Статические характеристики звеньев

Лекция 10 3.3. Статические характеристики звеньев Представление системы в виде совокупности передаточных звеньев позволяет упростить решение задачи по исследованию установившихся и переходных процессов в них. Перечень передаточных звеньев, используемых в кибернетических системах ограничен, а их характеристики известны. Значение характеристик передаточных звеньев и структурной схемы системы позволяет изучить установившиеся и переходные процессы в ней. К числу таких характеристик передаточных звеньев относятся статические и динамические характеристики передачи. Под статической характеристикой звена с выходным сигналом x и входными сигналами (поддерживаемыми постоянными) понимается характеристика передачи в установившемся равновесном режиме, описываемая статическим передаточным уравнением: (3.1) в случае, если существует. Графическое изображение характеристик передачи осуществляется с помощью статической характеристики или семейства статических характеристик. Статическая характеристика передаточного звена, имеющего один входной и один выходной сигналы, представляет собой графическое изображение зависимости выходного сигнала от входного после затуха­ния переходных процессов. Изображение статических характеристик передачи передаточных звеньев с несколькими входными сигналами осуществляется с помощью семейства статических характеристик. (3.2) : , Поддерживаемые постоянными остальные входные сигналы записываются как параметры. На рис. 3.9 приведена в качестве примера статическая характеристика передаточного звена; реализованного в виде вентиля на гидроприводе, где u – ход клапана вентиля, а х – расход жидкости через него. Рис. 3.9 В кибернетической системе, где функционирует это звено , при отсутствии помех устанавливается или задается определенный статический режим, характеризуемый рабочей точкой А, которой соответствует определенное управляющее воздействии и определенный выходной сигнал . При исследовании кибернетических систем основной интерес представляет вопрос, как компенсируются отклонения от заданной рабочей точки, вызванные воздействием возмущений, и как протекает процесс перехода из прежней рабочей точки в новую. В связи с этим для удобства в проведении расчетов рабочую точку А переносят в начало коорди­нат и в качестве сигналов, рассматривают отклонения от рабочей точки x и u (рис. 3.10). Рис. 3.10 По виду статических характеристик звенья разделяют на линейные и нелинейные. Звено называется статическим линейным только тогда, когда его статическое передаточное уравнение является линейным; в противном случае оно называется статическим нелинейным. Рассмотренное в ка­честве примера звено, характеристика которого приведена на рис. 4.5 является нелинейным; причем нелинейность его существенная, так как в т.В терпит разрыв и уравнение звена даже приближенно не может быть аппроксимировано линейным. Деление звеньев на линейные и нелинейные исключительно важно. Для линейных звеньев справедлив принцип суперпозиции, т.е. ответ звена на входной сигнал, являющейся суммой двух компонент в отдельности, а также изменение сигнала на входе в k-раз приводит к изменению ответа на него в k-раз. В соответствии с чем статическое передаточное уравнение такого звена имеет вид: . (3.3) Таким образом, характеристика статического линейного звена с одним входным сигналом представляет собой прямую линию, а семейство характеристик статического линейного звена с несколькими входными сигналами представляет собой группу параллельных прямых (рис. 3.11). Рис. 3.11 Для нелинейного звена статическая характеристика имеет значительно более сложное выражение и в этом случае принцип суперпозиции неприменим. Однако, довольно часто звенья работают в зоне малых отклонений от рабочей точки и в этом случае нелинейная характеристика может быть лианеризована. Линеаризация даже если она не очень точна, дает возможность хотя бы получить качественное представление о поведении звена. Линеаризация может быть проведена графически или аналитически. Графически она осуществляется путем замены кривой линии прямой. В зависимости от ожидаемого отклонения от рабочей точки может быть использована касательная или секущая (рис. 3.12. а, б). а) б) Рис. 3.12 Аналитическая линеаризация осуществляется разложением в ряд Тейлора нелинейной характеристики в окрестности рабочей точки. Как отмечалось рабочую точку располагают обычно в начале координат и тогда, в случае, если допускает разложение в ряд, т.е. является дифференцируемой, имеем: . Полагая отклонения от рабочей точки 0 достаточно малым, будем иметь: . (3.4) 3.4. Понятие об устойчивости установившихся режимов. В управляемых системах чрезвычайно важным является понятие об устойчивости заданного режима, которым может быть, например состояние равновесия или режим периодических движений. Управляемая система всегда родвергается действию внешних возмущений. Эти возмущения стремятся вывести систему из заданного режима и будут делать это в соответствии с уровнями системы. Если система устойчива, то она противовесит возмущениям и, будучи выведенной из заданного режима, с определенной точностью к нему возвращается. Если система неустойчива, то она не возвращается в заданный режим, из которого ее вывели, а или удаляется от него, или совершает вокруг него колебания с недопустимо большой амплитудой. Иллюстрация, поясняющая изложенное с помощью механической аналогии, приведена на рис. 3.13. Рис. 3.13. В первом случае (рис. 3.13.а) шар, лежащий на вогнутой поверхности при всяком отклонении его от состояния равновесия будет стремится в него вернуться под действием силы F. Это положение равновесия является устойчивым. Во втором случае (рис.3.13.б.) шар, лежащий на выпуклой поверхности при любом отклонении его от состояния равновесия будет стремится еще дальше уйти от этого состояния под действием силы F. Это положение равновесия является неустойчивым. Чтобы сформулировать условия устойчивости заданного режима, введем в расмотрение понятия «невозмущенного состояния» и «возмущенного состояния». Применительно к данному случаю ими будут соответственно являтся состояние А0 и состояние А2 (при этом внешнее возмущение, приведшее систему в это состояние, затем прекратило свое действие). Если из возмущенного состояния (т.А2) шар будет двигаться по направлению к невомущенному состоянию (т.А0), то рассматриваемое состояние равновесия (т.А0) будет устойчивым. Но поверхность, по которой движется шар, не является идеально гладкой, а потому вследствие возникающей силы трения шар, возвращаясь к состоянию равновесия, не дойдет до него и остановится в его окрестности – т.А1 на рис 3.13.а. В этом случае нет основания считать состояние равновесия, а вместе с тем и всю систему («шар – поверхность») неустойчивой, хотя шар и не вернулся в исходное состояние. Таким образом, условия устойчивости могут быть сведены к выполнению следующего требования: система будет устойчивой, если от возмущенного состояния она перейдет в некоторую конечную область, являющуюся окресностью невозмущенного состояния. На рис. 3.13.а. состояние равновесия устойчиво при любых возмущениях, а на рис. 3.13.в. – устойчиво лишь до тех пор, пока возмущение не вывели систему за границу, определяемую т.В. В этом случае состояние равновесия называется или «устойчивым в малом» (если величина допустимых отклонений не определена, а лишь известно, что такие отклонения возможны), или «устойчивом в большом», (если область допустимых отклонений конечна и известна). Помимо рассмотренных, простых, но наиболее часто возникающих случаев устойчивого и неустойчивого состояний равновесия, возможны и более сложные случаи – полуустойчивого (рис.3.13.г) и безразличного (рис.3.13.д) состояний равновесия. Кроме устойчивости состояний необходимо исследовать и устойчивость заданных режимов движения. Пусть на систему действует управляющее воздействие – вектор (t) , в результате чего ее фазовая траектория имеет вполне определенный вид - (t), который полностью определяется уравнениями движения системы (рис.3.14). Рис. 3.14. Рассматриваемое заданное движение назовем невозмущенным ((t)). Но если на систему кроме известного управляющего действуют и другие – (возмущающие воздействия), которые затем действовать перестают, то система совершает новое – возмущенное движение ( (t)). Заданное невозмущенное движение называется устойчивым в том случае, если в результате воздействия возмущений, возникшее возмущенное движение с течением времени войдет в некоторую область, определяемую условием │ (t) - (t) │ < ε 3.5. т.е. в так называемую ε окресность невозмущенного движения рис.3.14.