Финансовый рынок и его товары. Сложные проценты

АНО ВПО «Региональный финансово-экономический институт» ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА (Первая лекция) ______________________________ http://elearning.rfei.ru Содержание ПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................. 3 РАЗДЕЛ 1. ФИНАНСОВЫЙ РЫНОК И ЕГО ТОВАРЫ ................ 4 Глава 1.1. Товарно-денежный механизм рыночной экономики ........................................................................................ 4 Глава 1.2. Товары финансового рынка ......................................... 9 Глава 1.3. Характеристики финансовых операций .................... 12 РАЗДЕЛ 2. НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ ...................................... 17 Глава 2.1. Основные понятия ....................................................... 17 Глава 2.2. Варианты расчета простых процентов ...................... 21 Глава 2.3. Банковский учет. Учет векселей ................................ 26 Глава 2.4. Одновременное наращение и дисконтирование ...... 29 Глава 2.5. Формулы доходности финансовых операций .......... 30 Глава 2.6. Простые переменные ставки ...................................... 31 Глава 2.7. Реинвестирование........................................................ 32 РАЗДЕЛ 3. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ ............................................. 35 Глава 3.1. Наращение по сложным процентам .......................... 35 Глава 3.2. Наращение процентов m раз в году. Номинальная ставка ...................................................................... 39 Глава 3.3. Непрерывные проценты ............................................. 42 Глава 3.4. Дисконтирование по сложным процентам и по сложной учетной ставке ............................................................... 43 Глава 3.5. Эквивалентные ставки ................................................ 46 2 ПРЕДИСЛОВИЕ Вы приступаете к изучению курса «Финансовая математика». У некоторых студентов при одном упоминании слова «математика» появляется настороженность, страх перед чем-то сложным и неразрешимым. На самом же деле все, касаемо этого курса, будет гораздо проще курса математики, которая вами уже изучена. В этом курсе математика будет рассматриваться на уровне понятия процента, элементов алгебры и прогрессий. Это означает, что все будет гораздо проще. Но в названии курса употреблен термин «финансовая математика», а потому для начала и выясним, что понимается под этим. Коль речь идет о математике, то в первую очередь это расчеты; раз говорим о финансовой математике, значит, будут вестись любые денежные расчеты. Но рассматриваться они будут с точки зрения их наибольшей выгоды, типа: «как можно меньше истратить для получения определенных результатов», «получить от расходования определенной суммы максимальный результат», «обеспечить максимум прироста собственного денежного состояния или имущества за определенный период времени» и т. п. Нам же постоянно приходится выполнять решение задач, формально относящихся к области финансовой математики. Покупать ли сахар мешками или приобретать более дорогой (в расчете на килограмм) в мелкой фасовке? Ехать ли за продуктами на оптовый склад, в гипермаркет, или покупать их в ближайшем магазине? В каком банке хранить деньги, и какой вид вклада лучше всего выбрать? Обменять ли деньги на иностранную валюту, или же положить их в банк, вложить в недвижимое имущество или покупку товаров впрок? Такие и им подобные вопросы постоянно возникают перед людьми, имеющими какие-то денежные средства. И чем больше у человека денег, тем шире круг финансовых проблем, которые могут стоять перед ним. Еще более важными являются вопросы выбора наилучших финансовых решений для людей, занимающихся экономикой на профессиональном уровне. Итак, для начала познакомимся с основными понятиями, относящимися к финансовой математике. 3 РАЗДЕЛ 1. ФИНАНСОВЫЙ РЫНОК И ЕГО ТОВАРЫ Понятие «рынок» известно всем. Это место, где можно чтото купить либо что-то продать. Под этим «что-то» мы подразумеваем некоторый продукт производства (сельскохозяйственный, легкой промышленности, тяжелой и т. д.). Когда говорят о птичьем рынке, в вашем воображении сразу же вырисовывается другая картинка, которая сохранилась в памяти еще из детства. Вы с родителями, случайно (или специально) заглянув на этот рынок, увидели необычайно красивого серенького, пушистого котенка с голубыми глазами. Это «чудо» невозможно было не купить. Вы заплатили хозяину этого красавца необходимую сумму денег и забрали «товар» себе домой. И, наверное, в каждом городе, а возможно и поселке есть «блошиный рынок» – место, где можно приобрести всякую всячину, сохранившуюся из далеких-далеких времен. Но что же представляет собой финансовый рынок? Финансовый рынок — это рынок, где товарами являются сами деньги и ценные (денежные) бумаги. А потому немного поговорим о финансовом рынке. Глава 1.1. Товарно-денежный механизм рыночной экономики Итак, наступает лето, и вы решили купить себе новую футболку. За этим товаром вы отправляетесь в торговый центр, а может, в магазин промышленных товаров или на рынок. А каким образом футболка оказалась в каждом из торговых объектов? Если это торговый центр или промтоварный магазин, то, вероятнее всего, они закупают футболки непосредственно на предприятии их выпускающем, например, ЗАО «Сейм» в городе Курске. Если футболку вы приобретали на рынке у частного предпринимателя, то, скорее всего, он их закупал оптом либо в другом городе на рынке у другого предпринимателя, либо на небольшой фабрике, скажем, в Турции или в Польше. Но для тех, кто уже приобретал, скажем, трикотажные изделия производства Польши, Турции и наши, например курские, может сравнить по достоинству их качество, удобство, 4 приятность телу и т. д. Но и что не менее важно в нашем случае – их цену. Во всех этих случаях мы наблюдаем движение товара. От момента окончания его производства к другому предприятию (склад оптовой торговли), частному предпринимателю и т. д., затем к конкретному покупателю. Зачастую и массовые производственные товары, в особенности сырьевые (нефть, металл, зерно), также направляются другим предприятиям посредством оптовой торговли, осуществляемой товарными биржами. Оптовые торговцы потребительским товаром реализуют его потребителям через систему розничной торговли. И потому мы можем позволить себе купить вкусные пирожные и торты, выпускаемые предприятием «Нива», что в г. Железногорске Курской области, или купить вкуснейший торт «Тирольский», выпускаемый в г. Курчатове Курской области. При любом из указанных перемещений товар переходит от одного собственника к другому, и движение товара приводит к встречному потоку денежных выплат. Например, торговый центр закупил футболки на складе ЗАО «Сейм», вы как покупатель приобрели футболку в торговом центре. За исключением, возможно, самого нижнего звена, эти денежные выплаты осуществляются в безналичной форме, причем с участием посредника, каковым является тот или иной банк. Возможно, торговый центр закупал их на складе «Сейма» по безналичной форме. В банках же накапливается наличная выручка розничной торговли и сферы обслуживания, которая, в свою очередь, возвращается на предприятия и в систему социальной защиты, где используется при выплате зарплаты и социальных пособий. Впрочем, и в этом нижнем звене все чаще используются безналичные средства в виде различного рода кредитных карточек. Наряду с розничной торговлей и сферой обслуживания существенную роль в аккумуляции денежных сумм играют страховые компании, осуществляющие страхование жизни и имущества в различных формах. Государственную систему социального страхования во многих странах существенно дополняют специ- 5 альные пенсионные фонды, куда собираются взносы, представляющие собой часть зарплаты, откладываемую работниками для формирования добавочных пенсий, а также взносы предприятий на поддержку этих пенсий для своих бывших работников. И снова вернемся к производству продукта на предприятии (в компании). Основная особенность реального процесса производства — несовпадение по времени затрат, связанных с производством, и дохода в результате продажи полученной продукции. Возвращаясь к нашему примеру, для изготовления футболки, необходимой вам на лето, требуется хлопок, из которого изготовят полотно, а затем в работу вступят дизайнеры и модельеры, которые нарисуют модель на компьютере. Следующий этап работы будет выполняться закройщиками, швеями, упаковщиками. И только после этого товар, в нашем случае футболка, окажется на складе, где ее будут продвигать на реализацию. А потому предприятие нуждается в авансировании денежных средств, которые после реализации продукции вернутся на предприятие в большем объеме, но через некоторое время. Предприятие может иметь собственный оборотный капитал, но, как правило, ему приходится обращаться за финансовой поддержкой в банк, который передает ему необходимые средства в виде займа. Естественно, что этот заем дается под процент. Иначе говоря, предприятие вынуждено делиться частью прибыли с банком, что является еще одним источником пополнения банковских средств. Особенно большие затраты связаны не с текущей деятельностью, а с организацией нового производства или с существенным расширением или переоснащением старого. В этом случае руководитель предприятия (предприниматель) особенно нуждается в предоставлении ему банковских кредитов. В свою очередь, коммерческие банки, конечно, заинтересованы в получении доходов от кредитования и затрачивают на это большие суммы — причем не столько из собственного капитала, сколько из сумм, которые им временно переданы для сбережения и которые могут быть затребованы вкладчиками в любой момент. Поэтому возможна ситуация, когда требование вкладчика не удается удовлетворить — в этом случае коммерческие банки 6 вынуждены сами брать деньги в долг у других банков, и в первую очередь у государственных банков, являющихся прежде всего банками для банкиров и составляющих так называемую государственную резервную систему. Из курсов «Банковское дело», «Деньги, кредит, банки» вы узнали, что в государственных банках аккумулируются средства, поступающие от населения и предприятий в виде различного рода налогов. С другой стороны, через государственные (или муниципальные) банки осуществляется выплата социальных пособий, средств служащим государственных учреждений, в частности вооруженных сил, полиции и т. п. Поскольку размер этих выплат определяется не только и не столько экономическими, сколько политическими соображениями, то, как правило, он превышает сумму налоговых поступлений. Для покрытия разницы государство использует две схемы. Первая — дополнительная эмиссия денежных знаков, вызывающая снижение их реальной ценности, инфляцию и в конечном счете перераспределение государственного дефицита на все население. Важно понимать, что и денежные знаки являются лишь документами-обязательствами, реальная ценность которых определяется рыночным механизмом. Вторая схема состоит в выпуске государственных займов и распространении облигаций займов среди населения. При этом государство как бы перекладывает свой долг на плечи покупателей облигаций, но берет на себя обязательство (слово «облигация» и означает «обязательство») выплачивать процент на вложенные инвестором-покупателем деньги. Таким образом, существует целая иерархическая банковская структура, взаимоотношения между элементами которой также строятся на кредитно-денежной основе. Весьма важным фактором является то, что предприятие (или группа предприятий), заинтересованное в получении средств для капитальных вложений в производство, может не только обратиться в банк за займом, но использовать и другую форму привлечения капитала — путем организации в той или иной форме акционерного общества. Если вы внимательно чи- 7 тали, то ЗАО «Сейм» как раз и является акционерным обществом трикотажного комбината в г. Курске. Организаторы акционерного общества, распространяя акции, привлекают к акционерному предприятию других собственников в качестве совладельцев. Каждая акция является документом, удостоверяющим право на владение определенной долей имущества акционерной компании. Это право в некотором смысле условно, но каждая акция является документом, по которому акционер может регулярно (раз в квартал или в год) получать некоторые денежные выплаты из прибыли компании, называемые дивидендами. Кроме того, любая акция может быть передана другому лицу за определенную денежную сумму, называемую ценой акции, т. е. сама акция представляет собой товар, который может быть продан или куплен. Продажа и покупка акций реализуются с помощью банков либо с помощью иных посредников (брокеров и дилеров), крупнейшие из которых объединяются, организуя фондовые биржи. Важно понимать, что уровень дивидендов не является фиксированным. Более того, цена акции на рынке меняется, как меняется цена любого товара на рынке. Вкладчик, купив акцию, может выиграть существенно больше на ее продаже после подъема курса, чем за счет получения дивидендов, но может и потерять, если курс понизился. Поэтому вклад денег в покупку акций всегда содержит в себе элемент риска, игры, и в этой игре выигрывает только богатый игрок, который может купить большое количество разнообразных акций, обеспечить себя информацией и средствами ее обработки. В развитых странах лишь немногие лица рискуют самостоятельно покупать и продавать акции через биржу. Наиболее распространенной формой вложений являются косвенные вложения через специальные инвестиционные фонды, которые осуществляют покупку акций на сделанные в них денежные вклады и текущую перепродажу акций с целью изменения поддерживаемого инвестиционным фондом портфеля (набора) акций. 8 Пайщики инвестиционного фонда получают свою долю дивидендов от всего портфеля акций. Инвестиционный фонд должен содержать специальную службу финансовых аналитиков, занимающихся прогнозированием рыночных процессов и дающих рекомендации по изменению количества и видов акций в портфеле этого фонда. Естественно, что за такие услуги инвестиционный фонд берет определенную плату с пайщиков, но это окупается за счет более рациональных капвложений. Итак, ознакомившись с товарно-денежным механизмом рыночной экономики, перейдем к рассмотрению товаров финансового рынка. Глава 1.2. Товары финансового рынка Одним из важнейших элементом любого рынка является товар. Главными товарами финансового рынка являются: наличные деньги, в том числе внутренняя и иностранная валюта; банковские кредиты; ценные бумаги. В соответствии с этими понятиями принято разделять финансовый рынок на денежный рынок и рынок капитала, а рынок капитала — на кредитный и фондовый рынки. Перечислим важнейшие виды ценных бумаг. Долговые обязательства (облигации). Все ценные бумаги такого рода происходят от простой расписки, удостоверяющей, что одно лицо (кредитор) предоставил другому лицу (дебитору) определенную сумму денег с фиксированными оговоренными условиями возврата. Зачастую их именуют ценными бумагами с фиксированным доходом, хотя это не вполне точно. Часть ценных бумаг удостоверяет взаимные обязательства только двух сторон и имеет силу только в их взаимоотношениях, однако наибольший интерес представляют ценные бумаги, которые кредитор может свободно продавать другим лицам. Именно они составляют основную массу средств, обращающихся на фондовом рынке. Акции — это ценные бумаги, удостоверяющие право их владельца на долю собственности акционерной компании, включая право на участие путем голосования в принятии основных 9 решений и право на получение дивидендов из прибылей компании. Акции компании открытого типа являются свободно продаваемыми и покупаемыми и представляют собой наиболее активную часть фондового рынка. Контракты на поставку в будущем (фьючерсы) — это обязательство продавца поставить к определенной дате определенное количество товара в определенное место. Под товаром могут пониматься реальный товар (зерно, мясо, нефть и т. п.) либо иные ценные бумаги, например, акции. Вместе с тем фьючерс сам по себе является товаром на фондовом рынке и вплоть до даты исполнения может продаваться и покупаться. Опционы на поставку в будущем — это ценные бумаги, удостоверяющие право владельца совершить покупку определенного количества товара по фиксированной цене или продать товар по фиксированной цене в определенный момент времени (европейский опцион) или вплоть до определенного момента (американский опцион). Поскольку цены контрактов и опционов зависят от цен, фигурирующих в них товаров, то их часто называют производными ценными бумагами. Субъектами, действующими лицами на фондовом рынке, являются: эмитенты, т. е. организации, выпускающие ценные бумаги; инвесторы, т. е. владельцы, вкладывающие капитал в ценные бумаги; посредники, осуществляющие продвижение ценных бумаг от эмитентов к инвесторам. Подчеркнем, что одни и те же физические и юридические лица могут выступать в роли и эмитента, и инвестора, и посредника. В качестве посредников в основном выступают брокерские конторы, фондовые биржи, инвестиционные фонды, а в ряде стран, в том числе и в России, в этом отношении чрезвычайно активны банки. При всей сложности и разнообразии финансового рынка надо отчетливо осознавать, что любой его участник преследует одну цель — преумножение капитала. Как и для любого другого рынка, покупатель, пользующийся его услугами, желает купить 10 качественный товар, но по более дешевой цене, тем самым приумножить свой капитал. Лицо, покупающее ценные бумаги, вкладывает деньги, инвестирует свой капитал в надежде получить доход в будущем. Покупка этого товара существенно отличается от покупки футболки. Лето, жарко, футболка быстро выгорела, вам ее уже не хочется носить, и на следующее лето она вам уже будет не нужна. Приумножить капитал на следующий год с помощью этой покупки вам не удалось. Лицо, продающее ценные бумаги, вкладывает полученные деньги либо в производство, либо в покупку реального товара, либо в покупку иных ценных бумаг для получения дохода. И этот доход не только позволит выполнить обязательства перед покупателем, но и получить прибыль для себя. Что является важным в рассмотренных примерах с точки зрения экономики? Естественно, стоимость товара и время. Покупка футболки на рынке этим летом позволила вам немного сэкономить, но на следующий год вам снова нужно делать покупку. Поэтому акцент на времени является финансовым решением. Здесь имеется в виду длительность выгоды при покупке. А потому, по выражению экономистов, проблемы, касающиеся временного (ударение на первое «о») распределения ресурсов, являются финансовыми проблемами. Как мы уже отмечали в предисловии к этому курсу, человеку постоянно приходится решать проблемы такого рода: покупать ту или иную вещь сегодня или завтра, вкладывать деньги в банк или хранить дома, менять ли полученную зарплату на доллары или нет? Сдавать ли в аренду свободную квартиру? Купить машину за наличные или в рассрочку? Вкладывать деньги в акции и если да, то в какие? Но это финансовые проблемы на бытовом уровне. А если вы являетесь финансовым менеджером, то вам предстоит решение более сложных проблем. Например, стоит ли осваивать выпуск новой продукции, менять ли старое оборудование на новое и где взять финансы на эти мероприятия. Если вас назначают главой международной финансовой организации, то перед вами встанут проблемы еще большего масштаба: дать ли 11 кредит правительству развивающейся страны, каковы должны быть параметры (величина и сроки) этого кредита? Каким образом и из каких источников он будет погашаться? Итак, возвращаясь к решению финансовых проблем на не бытовом уровне, рассмотрим характеристики финансовых операций. Глава 1.3. Характеристики финансовых операций Из предыдущей главы вы узнали, что каждая ценная бумага удостоверяет определенную финансовую операцию. Лица, участвующие в операции (сделке), должны четко представлять ее результаты, выгодность и эффективность. Для этого в финансовых операциях фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность выплат. Мы уже подчеркивали особую значимость времени в финансовых операциях. Вне времени нет денег. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда и даже большую роль, чем размеры денежных сумм. Золотое правило бизнеса гласит: «Сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра». А потому в основе финансово-экономических расчетов лежит понятие временной ценности денег. Необходимость учета фактора времени определяется принципом неравноценности денег, относящихся к разным периодам времени. Дело в том, что даже в условиях отсутствия инфляции и риска 1000 руб., полученные через год, не равноценны этой же сумме, полученной сегодня. Неравноценность определяется тем, что любая сумма денег может быть инвестирована сегодня и принести доход в будущем. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы и т. д. Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные. Известный афоризм «время – деньги» как нельзя лучше выражает сущность современного количественного финансового анализа. 12 А потому расчет и анализ любой финансовой операции начинается с приведения всех платежей, осуществленных в различные моменты времени, к одному моменту (настоящему или будущему), только после этого денежные суммы можно между собой сравнивать, вычитать, складывать. Основные понятия кредитной операции Финансовое состояние как большинства физических лиц, так и юридических (компании, предприятия и т. д.) для их успешности, продвижения и роста все больше и больше указывает на необходимость получения во временное пользование различных активов (средств) на условиях возвратности, срочности и платности. Иными словами – получение кредита как наиболее распространенной финансовой сделки. Эта сделка характеризуется следующими величинами: K – начальный капитал или сумма ссуды; S – наращенная сумма или полная стоимость кредита с процентами. I = S - K – доход (рост), получаемый кредитором от предоставления денег в долг; i – процентная ставка, о которой сейчас будем вести речь. Итак, I S K. (1.1) Как правило, величину дохода (роста) выражают в процентах, умножая соответствующую величину на 100. Эта традиция настолько сильна, что вместо термина «рост» часто говорят «ставка процента». Ценные бумаги, удостоверяющие долговые обязательства, называют процентными, а ростовщика — процентщиком. Если время для предоставления кредита (период начисления процентов в годах) обозначить за n, то процентная ставка – относительная величина дохода в сумме долга за единицу времени будет определяться по формуле 1.2. i I K S K , n =1 год . K 13 (1.2) Итак, процентная ставка – один из важнейших элементов коммерческих, кредитных или инвестиционных контрактов. Также можно сказать, что процентная ставка – это отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за строго зафиксированный отрезок времени, к величине кредита, ссуды и т. д. Или i – ставка процента является относительным показателем эффективности вложений (норма доходности), характеризующим темп прироста стоимости за период. Мы уже отмечали, что нет денег вне времени. А потому следующим важным понятием кредитных операций является понятие периода начисления. Итак, периодом начисления (накопления) является интервал времени, к которому приурочена процентная ставка. Но его не следует путать со сроком начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего имеют дело с годовыми ставками. Следующий важный момент – вопрос измерения процентной ставки. Процентная ставка i может измеряться в виде десятичной или обыкновенной дроби (в последнем случае она фиксируется в контрактах с точностью до 1/16 или 1/32) в процентах (%). Но следует заметить, что в формулах для финансовых расчетов процентная ставка берется в виде десятичной дроби. Например: i=15% =0,15; i=200%=2,0 и т. д. 1. По базе начисления проценты делятся на простые и сложные. Если база постоянна на весь период начисления процентов, используют простые проценты. Обычно период начисления в этом случае n < 1 года. Если за базу для начисления принимается сумма, полученная из предыдущей, с прибавлением к ней процентов, то для расчетов используются сложные проценты (иначе, процент на процент). Например, в Сбербанке уже давно существует вклад до востребования. Его идея такова, что владелец средств может в любой момент снять с него необходимую сумму в пределах ранее внесенных средств. Если же вклад закрывается, то вместе с вне- 14 сенными на него деньгами вкладчик получает дополнительно и проценты. Срок вклада не ограничен. На 2012 г. процентная ставка – 0,01% вне зависимости от валюты, в которой хранится вклад. Проценты начисляются в конце каждого квартала (отсчет ведется с момента открытия вклада), а также при закрытии вклада. А в 1997 г. процентная ставка составляла 0,02%. Существует целый ряд других вкладов, характеризуемых своими условиями и способами начисления процентов. 2. По принципу расчета процентов различают ставки наращения i и учетные ставки d. Плата за кредит может взиматься как в конце срока, так и в его начале. В первом случае проценты начисляются в конце срока, исходя из величины предоставляемой суммы K, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами, т. е. S = K + I. Такой способ начисления процентов называется декурсивным. Процентная ставка i I K S K , K (1.3) (n=1 год) называется ставкой наращения. Во втором случае процентный доход D, называемый дисконтом, выплачивается в начале срока. При этом должнику выдается сумма, уменьшенная на его величину, т. е. S - D; а возврату в конце срока подлежит вся исходная ссуда S. Такой способ начисления процентов называется антисипативным, а процентная ставка – учетной ставкой. Учетная ставка d D S S K , n=1 год. S (1.4) 3. Процентные ставки могут быть фиксированными (постоянными), когда в контракте (сделке, финансовой операции) указывается их размер, или «плавающими», когда фиксируется не сама ставка, а изменяющиеся во времени базовая ставка и надбавка к ней, называемая маржой. 4. По периоду начисления проценты делятся на дискретные проценты и непрерывные проценты. 15 Дискретные проценты начисляются за фиксированные в договоре интервалы времени (год, полгода, квартал, месяц, день). Непрерывные проценты связаны с непрерывным интервалом начисления. Проценты согласно договоренности между кредитором и заемщиком выплачиваются по мере их начисления или присоединения к основной сумме долга (капитализация процентов). Еще раз подчеркнем и проиллюстрируем рисунком, что процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называют наращением, или ростом, этой суммы, рисунок 1.1. Наращение K Сегодня Дисконтирование S Будущее Рисунок 1.1 Таким образом, операция наращения состоит в том, что по сегодняшней сумме ссуды K рассчитывается ее будущая стоимость S. И как мы уже говорили ранее, возможно определение процентов и при движении во времени в обратном направлении – от будущего к настоящему. В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта (скидки). Такой способ называют дисконтированием (сокращением), рисунок 1.1. Итак, операция дисконтирования состоит в том, что на сегодняшний момент времени пересчитывается некоторая будущая сумма денег S. В этом случае сумму K называют современной или приведенной величиной. Ну а далее остановимся более подробно на рассмотрении простого процента, хотя в курсе «Экономико-математические методы и модели» и в практической части этого курса вы уже частично рассматривали это понятие. 16 РАЗДЕЛ 2. НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ Глава 2.1. Основные понятия Вы взяли в банке кредит в размере некоторой суммы. Обозначим ее величиной К (основная сумма долга). Банк выступил в роли кредитора – лица, выдавшего в долг финансовые средства. Вы в этой ситуации являетесь дебитором (заемщиком, должником) – лицом, получившим финансовые средства в личное пользование на определенное время. Банк заключает с вами финансовый контракт (договор), в котором указаны длительность контракта и плата в виде процента за его использование. Понятно, что сущность этой кредитной сделки с позиции кредитора состоит в получении определенной выгоды. И эта выгода выражается в той переплате, которую вы отдаете банку. Эту переплату называют платой за кредит, или суммой процентов за период сделки. Обозначим ее, как и ранее мы уже говорили буквой I . Сумма погашения (полная сумма) долга, которую мы обозначим буквой S , будет складываться из суммы основного долга кредита и его процентов, т. е. (2.1) S K I. Эту сумму мы ранее называли еще термином «наращенная сумма». Вероятно, что всем ясно, что процент I характеризует результат финансовой сделки. Но вот на что нужно обратить внимание: этот результат имеет прямо противоположное значение для обоих участников сделки – кредитора и дебитора. Для кредитора (в нашем случае банка) он выражает доход от сделанной им инвестиции, для дебитора (заемщика) – представляет собой стоимость кредита и должен трактоваться им как издержки (убытки). А теперь разберемся, как вычисляется процент кредита. 17 Но здесь, вероятно, необходимо напомнить, что слово «процент» (pro centum) означает «на сотню» и оно может иметь два следующих значения. Первое из них – математическое: 1% от некоторого числа В означает сотую долю этого числа, т. е. он равен 0,01В. Например, 8% от числа 500 составляют 500 8 500 0,08 40. 100 Второе значение – экономическое: в финансовой сфере слово «процент» представляет собой плату (в рублях, долларах, евро и т. д.), предоставляемую одним лицом (кредитором) другому лицу (заемщику, дебитору, должнику), выраженную в сотых долях от суммы долга. Очевидно, что второе значение слова «процент» более емкое, чем первое. Оно констатирует тот факт, что «за долг надо платить», а также содержит в себе количественную характеристику долга – «сколько надо платить». Если вы разобрались с тем, «сколько надо платить» – это и есть величина процента кредита, – то уже хорошо, можно двигаться дальше. Мы уже отмечали ранее, что вне времени нет денег. Поэтому необходимо указать срок кредита, который будем обозначать буквой n. Следующим важным показателем кредита является годовая процентная ставка, которую будем обозначать буквой p. Годовая процентная ставка показывает, сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала за год. Если ставка измеряется в долях единицы, то она обозначается буквой i p . 100 Тогда каждый год приносит проценты в сумме K p . Начисленные на весь срок проценты составят величину, равную K p n . K 100 Тогда , откуда найдем значение процента как неI p n известного среднего члена пропорции, т. е. 18 I Kp n . 100 (2.2) Таким образом, процент кредита будет равен одной сотой части произведения основного долга, срока кредита и годового процента. Но т. к. мы обозначили отношение i p , то формулу 2.2 100 можно записать иначе: Kpn I K i n. 100 (2.2*) Еще раз подчеркнем, что I - доход (процентный платеж, процентные деньги или просто проценты), получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой. Но вы же взяли деньги взаймы, значит, возвращаете кредитору наращенную сумму по формуле 2.1, S K I . Учитывая формулу 2.2, получаем S K I K K i n K (1 i n ) . Итак, наращенная сумма, или сумма, которую заемщик должен возвратить кредитору, задается формулой 2.3, называемой формулой простых процентов, или формулой наращения по простым процентам. S K (1 i n ) . (2.3) В этой формуле величину (1 i n ) называют множителем наращения по простым процентам. Напомним, что n – время в долях года, i p – процентная 100 ставка в долях единицы. Итак, вычисления с помощью простых процентов – это метод расчета дохода кредитора от предоставления денег в долг заемщику. Если внимательно исследовать формулу 2.3, то можно заметить, что простые проценты дают больший доход при их начислении на срок меньше года. 19 Итак, если по начальному капиталу (сегодняшним деньгам) K находится будущая сумма денег S, то операция называется наращением. Значит, формула 2.3 – формула наращения по простым процентам. Если же, зная будущие деньги S, находят их сегодняшнюю сумму K по формуле: S K , (2.4) 1 i n то операция называется математическим дисконтированием. 1 Величина называется дисконтным множителем. 1 i n 1 (2.5) 1 i n Необходимо отметить, что при расчете процентов применяют две временные базы: t 360 дней или t 365 дней. Если t 360 , то получают обыкновенные или коммерческие проценты, а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные проценты. Число дней ссуды (кредита) также можно измерять приближенно и точно. При приближенном способе число дней в любом месяце года принимается за 30. Точное число дней суды определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Например, вы взяли ссуду в банке 11 января 2012 г. и обязуетесь ее погасить 10 июля 2012 г. Определим в днях срок этой ссуды. Итак, по месяцам: январь – 21 день (мы посчитали 11 января, значит, тем самым уже учтено 10 июля, т. к. день выдачи и день погашения считаются за один день); февраль – 29 дней; март – 31 день; апрель – 30 дней; май – 31 день; 20 июнь – 30 дней; июль – 9 дней (почему так, мы уже выяснили). Сложив дни, получим: t 21 29 31 30 31 30 9 181 день. Итак, на практике применяют три варианта расчета простых процентов. Глава 2.2. Варианты расчета простых процентов 1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант дает самые точные результаты. Поэтому его кратно называют точным методом. Такой способ применяется центральными банками многих стран, и многими коммерческими банками, например, в США, Великобритании. В коммерческих документах он обозначается как 365/365 или АСТ/АСТ. 2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод иногда называют банковским. Он распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, во внутристрановых – во Франции, Бельгии, Швейцарии. Он обозначается, как 365/360 или АСТ/360. Этот вариант расчета дает несколько больший результат, чем применение точных процен364 1,01111 . Множитель тов. Например, если t 364 , то n 360 наращения (1 i n ) при условии, что i 0,2 будет равен 1,20222. Можете в этом убедиться, проверив расчет самостоятельно. 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Этот метод применяется, когда не требуется большой точности, например, при промежуточных расчетах. Он принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании, его условно обозначают 360/360. На практике возникает ситуация, когда срок ссуды захватывает два смежных (соседних) календарных года и есть необходимость в делении процентов между ними (например, при определении годовых сумм дохода и т. д.). Тогда общая сумма начисленных процентов составит сумму процентов, полученных в каждом году. Например, процент по ссуде части первого года со- 21 ставил 700 руб., а по части второго года 1100 руб. Тогда общий процент ссуды на весь срок составил 1800 руб. Вот эта часть лекции является азбукой финансовой математики, из которой будем строить финансовые термины и расчеты. Ну и уже настала пора приступить к таким расчетам. Как следует из рассмотренной теории находить наращенную сумму или общий долг можно, либо по формуле 2.1, либо по формуле 2.3. Задача 2.1 Коммерческий банк предлагает открытие счетов под 12% годовых. Вы решили вложить имеющиеся у вас 200 тыс. руб. на 8 месяцев. Определим сумму, которая будет получена вами к концу срока. Разберемся с условием задачи, исходя из принятых нами обозначений. Итак, начальная сумма К = 200 тыс.руб. Срок вклада равен 8 месяцам, и мы должны перевести его в доли года, n = 8 года. 12 Процентная ставка p = 12%, переведем процентную ставку p 12 0,12. в доли единицы, т. е. i 100 100 Требуется найти будущую (наращенную) сумму, т. е. S = ? Как мы уже отмечали ранее задачу можно решать двумя способами: по формуле 2.1 или по формуле 2.3. Решение: I способ. Kpn S = K + I, I . 1200 I= 200 12 8 = 16 тыс. руб. 1200 S = 200 + 16 = 216 тыс. руб. 22 II способ. Ставка годовая, срок n в месяцах переведем в доли года: n = 8 месяцев = 8 года. 12 S = K(1 + ni)=200(1 + 8 .0,12) = 216 тыс. руб. 12 Итак, наращенная сумма 16 тыс. руб. это деньги, которые вкладчик заработал, вложив свой капитал в банк. Задача 2.2 Капитал 200 тыс. руб. вложен в банк на 80 дней под 12% годовых. Найти величину вклада через 80 дней. Расчет сделать точным и банковским методом. Решение: K = 200 тыс. руб., n 80 360 года или n 80 365 года, i = 0,12, S=? Точный метод: Т.к. ставка годовая, срок n переведем в доли года: n 80 365 года, тогда S K (1 i n ) 200 (1 0,12 80 ) 365 205,26 тыс. руб. Банковский метод: Срок n 80 360 года, тогда 80 ) 205,33 тыс.руб. 360 Очевидно, что банковский метод дает большее наращение. Ставка i и время n в этих формулах соразмеримы. Это значит, что если ставка годовая, то время измеряется в годах; если ставка полугодовая – в полугодиях, и т. д. S K (1 i n ) 200 (1 0,12 Задача 2.3 Для завершения работ по вводу строящегося объекта вам потребовалась ссуда в размере 1 млн. руб. на срок от 20.01 до 05.10 включительно. Банк выдает ссуду под 18 % годовых. 23 Какую сумму вам предстоит заплатить в конце срока при начислении простых процентов? Решение: При решении этой задачи применим все три метода расчета простых процентов. Предварительно определим число дней ссуды: точное – 258 дней; приближенное – 255. Чтобы убедиться в этом, при точном способе предлагаем вам, как мы и уже делали ранее, прописать все дни по месяцам и сложить. При приближенном способе рассуждаем так: от 20.01 до 05.10 включительно получается 8 месяцев, т. е. 240 дней, и плюс 11 дней января да 4 дня октября. В итоге – 255 дней. Точный метод: 258 S K (1 i n ) 1000000 (1 0,18 ) 1127233 руб. 365 Банковский метод: 258 S K (1 i n ) 1000000 (1 0,18 ) 1129000 руб. 360 Метод обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды: 255 S K (1 i n ) 1000000 (1 0,18 ) 1127500 руб. 360 Вы уже заметили, что при банковском методе вам придется выплачивать самый высокий процент – 129 000 руб. Задача 2.4 Строительная компания решила приумножить свой начальный капитал – 30 млн. руб. Какова будет наращенная сумма компании через 5 месяцев, если банки предлагают следующие ставки: а) ежегодная ставка 30 %; б) ежемесячная ставка 3 %; в) квартальная ставка 5 %. Решение: К = 30 млн. руб., n = 5 месяцев, р = 30%, i = 0,03. 24 а) Т. к. 30 % – годовая ставка, время переводим в доли года n = 5 месяцев = 5 12 года. 5 ) 33,75 млн. руб. 12 б) Этот расчет проведем двумя способами. I способ. Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежемесячную ставку и время в месяцах: 3 % – ежемесячная ставка, n = 5 месяцев, S K (1 i n ) 30 (1 0,03 5) 34,5 млн. руб. II способ. Рассчитаем наращенную стоимость, переведя ежемесячную ставку в годовую, и время в месяцах переведем в доли года: 3% 12 месяцев 36% - годовая ставка, S K (1 i n ) 30 (1 0,3 n = 5 месяцев = 5 12 года, 5 ) 34,5 млн. руб. 12 в) Этот расчет проведем тремя способами. I способ. Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежеквартальную ставку, а время в месяцах переведем в кварталы, помня о том, что 1 квартал равен 3 месяцам: S K (1 i n ) 30 (1 0,36 5 % – ежеквартальная ставка, n = 5 месяцев = S K (1 i n ) 30 (1 0,05 5 3 квартала, 5 ) 32,5 млн. руб. 3 II способ. Рассчитаем наращенную стоимость, переведя ежеквартальную ставку в годовую, а время, заданное в месяцах – в доли года: 5% 4 квартала = 20% - годовая ставка, n = 5 месяцев, n 5 12 года, S K (1 i n ) 30 (1 0,2 25 5 ) 32,5 млн. руб. 12 III способ. Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежемесячную ставку и время в месяцах: 5% : 3 5 % – ежемесячная ставка, n = 5 месяцев, 3 S K (1 i n ) 30 (1 5 5 ) 32,5 млн. руб. 300 Обратите внимание! Ставка годовая, срок измеряется в годах; Ставка ежемесячная, срок – в месяцах и т. д. Глава 2.3. Банковский учет. Учет векселей Ранее мы выяснили, что одним из видов финансовой сделки является получение кредита, ссуды в банке. Осуществляются эти операции на основе договора, заключаемого кредитором с заемщиком. Если предприятие получает в банке кредит, то оно также заключает с банком депозитный договор. Но во многих случаях такого рода кредитные сделки осуществляются посредством эмиссии (выпуска) и продажи обращающихся долговых обязательств. В отличие от прямого контракта эти обязательства представляют собой ценные бумаги, которые относительно легко могут менять своих владельцев. Важным для ценной бумаги являются ее обязательные реквизиты. Они содержат: начало сделки – дату эмиссии; конец сделки – дату погашения; номинал – полную возвращаемую сумму долга. Одним из самых распространенных примеров дисконтных ценных бумаг являются вексели. Итак, реквизиты векселя: номинал – F; дата эмиссии – t 0 ; дата погашения – t 1 или срок погашения – T0 . Как вы успели заметить, в этих реквизитах не указаны процентные ставки, хотя в некоторых разновидностях векселей зада- 26 ние процентных ставок подразумевается. В реквизите векселя задание номинала – это и есть сумма погашения. Что это означает? Именно эту сумму в день погашения t 1 получит владелец векселя, купивший его по некоторой (естественно, меньшей, чем номинал) цене либо в день эмиссии, либо в некоторый другой день до даты погашения. В нашей стране похожими на вексели ценными бумагами, выпускаемыми Министерством финансов РФ, являются ГКО (государственные краткосрочные облигации), их номинал – 1 000 руб. Именно по этой цене облигация погашается. Инвесторы покупают ГКО на финансовом рынке по цене, меньшей номинала. На финансовом рынке цена ГКО задается в виде курса (или котировки) на данный момент времени (текущий курс), который выражается в процентах от номинальной стоимости облигации. Например, курс 75 означает, что цена составляет 750 руб. Возвращаясь к векселям, отмечаем, что операция по учету векселей состоит в том, что банк до срока погашения покупает (учитывает) вексель у его держателя. Банк покупает вексель у владельца по меньшей цене, чем та, которая указана на векселе, т. е. покупает, учитывает его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. А владелец векселя помощью его учета может получить деньги, хотя и не в полном объеме, но ранее указанного срока. Работает принцип «время – деньги». При учете векселя применяется банковский, или коммерческий, учет. Проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d, о которой мы вели речь в главе 1.3. Нами было отмечено, что учетная ставка d D S S K , при S n=1 год. Найдем из этого равенства начальный капитал К. d S S K , K S d S S (1 d ) . 27 Если срок векселя более года, тогда и начальный капитал будет изменяться соответственно с числом лет в разы и находиться таким образом: K S n d S S (1 n d) S D и K S (1 n d ) (2.6) Размер дисконта равен D S n d . Величина (1 - nd) называется дисконтным множителем. Из формулы банковского учета K S (1 nd ) следует: K . (2.7) 1 nd Формула 2.7 называется формулой наращения по простой учетной ставке. В формулах 2.6 и 2.7 значение n – срок от момента учета векселя до момента его погашения. S Задача 2.5 Векселедержатель предъявил для учета вексель на 5 млн.руб. со сроком погашения 28.04.2012. Вексель предъявлен 13.04.2012. Какую сумму получит векселедержатель, если: а) вексель погашается по учетной ставке d = 0,75; б) вексель погашается по процентной ставке i = 0,75? Решение: а) В соответствии с формулой 2.6 по учетной ставке 15 K S (1 n d ) 5 (1 0,75) 4,844 млн. руб. 360 б) В соответствии с формулой 2.4 по процентной ставке S 5 K 4,848 млн. руб. 1 ni 1 15 0,75 360 Сравнив полученные значения, заключаем: вексель выгоднее учитывать по процентной ставке, в этом случае векселедержатель получает большую сумму. 28 Глава 2.4. Одновременное наращение и дисконтирование В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга K, необходимо решить две задачи: определить конечную сумму долга S на момент его погашения; рассчитать сумму K1, получаемую при учете, путем дисконтирования конечной суммы долга, применяя учетную ставку, действующую в момент учета. В задачах такого типа при работе с векселями рассматриваются три даты: выдачи векселя, его учета и его погашения, рисунок 2.1. Срок между датами выдачи и погашения обозначим n, за это время первоначальная сумма K по ставке i вырастет до суммы S = K(1+ni). Срок между датами учета векселя и его погашением обозначим через n1. Найдем сумму, полученную при учете векселя, дисконтируя сумму S по ставке d: K1 = S(1-n1d). Оба действия можно объединить в одно: K1 K (1 n i) (1 n1 d) . (2.8) Обращаем внимание, что в формуле (2.8) n – общий срок обязательства; n1 – cрок от момента учета векселя до погашения. K Дата выдачи векселя n S Дата учета векселя Рисунок 2.1 n1 Дата погашен ия векселя Задача 2.6 Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i=20% годовых, было учтено за 40 дней до срока погаше- 29 ния по учетной ставке d =15%. Требуется найти сумму, полученную при учете. Решение: В соответствии с формулой 2.8 K1 K (1 n i) (1 n1 d) . Подставив данные задачи в формулу, получим: K1 2 (1 100 40 0,2) (1 0,15) 2 (1 n i) (1 n1 d) 2,074 млн.руб. 365 360 Глава 2.5. Формулы доходности финансовых операций Если в формулах наращения по процентной и учетной ставке принять срок n = 1 году, то получим, что i S K иd K S K . S Если n 1 году, то d S K и K n i S K . S n (2.9) (2.10) Формулы 2.9 и 2.10 принято называть формулами доходности, или эффективности по простой ставке процентов и учетной ставке соответственно. Задача 2.7 Предприятие получило кредит на 1 год в размере 100 млн. руб. с условием возврата 150 млн. руб. Найти доходность операции для кредитора в виде процентной и дисконтной (учетной) ставок. Запишем условие задачи в принятых нами обозначениях: К = 100 млн. руб., S = 150 млн. руб., n = 1 год. i= ? d = ? Решение: i S K , Kn i 150 100 100 1 0,5 50%; d S K , d Sn 150 100 150 1 0,33 33%. Из результатов решения замечаем, что дисконтная ставка всегда меньше процентной, ибо она учитывает время более жестко. 30 Иногда размер дисконта в контрактах фиксируется за весь срок ссуды в виде доли (или процента) от суммы погасительного платежа. Таким образом, уровень процентной ставки задается в неявном виде. Выведем формулы, с помощью которых можно вычислить значения этих ставок. Пусть S – размер погасительного платежа (сумма ссуды к концу срока), dn – доля этого платежа, определяющая величину дисконта за весь срок ссуды. К = S(1 – dn) – реально выдаваемая ссуда в момент заключения договора. Тогда i S K Kn S S(1 d n ) S(1 d n )n i d S K Sn S S(1 d n ) Sn dn ; т. е. (1 d n )n dn . (1 d n )n dn , т. е. n dn . d n (2.10) (2.11) Задача 2.8 Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного на 200 дней, сразу удерживается дисконт в размере 25% указанной суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и годовой простой ставки i. Год полагать равным 365 дней. Решение: d i 0,25 0,45625, т. е. d 45,625%. 200 / 365 0,25 0,60833, т. е. i 60,833%. (1 0,25) 200 / 365 Глава 2.6. Простые переменные ставки В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если i1, i2,… ik – последовательные во времени простые ставки, а n1, n2,… nk – периоды, в течение которых применяются 31 соответствующие ставки, тогда наращенная сумма определяется следующим образом: S K (1 n 1 i1 n 2 i 2 ... n k i k ) . (2.12) Величина, стоящая в скобках формулы 2.12, называется множителем наращения. 1 n t i t 1 n 1i1 n 2 i 2 ... n k i k (2.13) Задача 2.9 Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Определить множитель наращения за 2,5 года. Решение. Рассуждаем в соответствии с принятыми обозначениями: n1=1 год, i1 =16%, n2=1/2 года, i2 =(16+1)% = 17%, n3=1/2 года, i3 =(17+1)% = 18%, n4=1/2 года, i4 =(18+1)% = 19%. Общий срок начисления процентов 1+1/2+1/2+1/2=2,5 года. По формуле 2.13 вычислим множитель наращения n tit 1 1 0,16 1 / 2 0,17 1 / 2 0,18 1 / 2 0,19 1,43. =1 Множитель наращения показывает, во сколько раз изменился начальный капитал за указанный период. В нашем случае за 2,5 года начальный капитал увеличился в 1,43 раза. Глава 2.7. Реинвестирование Взяв в банке кредит под процент i1 на некоторое время t 1 , вам снова потребовались средства, и вы решаете продолжать сделку с банком, но уже под новый процент i 2 . В этом случае время t 1 – это тот критический момент, когда заканчивается «первая» кредитная сделка и процентная ставка меняется с i1 на i 2 . В результате получается первая наращенная сумма S1 . Эта сумма, в свою очередь, становится начальной (начальным капиталом) для новой сделки под процентную ставку i 2 , которая заканчивается в следующий критический момент t 2 . 32 В этот критический момент вам снова потребовались средства, и вы наращенную сумму S 2 снова вкладываете под простые проценты с нормированной ставкой i 3 и т. д. Последовательность кредитных сделок такого типа отражает процесс так называемого реинвестирования или капитализации процентов. На практике при реинвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, т. е. к реинвестированию средств, полученных на каждом этапе наращения. (Оно напоминает наращение по сложным процентам, но только напоминает!) В этом случае наращенная сумма для всего срока составит: S K (1 n 1 i1 )(1 n 2 i 2 )  (1 n k i k ), (2.14) где k – количество реинвестиций. Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то формула реинвестирования примет вид: S K(1 ni) k , (2.15) где k – количество реинвестиций. Задача 2.10 Сумму в 100 тысяч рублей положили 1 января на месячный депозит под 20% годовых. Каковой будет наращенная сумма, если операция повторяется 3 раза? Расчет сделать по точным и банковским процентам. Решение: По условию задачи депозит в 100 тысяч рублей реинвестируется трижды по простым процентам. Воспользуемся формулой 2.14, учитывая точные проценты (показываем 365 дней в году и, помня, что в январе 31 день, в феврале считаем – 28 дней, в марте – 31 день). По точным процентам: S 100(1 31 28 31 0,2)(1 0,2)(1 0,2) 105,013тыс. руб. 365 365 365 33 Т. к. при расчете по банковским процентам в году принимается 360 дней, в каждом месяце по 30 дней. Тогда можно воспользоваться формулой 2.15, т. к. периоды начисления и ставки не изменяются. S 100(1 30 0,2) 3 105,084 тыс.руб. 360 Итак, в этом разделе вы узнали о возможностях использования схемы простых процентов с постоянными и переменными ставками, способах вычисления процентной и учетной ставки, наращенной суммы. Было отмечено, что по базе начисления проценты делятся на простые и сложные. И если за базу для начисления принимается сумма, полученная из предыдущей, с прибавлением к ней процентов, то используют сложные проценты (иначе, процент на процент). Об этом мы и поведем разговор в следующем разделе. 34 РАЗДЕЛ 3. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ Глава 3.1. Наращение по сложным процентам В средне- и долгосрочных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, то для наращения используются сложные проценты. Чаще всего вкладчики живут за счет снимаемых процентов, а потому к таким вкладам применяют уже известную схему простых процентов. Сложные проценты отличаются от простых процентов базой начисления. Если в простых процентах она остается постоянной на весь срок начисления, то в сложных при каждом начислении процентные деньги присоединяются к первоначальной базе. Говорят, идет капитализация процентов. Будем рассуждать так же, как и при рассмотрении простых процентов. Пусть: К – первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т. д.); i – годовая (номинальная) процентная ставка; n – число лет начисления, Очевидно, что в конце первого года проценты будут равны величине K i , а наращенная сумма будет равна величине K K i K (1 i). К концу второго года она достигнет величины K (1 i) K (1 i) i K (1 i) 2 и т. д. В конце n-ого года наращенная сумма будет равна S K (1 i) n . Тогда формула наращения по сложным процентам, если проценты начисляются один раз в году, имеет вид (3.1) S K (1 i) n , где (1 i)n – множитель наращения по сложным процентам. Задача 3.1 Сумма, равная 800 тыс. руб., инвестируется на 3 года под 80% годовых. Найти наращенную сумму и сумму процентов за этот срок, используя простые и сложные проценты. 35 Решение: K 800 тыс. руб.; i 80% 0,8 ; n 3 . Используя формулу сложных процентов 3.1, получим: S K (1 i) n Доход 800(1 0,8)3 800 5,832 4665,6тыс.руб. 4665,6 800 3865,6тыс.руб. I По формуле 2.3 простых процентов получим: S K (1 ni) 800(1 3 0,8) 800 3,4 2720 тыс.руб. Доход I 2720 800 1920 тыс.руб. Множитель наращения по сложным процентам (1 i) 5,832 , а по простым процентам множитель наращения равен (1 ni) 3,4. Это означает, что за 3 года 800 тыс. руб. увеличились в 5,832 раза по сложным процентам и только в 3,4 раза по простым процентам. n Таблица 3.1 Начисление простых процентов Год вклад доход на от начало вклада года Начисление сложных (кумулятивных) процентов вклад доход на вклад на конец от начало года вклада года вклад на конец года 1 2 3 4 5 6 7 1-й 1000 100 1000+100=1100 1000 100 1000+100=1100 1 2 3 4 5 6 7 2-й 1100 100 1100+100=1200 1100 110 1100+110=1210 3-й 1200 100 1200+100=1300 1210 121 1210+121=1331 Итого - - 1300 - - 1331 Накопленная (наращенная) сумма S K (1 i) n S K (1 n i), 36 Чтобы ярче представить разницу в схемах наращения по простым и сложным процентам, виртуально поместим в банк 1 000 руб. и проанализируем результат. Помещаем вклад на три года под 10% годовых. Банк может начислять как простые проценты, так и сложные. В табл. 3.1 приведем сравнительные данные начисления на сумму в 1 000 руб. по каждому году. Видим, какие результаты получаются на конец каждого года и что будет на вкладе по окончании срока при начислении по простым и сложным процентам. При схеме начисления простых процентов сумма вклада через 3 года составит 1 300 руб., а по схеме сложных процентов – 1331 руб. Задача 3.2 Сумма, равная 800 тыс. руб., инвестируется на 3 месяца под 80% годовых. Найти наращенную сумму и сумму процентов за этот срок, используя простые и сложные проценты. Решение: Т. к. сложные проценты начисляются в долях годах, то переведем 3 месяца в доли года. Это значит, что n 3 . По формуле 12 3.1 сложных процентов получим величину наращенной суммы. S K (1 i) n Доход 800(1 0,8) 3 / 12 800 1,158 926,63 тыс.руб. I 926,63 800 126,63 тыс.руб. При определении наращенной суммы по формуле 2.3 простых процентов также переведем срок в доли года, т. е. n 3 и 12 получим: 3 0,8) 800 1,2 960 тыс.руб. 12 I 960 800 160 тыс.руб. S K (1 ni) 800(1 Доход На основании проведенных вычислений делаем вывод: Сложные проценты работают лучше, если срок n больше 1 года, простые проценты лучше работают (дают большее наращение) внутри года. Если срок начисления процентов 1 год, простые и сложные проценты дают одинаковый результат. 37 При оформлении кредита перед заемщиком встает дилемма, на какой срок выгоднее оформить кредит? Попытаемся ответить на этот вопрос рассмотрением следующей задачи. Задача 3.3 Найти сумму долга в 15 млн. руб. через 8 месяцев, 320 дней, 2 года, 10 лет по сложным годовым ставкам 5% и 8%. Решение: Решение задачи будем выполнять по формуле 3.1, S K (1 i) n , пересчитывая срок в доли года и меняя годовые ставки 5% и 8%. Можете проверить результаты вычислений, они должны совпадать с теми, которые представлены ниже. 8 S S 15(1 + 0,05) 15(1 0,05) S 15(1 0,05) S 15(1 0,05) 12 320 360 2 10 15,495; S 15,665; S 16,538; 24,433 ; 15(1 0,08) 15(1 0,08) S 15(1 0,08) S 15(1 0,08) 8 12 320 360 2 10 15,790; 16,062; 17,496; 32,384 . Внимательно проанализировав расчеты, можно заключить следующее: Сумма долга зависит от процентной ставки и числа лет начисления. Сравните суммы по годам и по процентным ставкам. (Сумма долга растет с увеличением и процентной ставки, и числа лет начисления). При большом сроке наращения (в нашем случае 10 лет) даже небольшое изменение ставки (в нашем случае с 5% до 8%) заметно влияет на величину множителя. В свою очередь, очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке. Например, остров Манхэттен, на котором расположена центральная часть Нью-Йорка, был куплен (а точнее выменян) за 24 долл. Стоимость этого острова 350 лет спустя оценивалась примерно в 40 млрд долл. Простым делением можно убедиться, что первоначальная сумма увеличилась примерно в 1,667 10 9 раз. 38 Глава 3.2. Наращение процентов m раз в году. Номинальная ставка В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в год – по полугодиям, кварталам и т. д. При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой сложных процентов 3.1, но с оговорками. Параметр n в этих условиях будет означать число периодов начисления, а под ставкой i следует понимать ставку за соответствующий период. Поэтому, обозначим годовую ставку, по которой проценты начисляются несколько (например, m) раз в году числом j. Тогда такую ставку называют номинальной ставкой. Если проценты начисляются m раз в году, то наращение j , общее число начислеm ний процентов за срок n равно произведению m n N . процентов будет происходит по ставке Формула наращения процентов по номинальной ставке j при m-разовом начислении процентов в году примет вид: S K (1 j mn ) m K (1 j N ) . m (3.2). Если j – номинальная ставка сложных процентов, то при m = 2 получается полугодовая ставка, при m = 4 - квартальная, при m = 12 – ежемесячная, при m = 365 (360) – ежедневная ставка процентов. Практическая задача, которую мы сейчас рассмотрим, является важной в понимании схемы сложных процентов при многократных начислениях. Попытайтесь в ней разобраться. Задача 3.3 Строительная компания вложила в банк 5 млн. руб. на 2 года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. Составить схему наращения капитала, найти наращенные суммы по периодам начисления и к концу срока двумя способами: 39 1) по определению сложных процентов (как процент на процент); 2) по формуле 3.2, при n=0,5; 1; 1,5; 2 года, число начислений процентов в году m 2 . Решение: Рассчитаем полугодовую ставку житель наращения будет равен 1 j m 20% 2 100 0,1 , тогда мно- j 1,1. m 1 способ По первому способу сумма, с которой идет наращение, увеличивается с каждым наращением процентов, т. к. по определению сложных процентов база для начисления изменяется за счет присоединения полученных на предыдущем шаге процентов, т. е. Si S1 j ). m 5 1,1 5,5 млн.руб.; S2 5,5 1,1 6,05 млн.руб.; S3 6,05 1,1 6,655млн.руб.; S4 6,655 1,1 7,3205млн.руб. K i (1 2 способ По второму способу наращения начальный капитал К=5,0 млн. руб. остается неизменным. 2 1 2 S1 5,0 1,1 S2 5,0 1,12 1 2 3 2 S3 5,0 1,1 S4 5,0 1,12 3 5,5млн.руб.; 6,05млн.руб.; 6,655млн.руб.; 7,3205млн.руб.. Естественно, что по обоим способам результаты получились одинаковыми. 40 Задача 3.4 Сумма 10 млн. руб. инвестирована на 2 года по годовой ставке 120%. Найти наращенные за это время суммы и приросты при начислениях: 1. ежегодном (m=1), 2. полугодовом (m=2), 3. ежеквартальном (m=4), 4. ежемесячном (m=12), 5. ежедневном (m=365). Решение: 1. При ежегодном начислении процентов S 10(1 1,2 1 2 ) 1 48,4млн.руб. Прирост I 48,4 10 38,4 млн.руб. 2. При полугодовом начислении процентов S 10(1 1,2 2 2 ) 2 65,536 млн.руб. Прирост I 65,536 10 55,536 млн.руб. 3. При ежеквартальном начислении процентов 1,2 4 2 S 10(1 ) 81,573млн.руб. 4 Прирост I 81,573 10 71,573млн.руб. 4. При ежемесячном начислении процентов 1,2 12 2 ) 98,497млн.руб. 12 Прирост I 98,497 10 88,497 млн. руб. S 10(1 5. При ежедневном начислении процентов S 10(1 1,2 365 2 ) 109,799млн.руб. 365 Прирост I 109,799 10 99,799млн.руб. Какой можно сделать вывод на основании полученных данных? Чем чаще начисляются проценты, тем больше получается наращенная сумма. Помните, что это справедливо при прочих равных условиях, а именно ставка, срок, начальный капитал остаются неизменными, меняется только число начислений процентов в году. 41 Глава 3.3. Непрерывные проценты Как понять термин «непрерывные проценты»? Если говорить о практических ситуациях, то в финансово-кредитных операциях наращения за бесконечно малые отрезки времени – «непрерывные проценты» – применяются очень редко. Ими чаще всего пользуются при обосновании и выборе инвестиционных решений, в финансовом проектировании. При непрерывном наращении процентов применяют особый вид ставки – силу роста. Она характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени. Если число начислений процентов в году m , то для преобразования результата в формуле 3.2 нужно вспомнить один из замечательных пределов, которые вы рассматривали в разделе «Математический анализ» курса «Математики». Этот предел выглядит так: lim (1 x 1 x ) n e , где e 2,718 – основание натуральных логарифмов. И если вы подставите его значение в формулу j mn S K (1 ) , то получите S K e jn . m Для того чтобы отличить непрерывную ставку наращения от дискретной (прерывной), обозначим силу роста j , тогда наращенная сумма будет вычисляться по формуле: S K e n. (3.3) n В этой формуле – непрерывная ставка, e – показатель роста. Задача 3.5 На сумму 10 млн руб. начислить проценты по непрерывной ставке 12% за 5 лет. Решение. В соответствии с формулой 3.3 получим: S K e n 10 e0,12 5 10 1,8221188 18,221млн.руб. 42 Глава 3.4. Дисконтирование по сложным процентам и по сложной учетной ставке Напомним, что при дискретном начислении сложных процентов множитель наращения имеет вид (1 i) n , а при непрерывном наращении процентов он задается видом e n При большом значении n эти величины будут равны, т. е. (1 i) n e n . Далее возьмем от обеих частей натуральные логарифмы и применим свойства натуральных логарифмов степени. n ln e . ln(1 i) n ln e n , n ln(1 i) Разделив обе части равенства на n и учитывая, что ln e 1, получим: ln(1 i) ln e Из равенства двух логарифмов с одинаковыми основаниями делаем вывод о равенстве их подлогарифмических выражнений, т. е. 1 i e В результате чего находим, что i e (3.4) 1 Эта формула устанавливает функциональную связь между непрерывным наращением сложных процентов и дискретном наращении по годовой ставке. Вернемся к задаче 3.5 и убедимся в этом. Найдем по формуле 3.4 процентную ставку i e 1 0,127497. Тогда по формуле 3.1 наращенная сумма будет равна S K (1 i) n 10 (1 0,127497 ) 5 18,221 млн руб. Вы убедились в равенстве наращенных сумм. Далее выразим из формулы 3.3 начальный капитал, т. е. S K e n, K S en S e n (3.5). Полученное равенство называют уравнением дисконтирования, в этом выражении множитель e n называют дисконтным. Полученная при дисконтировании величина К часто называется сегодняшней, или современной, величиной. 43 Еще один вопрос, который мы не осветили в этой главе – учет по сложной учетной ставке, которая иногда используется в практике учетных операций. В этих случаях процесс дисконтирования происходит с замедлением, т. к. каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при простой учетной ставке), а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле (3.6) K S (1 d) n , где d – сложная учетная ставка. Напомним, что по простой учетной ставке дисконтирование вычисляется по формуле 2.6, о которой мы вели речь во втором разделе. Выразим из формулы 3.6 значение наращенной суммы S K (1 d ) n K (1 d ) n . Значит, начислять проценты по сложной учетной ставке можно с помощью формулы: S или K (1 d ) n K (1 d ) n , S K (1 d) n K (1 (3.6) f ) m mn , (3.6*) где d и f – годовые сложные учетные ставки, m – число начислений процентов в году (при m=1, d = f). n – период начислений. И как мы уже говорили при начислении процентов по простой учетной ставке, начисление процентов по ставке i называется декурсивным, а по учетной ставке d – антисипативным. Ну и, как всегда, подкрепим теорию конкретными задачами. Задача 3.6 Вексель на 10 млн. руб. со сроком платежа через 5 лет учтен: 1) по сложной учетной ставке 10% годовых; 2) по простой учетной ставке 10% годовых. 44 Какое дисконтирование выгоднее векселедержателю? Решение: 1) по сложной учетной ставке (формула 3.6) K S(1 d) n 5,9049млн.руб. 10(1 0,1) 5 2) по простой учетной ставке (формула 2.6) S K(1 nd) 10(1 5 0,1) 5млн.руб. Итак, векселедержателю выгоднее дисконтирование по сложной учетной ставке, т. к. в день учета он получит большую сумму. Задача 3.7 Капитал 20 млн. руб. вложен на 4 года под 4% годовых. Найти доход от вложения денег при 1) декурсивном, 2) антисипативном способах расчета. Какое вложение выгоднее кредитору? Решение: Т. к. срок вложения денег больше 1 года, расчет сделаем по сложным процентам. 1. декурсивные проценты S K(1 i) n 20(1 0,04) 4 23,397млн.руб. Доход I 3,397млн.руб. 2. антисипативные проценты S K (1 d ) n 20 (1 0,04) 4 23,548млн.руб. Доход I 3,548млн.руб. Вывод: антисипативное начисление процентов выгоднее кредитору, т. к. он получает больший доход. Итак, мы рассмотрели все возможные способы начисления процентов. Однако, по какой бы ставке не начислялись проценты, следует соблюдать принцип эквивалентности, в соответствии с которым финансовый результат должен быть одинаков при начислении по любой ставке. Остановимся на рассмотрении этого вопроса подробнее в следующей главе. 45 Глава 3.5. Эквивалентные ставки Еще раз внимательно прочитайте решение задачи 3.5 и ее продолжение. А теперь введем новое понятие – действительная или эффективная ставка процента. Эта ставка измеряет тот реальный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление по ставке j . Обозначим эффективную ставку через i. По определению m множители наращения по двум ставкам (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу, т. е. (1 i) n (1 j mn ) . Далее не будем рассматривать поm дробно вывод формулы для эффективной ставки, как мы делали это для случая непрерывного наращения процентов (формула 3.4), а предлагаем вам согласиться с нашим выводом: iэ (1 j m ) 1. m (3.7) Еще раз подчеркнем, что ставка i называется эффективной годовой ставкой, и поэтому мы для отличия добавили внизу нижний индекс – «э». Даже при элементарных знаниях математики можно заметить, что при m 1 эффективная ставка i больше номинальной ставки j. А поэтому замена номинальной ставки при m-кратном начислении процентов на эффективную ставку не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Эффективная ставка – наиболее часто используемая среди всех эквивалентных ставок. Задача 3.8 Рассчитать накопленную сумму процентов за 1 год, если начальный капитал К = 1000 руб., годовая ставка j = 10%, при ежегодном, полугодовом, квартальном, ежемесячном, ежедневном и непрерывном начислении процентов. Найти базисные и 46 цепные наращения. Для каждого случая рассчитать эффективные ставки и сделать по ним начисления на ту же сумму начального капитала. Решение. Решив достаточно много задач, мы позволим себе решение этой задачи оформить в виде таблицы 3.2, не прописывая все этапы подробно, т. к. каждый из них мы в отдельности уже ранее выполняли. Формулу для вычисления наращенной суммы мы вписали в заголовке таблицы 3.2 и там же пояснили суть базисного и цепного наращения. Таблица 3.2 Начальный капитал К 1000 1000 1000 1000 1000 1000 Частота начисления процентов в году m ежегодное (m = 1) полугодовое (m = 2) квартальное (m = 4) ежемесячное (m =12) ежедневное (m =365) непрерывное (m = ) Наращенная Сумма S K (1 Базисное наращение (сравнение с ежегодным начислением процентов) j mn ) m Цепное наращение (сравнение по цепочке с предыдущим начислением) 1100 - - 1102,50 1104,71 1102,5-1100 = =2,50 1103,81-1100 =3,81 4,71 1105,16 5,16 1102,5-1100 = =2,50 1103,81-1102,50 = =1,31 1104,71-1103,81 = =0,90 0,45 5,17 0,01 1103,81 1105,17= =1000 e 0 ,1 Например, при ежегодном наращении n 1 , j 10% 0,1, К = 1000 руб. и наращенная сумма будет равна S K (1 j mn ) m 1000 (1 0,1 1 1 ) 1000 1,1 1100 . Во всех остальных 1 случаях определения наращенной суммы все будет аналогично, лишь будет меняться количество периодов начислений m. Что касается последнего случая – непрерывного начисления, – то здесь нужно обратиться за помощью к формуле 3.3 для 47 подсчета S K e n , где j. Таким образом, 1000 e1 0,1K 1000 e0,1 1105,17 . Процедуры базисного и цепного наращений в таблице прописаны. Мы предлагаем вам выполнить дальнейшее решение самостоятельно, а затем сравнить свои результаты с нашими. S Далее перейдем к вычислению эффективных ставок j m ) 1 (формула 3.7) и сделаем начисление на 1 000 руб. m по эффективной ставке, S K (1 i э ) n , n = 1год. iэ (1 Снова предлагаем вам самостоятельно выполнить расчеты, а мы их уже сделали и представили в таблице 3.3. Сверьте результаты ваших расчетов с таблицей 3.3. Таблица 3.3 Число начислений m=1 m=2 m Эффективная ставка 0,1 0,1025 iэ Наращенная сумма 1100 1102,50 S m=4 m=12 m=365 0,10381 0,10471 0,10516 0,10517 1103,81 1104,71 1105,16 1105,17 m= Заметим, что только при непрерывном начислении процентов (m= ) эффективная ставка будет вычисляться как i e 1 (формула 3.4). Надеемся, что вычисленные вами значения эффективных ставок и сделанные начисления совпали с теми, которые мы предложили в таблице 3. Если это так, то мы вас поздравляем, т. к. вы освоили очень важный раздел – эффективные ставки. Но это еще не все, что касается этой задачи. Снова возвращаемся к наращенным суммам в таблицах 2 и 3. Сравниваем их, и что мы замечаем? Они одинаковы: что по эффективной ставке, что по номинальной ставке при определенном числе начислений процентов в году. 48 Этот факт следует из понятия эквивалентных ставок: они обязаны давать одинаковый финансовый результат. Еще один важный вопрос, на рассмотрении которого мы остановимся в этой главе, связан с уравнениями эквивалентности. Приступим к нему. Основные уравнения эквивалентности Мы познакомились с различными типами процентных ставок: простыми и сложными, дискретными и непрерывными. Формулы эквивалентности во всех случаях получим, исходя из взятых попарно множителей наращения, о которых мы вели речь ранее: 1. простой процентной ставки i и простой учетной ставки d: 1 ni 1 1 nd ; 2. простых и сложных ставок: а) простой процентной ставки i и сложной учетной ставки f при m-разовом начислении процентов в году: f mn 1 ni (1 ) ; m б) простой процентной ставки i и сложной процентной ставки j при m-разовом начислении процентов в году: j mn 1 ni (1 ) ; m 3. сложной процентной ставки j и сложной учетной ставки f: j mn f mn (1 ) (1 ) ; m m 4. сложных и непрерывных ставок: а) сложной ставки i и непрерывной ставки : (1 i) n e n ; б) сложной процентной ставки j при m-разовом начислении процентов и непрерывной ставки : j mn (1 ) e n; m 49 в) сложной учетной ставки f при m-разовом начислении процентов и непрерывной ставки : f mn (1 ) e n. m Что это дает? Из каждого соотношения при любой известной ставке можно найти эквивалентную ей ставку. И снова подкрепляем сказанное практическими задачами. Задача 3.9 Найти номинальную процентную ставку, если полугодовая эффективная ставка 6%. Решение: Из уравнения эквивалентности номинальной j и эффективной i ставок (1 i) n (1 j mn ) найдем j. m Решая это уравнение, сократим на общий показатель степеj m ) Далее извлечем из обеих чаm j m стей уравнения корень m-ой степени, т. е. 1 1 i Выразим m j m 1 i 1 , а теперь находим неиз этого уравнения слагаемое m известное j m (m 1 i 1). ни n, тогда получим 1 i (1 Осталось подставить значения i 6% 0,06 , m 2 в найденное выражение для номинальной процентной ставки, в итоге получаем j 2( 1 0,06 1) 0,05913. Мы получили, что номинальная годовая ставка чуть меньше эффективной (это выполняется всегда!) Задача 3.10 Найти эквивалентную учетную ставку d для сложной годовой ставки j=0,12 при квартальном начислении процентов (m=4). Начислить проценты по обеим ставкам на 1000 руб. Сравнить результаты. (Срок n=1 год). 50 Решение. Запишем уравнение эквивалентности: j d 1 j mn d mn (1 ) . Подставим в (1 ) (1 ) , откуда 1 m m m m 0,12 d 1 (1 ) , это уравнение данные задачи и получим 1 4 4 d 4 16 4,12 0,1165 . Далее будем искать проценты по обеим ставкам, т. е. наращенные суммы. По сложной годовой процентной ставке j=12% при квартальном начислении процентов: S1 K(1 j mn ) ; S1 m 1000(1 0,12 4 1 ) 4 1125,5 руб., Наращенная сумма по эквивалентной сложной годовой учетной ставке f = 11,65% при квартальном начислении процентов: S2 K(1 d m ) mn 1000(1 Естественно, что одинаковое наращение. S1 0,1165 4 S2 , ) 41 1125,5 руб. т. к. эквивалентные ставки дают Задача 3.11 Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная сила роста? Решение: Воспользуемся уравнением эквивалентности сложной и непрерывной ставок: (1 i) n e n . Найдем из этого уравнения непрерывную ставку. ln(1 i); ln(1 0,15) 0,13976 13,976% Получили, что непрерывная ставка l3,976% и сложная ставка i=15% будут давать одинаковый финансовый результат. Например, при начальном капитале K=2000 руб., сроке n=4 года, имеем S 2000 e 4 0,13976 3498 руб. по непрерывной ставке (формула 3.3); 51 S 2000 (1 0,15) 4 3498 руб. по сложной ставке (форму- ла 3.1) . Итак, мы завершаем рассмотрение первой лекции нашего курса, которая была посвящена важнейшим понятиям финансовой математики и рассмотрению финансовых операций по схемам простых и сложных процентов. Далее переходим к рассмотрению второй лекции. Конец первой лекции Все замечания и предложения отсылайте по адресу: [email protected] 52