Корпоративные финансы. Базовые финансовые вычисления

Корпоративные финансы 07 сентября 2009 Студников С.С. ЭФ МГУ, 2009 ПЛАН лекции ‰ Процентные ставки, их виды ‰ Шкалы времени: теоретическая и календарная ‰ Процедура наращения ‰ Эффективная и эквивалентная ставки ‰ Учет налогов и инфляции Лекция Базовые финансовые вычисления. ‰ Описание, анализ моделей финансовых операций, сделок и процессов ‰ Оценивание финансовых активов (цб и других) ‰ Планирование финансовых сделок и операций ‰ Оптимизация финансовых сделок и операций ‰ Управление риском финансовых операций Финансовая математика: разделы Финансовая математика Финансовая математика: предмет исследования Классическая финансовая математика • Процентные ставки • Анализ кредитных операций «Математика инвестиций» • Оценка стоимости активов • Портфельная теория Актуарная математика • Страхование Финансовые расчеты: два подхода Базовые определения кредитной сделки подходы к расчетам статический Процентные деньги (interest, I) — абсолютная величина приращения денег от предоставления денег в долг Процентная ставка (interest rate, i) — относительная величина, показывающая интенсивность приращения денег от предоставления денег в долг динамический Текущая стоимость (present value, PV) — первоначальная сумма долга или его стоимость в настоящий момент бухгалтерский Будущая стоимость (future value, FV) — конечная сумма долга или его стоимость в момент окончания сделки (первоначальная сумма плюс проценты) экономический n (term) — срок сделки как разница между концом сделки и ее началом, измеряется в периодах принципы анализа Схема простой кредитной сделки начало сделки +I +I PV +I +I Процентный пункт (percentage point, p.p.) — единица, применяемая для сравнения величин, выраженных в процентах +I срок сделки Prenumerando Базовые определения (продолжение) период начисления процентов FV конец сделки +I Postnumerando FV = PV + I +I t Базисный пункт (basis point, b.p.) — одна сотая процентного пункта 6% уровень безработицы в стране (за год) 2007 5% 2008 ‰ уменьшился на 16,67% ‰ уменьшился на 1 п.п. ‰ уменьшился на 100 б.п. Классификация процентной ставки Момент взимания процентов Частота начисления процентов Основа вычисления База начисления процентов Размер ставки Декурсивная Теоретическая временная шкала -3 Дискретная Непрерывная Простая Сложная Процентная Учетная Календарная временная шкала 01.09.09 02.09.09 03.09.09 04.09.09 05.09.09 06.09.09 07.09.09 00:00 00:00 00:00 00:00 00:00 00:00 m (month) — месяц J = [t1 ,t 2 ] T = t 2 − t1 1 2 настоящее (сейчас) 3 t будущее (потом) Период между двумя моментами времени t1 и t2 Длина периода J Число дней между двумя датами равно числу дней в стандартном промежутке. 00:00 d (day) — день -1 Определение дней между датами ∂2 Дата = (день, месяц, год) -2 прошлое (уже) Постоянная Переменная Плавающая ∂1 t2 t1 Антисипативная t ∂ (d , m, y ) y (year) — год (∂1 , ∂ 2 ) [∂1 , ∂ 2 ] [∂1 , ∂ 2 ) (∂1 , ∂ 2 ] Стандартный промежуток: Начальная дата учитывается при подсчете дней, конечная дата не учитывается Календарная временная шкала ∂1 ∂2 Определение числа дней между двумя датами ∂3 ∂4 01.09.09 02.09.09 03.09.09 04.09.09 05.09.09 06.09.09 07.09.09 00:00 00:00 00:00 00:00 00:00 00:00 00:00 t (∂1 , ∂ 4 ) = ? [∂1 , ∂ 3 ) = ? [∂1 , ∂ 3 ] = ? (∂1 , ∂ 3 ] = ? Переход из календарной временной шкалы в теоретическую (модельную) временную Как правило, исходные данные заданы в календарной шкале (даты поступления денег), а в модельных расчетах используется теоретическая временная шкала. t 360 T 30 точно Германская (30/360) Французская (ACT/360) 365 Не применяется (366) Английская (ACT/ACT) *ACT (сокращение от англ. actual) – фактически существующий в году 360 дней месяц равен 30 дням А B T t C точное число дней в году D точное число дней месяца Определение числа дней между датами Пусть ∂1 ( d1 , m1 , y1 ) < ∂ 2 ( d 2 , m2 , y2 ) , тогда число дней между двумя датами определяется: DACT / ACT = N (d 2 , m2 ) − N (d1 , m1 ) + 365( y2 − y1 ) + k DACT / 360 = N (d 2 , m2 ) − N (d1 , m1 ) + 360( y2 − y1 ) D30;360 = 360( y2 − y1 ) + 30(m2 − m1 ) + (d 2 − d1 ) N(d,m) – порядковый номер дня в невисокосном году; k – количество високосных годов между датами (включительно, если последняя дата после февраля) Переход в теоретическую шкалу DACT / ACT TACT / ACT (∂1 , ∂ 2 ) = 365(366) DACT / 360 TACT / 360 (∂1 , ∂ 2 ) = 360 D30 / 360 T30 / 360 (∂1 , ∂ 2 ) = 360 Tj (∂1,∂2) – длина периода между двумя календарными датами в теоретической шкале (за ноль принимается более ранняя дата) в соответствие с системой перевода j Финансовое событие Финансовые величины Финансовые величины показывают: ‰ результат финансовой операции; ‰ состояние финансовой системы в заданный момент времени (балансовые показатели); ‰ текущие значения финансовых показателей Мгновенные Интервальные Величины, относящиеся к конкретным датам Величины, относящиеся к интервалам (промежуткам) времени Мгновенное финансовое событие St Финансовое событие – сочетание даты (интервала времени) и размера денежной выплаты Мгновенное финансовое событие – сочетание даты и размера денежной выплаты, происходящей в эту дату 1 2 3 4 t 5 6 t t - момент времени, который может задаваться как в виде календарной даты, так и в виде числа, показывающего насколько лет данное событие отстоит от текущего момента времени Интервальное финансовое событие – St – денежная сумма, получаемая в момент времени t сочетание периода времени и размера денежной выплаты, относящейся к этому периоду ZB: – открытие сегодня вклада в банке на сумму 1000 рублей; получение 31 марта 2010 года 30000 рублей в качестве гонорара за книгу Интервальное финансовое событие Финансовые потоки J 1 t 2 SJ J – интервал времени, который может задаваться в формате как календарной временной шкалы, так и теоретической шкалы SJ – денежная сумма, относящаяся к данному интервалу времени J ZB: – начисление процентов на сумму вклада, находящейся на счету на втором году; выплата купона по облигации за второй год Финансовые потоки и операции над ними FF1 = {(0,200), (1,500), (2,400), (3,−200 )} FF2 = {(0,600), (2,−100), (3,−300), (4,300)} Найти поток, равный FF3=2FF2-3FF1. -3FF1 2FF2 FF3 Финансовый поток (financial flow, FF) – последовательность финансовых событий. Потоки, соответственно, могут быть мгновенными или интервальными. FF = {(t1 , S1 ), (t 2 , S 2 ),..., (t n , S n )} или FF = {( J1 , S1 ), ( J 2 , S 2 ),..., ( J n , S n )} ZB: – поток купонных выплат по облигации; – открытие счета в банке на 1000 рублей 12 апреля сего года, снятие 200 рублей со счета 01 сентября с.г., закрытие счета 15 февраля следующего года Актуализация финансовых потоков Авансирование – метод актуализации интервальных финансовых потоков, при котором суммы, соответствующие интервалу относятся на начало этого интервала времени. S 1 2 3 4 -600 1200 600 -1500 -1500 -1200 -200 -1400 600 -600 600 600 FF3 = {(0,600), (1,−1500 ), (2,−1400), (4,600 )} 1 2 t 2 t S 1 Два вида расчетов: Актуализация финансовых потоков Финализация – метод актуализации интервальных финансовых потоков, при котором суммы, соответствующие интервалу относятся на конец этого интервала времени. Наращение PV S 1 2 t i, n FV t S 1 2 t Наращение: простые проценты Наращение: простые проценты (продолжение) i% годовых и фиксирована на весь срок; n в целых месяцах: n PV i, n Дисконтирование FV i% годовых и фиксирована на весь срок; n в целых годах: FV = PV 1 + i n t M⎞ ⎛ FV = PV ⎜1 + i ⎟ 12 ⎠ ⎝ i% годовых и фиксирована на весь срок; n в днях (t), T – число дней в году: t⎞ ⎛ FV = PV ⎜1 + i ⎟ T⎠ ⎝ Наращение: простые проценты (продолжение) ij, nj PV n1 i1 i2 FV n2 i3 n3 t ij% годовых и фиксирована на весь срок периода nj, измеряемого в годах, однако ставки между периодами и сами периоды могут отличаться: nj = Mj 12 nj = tj T Наращение: сложные проценты n PV i% годовых и фиксирована на весь срок; n в целых годах: k ⎞ ⎛ FV = PV ⎜⎜1 + ∑ i j n j ⎟⎟ j =1 ⎠ ⎝ Наращение: сложные проценты (продолжение) Если число лет – число нецелое, то его можно представить в виде: n = [n] + {n} целая часть числа дробная часть числа Смешанный способ n FV = PV (1 + i ) FV = PV ⋅ (1 + i ) n Наращение: сложные проценты (продолжение) ij, nj PV i1 n1 i2 n2 n3 i3 FV = PV ∏ (1 + i j ) k [n ] FV ij% годовых и фиксирована на весь срок периода nj, измеряемого в годах, однако ставки между периодами и сами периоды могут отличаться: Простой способ FV = PV (1 + i ) FV i, n t (1 + i { n}) j =1 nj t Наращение: сложные проценты (продолжение) Иногда возникают ситуации, когда период действия ставки и периоды начисления процентов не совпадают, например, ставка 12% годовых, а проценты начисляются каждые четыре месяца. i, n, m PV i/m 1/3 i/m 2/3 Номинальная ставка процента i ⎞ ⎛ FV = PV ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠ FV i/m t 1 m – количество начислений внутри года Наращение: сложные проценты (продолжение) δ – сила роста (force of interest) или ставка процента при непрерывном начислении процента. ⎛ δ⎞ FV = PV ⋅ lim ⎜1 + ⎟ m →∞ ⎝ m⎠ Сделаем замену α= δ m , при Наращение: сложные проценты (продолжение) mn m → ∞, α → 0, следовательно, формулу можно переписать в виде mn Номинальная ставка процента (nominal interest rate) — ставка процента (i%), указываемая в договорах на определенный период, при этом реальное начисление процентов происходит по сложной процентной ставке в размере (i/m)% m раз за период Наращение: сложные проценты (продолжение) ⎞ ⎛ α FV = PV ⎜ lim (1 + α ) ⎟ ⎠ ⎝ α →0 1 δn Второй замечательный предел FV = PV eδ n Здесь процентная ставка не зависит от времени, следовательно, неизменна Эффективная ставка процента: определение ‰ необходимость отражение реальной эффективности сделки ‰ необходимость сравнения вариантов с разным числом начислений в году Эффективная ставка процента (effective interest rate) — ставка декурсивных сложных процентов, которая в результате дает такой же финансовый результат, что и при использовании рассматриваемой ставки с рассматриваемым числом начислений за год Эффективная годовая ставка процента (annual effective rate, AER) Эквивалентность процентных ставок Эффективная ставка процента: расчет (1 + i ) eff n eff eff n j⎞ ⎛ = ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠ n (1 + ieff ) = (1 + i ⋅ n ) eff n = eδ n n – число лет сделки ieff – эффективная ставка процента, % годовых i – простая ставка процента, % годовых j – сложная ставка процента, % годовых m – число начислений процентов за год δ – сила роста процента Эквивалентные простые ставки (1 + in ) = e j⎞ ⎛ = ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠ = (1 + i ⋅ n ) = eδ n n (1 + i ) Две ставки называются эквивалентными (equivalent interest rate) , если равны соответствующие им эффективные ставки n⋅m n eff (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n⋅m iequ j⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝ = n δn j⎞ ⎛ = ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠ iequ n⋅m −1 n⋅m eδ n − 1 = n Эквивалентные сложные ставки (1 + in ) = eδ n jequ j⎞ ⎛ = ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠ Эквивалентные непрерывные ставки n⋅m ⎞ ⎛ mδ jequ = m ⎜⎜ e − 1⎟⎟ ⎠ ⎝ nm = m 1 + in − 1 Сравнение через эквивалентные ставки (1 + in ) = e δ equ iequ jequ = 2 ⋅ ( 12 −1 ≈ 10,0172% ) 1 + 6 ⋅ 0,1 − 1 ≈ 7,9888% ln (1 + in ) = n j⎞ ⎛ δ equ = mln⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠ Начисление процентов 2 вариант: на 6 лет под 8% годовых (сложные декурсивные проценты, начисления 2 раза в год) 2⋅6 j⎞ ⎛ = ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠ Учет инфляции в расчетах 1 вариант: на 6 лет под 10% годовых (простые декурсивные проценты, начисления раз в год) ⎛ 0,08 ⎞ ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ =⎝ 6 δn n⋅m Инфляция PV ⎛ ⎞ FV = f ⎜ PV , i , n, π ⎟ ⎠ ⎝ + + + − i π FV t Учет инфляции в расчетах (продолжение) iπ = n ( 1+ i) FV = PV (1 + π ) n (1 + kn )(1 + π ) − 1 n iπ = k + π + kπ iπ – процентная ставка с учетом инфляции k – целевой уровень доходности операции за период π – темп прироста инфляции за период n – число периодов Учет налогов в расчетах Банк хочет добиться того, чтобы реальная доходность его кредитных сделок в течение ближайших 3 года составляла 10% годовых. Ожидаемый темп инфляции на ближайшие 5 лет не превысит 4% за год. Определите, какую ставку номинальную процента должен указывать банк в кредитных договорах, чтобы обеспечить себе необходимую доходность. Учет налогов в расчетах i g Начисление процентов Налоги PV ⎛ ⎞ FV = f ⎜ PV , i , n, g ⎟ ⎝ ⎠ + Учет инфляции в расчетах: пример + + − t FV Чистая будущая стоимость (net future value, NFV) – будущая стоимость долга (наращенная сумма) в конечный момент за вычетом уплаченных налогов. g – ставка налога на процентный доход Вариант 1: FV = (1 + in )PV NFV = FV − g (FV − PV ) = (1 − g )FV + gPV = = (1 − g )(1 + in )PV + gPV ⇒ NFV = PV (1 + i (1 − g ) n ) Учет налогов в расчетах Учет налогов в расчетах: пример FV = PV ⋅ (1 + i ) n Вариант 2: NFV = FV − g (FV − PV ) = (1 − g )FV + gPV = = (1 − g )(1 + i ) PV + gPV ⇒ n ( NFV = PV (1 − g )(1 + i ) + g n Оба варианта рассчитаны для случая, когда налог платится одним платежом по окончание сделки. В случае если налог на проценты уплачивается по мере их начисления, то итоговая формула не меняется, однако для получателя процентов этот вариант, очевидно, хуже. ) Банк выдал кредит фабрике на два года под 6% годовых (сложные декурсивные проценты с ежегодным начислением). Комиссия банка за оформление кредита составляет 0,5% от суммы кредита. Ставка налога на прибыль для банка равна 24%. Какова доходность операции для банка?