Справочник от Автор24
Физика

Конспект лекции
«Стационарная теория возмущений»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по физике / Стационарная теория возмущений

Выбери формат для чтения

pdf

Конспект лекции по дисциплине «Стационарная теория возмущений», pdf

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Стационарная теория возмущений». pdf

txt

Конспект лекции по дисциплине «Стационарная теория возмущений», текстовый формат

Глава I Стационарная теория возмущений § Теория возмущений в отсутствии вырождения Точные решения стационарного уравнения Шредингера удается получить в очень ограниченном числе случаев (движение частиц в бесконечно глубокой потенциальной яме конечной ширины, гармонический осциллятор, атом водорода и ещѐ пара – тройка других систем). В тоже время существует весьма обширный класс случаев, для которых задача о нахождении квантовых уровней рассматриваемой системы может быть приближенно сведена к задаче, относящейся к более простой системе. Для последней предполагается известным и возможные еѐ состояния и энергетический спектр. Такая возможность представляется тогда, когда оператор Гамильтона ̂ рассматриваемой системы мало отличается от оператора ̂ более простой системы. Полагаем, что оператор Гамильтона ̂ можно представить в виде суммы двух эрмитовых операторов. ̂ ̂ ̂ (1) где ̂ – оператор возмущения. Здесь предполагается, что собственные функции и собственные значения «невозмущѐнного» оператора ̂ известны, так что для них выполняется соотношение : ̂ (2) Считается также, что оба слагаемых в (1) не зависят от времени, а спектр в уравнении (2) является не вырожденным. Стационарное уравнение Шредингера для рассматриваемой системы имеет вид: ̂ (3) Для нахождения решений уравнения (3), целесообразно перейти в энергетическое представление и разложить функцию в ряд по собственным функциям { } оператор ̂ ∑ Учитывая, что совокупность функций { } образует полную ортонормированную систему, то такое разложение будет единственным. Подставляя разложение (4) в уравнение (3) и умножая полученное уравнение справа на с последующим его интегрированием, получим ∑ Чтобы явно выразить степень малости оператора ̂, положим ̂ (6) где - малый параметр, . Соответственно, матричный элемент оператора возмущения представится в виде: ∫ ̂ ̂ ∫ (7) Тогда уравнение (5) запишется следующим образом ∑ Данная система линейных однородных алгебраических уравнений является в общем случае бесконечной. Для нахождения коэффициентов и энергии E разложим их в ряды теории возмущений. с (9) (10) Подставляя разложения (9) и (10) в уравнение (8), находим с с ∑ Перегруппировав члены с одинаковыми степенями , преобразуем левую часть уравнения (11) так, чтобы она представляла ряд по возрастающим степеням . Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях нулю, получим систему уравнений. : ∑ ∑ ………………………………………………………………………………….. Решим первое уравнение системы (12), которое представляет нулевое приближение m=1,2,…k,… (13) Пусть нас интересует, как меняются уровень и собственная функция ̂ действием возмущения . Тогда соответственно, получим под (14) т.е. все =0, кроме =1. Полученные соотношения будем считать решением уравнения (8) в нулевом приближении. Теперь исследуем второе уравнение системы (12). Вначале рассмотрим для него случай m=k, тогда его решением будет (15) В случае m второе уравнение системы сведѐтся к следующему соотношению: (16) Откуда находим, что (17) Решая третье уравнение системы (12) можно определить второе приближение. В случае m третье уравнение сведется (18) Откуда получим ∑ Из найденного выражения следует, что поправка к энергии второго порядка к выражению энергии основного состояния всегда отрицательна. В случае m найдем ∑ Применимость выше приведѐнного метода теории возмущений можно оправдать только в том случае, если ряд последовательных приближений сходится. Необходимым условием сходимости этого ряда является малость каждой последующей поправки по сравнению с предыдущей. Откуда следует, , для любых m и k, m § 2 Теория возмущения при наличии вырождения. В квантовых системах в большинстве случаев в отсутствие возмущения имеет место вырождение. Предположим, что в невозмущенной системе собственному значению , принадлежит не одна, а сразу f собственных функций: .Здесь f - кратность вырождения. Мы знаем, что выбор этих функций неоднозначен: если вместо этой совокупности функций, взять другую совокупность f – независимых функций являющиеся линейными комбинациями первых f – функций ∑ то функции определяемые по формуле (21), будут также решениями стационарного уравнения Шредингера. , (22) принадлежащими собственному значению . Очевидно, такие совокупности функций можно подобрать столько угодно раз и без специального исследования невозможно выявить, какую из этих совокупностей нужно взять, чтобы получить правильное нулевое приближение. Для решения данной проблемы необходимо также представить функцию х в виде разложения. х ∑с Здесь уже вместо одного индекса суммирования (n) используется два (n, ). Проделывая те же вычисления, что и в предыдущем разделе, получим  с с n ,  m ,  (24) где ̂ ∫ (25) Задачу будем решать в первом приближении для энергетических уровней и в нулевом приближении для коэффициентов с .При этом будем искать квантовый уровень возмущенной системы близкий к . В нулевом приближении уравнение (24) примет вид с Если , то из (26) следует (26) . Однако при этом не одно , а все коэффициенты, соответствующие собственному значению , а именно для Таким образом, отлична от нуля целая группа коэффициентов (всего f штук). Откуда получаем = 1,2,…,f , ( (27) В этом приближении из уравнений (24) останутся только те, которые содержат не равные нулю коэффициенты . ∑ т.к. ограничиваемся приближением k-му уровню положив ∫ = 1,2, … f , то мы можем сократить индекс , ̂ (29) (30) Уравнение (29) представляет собой систему однородных алгебраических уравнений: оно имеет нетривиальное решение, только в том случае, если определитель этой системы, составленный из коэффициентов при неизвестных | , равен нулю, т.е. |=0 (31) Полученное уравнение представляет собой алгебраическое уравнение степени f относительно неизвестной . Его называют секулярным или вековым уравнением (впервые такое уравнение возникло в астрономии). Решая уравнение (31) можно получить f корней. (32) В силу малости матричных элементов эти корни будут близки между собой. Таким образом при наложении возмущений f – кратно вырожденный уровень распадается на f близко расположенных уровней: если часть корней (32) совпадает, то вырождение снимается частично. Отсутствие комплексных корней является следствием эрмитовости оператора возмущения ̂. Подставляя корни в систему (28), находим коэффициенты (где = 1,2, … f) , совокупность которых представляет волновую функцию х в энергетическом представлении. В координатном представлении полученное решение запишется в виде ∑ Таким образом, каждому уровню принадлежит теперь своя функция , которая и является функцией нулевого приближения для возмущѐнной системы, описываемой оператором ̂ .

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Физика

Нестационарная теория возмущений. Теория квантовых переходов

Глава II. Нестационарная теория возмущений. Теория квантовых переходов Лекция № 2 § 1. Вероятность перехода из одного состояния в другое Пусть на сист...

Механика

Основы механики подвижного состава

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА Часть 1 ОМСК 2013 Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Ом...

Автор лекции

Галиев И.И.

Авторы

Эконометрика

Эконометрика

ЭКОНОМЕТРИКА Конспект лекций 2011 Тема 1. Предмет, метод и задачи эконометрики. Вопросы 1. Определение и основные черты предмета эконометрики 2. Задач...

Статистика

Непараметрические методы анализа случайных процессов и временных рядов

Лекция 3 НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Слайд 2 Целью лекции является изложение основ непараметрических и пара...

Физика

Атом во внешнем магнитном поле. Нормальный и аномальный эффект Зеемана

Лекция №14 § 22. Атом во внешнем магнитном поле. Нормальный и аномальный эффект Зеемана Оператор Гамильтона для электрона, движущегося в электромагнит...

Автоматика и управление

Автоматическое управление

Лекция 1 Рассматриваемые в лекции вопросы: 1. История автоматического управления 2. Понятие об автоматическом управлении 3. Классификация систем автом...

Автоматика и управление

Линейные детерминированные и стохастические системы

1 Линейные детерминированные и стохастические системы Лекция 15. Линейное преобразование случайных процессов. Качество систем при случайных воздействи...

Электроника, электротехника, радиотехника

Теория автоматического управления

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тульский государственный ун...

Автоматизация технологических процессов

Курс лекций по теории автоматического управления

Министерство образования Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ю. И. Медведев КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЧАСТ...

Автор лекции

Медведев Ю. И.

Авторы

Высшая математика

Устойчивость линейной стационарной системы и критерии устойчивости

Раздел.2. Анализ динамических свойств линейной стационарной системы. Лекция 2.1 Устойчивость линейной стационарной системы и критерии устойчивости. Со...

Смотреть все