Расчеты по сложным процентам

ДИСЦИПЛИНА «ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА» 1 Лекция № 3 Расчеты по сложным процентам В среднесрочных и долгосрочных финансовокредитных операциях в случае, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, для наращения применяются сложные проценты. База для начисления сложных процентов увеличивается с каждым периодом выплат. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов. 2 Формулы для расчета сложных процентов (если начисление процентов осуществляется 1 раз в год) 3 где S – будущая стоимость, Р – текущая стоимость, i – ставка (в виде коэффициента), n – период, измеряемый в годах, в течение которого начисляются проценты. 4 5 6 7 Достаточно часто в финансовых операциях с использованием сложных процентов в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, полугодие, квартал, месяц или другой период времени. В этом случае проценты начисляются m раз в году. В контрактах, как правило, фиксируется не ставка за процентный период, а годовая ставка процентов, которая в этом случае называется номинальной. Формулы для расчета сложных процентов (если начисление процентов осуществляется несколько раз в год) 8 где S – будущая стоимость, Р – текущая стоимость, m – количество начислений процентов в течение года, j – номинальная процентная ставка, то есть годовая процентная ставка при m начислениях в году, n – период, измеряемый в годах, в течение которого начисляются проценты. Пример. Какую сумму нужно положить на счет под 7,5% годовых с ежемесячной капитализацией процентов, если через 4 года со счета сняли 150000 руб.? Решите самостоятельно! Чему будет равна сумма начисленных процентов на вклад в размере 50000 руб., который открыли в банке на 3 года под 8% годовых с ежеквартальной, ежемесячной, ежедневной капитализацией процентов (принять 360 дней в году)? 9 Решение 1) S = 50000*(1+0,08/4)3*4 = 63412,09 руб. 63412,09-50000=13412,09 руб. 2) S = 50000*(1+0,08/12)3*12 = 63511,85 руб. 63511,85-50000=13511,85 руб. 3) S = 50000*(1+0,08/360)3*360 = 63560,76 руб. 63560,76-50000=13560,76 руб. 10 Если процентная ставка меняется во времени, то будущая стоимость рассчитывается по следующей формуле: Пример. Какую сумму сняли со счета через 5 лет, если вклад был открыт на сумму 100000 руб., первый год он хранился под 11% годовых, 2 последующих года – под 10%, остальные 2 года – под 8% годовых? Во всех периодах осуществлялась полугодовая капитализация процентов. S = 100000 * (1+0,11/2)1*2 * (1+0,1/2)2*2 * (1+0,08/2)2*2 = = 158268,86 руб. Сумма процентов: 158268,86-100000=58268,86 руб. 11 При расчете сложных процентов возникает необходимость расчета процентов и наращенной стоимости при дробном числе периодов. Для этого используют 3 метода: 1) по формуле сложных процентов; 2) смешанный способ – за целое число периодов начисляются сложные проценты, а за дробную часть – простые; 3) сложные проценты начисляются только за целую часть периода, а дробная часть отбрасывается. 12 Если начисление процентов происходит за период, превышающий один год, и при этом период финансовой операции, выраженный в годах, является дробным числом, то с точки зрения инвестора (кредитора) наибольший эффект может быть получен при начислении процентов по смешанной схеме начисления процентов. 13 Пример. Ссуда в размере 20000 рублей была предоставлена на 16 месяцев под 24% годовых при ежеквартальном начислении процентов. Определить сумму долга с процентами. 1 метод: S = 20000*(1+0,24/4)16/12 *4 = 27289 руб. 2 метод: То есть 5 (целая часть) и 0,33 (дробная часть) S = 20000*(1+0,24/4)5*(1+0,24/4*0,33) = 27300 руб. 3 метод: S = 20000*(1+0,24/4)5 = 26765 руб. 14 Решите самостоятельно! Определите сумму начисленных процентов разными способами на вклад в размере 90000 рублей, положенный на 31 месяц под 7% годовых с ежеквартальным начислением процентов. 1 метод: S = 90000*(1+0,07/4)31/12*4 = 107670,85 руб. Сумма процентов: 107670,85-90000=17670,85 2 метод: S = 90000*(1+0,07/4)10*(1+0,07/4*0,33) = 107674,46 руб. Сумма процентов: 107674,46-90000=17674,46 3 метод: S = 90000*(1+0,24/4)10 = 107050 руб. Сумма процентов: 107050-90000=17050 руб. 15 Расчет сложных процентов с использованием финансовых таблиц 16 Пример. Какую сумму можно будет снять со счета через 4 года, если положили 20000 руб. под 20 % годовых с полугодовой капитализацией процентов? S = 20000 * 2,14 = 42800 руб. Пояснения: Так как необходимо найти будущую стоимость, то используем коэффициент наращения: 8 периодов (т.е. сколько всего раз нам начислят проценты – это 4*2) и 10% (ставка за один период начисления процентов – это 20/2)