Сложные проценты

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА ТЕМА №3 «СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ» Занятие 1 1. 2. 3. Начисление сложных годовых процентов. Сравнение роста по сложным и простым процентам. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки Лит ерат ура : а) основная: 1.Четыркин Е.М. Финансовая математика. Учебник. М.: «Дело», 2004 г. 2.Фомин Г.П. Методические указания и контрольные задания по курсу «Финансовая математика». М: МГУК, 2002. б)дополнит ельная: 3. Ковалев В.В. Сборник задач по финансовому анализу:учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 1997. 3.1. Начисление сложных годовых процентов Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты (compound interest). База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной — она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления (running period). Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов. 3.1. Начисление сложных годовых процентов Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам: Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т.д.), S — наращенная сумма на конец срока ссуды, п — срок, число лет наращения, i — уровень годовой ставки процентов, представленный десятичной дробью. Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине А, а наращенная сумма составит Р+Pi=Р(1 +i). К концу второго года она достигнет величины Р(1 + i) + Р( 1 + i)i =P(1+i)2 и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет Равна (3.1) Проценты за этот же срок в целом таковы: (3.2) Часть из них получена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет (3.3) 3.1. Начисление сложных годовых процентов Как показано выше, рост по сложным процентам представляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель — (1 + i). Последний член прогресии равен наращенной сумме в конце срока ссуды. Графическая иллюстрация наращения по сложным процентам представлена на рис. 3.1. Рис. 3.1 Рис. 3.2 3.1. Начисление сложных годовых процентов n Величину (1+i) называют множителем наращения (compound interest factor) по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.). Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как ACT/ ACT. 3.1. Начисление сложных годовых процентов Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров — i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке. 3.1. Начисление сложных годовых процентов Формулы (3.1)—(3.3) предполагают, что проценты на проценты начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процентов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i, а проценты на проценты — по ставке r≠i. В этом случае Ряд в квадратных скобках представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем (1 + r). В итоге имеем (3.4) 3.1. Начисление сложных годовых процентов Начисление процентов в смежных календарных периодах. Общий срок ссуды делится на два периода п1 и п2. Соответственно, 3.1. Начисление сложных годовых процентов 3.1. Начисление сложных годовых процентов Переменные ставки. Формула (3.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать “классическую” схему, например, с помощью применения плавающих ставок (floating rate). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело — расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда изменения размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е. (3.5) где i1, i2,…,ik — последовательные значения ставок; n1, n2,…,nk — периоды, в течение которых “работают” соответствующие ставки. 3.1. Начисление сложных годовых процентов ПРИМЕР 3.3. Срок ссуды — 5 лет, договорная базовая процентная ставка — 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся годы. Множитель наращения в этом случае составит 3.1. Начисление сложных годовых процентов Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется непосредственно по формуле (3.1). Второй, смешанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов: (3.6) где п = а + b — срок ссуды, а — целое число лет, b — дробная часть года. Аналогичный метод применяется и в случаях, когда периодом начисления является полугодие, квартал или месяц. При выборе метода расчета следует иметь в виду, что множитель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п < 1 справедливо соотношение 1+ni>(1 +i)n Наибольшая разница наблюдается при b = ½. 3.1. Начисление сложных годовых процентов 3.1. Начисление сложных годовых процентов 3.1. Начисление сложных годовых процентов 3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентны ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. Нетруд убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношен этих множителей существенно зависят от срока. В самом деле, при условии, ч временная база для начисления процентов одна и та же, находим следующ соотношения (в приведенных ниже формулах подписной индекс s проставлен ставки простых процентов): - для срока меньше года простые проценты больше сложных: - для срока больше года сложные проценты больше простых: - для срока, равного году, множители наращения равны друг другу. 3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам процентам Заметим также, что при п > 1с увеличением срока различие в последствиях применения простых и сложных процентов усиливается. Графическую иллюстрацию соотношения множителей наращения см. на рис. 3.3. В табл. 3.1 приведены значения множителей наращения для is = i = 12%, К = 365 дней. Рис. 3.3 Таблица 3.1 Сравнение множителей наращения, i s = i = 12% 3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам Формулы удвоения. Наиболее наглядно влияние вида ставки можно охарактеризовать, сопоставляя числа лет, необходимые для удвоения первоначальной суммы. На основе (2.1) и (3.1) получим следующие формулы удвоения: удвоение по простым процентам: — — удвоение по сложным процентам: ПРИМЕР 3.5. Найдем сроки удвоения для i s = i = 22,5%: 3.3. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки Номинальная ставка. В современных условиях проценты капитализируются как правило, не один, а несколько раз в году — по Полугодиям, кварталам и т.д Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой (3.1). Параметр п в этих условиях будет означать число периодов начисления, а под ставкой / следует понимать ставку за соответствующий период. Например, при поквартальном начислении процентов за 5 лет общее число периодов начисления составит 5 х 4 = 20. Множитель наращения по квартальной (сложной) ставке 8% равен в этом случае 1,08 20 = 4,6609. На практике, как правило, в контрактах обычно фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка, одновременно указывается период начисления процентов Например, “18% годовых с поквартальным начислением” процентов. 3.3. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки Итак, пусть годовая ставка равна у, число периодов начисления в году — т. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной (nominal rate). Формулу наращения теперь можно представить следующим образом: (3.7) где N — общее количество периодов начисления. Если N целое число (N = пт), то в большинстве случаев для определения величины множителя наращения можно воспользоваться таблицей сложных процентов (табл. 2 Приложения). Например, при j = 20% и поквартальном начислении процентов (т = 4) в течение 5 лет отыскиваем табличное значение множителя для i — 20/4 = 5% и п = 5 × 4 = 20; находим q = 2,653298. 3.3. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки ПРИМЕР 3.6. Изменим одно условие в примере 3.1. Пусть теперь проценты начисляются не раз в году, а поквартально. В этом случае N = 20 и Напомним, что при ежегодном начислении процентов мы получили S = 2055464,22. 3.3. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки Нетрудно догадаться, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс). Для иллюстрации сказанного приведем значения множителей для j = 20% и п — 10 лет и разной частоте наращения в пределах года: Как следует из приведенных данных, наибольшую “прибавку” в наращении дает переход от ежегодного начисления процентов к полугодовому, наименьший эффект — переход от ежемесячного к ежедневному. 3.3. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки ПРИМЕР 3.7. Какова сумма долга через 25 месяцев, если его первоначальная величина 500 тыс.руб., проценты сложные, ставка 20% годовых, начисление поквартальное? По условиям задачи число периодов начисления N = 25 : 3 = 8 1/3. Применим два метода наращения — общий и смешанный (см. (3.6)). Получим 3.3. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки Эффективная ставка. Введем теперь новое понятие — действительная, или эффективная ставка процента (effective rate). Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и w-разовое начисление процентов по ставке j/m. Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу: Из равенства множителей наращения следует (3.8) Эффективная ставка при т > 1 больше номинальной. Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Отсюда, кстати, следует, что разные по величине номинальные ставки оказываются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну величину. 3.3. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки ПРИМЕР 3.8. Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка равна 25% при помесячном начислении процентов? Имеем Для участвующих в сделке сторон безразлично применить ставку 25% при помесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28,0732%. 3.3. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки Для сокращения дальнейшей записи используем символ j(m) означающий размер номинальной ставки и количество начислений за год. Эквивалентная замена номинальной ставки имеет место только в том случае, когда удовлетворяется равенство Поскольку т может иметь только целые значения, то удобнее определять значение новой ставки, задаваясь величиной т2: 3.3. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки (4) ПРИМЕР 3.9. Определим номинальную ставку j , (12) которая безубыточно заменит ставку j = 25% в примере 3.8. Получим Таким образом, сокращение количества начислений потребует увеличения ставки с 25 до 25, 524 %. При подготовке контрактов может возникнуть необходимос определении j по заданным значениям i и т. Находим (3.9)