Вычисления по сложным процентам

Раздел 3. ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТАМ 3.1. Наращение по сложным процентам В среднесрочных и долгосрочных финансово-кредитных операциях в случае, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, для наращения применяются сложнее проценты. База для начисления сложных процентов увеличивается с каждым периодом выплат. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов. Предположим, что клиент положил в банк сумму, равную рублей под процентную ставку . Через один период наращения (например, через год) на его счете будет сумма, равная . Полученная сумма может быть вновь инвестирована под процентную ставку на следующий процентный период. Тогда к концу второго процентного периода на его счете будет сумма, которая может быть исчислена следующим образом: . Если повторить этот процесс еще раз, то к концу третьего процентного периода на счете будет сумма, которую можно определить следующим образом: . Нетрудно видеть, что наращение по сложным процентам описывается геометрической прогрессией, начальный член которой , а знаменатель . Тогда -ый член прогрессии, определяющий величину накопленной к концу - го периода суммы , определяется по формуле: Следовательно, формула для расчета наращенной суммы в конце -го года при условии, что проценты начисляются один раз в году, имеют вид: , (3.1) где -первоначальный размер долга, -процентная ставка, -число лет наращения. Проценты за этот период ( лет) равны: Величина называется множителем наращения по сложным процентам. Для облегчения расчетов со сложными процентами составлены таблицы множителей наращения и множителей дисконтирования. Пример. Какой величины достигнет долг, равный 1000 000 рублей, через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых? Решение: PV= 1000 000 рублей;i = 0,155; n=5. 3.2. Переменные процентные ставки Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать «классическую» схему, например, с помощью применения изменяющихся во времени переменных ставок. В частности, в контракте может быть предусмотрено применение плавающих ставок, когда фиксируется не сама ставка, а ее базовое значение и маржа (margin) – величина надбавки к базе. Величина маржи в течение срока финансовой сделки может быть постоянной либо переменной, что определяется условиями контракта. В случае если значения переменных ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных множителей. , (3.2) где - последовательные во времени значения ставок; - периоды, в течение которых используются соответствующие ставки. Пример. Ссуда в размере 1000000 руб. выдана на 5 лет под 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75%-в оставшиеся. Определить наращенную величину долга. Решение: Наращение составит 814072 руб. 3.3. Наращение при дробном числе лет. Наращение по сложной процентной ставке при дробном числе лет может производится двумя методами: точным и смешанным. Точный метод. Формула наращения сложных процентов, выведенная для целых положительных n, может применяться и для нецелых . Пример. 13 января в банк положили сумму 1000$, до востребования под ставку 6% годовых сложных процентов. Какую сумму снимет вкладчик 1сентября. Решение: 13 января - № 13; 1 сентября - № 244. Следовательно t=244-13=231. PV=1000$; i=0,06. Смешанный метод наращения по сложным процентам. Если начисление процентов происходит за период, превышающий один год, и при этом период финансовой операции, выраженный в годах, является дробным числом, то с точки зрения инвестора (кредитора) наибольший эффект может быть получен при начислении процентов по смешанной схеме начисления процентов. Смешанный метод (смешанная схема) начисления процентов – это такой метод, который предусматривает использование на разных временных интервалах различных схем начисления процентов. Такой метод позволяет комбинировать простые и сложные проценты с целью получения наибольшего эффекта. Формула наращения при этом имеет вид: (3.3) где - целое число лет; - дробная часть года. Эту формулу, как правило, используют в реальной банковской практике для финансовых вычислений. Пример. Кредит в размере 3 млн. руб. выдан на 3 года и 160 дней под 16,5% сложных годовых. Найти сумму долга на конец срока двумя методами. 1) Точный метод: . 2) Смешанный метод: Как видим, смешанный метод дает более высокий результат. 3.4. Сравнение множителей наращения по простым и сложным процентам Для того чтобы выяснить, какой схемой начисления процентов целесообразно пользоваться при проведении долгосрочных и среднесрочных финансовых операций, и какой – при проведении краткосрочных, сравним величины множителей наращения по простым () и по сложным процентам. Для этого выберем единый уровень процентной ставки, равный 10% годовых. Временной базой будем считать год, равный 365 дням. Значения множителей наращения занесем в таблицу. Способ начисления Значение множителя наращения в зависимости от срока операции 30 дней 180 дней 1год 5 лет 10 лет 20 лет 50лет Простые проценты 1,00822 1,04932 1,10 1,5 2,0 3,0 6,0 Сложные проценты 1,00786 1,04812 1,10 1,61051 2,59374 6,72750 117,39085 Как видим, при 0 <<1 имеет место неравенство <. При >1 – неравенство противоположного смысла: >. При = 1 значения множителей наращения равны. Отметим, что эти соотношения верны при любых значениях . Таким образом, с точки зрения инвестора (кредитора) при долгосрочных финансовых операциях больший эффект достигается при применении сложных процентов, при краткосрочных операциях для наращения, с его точки зрения, выгоднее применять простые проценты. 3.5. Наращение процентов m раз в году Иногда в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, полугодие, квартал, месяц или другой период времени. В этом случае проценты начисляются раз в году. В контрактах, как правило, фиксируется не ставка за процентный период, а годовая ставка процентов, которая в этом случае называется номинальной. Пусть годовая (номинальная) ставка равна , срок финансовой операции лет, а число периодов начисления процентов в году рано . Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке , Количество начислений при этом составит: . Формулу наращения в этом случае можно представить следующим образом: , (3.4) где - номинальная годовая ставка; -общее количество периодов начисления, . Пример. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб. через пять лет при применении сложной ставки 15,5% годовых, если проценты начисляются ежеквартально? Решение: PV= 100 000 рублей; n=5 лет; i= 0,155; m= 4. . 3.6. Номинальная и эффективная процентные ставки Предположим, что по требованию клиента, банк начисляет проценты ежеквартально, хотя в договоре указана годовая процентная ставка . Если проценты начисляют ежеквартально, то количество начислений в год , а начисление будет производиться по ставке . В данном случае , тогда за год множитель наращения составит: Таким образом, фактически годовая ставка наращения составит 12,55%. В этом случае говорят, что эффективная ставка составляет 12,55%, а объявленная номинальная ставка - 12%. Таким образом, номинальной называется процентная ставка, используемая для расчетов, для фиксирования в договорах. Эффективная ставка процента измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов. Иначе говоря, эффективная ставка, это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и разовое начисление процентов по ставке . Если номинальная годовая ставка равна , а сложные проценты начисляются раз в год по ставке ,то эффективная годовая ставка может быть определена из уравнения: Таким образом: (3.5) Пример. Найдите эффективную ставку процента, если номинальная ставка равна 24% при ежемесячном начислении процентов. Решение: i=0,24; m=12. т.е. 26,8% 3.7. Математическое дисконтирование по сложной ставке процентов Для того чтобы определить, какую денежную сумму следует вложить под сложные проценты сегодня, чтобы получить в определенный момент в будущем заданную сумму , следует применить дисконтирование. Выразив из формулы 3.1, получим формулу математического дисконтирования: (3.6) где - дисконтный множитель, его значения приведены в Приложении 3. Если проценты начисляются раз в году, то из формулы 3.6 получим: , (3.7) Здесь - современная величина (современная стоимость) денежной суммы . Дисконт равен . Если проценты начисляются раз в году, то . Отметим, что современная величина суммы денег – одна из важнейших характеристик, применяемых в финансовом анализе. Пример. Сумма 500 000 рублей будет выплачена через 5 лет. Определите ее современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов 12% годовых. Решение: FV = 500 000 рублей; n = 5 лет; i = 0,12. 3.8. Непрерывное наращение и дисконтирование До сих пор мы рассматривали в качестве процентного периода некоторый фиксированный промежуток времени (год, квартал, месяц, день). Уменьшая этот промежуток (до часа, минуты, секунды) и увеличивая частоту начисления процентов, можно перейти к непрерывному наращению процентов. Пусть номинальная годовая ставка равна i. При начислении процентов раз в году по ставке эффективная годовая ставка Таким образом, за год сумма увеличится в раз. При все более частом наращении процентов, т.е. при → ∞, используя второй замечательный предел, получим: где - число Эйлера (основание натурального логарифма), 2,718. Таким образом, непрерывным наращением по ставке называется увеличение суммы в раз за один год или в общем случае в раз за лет. Процентную ставку, применяемую при непрерывном начислении процентов, называют сила роста и обозначают . Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. В общем случае, формула непрерывного наращения процентов имеет вид: . (3.8) Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, обозначим силу роста . Тогда формула непрерывного начисления процентов примет вид: (3.9) Эта формула верна и для случая, когда не является целым числом. Пример. На сумму 10 000 рублей начисляются проценты по ставке 8% годовых. Определить наращенную сумму через 3,5 года. Решение: Используя формулу (3.9), можно получить формулу непрерывного дисконтирования: (3.10) Пример. Какую сумму следует поместить на банковский депозит, чтобы через 5 лет получить 300 000 рублей, если проценты начисляются непрерывно по ставке 8%? Решение: 3.9. Банковское дисконтирование (учет) по сложной учетной ставке В практике учетных операций иногда применяют сложную учетную ставку. В этих случаях каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем этапе. Пусть долговое обязательство на сумму со сроком погашения через лет учитывается раньше срока по сложной годовой ставке . Если учет осуществляется за год до срока, то начисляются проценты в сумме . В этом случае владелец векселя получит сумму Если учет долгового обязательства осуществляется за два года до срока погашения, то за второй год проценты начисляются уже на сумму , дисконтированную на первом этапе. Тогда владелец векселя получит сумму, равную: и т.д. Если долговое обязательство продается за лет до срока, то владелец векселя получит сумму . Таким образом, дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле: (3.11) где -сложная годовая учетная ставка. Здесь - дисконтный множитель. Дисконт равен величине: Если дисконтирование производится по учетной ставке раз в году, то применяется формула: (3.12) Пример. Ценная бумага на сумму 500 000 рублей, учтена за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке 15% годовых. Какова сумма дисконта? Решение: получит при учете ценной бумаги ее владелец. Дисконт составит: Пример. В условиях предыдущего примера рассчитать сумму, которую получит владелец ценной бумаги при поквартальном дисконтировании. Решение: Сравнение результатов свидетельствует о том, что для банка более частое дисконтирование не выгодно, так как при этом увеличивается сумма, выдаваемая владельцу ценной бумаги при ее досрочном учете. Сравнивая между собой банковское дисконтирование по простой и сложной учетным ставкам, получим следующее: а) при 0< <1 справедливо неравенство >; б) при >1 неравенство <; в) при =1 значения дисконтных множителей совпадают: =; Таким образом, при <1 результаты финансовой операции для банка выгоднее с применением учета по сложным процентам, так как в этом случае дисконтный множитель будет меньше, чем в случае применения простых процентов, и, следовательно, величина выдаваемой суммы будет меньше. Если же >1,то для него выгоднее применить учет по простой учетной ставке. 3.10. Наращение по сложной учетной ставке Выразив из формулы (3.13), получим формулу наращения по сложной учетной ставке: , (3.13) где - учетная ставка; - период наращения авансовых процентов. При наращении сложных процентов по учетной ставке раз в году наращенная сумма может быть определена по формуле: , (3.14) где - учетная номинальная ставка; - число периодов начисления процентов в течение года; - период наращения авансовых процентов. Пример. Кредит в размере 350000 рублей выдан на 2,5 года. По условиям договора начисление процентов производится по сложной учетной ставке 12% годовых. Определить наращенную сумму, если проценты начисляются: а) ежегодно; б) по полугодиям. Решение: а) б) . 3.11. Номинальная и эффективная учетные ставки Предположим, дисконтирование производится m раз в году, т.е. за весь период финансовой операции раз, каждый раз по ставке , где - номинальная учетная ставка, которая прописывается в контрактах. Эффективная учетная ставка характеризует фактическое дисконтирование за год. Следовательно, она может быть определена из равенства: . Таким образом, (3.15) Для одних и тех же условий эффективная учетная ставка меньше номинальной. Пример. Ценная бумага на сумму 500000 рублей, срок платежа по которой наступает через 3 года, продана с дисконтом по номинальной учетной ставке 12% при помесячном дисконтировании. Определить сумму дисконта и эффективную учетную ставку. Решение: , то есть 11,36%.