Технология программирования электротехнических комплексов и систем

Федеральное агентство морского и речного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова» И.В. Белоусов, В. Ф. Самосейко Электронное учебное пособие по дисциплине Технология программирования электротехнических комплексов и систем Часть 1 Санкт-Петербург 2020 2 Оглавление 1. Элементы автоматического управления электротехническими комплексами и системи и их программирование ......................................... 5 1.1. Линейные дифференциальные уравнения ............................................. 5 1.2. Численное решение дифференциального уравнения ............................ 7 1.2.1. Передаточная функция. Преобразование Лапласа .................. 8 1.2.2. Типовые звенья структурных схем и их программирование .. 8 1.2.3. Эталонные переходная и передаточная функции .................. 13 1.2.4. Эталонные апериодические переходные характеристики ..... 14 1.2.5. Эталонные колебательные переходные характеристики ....... 16 1.3. Методы коррекции динамических процессов...................................... 17 1.3.1. Метод параллельной коррекции ............................................. 18 1.3.2. Метод последовательной коррекции ...................................... 20 1.3.3. Астатические системы управления ......................................... 26 1.3.4. Метод подчиненного управления ........................................... 29 1.4. Контрольные вопросы по части 1. ........................................................ 31 3 Введение Электронное учебное пособие по дисциплине «Технология программирования электротехнических комплексов и систем» направлено на формирование профессиональных компетенций в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом по уровню магистратуры:  ПК-23 Готовность применять методы и средства автоматизированных систем управления технологическими процессами электроэнергетической и электротехнической промышленности;  ПК-25 Способность разработки планов, программ и методик проведения испытаний электротехнических и электроэнергетических устройств и систем. Электронное учебное пособие предназначено для обучающихся по направлению подготовки магистратуры код образовательной программы 13.04.02 «Электроэнергетика и электротехника», может быть использовано при изучении других дисциплин, направленных на формирование общепрофессиональных/профессиональных компетенций. В электронном учебном пособии рассмотрены математические основы, структурные схемы и алгоритмы программирования электротехнических комплексов и систем. Цель электронного учебного пособия: обучить методам разработки алгоритмов управления и программированию электротехнических комплексов и систем. Содержание данного электронного учебного пособия соответствует рабочей программе дисциплины и основано на материалах отечественных и зарубежных исследований, включая современные публикации. Каждый раздел электронного учебного пособия включает контрольные вопросы. АННОТАЦИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕХНОЛОГИЯ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ И СИСТЕМ 1. Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина «Технология программирования электротехнических комплексов и систем» относится к части, формируемой участниками образовательных отношений, Блока 1 учебного плана по направлению подготовки 13.04.02 «Электроэнергетика и электротехника», профиль «Автоматизированные электротехнические комплексы и системы». Для изучения дисциплины студент должен: – знать теоретические основы электротехники, методы анализа цепей постоянного и переменного токов, основы теории электромеханического преобразования энергии, виды электрических машин и их основные характеристики; эксплуатационные требования к различным видам электрических машин, содержание и способы использования компьютерных и информационных технологий; 4 – уметь применять, эксплуатировать и производить выбор электрических аппаратов, машин, выбирать и применять необходимые элементы электронной техники; формировать законченное представление о принятых решениях и полученных результатах в виде научно-технического отчета с его публичной защитой. – владеть методами расчета, проектирования и конструирования электротехнического и электронного оборудования и систем, навыками исследовательской работы, методами анализа режимов работы электротехнических комплексов и систем, навыками проведения стандартных испытаний электротехнических комплексов и систем, навыками автоматизированного проектирования электротехнического и электронного оборудования, навыками программирования на языках высокого уровня. Знания и навыки, полученные при изучении дисциплины, будут использованы при написании магистерской ВКР, а также в дальнейшей производственной деятельности. 2. Планируемые результаты обучения по дисциплине В результате освоения дисциплины обучающийся должен: Знать: структуру и организацию работы системы управления электротехническими системами с использованием микроконтроллера, архитектуру микроконтроллеров, способы взаимодействия микроконтроллера с датчиками, исполнительными устройствами и другими микропроцессорными системами; планы, программы и методики проведения испытаний электротехнических и электроэнергетических устройств и систем; Уметь: разрабатывать структурную и принципиальную схему системы управления электротехническими системами, выбирать требуемые компоненты для устройства управления, а затем создавать алгоритм и рабочую программу для микроконтроллера; разрабатывать планы, программы и методики проведения испытаний электротехнических и электроэнергетических устройств и систем; Владеть: методами, приемами и технологией разработки микропроцессорных систем управления электротехническими системами, а также средствами для отладки их работы; навыками разработки планов, программ и методик проведения испытаний электротехнических и электроэнергетических устройств и систем. 3. Объем дисциплины по видам учебных занятий Объем дисциплины составляет 7 зачетных единиц, всего 252 часа, из которых 32 часа составляет контактная работа обучающегося с преподавателем (12 часов занятия лекционного типа, 12 часов практических занятий, 8 часов лабораторных работ). 5 1. ЭЛЕМЕНТЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИМИ КОМПЛЕКСАМИ И СИСТЕМИ И ИХ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 1.1. Линейные дифференциальные уравнения Динамические процессы возникают в объектах содержащих накопители энергии. Электрическими накопителями энергии являются индуктивности и емкости, а механическими  массы. Теория синтеза динамических процессов в системах управления хорошо развита только для объектов, поведение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями. На Рис. 1.1 показана динамическая система с индуктивным накопителем энергии. Индуктивность L накапливает электрическую энергию, а сопротивление R выводит ее из данной электрической цепи и преобразует в другие виды энергии. L R u i Рис. 1.1. Динамическая система с индуктивным накопителем энергии Уравнение напряжений, составленное в соответствии со вторым законом Кирхгофа, является линейным дифференциальным уравнением первого порядка: di L⋅ + R⋅i = u. (1.1) dt Порядок дифференциального уравнения равен числу накопителей электрической энергии. Для упрощения оператор дифференцирования переменной x по времени t далее записывается px. В этом случае уравнение (1.1) приобретает вид: L ⋅ pi + R ⋅ i = u . (1.2) Если для описания динамических процессов порядка n используется несколько уравнений, то они образуют систему уравнений. Переменные, которые не могут меняться скачком, далее называются переменными состояния. Переменными состояния являются токи в индуктивностях, напряжения на емкостях, положения и скорости масс. Любая система дифференциальных уравнений может быть преобразована в одно уравнение порядка n, которое будет описывать динамическое поведение одной из n переменных состояния x: a n ⋅ p n x (t ) + ... + a1 ⋅ px (t ) + x (t ) = k ⋅ (bm ⋅ p m u (t ) + ...b1 ⋅ pu (t ) + u (t )) , (1.3) где an,..., a1 , bm,…, b1, k  параметры дифференциального уравнения, являющиеся функциями параметров системы; x(t) – выходная переменная; u(t) – входная переменная; p n x (t )  оператор дифференцирования переменной x(t) по времени t . 6 Решение дифференциального уравнения определяет реакцию системы x(t) на внешнее воздействие u( t). При этом система переходит от одного установившегося значения x(0) к другому xпр( t). Процесс перехода из одного установившегося значения к другому называется переходным. Решение линейного дифференциального уравнения (1.3) может быть представлено в виде суммы принужденной (установившейся) xпр( t) и свободной xсв(t) составляющих: x(t) = xпр(t) + xсв(t). Принужденная составляющая определяет изменение координаты состояния x(t) при t →∞. Достаточно просто принужденная составляющая находится лишь для постоянных внешних воздействий u(t)= U . В этом случае для определения xпр(t) в дифференциальном уравнении (1.3) все производные достаточно положить равными нулю и найти xпр = k⋅U . Свободная составляющая xсв(t) находится как решение дифференциального уравнения (1.3), в котором внешнее воздействие u(t)=0. Свободная составляющая характеризует переходный процесс, который происходит в системе за счет запасов энергии, накопленной внутри системы инерционными элементами: индуктивностями, емкостями, массами. Свободная составляющая удовлетворяет решению однородного дифференциального уравнения an ⋅ p n xсв (t ) + ... + a1 ⋅ pxсв (t ) + xсв (t ) = 0 . (1.4) Линейное дифференциальное уравнение (1.4) имеет совокупность линейно независимых решений вида С ⋅exp(p ⋅ t ), которая называется фундаментальной системой решений. Если выражение С ⋅exp(p ⋅ t ) подставить в уравнение (1.4), то в результате подстановки получается уравнение вида a n ⋅ p n + ... + a1 ⋅ p + 1 = 0 , (1.5) которое называется характеристическим уравнением. Левая часть характеристического уравнения (1.5) называется также характеристическим полиномом. Решение уравнения (1.5) имеет n корней p i , где i =1,… n . Корни характеристического уравнения несут следующую информацию о переходном процессе: -если все корни действительные, то переходный процесс имеет апериодический (монотонный) характер; -если есть хотя бы пара комплексных сопряженных корней, то переходный процесс имеет колебательный характер с угловой частотой колебаний равной мнимой части комплексного корня; -если корни мнимые, то переходный процесс имеет незатухающий колебательный характер; -если все действительные корни и действительные части комплексных корней отрицательные, то динамический процесс называется устойчивым; -если положителен хотя бы один действительный корень или действительная часть комплексных корней, то переходный процесс с увеличением времени стремится к бесконечности и процесс называется неустойчивым; 7 -чем меньше действительные корни и действительные части комплексных корней, тем скорее затухают переходные процессы. 1.2. Численное решение дифференциального уравнения Технология программирования электротехнических комплексов и систем предполагает применение численного решения дифференциальных уравнений. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка px = f ( x, t ) , (1.6) где f(x,t)  известная функция. Требуется найти функцию x(t) численным методом. Ось времени разобьем на равные интервалы времени t0 =0, t1, …. Моменты времени могут вычисляться рекуррентно: tk = t k −1 + ∆t , где ∆t  шаг интегрирования (заданное значение); k = 0, 1, ….; t0 = 0. Численный метод решения предполагает рекуррентную оценку значений xk = x(tk). Значение x(0)= x(t0) должно быть задано из физических соображений решаемой задачи. Метод Эйлера. Простейшим численным методом решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера. Производную в формуле (1.6) заменим ее разностной аппроксимацией: dx xk − xk −1 px = ≈ ≈ f ( xk −1 , tk −1 ) . (1.7) dt ∆t Из данного уравнения находим xk ≈ xk −1 + ∆t ⋅ f ( xk −1 , tk −1 ) . (1.8) Полученное рекуррентное соотношение позволяет находить следующее значение xk, если известно предыдущее значение xk–1, начиная с заданного значения x0. Рекуррентная процедура решения дифференциальных уравнений, определенная формулой (1.8), называется методом Эйлера. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности. Он основан на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера. Недостатком данного метода является низкая точность. Модифицированный метод Эйлера. Для повышения точности решения дифференциальных уравнений может быть использована процедура с приближенной оценкой значения xk и последующей его коррекцией: xɶ k ≈ xk −1 + ∆t ⋅ f ( xk −1 , tk −1 ) ; (1.9) f ( xɶk , tk ) + f ( xk −1 , tk −1 ) xk ≈ xk −1 + ∆t ⋅ . 2 Метод Адамса — Башфорта. Для повышения точности решения дифференциальных уравнений может быть использована процедура: 1 3  xk ≈ xk −1 + ∆t ⋅  f ( xk −1 , tk −1 ) − f ( xk −2 , tk −2 )  , (1.10) 2 2  которая использует два предыдущих значения xk–1 и xk–2. 8 1.2.1. Передаточная функция. Преобразование Лапласа Прямое преобразование Лапласа. При математическом анализе динамических процессов оказывается удобным использование вместо входных сигналов u(t) и выходных сигналов x(t) их изображения по Лапласу: ∞ U ( p ) = Λ{u (t )} = ∫ u (t ) ⋅ e− p⋅t dt ; ∞ X ( p ) = Λ{x(t )} = ∫ x(t ) ⋅ e− p⋅t dt , где Λ{x(t)}, Λ{u(t)}– оператор прямого преобразования Лапласа; p=σ +j·ω — комплексная переменная; j = −1 — мнимая единица. Обратное преобразование Лапласа (интеграл Бромвича) для изображений находится по формуле σ+ j⋅∞ −1 x (t ) = Λ { X ( p )} = ∫ σ− j⋅∞ –1 –1 σ+ j⋅∞ p⋅t −1 X ( p ) ⋅e dp ; u (t ) = Λ {U ( p )} = ∫ U ( p) ⋅e p⋅t dp , σ− j⋅∞ где Λ {x(t)}, Λ {u(t)} – оператор обратного преобразования Лапласа. Для преобразования Лапласа справедливы следующие тождества Λ{a1 ⋅x 1 (t)+ a2 ⋅x 2 (t)}= a1 ⋅Х1 (р)+ a2 ⋅Х2 (р); t d X ( p) Λ{ x(t ) } = Λ{px(t)} = p⋅Х(р) – x(0); Λ{ ∫ x(t )dt } = . dt p Передаточная функция  отношение изображений по Лапласу выходного и входного сигналов. Изображение выходного сигнала Х(р) и входного сигнала U(р) связаны между собой передаточной функцией W(p): X ( p) = W ( p) ⋅ U ( p) . Если входной u(t) и выходной x(t) сигналы связаны между собой линейным дифференциальным уравнением (1.3), то передаточная функция имеет вид рациональной дроби: X ( p) B ( p) b ⋅ p m + ... + b1 ⋅ p + 1 , W ( p) = =k⋅ m =k⋅ m n (1.11) U ( p) An ( p ) an ⋅ p + ... + a1 ⋅ p + 1 где k  статический коэффициент передачи; n>т; Bm(p) = bm ⋅pm+… +b1 ⋅p+1; An (p)=an ⋅pn +…+a1 ⋅p+1  характеристические полиномы. Связь входного и выходного сигналов принято графически изображать в виде динамического звена (Рис.1.2). Динамическое звено называется линейным, если входной и выходной сигналы связаны между собой линейным дифференциальным уравнением. Применение изображения сигналов позволяет преобразовать дифференциальные уравнения в алгебраическую форму и тем самым облегчить их анализ. 1.2.2. Типовые звенья структурных схем и их программирование Графическое изображение динамического звена приведено на Рис.1.2. Математические модели сложных динамических систем образуются путем 9 соединения n динамических звеньев, образующих графическую структуру, называемую далее структурной схемой. X ( p) U ( p) W ( p) Рис.1.2. Графическое изображение динамического звена При исследовании динамических свойств звена используются различные тестовые сигналы. В качестве тестового воздействия наиболее распространен сигнал включения a ⋅1(t), где 1(t)  единичная функция (функция Хевисайда). При теоретическом исследовании вместо сигнала включения удобнее использовать в качестве тестового единичную функцию 1(t). Воздействие единичного сигнала 1(t) на динамическое звено порождает переходный процесс переменной состояния x(t). Зависимость x(t) называется переходной функцией (характеристикой). Начальные значения переходной функции x(t) обычно полагаются равными нулю. Переходная характеристика  реакция звена или динамической системы, образованной из нескольких звеньев на единичный сигнал. При построении структурных схем обычно используются стандартные звенья, динамическое поведение которых хорошо изучено. Пропорциональное звено является простейшим. Его передаточная функция имеет вид W ( p) = c . Параметр с называют коэффициентом передачи в случае, когда размерности входного и выходного сигналов не совпадают. Если размерности входного и выходного сигналов совпадают, то параметр с называют коэффициентом усиления. Данное звено мгновенно передает входной сигнал на выход. Переходной характеристикой x(t) данного звена является сигнал включения с ⋅ 1(t). Примерами пропорционального звена могут служить механический редуктор, безинерционный усилитель, различные датчики и другие элементы. Программирование пропорционального звена может быть реализовано с использованием следующей вычислительной процедуры: xk = c ⋅ u k , (1.12) где xk — выходная переменная интегрального звена; uk — входная переменная. Дифференциальное звено производит дифференцирование входного сигнала и имеет передаточную функцию W ( p) = T ⋅ p , где T — параметр, имеющий, как правило, размерность времени. Переходной характеристикой x(t) данного звена является импульсная функция — T⋅δ (t) = T ⋅p1(t). Очевидно, что реакцией данного звена на линейно нарастающий во времени сигнал u(t)= t/T0 будет константа x(t)=T/T0 . Если на вход звена воздействует высокочастотная помеха A ⋅sin( ω⋅ t), то на выходе дифференциального звена будет сигнал A ⋅T ⋅ω⋅cos( ω⋅t). Так как 10 частота ω велика, то амплитуда выходного сигнала A⋅ T ⋅ω будет также большой. Отсюда следует, что дифференциальное звено усиливает высокочастотные помехи и поэтому имеет низкую помехоустойчивость. Программирование дифференциального звена может быть реализовано с использованием следующей вычислительной процедуры: T xk = ⋅ (uk − uk −1 ), (1.13) ∆t где xk — выходная переменная дифференциального звена; uk — входная переменная; ∆t  шаг интегрирования (заданное значение). Интегральное звено производит интегрирование входного сигнала и имеет передаточную функцию W ( p) = 1 / (T ⋅ p) , где T — параметр, имеющий, как правило, размерность времени. Переходной характеристикой данного звена является линейно нарастающий во времени сигнал x(t) = t/T. Если на вход звена воздействует высокочастотная помеха A⋅cos(ω⋅t), то на выходе интегрального звена будет сигнал A/(T⋅ω ) ⋅sin( ω⋅t). Так как частота ω велика, то амплитуда выходного сигнала A/(T⋅ω ) будет небольшой. Отсюда следует, что интегральное звено фильтрует высокочастотные помехи. Программирование интегрального звена может быть реализовано с использованием следующей вычислительной процедуры: ∆t xk = xk −1 + ⋅ uk , (1.14) T где xk — выходная переменная интегрального звена; uk — входная переменная; ∆t  шаг интегрирования (заданное значение). Апериодическое звено первого порядка характеризует передачу сигнала через инерционный элемент с потерей энергии. Инерционность может быть магнитной, электрической или механической. Стандартная форма представления передаточной функции данного звена имеет вид W ( p) = c / (T ⋅ p + 1) , где с  статический коэффициент передачи; T  параметр, имеющий размерность времени и называемый постоянной времени. Передаточная функция звена имеет один действительный корень p1= –1/T. Переходной характеристикой данного звена является экспоненциально нарастающий во времени сигнал x(t) = с ⋅ [1–exp(–t/T)]. График переходной функции апериодического звена первого порядка представлен на Рис. 1.3. Если принять погрешность установления переходного процесса равной 5%, то длительность переходного процесса будет равной примерно 3⋅T. При малых значениях t переходная функция нарастает линейно x(t) = с ⋅ t/T. Программирование апериодического звена может быть реализовано с использованием следующей вычислительной процедуры: 11 ∆t ⋅ ( c ⋅ uk − xk −1 ) , (1.15) T где xk — выходная переменная интегрального звена; uk — входная переменная; ∆t  шаг интегрирования (заданное значение). Звено второго порядка характеризует передачу сигнала через два инерционных элемента с потерей энергии и имеет стандартную форму записи передаточной функции: c W ( p) = 2 2 , (1.16) T ⋅ p + d ⋅T ⋅ p +1 где с — статический коэффициент передачи; T — параметр, имеющий размерность времени и называемый среднегеометрической постоянной времени; d — безразмерный коэффициент, называемый параметром затухания. Параметр T характеризует быстродействие переходных процессов. Он не влияет на форму переходной функции и может рассматриваться как некоторый масштаб времени. Параметр d характеризует форму переходной функции. xk = xk −1 + 1,0 x(t)/с 0,5 t/T 0 1 2 3 4 5 6 Рис. 1.3. График переходной функции апериодического звена первого порядка Характеристическое уравнение передаточной функции звена второго порядка T 2 ⋅ p2 + d ⋅ T ⋅ p + 1 = 0 имеет два корня 1 1 p1 = ⋅ − d / 2 + d 2 / 4 − 1 ; p2 = ⋅ − d / 2 − d 2 / 4 − 1 . T T При d ≥2 корни характеристического уравнения p1 и p2 действительные и отрицательные. Передаточная функция может быть записана в следующем виде c W ( p) = , (1.17) (T1 ⋅ p + 1) ⋅ (T2 ⋅ p + 1) где T1 = −1 / p1 ; T2 = −1 / p2 . Звено, имеющее передаточную функцию вида (1.17), называется апериодическим звеном второго порядка. Переходная характеристика данного звена записывается в следующем виде:   p2 p1 x(t ) = c ⋅ 1 + ⋅ exp( p1 ⋅ t ) − ⋅ exp( p2 ⋅ t )  . p1 − p2 p1 − p2   ( ) ( ) 12 Апериодическое звено второго порядка может быть аппроксимировано звеном первого порядка c c W ( p) = ≈ . (T1 ⋅ p + 1) ⋅ (T2 ⋅ p + 1) (T1 + T2 ) ⋅ p + 1 Звено второго порядка при 00) увеличивает показатель затухания и увеличивает запас устойчивости системы; -положительная обратная связь (с<0) уменьшает показатель затухания и уменьшает запас устойчивости системы. Исследуем влияние линейной комбинации гибких обратных связей (n– 1)-го порядка W p = cn−1 ⋅ p n−1 + ... + c1 ⋅ p + c0 на динамические свойства объекта, представленного динамическим звеном nго порядка: k0 W0 = . n an ⋅ p + ... + a1 ⋅ p + 1 Передаточная функция замкнутой системы в данном случае будет иметь следующий вид W0 k , W= = 1 + W0 ⋅ W p (T ⋅ p ) n + d n −1 ⋅ (T ⋅ p ) n −1 + ... + d1 ⋅ T ⋅ p + 1 1/ n  an  k0 al + k0 ⋅ cl ; T = ; l=1,2,…,n–1. где k =  ; dl = l 1 + k0 ⋅ c0 1 + k ⋅ c (1 + k ⋅ c ) ⋅ T 0   Из данного выражения следует, что совокупность гибких обратных связей разного порядка и пропорционального звена позволяет сформировать передаточную функцию системы с заданным характеристическим уравнением, а следовательно, определить заданную переходную функцию. Если значения T, d1,…, dn–1, заданы, то параметры звена обратной связи определяются следующими соотношениями: c0 = ( an / T n − 1) / k0 ; cl = [ d l ⋅ T l ⋅ (1 + k0 ⋅ c0 ) − al ] / k0 , где l=1,2,…,n–1. Таким образом, метод параллельной коррекции позволяет подбором параметров звена гибкой обратной связи c0,…, cn–1 добиться заданных значе- 20 ний параметров характеристического полинома T, d1,…, dn–1 передаточной функции замкнутой системы. Недостатком этого метода является высокая чувствительность дифференцирующих звеньев к высокочастотным помехам. Поэтому метод параллельной коррекции с гибкими обратными связями применяется редко. 1.3.2. Метод последовательной коррекции Метод последовательной коррекции состоит во включении регулятора последовательно с объектом управления (см. Рис. 1.10). В качестве последовательных регуляторов наибольшее распространение получили простейшие звенья: -пропорциональное: Wp=kp; -интегральное: Wp=1/(T⋅ р); -дифференциальное: Wp=T⋅ p; -апериодическое первого порядка: Wp=1/(T⋅ p+1). Кроме того, часто используются их комбинации: -пророционально-интегральное: Wp= kp +1/(T⋅ p); -пророционально-дифференциальное: Wp= kp +T⋅ p; -пророционально-интегрально-дифференциальное Wp=kp+1/(T1⋅ p)+T2⋅ p и другие. g u Wр x W0 v koc Рис. 1.10. Структурная схема системы с последовательной коррекцией В данном параграфе рассматривается выбор структуры последовательных регуляторов, оценка их параметров, а также их влияние на статическую ошибку замкнутой системы. Структурная схема системы с последовательным корректирующим динамику звеном приведена на Рис. 1.10. Передаточная функция системы с последовательным регулятором будет иметь вид W0 ⋅ W p W= . 1 + koc ⋅ W0 ⋅ W p Если положить, что передаточная функция объекта управления известна и потребовать равенства передаточной функции системы и желаемой передаточной функции W=Wж, то передаточная функция корректирующего звена (регулятора) Wж Wp = . (1.28) W0 ⋅ (1 − koc ⋅ Wж ) Примем статический коэффициент передачи эталонной передаточной функции k=1/koc. Тогда эталонная передаточная функция (1.22) примет следующий вид: 21 1 / koc , Cn ( p ) где Cn(p) – желаемый характеристический полином. После подстановки данного выражения в формулу (1.28) имеем следующее выражение передаточной функции корректирующего звена 1 / koc Wp = . (1.29) W0 ⋅ [Cn ( p ) − 1] Если положить, что желаемая передаточная функция имеет вид 1 / koc , Wж ( p ) = (1.30) 2 ⋅ Tµ 2 ⋅ p 2 + 2 ⋅ Tµ ⋅ p + 1 то формула передаточной функции корректирующего звена примет следующий вид 1 / koc . Wp = (1.31) W0 ⋅ 2 ⋅ Tµ ⋅ p ⋅ (Tµ ⋅ p + 1) При выборе регулятора полагается, что он должен обеспечивать заданное качество динамических процессов и вместе с тем иметь максимально простую структуру, быть помехоустойчивым и легко технически реализуемым, а также обеспечивать малую статическую ошибку. Контур управления с регуляторами (1.29) или (1.31) называется настроенным на модульный или технический оптимум. При этом контур управления будет обладать желаемым (эталонным) динамическим поведением. На структуру регулятора существенное влияние оказывает выбор желаемой передаточной функции. Рассмотрим проблемы, связанные с выбором последовательного корректирующего звена (регулятора), на примерах объектов, имеющих простые передаточные функции. Пример 1а. Положим, что передаточная функция объекта есть апериодическое звено первого порядка k0 W0 = . (1.32) T0 ⋅ p + 1 В качестве желаемой передаточной функции выберем апериодическое звено первого порядка (n=1) 1 / kос Wж ( p ) = , где C1(p)=T⋅p+1. (1.33) C1 ( p ) В соответствии с формулой (1.29), регулятор имеет передаточную функцию 1 / koc T0 ⋅ p + 1 T0 1 1 , Wp = = = + = kp + W0 ⋅ [Cn ( p ) − 1] k0 ⋅ koc ⋅ T ⋅ p k0 ⋅ koc ⋅ T k0 ⋅ koc ⋅ T ⋅ p Tp ⋅ p Wж = где kp = T0/(k0⋅koc⋅T); Tp = k0⋅koc⋅T. Данный регулятор  сумма передаточных функций пропорционального и интегрального звеньев и называется пропорционально-интегральным звеном. Он увеличивает быстродействие контура 22 управления в T0/T раз. Контур управления апериодическим звеном с пропорционально-интегральным регулятором приведен на Рис. 1.11. Постоянная времени T теоретически может быть выбрана сколь угодно малой. Однако на практике ее величина ограничивается, так как: 1) снижение постоянной времени ниже некоторого допустимого предела ведет к снижению помехозащищенности системы; 2) для получения большого быстродействия требуется форсированный сигнал большой мощности на входе инерционного звена. регулятор u kp + 1 Tp ⋅ p объект y k0 T0 ⋅ p + 1 x kос Рис. 1.11. Контур управления апериодическим звеном с пропорционально-интегральным регулятором Программирование регулятора системы управления, представленного на Рис. 1.11, может быть реализовано с использованием следующей вычислительной процедуры: u − koc ⋅ xk −1 ; z k = z k −1 + ∆t ⋅ k Tp (1.34) yk = k p ⋅ ( uk − koc ⋅ xk −1 ) + zk , где yk — выходная переменная регулятора; xk — выходная переменная контура управления; uk — задающее воздействие; ∆t  шаг интегрирования (заданное значение). Симуляция работы системы управления, представленной на Рис. 1.11, может быть реализована с использованием следующей вычислительной процедуры: u − koc ⋅ xk −1 ; z k = z k −1 + ∆t ⋅ k Tp yk = k p ⋅ ( uk − koc ⋅ xk −1 ) + zk ; (1.35) ∆t ⋅ (k0 ⋅ yk − xk −1 ) . T0 Пример 1б. Положим, что передаточная функция объекта такая же, как и в примере 1a и определяется выражением (1.32). Если желаемая передаточная функция имеет вид (1.30), то в соответствии с формулой (1.31) передаточная функция регулятора 1 / koc T0 ⋅ p + 1 . Wp = = W0 ⋅ 2 ⋅ Tµ ⋅ p ⋅ (Tµ ⋅ p + 1) koc ⋅ k0 ⋅ 2 ⋅ Tµ ⋅ p ⋅ (Tµ ⋅ p + 1) xk = xk −1 + 23 а) u регулятор 1 y Tp ⋅ p 1,0 объект k0 T0 ⋅ p + 1 x x(t) б) 2 0,5 1 kос 5 10 t/Tµ Рис. 1.12. Иллюстрация к примеру 1б: а) контур управления с интегральным регулятором; б) переходные функции, порождаемые передаточными функциями: 1  объекта; 2  замкнутой системы Структура данного регулятора для объекта, представленного простейшим звеном с апериодической передаточной функцией первого порядка, достаточно сложна. Для ее упрощения положим T µ=T0. Тогда 1 1 . Wp = = (1.36) koc ⋅ k0 ⋅ 2 ⋅ T0 ⋅ p Tp ⋅ p В результате получим интегральный регулятор. Вид переходных функций, порождаемых передаточными функциями объекта (1.32) и замкнутой системы с регулятором (1.36), приведен на Рис. 1.12. Программирование регулятора системы управления, представленного на Рис. 1.12, а, может быть реализовано с использованием следующей вычислительной процедуры: ∆t yk = yk −1 + ⋅ (uk − koc ⋅ xk −1 ) , (1.37) Tp где yk — выходная переменная регулятора; xk — выходная переменная контура управления; uk — задающее воздействие; ∆t  шаг интегрирования (заданное значение). Симуляция работы системы управления, представленной на Рис. 1.12, а, может быть реализована с использованием следующей вычислительной процедуры: ∆t yk = yk −1 + ⋅ (uk − koc ⋅ xk −1 ) ; Tp (1.38) ∆t xk = xk −1 + ⋅ (k0 ⋅ yk − xk −1 ) . T0 Сравнивая два варианта выбора желаемых передаточных функций примера 1, отметим, что: выбор желаемой передаточной функции с полиномом второго порядка C 2 (p) приводит к более сложному регулятору, а его упрощение ведет к невозможности влиять на быстродействие системы путем выбора постоянной времени T µ; 24 выбор желаемой передаточной функции с полиномом первого порядка C 1 (p) устраняет эти недостатки и позволяет выбрать постоянную времени достаточно малой. Однако, как правило, реальный объект регулирования имеет более сложную динамическую структуру, а апериодическое звено первого порядка является лишь аппроксимацией передаточной функции другого вида. В этом случае выбор малого значения параметра Tµ может привести к потере устойчивости контура управления. Кроме того, возникают проблемы устойчивости динамических процессов при вариации параметров. Поэтому окончательный выбор вида регулятора возможен лишь с учетом всех факторов. Пример 2а. Положим, что передаточная функция объекта содержит два звена, соединенные последовательно: апериодическое звено первого порядка и интегральное звено k0 W0 = . (1.39) T1 ⋅ p ⋅ (T2 ⋅ p + 1) Если желаемая передаточная функция — апериодическое звено первого порядка (1.33), то в соответствии с формулой (1.29), регулятор имеет передаточную функцию T ⋅ (T ⋅ p + 1) T1 T ⋅T ⋅ p Wp = 1 2 = + 1 2 = k p + Tp ⋅ p , k0 ⋅ koc ⋅ T k0 ⋅ koc ⋅ T k0 ⋅ koc ⋅ T где k p = T1 /(k о ⋅k ос ⋅T)  пропорциональный регулятор; Tp = T1 ⋅T2 /(k о ⋅k ос ⋅T)  постоянная времени дифференциального регулятора. Недостатком данного регулятора является наличие дифференциальной составляющей, которая имеет низкую помехозащищенность и ее наличие в регуляторе нежелательно. Однако применение данного регулятора позволяет получить высокое быстродействие контура управления. объект регулятор u k p + Tp ⋅ p y k0 1 z T1 ⋅ p T2 ⋅ p + 1 x kос Рис. 1.13. Структурная схема к примеру 2a Программирование регулятора системы управления, представленного на Рис. 1.13, может быть реализовано с использованием следующей вычислительной процедуры: T (1.40) yk = k p ⋅ uk + p ⋅ ( uk − uk −1 − koc ⋅ ( xk −1 − xk −2 ) ) , ∆t где yk — выходная переменная регулятора; xk — выходная переменная контура управления; uk — задающее воздействие; ∆t  шаг интегрирования (заданное значение). 25 Симуляция работы системы управления, представленной на Рис. 1.13, может быть реализована с использованием следующей вычислительной процедуры: T yk = k p ⋅ uk + p ⋅ ( uk − uk −1 − koc ⋅ ( xk −1 − xk −2 ) ) ; ∆t ∆t zk = zk −1 + ⋅ yk ; (1.41) T1 ∆t xk = xk −1 + ⋅ (k0 ⋅ zk − xk −1 ) . T2 Пример 2б. Положим, что передаточная функция объекта такая же, как и в примере 2a и определяется выражением (1.39). Если желаемая передаточная функция имеет вид (1.30), то в соответствии с формулой (1.31), регулятор имеет передаточную функцию следующего вида T1 ⋅ (T2 ⋅ p + 1) . Wp = k0 ⋅ koc ⋅ 2 ⋅ Tµ ⋅ (Tµ ⋅ p + 1) Структура данного регулятора достаточно сложна и также содержит дифференцирующую составляющую, однако ее можно упростить, положив Tµ=T2: T1 Wp = = kp . k0 ⋅ koc ⋅ 2 ⋅ T2 Данный регулятор является пропорциональным звеном. Он не имеет дифференциальной составляющей. Таким образом, помехоустойчивость системы при выборе желаемой передаточной функции более высокого порядка возрастает. На Рис. 1.14 приведен контур управления с интегральным регулятором и переходные функции, порождаемые объектом управления, а также контуром управления. б) x(t) а) 1,0 регулятор объект 2 y 1 z u k0 x 0,5 kp T1 ⋅ p T2 ⋅ p + 1 1 kос 5 t/Tµ Рис. 1.14. Иллюстрация к примеру 2б: а) контур управления с интегральным регулятором; б) переходные функции, порождаемые передаточными функциями: 1  объекта; 2  замкнутой системы Программирование регулятора системы управления, представленного на Рис. 1.14, а, может быть реализовано с использованием следующей вычислительной процедуры: 26 yk = k p ⋅ ( uk − koc ⋅ xk −1 ) , (1.42) где yk — выходная переменная регулятора; xk — выходная переменная контура управления; uk — задающее воздействие; ∆t  шаг интегрирования (заданное значение). Симуляция работы системы управления, представленной на Рис. 1.14, а, может быть реализована с использованием следующей вычислительной процедуры: yk = k p ⋅ ( uk − koc ⋅ xk −1 ) ; zk = zk −1 + xk = xk −1 + ∆t ⋅ yk ; T1 (1.43) ∆t ⋅ (k0 ⋅ zk − xk −1 ) . T2 1.3.3. Астатические системы управления Система управления должна поддерживать заданный выходной сигнал. При нулевой статической ошибке входное воздействие g на интегральный регулятор связано с выходным сигналом соотношением: g = u − kос ⋅ x = 0 . Статическая ошибка в системе управления возникает от возмущающего воздействия f. Система управления называется астатической, если в установившемся режиме работы ошибка g = 0. Влияние интегрального регулятора на величину статической ошибки. Рассмотрим величину статической ошибки выходной координаты x замкнутой системы с интегральным регулятором (Рис. 1.15). f u g x W0 1/(T⋅p) koc Рис. 1.15. Структурная схема системы с интегральным регулятором Если g не равно нулю, то выходной сигнал регулятора, либо нарастает при положительном значении g, либо убывает при отрицательном значении g и в системе имеют место динамические процессы. Следовательно, в статическом режиме входное воздействие g на интегральный регулятор равно нулю: g=u–k oc·x=0. Отсюда находим, что x=u/k oc не зависит от возмущающего воздействия. Следовательно, статическая ошибка выходной координаты равна нулю. Очевидно, что этим же свойством будут обладать все регуляторы, имеющие в своем составе интегральное звено. Поэтому в структуре регулятора желательно иметь интегральную составляющую. 27 u kр Объект управления f k0 1 y T2 ⋅ p + 1 x T1 ⋅ p koc Рис. 1.16. Структурная схема системы управления с пропорциональным регулятором Применение двухконтурной системы управления для устранения статической ошибки. Пусть структурная схема объекта управления с возмущающим воздействием f имеет вид, изображенный на Рис. 1.16. Статическая ошибка выходной координаты в разомкнутой системе, возникающая от возмущающего воздействия, ∆x=f. Рассмотрим величину статической ошибки выходной координаты x замкнутой системы (Рис. 1.16). Последовательный регулятор контура управления выбран в соответствии с формулой (1.31), так чтобы передаточная функция замкнутой системы имела вид (1.30): T1 ⋅ (T2 ⋅ p + 1) Wp = = kp , k0 ⋅ koc ⋅ 2 ⋅ Tµ ⋅ (Tµ ⋅ p + 1) где Tµ=T2 ; k p =T1 /(2⋅T2 ⋅k о ⋅k ос ). Исследуем влияние пропорционального регулятора на статическую ошибку выходного сигнала, обусловленную возмущающим воздействием f . Из структурной схемы следует: (u–k oc⋅x)⋅k p ⋅k 0 = f. Отсюда находим выражение, связывающее выходное и возмущающее воздействия замкнутой системы u ⋅ k p ⋅ k0 − f x= . koc ⋅ k p ⋅ k0 Из данного выражения следует, что статическая ошибка системы f . ∆x = koc ⋅ k p ⋅ k0 Величина ошибки зависит от коэффициента передачи регулятора k p и уменьшается с его ростом. Однако увеличение от коэффициента передачи регулятора k p приводит к росту величины перерегулирования и снижению устойчивости системы. u 1 4 ⋅ T2 ⋅ p второй контур v kр koc y k0 z T2 ⋅ p + 1 f 1 T1 ⋅ p первый контур Рис. 1.17. Структурная схема двухконтурной системы x 28 Ошибка по возмущающему воздействию может быть устранена путем образования второго контура управления (Рис. 1.17). Объектом регулирования второго контура является первый контур, изображенный на Рис. 1.16. Аппроксимируем первый контур апериодическим звеном первого порядка 1 / koc 1 / koc , ≈ Wж1 = (1.44) 2 2 2 ⋅ Tµ1 ⋅ p + 2 ⋅ Tµ1 ⋅ p + 1 2 ⋅ Tµ1 ⋅ p + 1 где Tµ1 =T µ=T2 . Для данного звена подберем регулятор, обеспечивающий эталонный переходный процесс второго порядка. Эталонная передаточная функция второго контура 1 / koc . Wж 2 = 2 ⋅ Tµ 2 2 ⋅ p 2 + 2 ⋅ Tµ 2 ⋅ p + 1 Последовательный регулятор второго контура управления в соответствии с формулой (1.31) 2 ⋅ Tµ1 ⋅ p + 1 1/ koc 1 Wp = = = , Wж1 ⋅ 2 ⋅ Tµ 2 ⋅ p ⋅ (Tµ 2 ⋅ p + 1) 2 ⋅ Tµ 2 ⋅ p ⋅ (Tµ 2 ⋅ p + 1) Tp ⋅ p где Tp = 4⋅Tµ1 ; T µ2 = 2⋅Tµ1 . Данный регулятор является интегральным и, следовательно, обеспечивает нулевую статическую ошибку выходного сигнала, обусловленную возмущающим воздействием. Таким образом, применение второго контура управления по одной и той же переменной состояния позволяет обеспечить астатическое поведение системы управления. Программирование регулятора системы управления, представленного на Рис. 1.17, может быть реализовано с использованием следующей вычислительной процедуры: ∆t vk = vk −1 + ⋅ ( uk − koc ⋅ xk −1 ) ; 4 ⋅ T2 (1.45) yk = k p ⋅ ( vk − koc ⋅ xk −1 ) , где yk — выходная переменная регулятора; xk — выходная переменная контура управления; uk — задающее воздействие; ∆t  шаг интегрирования (заданное значение). Симуляция работы системы управления, представленной на Рис. 1.17, а, может быть реализована с использованием следующей вычислительной процедуры: ∆t vk = vk −1 + ⋅ ( uk − koc ⋅ xk −1 ) ; 4 ⋅ T2 yk = k p ⋅ ( vk − koc ⋅ xk −1 ) ; (1.46) zk = zk −1 + ∆t ⋅ (k0 ⋅ yk − zk −1 ) ; T2 29 ∆t ⋅ ( zk − f k ) , T1 где fk — заданное возмущающее воздействие. Пример 3. Положим, что передаточная функция объекта k0 W0 = , где T1 > T2 . (T1 ⋅ p + 1) ⋅ (T2 ⋅ p + 1) Если желаемая передаточная функция вида (1.30), то в соответствии с формулой (1.31), регулятор имеет передаточную функцию следующего вида xk = xk −1 + Wp = (T1 ⋅ p + 1) ⋅ (T2 ⋅ p + 1) . k0 ⋅ koc ⋅ 2 ⋅ Tµ ⋅ p ⋅ (Tµ ⋅ p + 1) Структура данного регулятора достаточно сложна, однако ее можно упростить, положив T µ=T2: (T1 ⋅ p + 1) T1 1 Wp = = + . k0 ⋅ koc ⋅ 2 ⋅ T2 ⋅ p k0 ⋅ koc ⋅ 2 ⋅ T2 k0 ⋅ koc ⋅ 2 ⋅ T2 ⋅ p Данный регулятор имеет простую структуру, так как является стандартным пропорционально-интегральным звеном. Так как T1>T2, то равенство T2=Tµ принято по соображениям обеспечения наибольшего быстродействия системы. Таким образом, для увеличения быстродействия системы управления значение желаемой постоянной времени T µ принимается равным наименьшей постоянной времени объекта управления. 1.3.4. Метод подчиненного управления Динамика объектов управления может описываться системой дифференциальных уравнений, имеющих высокий порядок. У такого объекта добиться эталонных переходных функций методами последовательной коррекции, путем введения обратной связи по одной координате, достаточно проблематично. В этом случае может использоваться метод подчиненного управления. Суть метода состоит в представлении объекта управления в виде совокупности из n последовательно соединенных динамических звеньев, которые рассматриваются как самостоятельные объекты управления (Рис. 1.18). Каждый их таких объектов имеет выходную, доступную для наблюдения координату xi, i=1,…,n. В подчиненной системе управления образуется n контуров управления, вложенных друг в друга, с последовательными регуляторами. объект управления u3 x1 x3 u2 u1 x y Wp2 Wp2 Wp1 W01 W02 2 W03 kос1 kос2 kос3 Рис. 1.18. Структура подчиненной системы управления 30 Для каждого контура подчиненной системы управления синтезируется последовательный регулятор, позволяющий получить желаемые динамические характеристики контура. Синтез регуляторов начинается с внутреннего контура. В результате синтеза регулятора первый контур управления будет иметь желаемую передаточную функцию вида: 1 / koc1 1 / koc1 ≈ . Wж1 = 2 2 2 ⋅ Tµ1 ⋅ p + 2 ⋅ Tµ1 ⋅ p + 1 2 ⋅ Tµ1 ⋅ p + 1 Объектом управления второго контура будет являться первый контур управления и вторая часть объекта управления с передаточной функцией W02. Регулятор второго контура управления 1 / koc2 koc1 / koc2 = , Wp2 = Wж1 ⋅ W02 ⋅ 2 ⋅ Tµ 2 ⋅ p ⋅ (Tµ 2 ⋅ p + 1) W02 ⋅ 4 ⋅ Tµ1 ⋅ p где Tµ2 = 2⋅Tµ1 — постоянная времени желаемой передаточной функции второго контура. Второй контур управления будет иметь желаемую передаточную функцию вида: 1 / koc2 1 / koc2 ≈ . Wж 2 = 2 2 2 ⋅ Tµ 2 ⋅ p + 2 ⋅ Tµ 2 ⋅ p + 1 4 ⋅ Tµ1 ⋅ p + 1 Аналогично настраиваются все последующие контуры управления. Заметим, что каждый следующий контур управления увеличивает постоянную времени предыдущего контура управления в два раза. Выводы по п. 1.3. При введении обратных связей меняются корни характеристического уравнения системы управления, определяющие характер протекания динамических процессов. Для синтеза системы управления с эталонными переходными характеристиками применяются методы последовательной и параллельной коррекции. В первом случае последовательно, а во втором — параллельно с объектом управления включаются динамические звенья — регуляторы. Путем подбора передаточных функций регуляторов можно так изменить корни характеристического полинома системы управления, что она будет обладать эталонными динамическими свойствами. Технический оптимум. Если синтез системы автоматического управления выполнен так, что перерегулирование переходной функции не превышает 5%, то считается, что система управления настроена на технический оптимум. При настройке контура управления на технический оптимум модули действительной и мнимой частей корней характеристического уравнения равны между собой. У объектов, динамика которых описываться системой дифференциальных уравнений, имеющих высокий порядок, для формирования желаемых динамических свойств может использоваться метод подчиненного управления. Суть метода состоит в образовании вложенных друг в друга контуров управления, каждый из которых должен обладать желаемыми динамическими свойствами. 31 1.4. Контрольные вопросы по части 1. 1. Линейные дифференциальные уравнения. 2. Электрические и механические накопители энергии. 3. Порядок дифференциального уравнения. 4. Переходный процесс, определение. 5. Характеристический полином, определение. 6. Характеристическое уравнение. 7. Корни характеристического уравнения. 8. Влияние корней характеристического уравнения на динамические процессы. 9. Численное решение дифференциального уравнения. 10. Методы численного решения. 11. Метод Эйлера: достоинства и недостатки. 12. Передаточная функция (определение). 13. Преобразование Лапласа. 14. Линейные динамические звенья (определение). 15. Переходная характеристика (определение) 16. Типовые звенья структурных схем. 17. Передаточные функции типовых звеньев. 18. Постоянная времени. 19. Переходные характеристики, порождаемые звеньями: пропорциональным, интегральным, апериодическим. 20. Переходные характеристики, порождаемые звеном второго порядка. 21. Эталонные переходные и передаточные функции. 22. Качество переходного процесса. 23. Соответствие эталонной переходной функции и эталонной передаточной функции. 24. Методы параллельной и последовательной коррекции динамических процессов. 25. Передаточная функция системы с параллельной и последовательной коррекцией. 26. Гибкая обратная связь. 27. Астатические системы управления. 28. Статическая ошибка. 29. Интегральный регулятор. 30. Двухконтурная система управления. 31. Метод подчиненного управления. Настройка контура на технический оптимум. 32. Численное моделирование. Точность численного моделирования. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Электронное учебное пособие по дисциплине «Технология программирования электротехнических комплексов и систем» разработано в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом по уров- 32 ню магистратуры направления подготовки «Электроэнергетика и электротехника». В электронном учебном пособии содержится теоретический материал для самостоятельного изучения дисциплины по всем разделам и темам, предусмотренным рабочей программой. Приведены контрольные вопросы по каждому разделу дисциплины. В результате изучения электронного учебного пособия студенты должны освоить компетенцию ПК-23 «Готов применять методы и средства автоматизированных систем управления технологическими процессами электроэнергетической и электротехнической промышленности», а также компетенцию ПК-25 «Способен разрабатывать планы, программы и методику проведения испытаний электротехнических и электроэнергетических устройств и систем». Результатом обучения по дисциплине должны стать знания математических основ, структурных схем систем управления электроприводом, алгоритмов управления и технологии программирования электротехнических комплексов и систем. Содержание данного электронного учебного пособия соответствует рабочей программе дисциплины и основано на материалах отечественных и зарубежных исследований, включая современные публикации. 33 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Самосейко В.Ф. Теоретические основы управления электроприводом: Учебное пособие. — СПб.: Элмор, 2007. — 464 с. 2. Белоусов И.В. Импульсная преобразовательная техника / И.В. Белоусов, Ф.А. Гельвер, В.Ф. Самосейко. — СПб.: Изд-во ГУМРФ им. адм. С.О. Макарова, 2018 — 152 с.