устойчивости замкнутой системы (это наше требование) необходимо, что все корни полинома - левые, то есть . Применим к принцип аргумента. При изменении от 0 до изменение величины фазового сдвига составляет (в соответствии с правилами деления комплексных чисел): . При устойчивой замкнутой системе приращение . Получили кривую , не охватывающую начало координат: Если учесть, что , следовательно , или . Таким образом в плоскости получаем: Точка () на плоскости преобразовалась в точку ( ) на плоскости . Вывод. Для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф АФХ разомкнутой системы при изменении от 0 до не охватывал критическую точку с координатой (). На рисунке приведены годографы разомкнутых систем, устойчивых и в замкнутом состоянии. Характеристики, обозначенные цифрами 1 и 2, соответствуют системам, устойчивым как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии. Для этих систем уменьшение коэффициента усиления отодвигает характеристику от опасной зоны. Характеристика 3 - условно устойчивая система. В условно устойчивой системе уменьшение коэффициента усиления может привести к неустойчивости замкнутой системы. На следующем рисунке приведен годограф системы, неустойчивой в замкнутом состоянии. При выходной сигнал отстает от сигнала на входе системы на 1800, то есть находится с ним в противофазе. Если =1 (как на рисунке), то при замыкании системы с ООС сигнал x0, равный алгебраической сумме q и y, не будет ни усиливаться, ни ослабляться. Система будет находиться на границе устойчивости. Если , то сигнал будет циклически усиливаться. Система становится неустойчивой, даже если снять входной сигнал. Случай 2. Система в разомкнутом состоянии неустойчива. Полином имеет m1 правых корней, n-m1 - левых. На основании принципа аргумента: . Следовательно, для устойчивости замкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф АФХ разомкнутой системы при изменении  от 0 до , двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки), раз охватил критическую точку . Случай 3. В разомкнутом состоянии имеются корни на мнимой оси (нулевые корни). Передаточная функция разомкнутой системы причем , или . Пусть r =1. Если нулевой корень сдвинуть влево на малую величину , тогда передаточная функция примет вид , а частотная характеристика будет определяться выражением . Дальнейшие рассуждения при получении критерия устойчивости базируются на рассмотренном выше случае 1: Начальный радиус точки при есть . Если устремить , то начальное значение АФЧХ также изменится: . Следовательно, предельное стягивание корня на свое исходное положение обеспечивает увеличение начального радиуса до , но интегрирующее звено обеспечивает сдвиг по фазе на угол -900. Вывод. Для устойчивости замкнутой системы, имеющем в разомкнутом состоянии все левые корни, а также 1 или несколько нулевых корней, необходимо и достаточно, чтобы при изменении  от 0 до критическая точка не охватывалась годографом АФЧХ разомкнутой системы вместе с ее дополнением. Дополнением является дуга с , повернутая от оси вещественных корней на угол . Обобщенная формулировка критерия Найквиста Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении  от 0 до сделал число положительных переходов действительной оси левее точки () больше числа отрицательных переходов на раз. Считаем слева направо -, +, -, +. Сумма переходов равна нулю. Переходы справа от точки (-1,j0) не считаем. Замкнутая система будет устойчива, если m1=0 (в разомкнутой системе все корни левые). 8.5 Логарифмический критерий устойчивости (Найквиста) Это разновидность частотного критерия Найквиста, позволяющего выяснить устойчивость системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии (или нейтральной), необходимо и достаточно, чтобы критическая частота, соответствующая переходу ЛФХ через линию (-1800) была больше, чем частота среза. Общая формулировка логарифмического критерия: Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов кривой линии в области равнялась , где - число правых корней разомкнутой системы. О применении критериев устойчивости Если имеется дифференциальное уравнение системы в канонической форме или операторное уравнение вида , (), то в этом случае предпочтительно использовать алгебраические критерии. Если порядок уравнения , то лучше критерий Гурвица. Кроме того критерий Гурвица можно рекомендовать, когда необходимо решить задачу нахождения границы устойчивости. Для этого приравнивают к нулю минор и находят из данного уравнения граничные условия. Частотные критерии предпочтительнее, когда имеются соответствующие частотные характеристики. Частотные характеристики применяются при исследовании систем, которые невозможно описать дифференциальными уравнениями (черный ящик). При необходимости экспериментальной оценки устойчивости реальной САУ (например, "черного ящика") следует использовать только частотные критерии. В этом случае эксперимент существенно более безопасен. Он проводится на разомкнутой системе, которая в большинстве случаев устойчива.