Синтез инвариантной системы управления первого порядка

Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Домашнее задание № 6 Синтез инвариантной системы первого порядка за счет подавления внешнего возмущения Обеспечить стабилизацию системы x& = ax + bu + h , y = x , x (0) = 1 с помощью: 1) разрывного управления с постоянной амплитудой; 2) разрывного управления с переменной амплитудой (не обязательно); 3) линейного управления с большим коэффициентом; 4) sat-управления; 5) нелинейного непрерывного управления в виде s -функции (не обязательно). В пунктах 3–5 при выборе больших коэффициентов задавать одну и ту же точность стабилизации. Провести моделирование в среде MATLAB– SIMULINK. Представить: 5) структурные схемы замкнутых систем в терминах MATLAB–SIMULINK; 6) графики x (t ) , u (t ) , (h (t ) и u eq (t ) ) – на одном графике; 7) провести сравнительный анализ систем с различным управлением по критериям: для x (t ) – время первого переходного процесса, ошибка стабилизации, качество установившегося процесса (гладкость/негладкость сигнала); для u (t ) – области изменения вначале переходного процесса и в установившемся режиме; время счета. Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка x& = ax + h + bu , b = const ¹ 0 , h (t ) – внешнее возмущение – неизвестная, детерминированная функция времени, дифференцируемость и непрерывность не требуются, достаточно, чтобы функция была кусочно-непрерывной с конечными левыми и правыми производным в точках конечного разрыва h (t ) £ N , h& (t ) £ N1 "t > 0 , N , N1 > 0 – известные константы. Разрывное управление обеспечивает стабилизацию за конечное время: x(t ) = 0 при t > t1 . 1. Разрывное управление с постоянной амплитудой Вариант 1: signb известен, параметр b точно не известен, 0 < b £ b £ b . Универсальный закон разрывного управления: u = - signbMsignx signb = const устанавливается однократно «+1» или «–1», комбинированное управление с компенсирующей составляющей реализовать нельзя. Вариант 2: параметр b известен, комбинированное управление реализуемо. Закон управления: u = - 1b Msignx , M = const > 0 – амплитуда разрывного управления. Замкнутая система: x& = ax + h - Msign x . Задача синтеза – из достаточных условий s&s < 0 найти M : s ( x) = x (t ) = 0 "t > t1 . 2 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка 1) a < 0 – собственные движения устойчивые, ресурс управления тратится на подавление внешнего возмущения. Обозначим a = a > 0 : x& = ax + h + bu , u = - 1b Msignx Þ x& = - a x + h - Msignx Достаточные условия возникновения СР: ss& = xx& = x ( - a x + h - Msignx ) < 0 , xx& = a3 xx + xh - xMsignx £ x (- a x + h - M ) £ x (- a x + ( N - M )) < 0 Þ M > N 12 { 14243 - ± -xM В системе первого порядка переходный процесс апериодический: 0 £ x (t ) £ X = x(0) "t ³ 0 , в неравенстве для выбора М при a<0 собственные движения не участвуют. Управление реализуемо, если M / | b |£ U , где u £ U – допустимый ресурс. {Закон управления: u = - signbMsignx , x& = - a x + h - b Msignx , 0 < b £ b £ b xx& £ x (- a x + h - b M ) £ x (- a x + ( N - b M )) < 0 Þ M > N / b } 2) a > 0 – собственные движения неустойчивые, их тоже надо «подавить»: ss& = xx& = x(ax + h - Msignx) £ x(a x + η - M) < 0 Þ M > N + aX , X = x(0) Параметр a может быть неопределен, если 0 < a £ a , то M > N + a X 3 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка При t > t1 на прямой x(t ) = 0 возникнет скользящий режим (СР), можно использовать метод эквивалентного управления (МЭУ). За основу для ueq можно взять не все управление u = - 1b Msignx , а его часть u = Msignx : x& = ax + h + bu = ax + h - b 1b ( Msignx) = 0 Þ x=0 u eq ueq = h при t > t1 ( Msign x ) eq Движение в скользящем режиме инвариантно по отношению возмущению и не зависит от параметров: x& = ax + h - b b1 h = 0 . x=0 u eq Значение ueq (t ) при t > t1 можно получить с выхода t (t ) линейного фильтра первого порядка с малой постоянной времени m > 0 : mt& = -t + Msignx . До возникновения СР t < t1 t (t ) = M ( x > 0 ) или t (t ) = - M ( x < 0 ). Предельная ситуация при t > t1 и m ® 0 после возникновения СР: lim t (t ) = ueq (t ) Þ t (t ) = h (t ) + O( m , t ) , lim O ( m , t ) = 0 m ® 0, D / m ® 0 m ®0 Попробовать m = 0,1 ( D = 0,01), m = 0,01 ( D = 0,001), m = 0,001 ( D = 0,0001) и выбрать вариант с лучшим качеством сигнала в установившемся режиме. 4 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка 1. Структурная схема замкнутой системы x& = ax + h + bu , u = - 1b Msignx , M = const > 0 : x(t ) = 0 при t > t1 1 Msignx M -1 1 ms + 1 t (t ) » ueq (t ) = h (t ) a 1 u b Scope b h 1 s x Scope MM OУ Scope t > t1 В этом ДЗ оценка внешнего возмущения нигде не используется, мы просто восстанавливаем «портрет нарушителя». При моделировании скользящих режимов нужно использовать методы первого порядка (Эйлера, Адамса) с постоянным шагом интегрирования. 5 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка 2. Разрывное управление с переменной амплитудой При постоянной амплитуде M = const , выбранной на основе неравенства M > N + aX , при возникновении СР t > t1 используется избыточный ресурс управления, т.к. x(t ) = 0 , а реальные значения возмущения могут быть гораздо меньше оценки h (t ) << N , что может привести к неудовлетворительному качеству установившегося режима M -, t1 ¯, D - . u = - (1 / b) Msignx Формирование переменной амплитуды ì M const > N + aX ( M const > N ), x > D, 0 £ t £ t1 , M =í î M var (t ) = t (t ) + D, x(t ) £ D, t > t1 , t (t ) » h (t ), Δ – ширина пограничного слоя, Δ Î [0,01; 0,05] – допустимо, но лучше Δ Î [0,001; 0,01], время t1 можно принять из первого пункта ДЗ 6 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка 2. Структурная схема замкнутой системы x& = ax + h + bu , u = - 1b Msignx : x(t ) = 0 при t > t1 ì M const > N + aX ( M const > N ), x > D, 0 £ t £ t1 , M =í î M var (t ) = t (t ) + Δ, x(t ) £ Δ, t > t1 , t (t ) » h (t ), 1 M -1 x t x > Δ? или t < t1 ? да M const нет M var Msignx a - 1 u b b h 1 s x Scope MM OУ 1 Scope ms + 1 t (t ) » ueq (t ) = h (t ), t > t1 Scope 7 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Выводы. Разрывное управление обеспечивает в замкнутой системе стабилизацию x(t ) = 0 за конечное время t > t1 и полную инвариантность по отношению к действию внешних, ограниченных возмущений и вариации параметров, принадлежащих пространству управления. Чисто разрывное управление с постоянной амплитудой легко реализуемо. При возможности аппаратурной реализации можно повысить качество установившегося процесса и снизить чаттеринг путем уменьшения амплитуды разрывных управлений за счет формирования: – разрывного управления с переменной амплитудой; – комбинированного управления с разрывной и компенсирующей возмущение составляющими. Если a > 0, b точно известны, имеется оценка внешнего возмущения hˆ (t ) , то тогда комбинированное управление u = - b1 ( Msignx + ax + hˆ ) , a > 0 x& = ax + h + bu Þ x& = h - hˆ - Msignx , h - hˆ £ Nˆ << N "t ³ 0 (если a < 0 , то ax компенсировать не надо) xx& £ x (h -hˆ - M ) £ x ( Nˆ - M ) < 0 Þ M > Nˆ . 8 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка 3. Линейное управление с большим коэффициентом x& = ax + h + bu , h (t ) £ N "t ³ 0 1) универсальный закон управления u = - signb × kx ; 2) u = - 1b kx , замкнутая система x& = ax + h - kx , k = const > 0 – большой коэффициент усиления Инвариантность и стабилизация обеспечиваются с заданной точностью x(t ) £ d "t > t1 ( k -Þ d ¯ ) u £ kX / b £ U Þ 0 < k £ bU / X Þ $ d min (U , k ) £ d Цель управления d < d min (U ) следует признать невыполнимой. При синтезе параметр a учитывается со своим знаком, но его величина пренебрежимо мала по сравнению с коэффициентом усиления: k >> a . Второй метод Ляпунова: V = 12 x 2 > 0 , V& = xx& < 0 . V& = xx& = x(ax + h - kx) £ x (a x + h - k x ) £ x ( N - (k - a ) x ) , k - a > 0 V& < 0 обеспечивается вне области N - (k - a ) x > 0, x < N /(k - a ) £ d . При выполнении условия N - (k - a ) x < 0 Þ k > N / d + a переменная состояния сходится в область x(t ) < N /(k - a ) £ d t > t1 . На начальном этапе [0; t1 ] будет сильный всплеск управления. 9 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка В теории при k ® +¥ реализуется МЭУ: x& = ax + h - b b1 ( kx) ® 0 Þ u ® ueq » h , t > t1 . x ®0 ueq 3. Структурная схема замкнутой системы x& = ax + h + bu , u = - b1 kx , k = const > 0 : k kx u (t ) ® ueq (t ) » h (t ) k ® +¥ t > t1 x(t ) £ d "t > t1 , $d min (U , k ) £ d a 1 u b Scope b h 1 s x Scope MM OУ Scope 10 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Аппроксимации функции знака 4. Линейное управление с насыщением в виде sat-функции sat (kx) 1 k = const > 0 ìsignx, x > 1 / k sat (kx) = í - 1/ k 1/ k x sat( kx ) ® sign x kx x k , 1 / , £ î k ® +¥ -1 1 Закон управления: u = - b Msat (kx) , M = const > 0 x& = ax + h + bu , h (t ) £ N "t ³ 0 , замкнутая система: x& = ax + h - Msat (kx) . Инвариантность и стабилизация обеспечиваются с заданной точностью: x(t ) £ d "t > t1 u £ M / b £ U , явных ограничений на точность стабилизации d min (k ) £ d нет! 1. При x > 1 / k имеем x& = ax + h - Msignx , амплитуда М выбирается как в системе с разрывным управлением если a < 0 , то M > N ; если a > 0 , то M > N + aX , X = x(0) и обеспечивает x £ 1 / k за конечное время t > t1 . 2. При x £ 1 / k , x& = ax + h - Mkx , k выбирается как в системе с большим коэффициентом: переменная состояния сходится в область x(t ) < N /( Mk - a ) £ d t > t1 при выполнении условия N - ( Mk - a) x < 0 Þ k > ( N / d + a ) / M . 11 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Любая заданная точность x(t ) £ d "t > t1 обеспечивается с помощью ограниченного управления! МЭУ: x& = ax + h - b b1 ( Msat (kx)) ® 0 Þ u ® ueq » h , t > t1 . x ®0 ueq 4. Структурная схема замкнутой системы x& = ax + h + bu , u = - b1 Msat (kx) , M , k = const > 0 1 k -1 Msat(kx) 1 - u M b u (t ) ® ueq (t ) » h (t ) k ® +¥ t > t1 Scope a b h 1 s x Scope MM OУ Scope 12 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Гладкие допредельные реализации разрывного управления – ограниченные, нечетные функции с параметром k = const > 0 1. Арктангенс arctg (kx ) , arctg(kx) < p2 , arctg( kx) ® p2 sign x касательная в точке (0; 0) : y = kx Þ arctg(kx) ~ kx . k ® +¥ x®0 e kx - e - kx 2 = 1 , | th(kx) |< 1, 2. Гиперболический тангенс th(kx) = kx - kx 2 kx e +e 1+ e th(kx) ® signx ; касательная в точке (0; 0) : y = (1 + k ) x Þ th(kx) ~ (1 + k ) x . x®0 k ® +¥ 2 1 - e - kx 3. Сигма-функция s (kx) = , | s ( kx) |< 1, - 1= - kx -kx 1+ e 1+ e s (kx) ® signx , касательная в точке (0; 0) : y = 0,5kx Þ s (kx) ~ 0,5kx x®0 k ® +¥ Решение замкнутой системы x& = - Ms (kx) , M , k = const > 0 x(t ) = 2(ln( c 2e - Mkt + 4 + ce - 0,5 Mkt ) - ln 2) / k , c = e 0,5 x ( 0 ) k - e - 0,5 x ( 0 ) k свидетельствует об асимптотической устойчивости: lim x(t ) = 0 "x(0) Î R . t ® +¥ 13 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка 2 - 1 – гладкий аналог sat-функции: Сигма-функция s (kx) = -kx 1+ e s (kx) y = 0,5kx σ(kΔ ) < σ(kx) < 1, y = s (kΔ) x / Δ 1 0 < σ¢(kx) < σ¢(kΔ ) " | x |> Δ > 0; s (kΔ ) σ(kΔ ) | x | / Δ £| σ (kx) |£ σ(kΔ ), y = sat(x) 0 < σ¢(kΔ ) £ σ¢(kx) £ σ¢(0) = k / 2 " | x |£ Δ. x -Δ Δ ìs (kΔ )signx, | x |> Δ; | s (kx) |³ | sat ( x) | , sat ( x) = í -1 îs (kΔ ) x / Δ, | x |£ Δ При | x |> Δ сигма-функция близка к постоянной 0,5 y = s ¢(kx) / k функции, а при | x |£ Δ – к линейной функции. В качестве границы разделения при x ³ 0 O x -Δ Δ рекомендуется принять точку kΔ = c , c Î [1,3; 3] ± c » ±1,3 – абсциссы точек перегиба s ¢(kx) : s ¢(kx) = 0,5k (1 - s 2 (kx)) s ¢¢¢(kx) = 0 , s (±1,3) » ±0,57 , s ¢(±1,3) » 0,34k . ± c » ±3 – абсциссы вершин сигма-функции, в которых ее кривизна достигает максимума σ (±3) » ±0,9 , σ¢(±3) » 0,095k . 14 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Закон управления u = - b1 Ms (kx) = - Mb ( 2 /(1 + exp(- kx)) - 1) Замкнутая система: x& = ax + h - Ms (kx) Инвариантность и стабилизация обеспечиваются с заданной точностью: x(t ) £ d "t > t1 u £ M / b £ U , явных ограничений на точность стабилизации d min (k ) £ d нет! kΔ = c , если c = 3 , то Δ = 3 / k , 0,9 » σ(c) < σ( kx) < 1, " | x |> Δ > 0; 0,9k x / 3 = σ(kΔ ) | x | / Δ £| σ(kx) |£ σ(c), " | x |£ Δ. 1. Амплитуда M > 0 выбирается как в системе с разрывным управлением При x > 3 / k имеем оценку: é M > 1,1N , a < 0 xx& = x(ax + h - Ms (kx)) £ x (a x + N - 0,9M ) < 0 Þ ê ë M > 1,1( N + aX ), a > 0 что обеспечивает x £ 3 / k за конечное время t > t1 . 2. Параметр k > 0 выбирается как в системе с большим коэффициентом. При x £ 3 / k имеем оценку: xx& = x ( ax + h - Ms ( kx)) £ x ( a x + N - 0,3kM x ) < 0 , переменная состояния сходится в область x(t ) < N /(0,3kM - a ) £ d t > t1 при выполнении условия N - (0,3kM - a ) x < 0 Þ k > 3,3( N / d + a ) / M . 15 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка МЭУ: x& = ax + h - b b1 ( Ms (kx)) ® 0 Þ u ® ueq » h , t > t1 . x ®0 ueq 5. Структурная схема замкнутой системы x& = ax + h + bu , u = - b1 Ms (kx) , M , k = const > 0 s (kx) Ms (kx) 1 u M b u (t ) ® ueq (t ) » h (t ) k ® +¥ t > t1 Scope a b h 1 s x Scope MM OУ Scope 16 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Задача наблюдения сводится к задаче стабилизации системы, записанной относительно ошибок наблюдения. Методы синтеза стабилизирующей обратной связи используются в задачах синтеза корректирующих воздействий наблюдателей. Традиционно используют асимптотические наблюдатели состояния с линейными корректирующими воздействиями. Новый тип наблюдателей – наблюдатели состояния с разрывными корректирующими воздействиями, функционирующие в скользящем режиме. Преимущество наблюдателей на скользящих режимах: 1) грубы к параметрическим и внешним возмущениям; 2) амплитуды разрывных корректирующих воздействий выбираются на основе неравенств, что существенно упрощает настройку; 3) ошибки наблюдения сходятся за теоретически конечное время, что позволяет не учитывать их в замкнутой системе; 4) наблюдатели дают текущие оценки неизмеряемых переменных вектора состояния и внешних возмущений без ввода их динамической модели; 5) нет физических ограничений на использовании разрывной коррекции, качество скользящих режимов определяет возможностями вычислительной среды, а не аппаратурной реализации. 17 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Недостатки наблюдателей на скользящих режимах: 1) требуют высокого качества измеряемых сигналов, при наличии шумов в измерениях теряют работоспособность; В случае шумов требуется предварительная фильтрация сигналов в отличие от наблюдателя с линейной коррекцией, который имеет структуру фильтра Калмана и может выполнять двойную функцию: и фильтровать, и оценивать. 2) микропроцессорная реализация скользящих режимов требует постоянного, достаточно мелкого шага интегрирования и использование методов интегрирования первого порядка (Эйлера, Адамса), что, во-первых, не всегда реализуемо на бортовых компьютерах, вовторых, может привести к увеличению времени счета, а оценки нужно получать в реальном времени. Главное конкурентное преимущество: наблюдатели на скользящих режимах (и их допредельные реализации) не имеют аналогов в задаче оценивания внешних неконтролируемых возмущений широкого класса. 18 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Домашнее задание № 7 (последнее:) Синтез инвариантной системы первого порядка за счет оценивания внешнего возмущения с помощью наблюдателя возмущений и его компенсации с помощью комбинированного управления Для системы x& = ax + bu + h , y = x , x(0) = 1 синтезировать 1) наблюдатель возмущения а) с разрывным корректирующим воздействием с постоянной амплитудой, функционирующий в скользящем режиме и оценивающий h с помощью фильтра; б) с разрывным корректирующим воздействием с переменной амплитудой, функционирующий в скользящем режиме и оценивающий h с помощью фильтра (не обязательно); в) наблюдатель с линейным корректирующим воздействием с большим коэффициентом (без фильтра); г) наблюдатель с линейным корректирующим воздействием с насыщением (sat-функция) (без фильтра); д) наблюдатель с нелинейным непрерывным корректирующим воздействием в виде s -функции (без фильтра) (не обязательно). В пунктах в–г при выборе больших коэффициентов в наблюдателе задавать одну и ту же точность оценивания. 19 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка 2) для всех типов наблюдателей по полученным измерениям синтезировать комбинированное управление с компенсирующей h составляющей и: а) с линейной стабилизирующей обратной связью; б) с разрывным управлением с постоянной амплитудой (не обязательно). Провести моделирование замкнутых систем в среде MATLAB–SIMULINK. Представить: 3) структурные схемы замкнутых систем в терминах MATLAB– SIMULINK; 4) графики x(t) , u(t) , e (t) , (h (t) и veq (t ) на одном графике); 5) сравнить время и точность оценивания h (t) с помощью разных наблюдателей; 6) провести сравнительный анализ полученных результатов с результатами ДЗ6 (система с линейным управлением с большим коэффициентом) по следующим критериям: для x(t) – время первого переходного процесса, ошибка стабилизации, качество установившегося процесса (гладкость/негладкость сигнала); для u(t) – области изменения вначале переходного процесса и в установившемся режиме; время счета. 20 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка x& = ax + h + bu , b = const ¹ 0 – точно известен h (t ) – внешнее возмущение – неизвестная, детерминированная функ- ция времени, дифференцируемость и непрерывность не требуются, достаточно, чтобы функция была кусочно-непрерывной с конечными левыми и правыми производным в точках конечного разрыва h (t ) £ N , h& (t ) £ N1 "t > 0 , N , N1 > 0 – известные константы. y = x –переменная состояния подлежит прямым измерениями, шумы в измерениях отсутствуют. Ставится задача стабилизации переменной состояния x(t ) ® 0 , инвариантность по отношению к внешнему возмущению обеспечивается за счет комбинированного управления с составляющей, компенсирующей внешнее возмущение на основе его оценки. Условия согласования выполнены. Для оценивания внешнего возмущения строятся наблюдатели возмущений (НВ) с разрывными корректирующими воздействиями или их непрерывными аналогами. 21 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Для физической реализуемости наблюдателя возмущений при его построении используются только известные сигналы x(t ), u (t ), z (t ) – переменная наблюдателя, e (t ) = x(t ) - z (t ) – невязка. Идея построения НВ состоит в том, чтобы обеспечить и e (t ) ® 0 , и e& (t ) ® 0 при t > t1 . Тогда эквивалентное значение корректирующего воздействия даст оценку правой части ДУ относительно невязки. Варианты построения НВ z Î R , v Î R – корректирующее воздействие НВ Если параметр a известен, то можно восстановить h (t ) : 1) z& = az + bu + v , e& = ae + h - v , e& = a e + h - veq ® 0 Þ veq ® h (t ), t > t1 ; ®0 2) z& = ax + bu + v , e& = h - v – берем за основу, e& = h - veq ® 0 Þ veq ® h (t ), t > t1 Если параметр a не известен, то можно восстановить ax(t ) + h (t ) : 3) z& = bu + v , e& = ax + h - v , e& = ax + h - veq ® 0 Þ veq ® ax(t ) + h (t ), t > t1 22 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка а) НВ z& = ax + bu + v , e& = h - v с разрывной коррекцией с постоянной амплитудой v = M 1sign e , M 1 = const > 0 , e& = h - M 1signe e (t ) = 0 "t > t1 ee& < 0 Þ M 1 > N , e& = h - ( M 1signe ) eq = 0 Þ ( M 1signe ) eq = h . Чтобы обеспечить e (t ) = 0 за заданное время t1, надо учесть н.у.: | e (t ) |£| e (0) | + (| h | - M 1 )t1 = 0 Þ M 1 ³| e (0) | / t1 + N . x(t ) измеряется, при z (0) = x(0) Þ e (0) = 0 СР возникнет сразу t1 = 0 . Значение эквивалентного управления получим с выхода фильтра mt& = -t + M 1sign e , m > 0 – малая постоянная времени фильтра. После возникновения скользящего режима t > t1 имеем оценку внешнего возмущения lim t (t ) = veq (t ) Þ t (t ) » h (t ) , которую используем для синтеза m ®0 комбинированного управления и обеспечения полной инвариантности. Пренебрегая собственной динамикой фильтра и незначительными задержками счета, можно считать, что задача оценивания в наблюдателях с разрывной коррекцией решается за теоретически конечное время, а скользящий режим близок к идеальному. Ошибку оценивания в замкнутой системе можно не учитывать. 23 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка 1. Комбинированное управление с компенсирующей и линейной со1 1 ставляющей u = - (kx + t ) Û u = - (kx + h ) . b b Замкнутая система: x& = (a - k ) x , x&x < 0 Þ a - k < 0 – не требуется большого коэффициента усиления. Результат: lim x (t ) = 0 . t ®¥ 2. Комбинированное управление с компенсирующей и разрывной со1 1 ставляющей: u = - ( Msignx + t ) Û u = - ( Msignx + h ) . b b Замкнутая система: x& = ax - Msignx , x&x < 0 Þ если a > 0 , то M > a | x(0) | ; если a < 0 , то "M > 0 . Результат: x = 0 при t > t2 > t1. Выбором k и M обеспечиваются заданные темпы сходимости x ® 0 . б) Для улучшения качества оценивания используют НВ z& = ax + bu + v , e& = h - v с разрывной коррекцией v = M 1sign e с переменной амплитудой mt& = -t + M 1sign e ì M 1const > N , e > Δ, 0 £ t £ t1 , M1 = í î M 1 var = t + Δ, e £ Δ, t > t1 , t (t ) » h (t ), Δ > 0 - ширина погранично го слоя 24 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Структурная схема с НВ с разрывной коррекцией с постоянной амплитудой x& = ax + h + bu , 1) u = - b1 (kx + t ) , 2) u = - 1b ( Msignx + t ) ; z& = ax + bu + v , z (0) = x(0) = 1, v = M 1sign e , mt& = -t + M 1sign e k 1 M a 1 Msignx 1 u 1 x Scope b b s h kx Scope ОУ Scope M1 Scope t (t ) » veq (t ) = h (t ) t > t1 Scope v 1 ms + 1 1 -1 Сменные блоки e Scope a x (- ) 1 s b u z НВ 25 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Необходимость разработки наблюдателей с непрерывной коррекцией обусловлена: – низким качеством скользящего режима при микропроцессорной реализации с ограничениями на тактовую частоту и вычислительные ресурсы; – наличием шумов в измерениях. Наблюдатели с непрерывной коррекцией решают задачу оценивания внешних возмущений с заданной точностью, но без фильтров: e (t ) £ Δ , e& (t ) £ Δ Þ h (t ) - v(t ) £ Δ Þ v(t ) = h (t ) + j (t ), j (t ) £ Δ "t > t1 . Точность стабилизации Δ для e и e& можно принять разной или одинаковой, но не больше 0,01. в) НВ z& = ax + bu + v , e& = h - v с линейным корректирующим воздействием v = k1e с большим коэффициентом k1 > 0 . В теории k1 ® +¥ : e (t ) ® 0 , e& = h - veq ® 0 Þ veq (t ) ® h (t ) "t > t1 (1 / k1 ) . 26 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Анализ системы e& = h - k1e , e&& = h& - k1e& с помощью второго метода Ляпунова V = V1 + V2 = 12 e 2 + 12 e& 2 , V&1 < 0 и V&2 < 0 Þ V& < 0 1) V&1 = ee& = e (h - k1e ) £ e (h - k1 e ) < 0 , h (t ) £ N "t > 0 V&1 < 0 обеспечивается вне области N - k1 e > 0 Þ e < N / k1 £ Δ при выполнении условия N - k1 e < 0 Þ k1 > N / Δ ( k1 -Þ Δ ¯ ). h& (t ) £ N1 "t > 0 2) V&2 = e&e&& = e& (h& - k1e& ) £ e& (h& - k1 e& ) < 0 , V&2 < 0 обеспечивается вне области N1 - k1 e& > 0 Þ e& < N1 / k1 £ Δ при выполнении условия N1 - k 1 e& < 0 Þ k1 > N1 / Δ . Оба условия выполняются при k1 > max{N , N1} / Δ . 27 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка 1. Комбинированное управление с компенсирующей и линейной составляющей u = - 1b (kx + v) Û u = - b1 (kx + h + j ) , j (t ) £ Δ t > t1 Замкнутая система: x& = -j (t ) + (a - k ) x , a - k < 0 xx& = x(-j (t ) + (a - k ) x) £ x (Δ - (k - a ) x ) < 0 . x&x < 0 обеспечивается вне области Δ - (k - a) x > 0 Þ x < Δ /(k - a) £ d при выполнении условий Δ - (k - a )d < 0 Þ k > Δ / d + a . Результат: x(t ) £ d при t > t2 > t1, d можно принять как больше, так и меньше Δ . 2. Комбинированное управление с компенсирующей и разрывной составляющей: u = - 1b ( Msignx + v) Û u = - 1b ( Msignx + h + j ) . Замкнутая система: x& = -j (t ) + ax - Msignx , x&x < 0 Þ если a > 0 , то M > a | x(0) | + Δ ; если a < 0 , то M > Δ . Результат: x=0 при t > t 2 > t1. Выбор k и M обеспечивает заданные темпы сходимости x(t). На реализацию большого коэффициента k1 в наблюдателе не накладывается физических ограничений, но вначале переходного процесса будет всплеск управления u из-за компенсирующей составляющей v = k1e , если e (0) ¹ 0 . Как его избежать: 1) z (0) = x (0) Þ e (0) = 0 ; 2) замкнуть систему только после схождения НВ 3) использовать для коррекции непрерывные ограниченные всюду функции. t > t1 ; 28 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Структурная схема с НВ с линейной коррекцией x& = ax + h + bu , 1) u = - b1 (kx + v) , 2) u = - 1b ( Msignx + v) ; z& = ax + bu + v , z (0) = x(0) = 1, v = k1e k 1 M a 1 Msignx 1 u x 1 Scope b b s h kx Scope ОУ Scope k1 Сменный блок e Scope a x v v(t ) » h (t ) t > t1 Scope (- ) 1 s b u z НВ 29 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка г) НВ z& = ax + bu + v , e& = h - v с линейным корректирующим воздействием с на- ìsigne , e > 1 / k1 сыщением v = M 1sat(k1e ) , sat (k1e ) = í î k1e , e £ 1 / k1 Амплитуда M 1 > 0 выбирается как в разрывной коррекции. При e > 1 / k1 : e& = h - M 1signe , ee& < 0 Þ M 1 > N , e (t ) £ 1 / k1 за конечное время t > t1 . При e £ 1 / k1 , v = M 1k1e , k1 выбирается как большой коэффициент. Цель: e (t ) £ Δ , e& (t ) £ Δ Þ h (t ) - v(t ) £ Δ Þ v (t ) = h (t ) + j (t ), j (t ) £ Δ Анализ системы e& = h - M 1k1e , e&& = h& - M 1k1e& с помощью второго метода Ляпунова V = V1 + V2 = 12 e 2 + 12 e& 2 , V&1 < 0 и V&2 < 0 Þ V& < 0 1) V&1 = ee& = e (h - M 1k1e ) £ e (h - M 1k1 e ) < 0 , h (t ) £ N "t > 0 V&1 < 0 обеспечивается вне области N - M 1k1 e > 0 Þ e < N /( M 1k1 ) £ Δ при выполнении условия N - M 1k1 e < 0 Þ k1 > N / ( M 1Δ) . 2) V&2 = e&e&& = e& (h& - M 1k1e& ) £ e& (h& - M 1k1 e& ) < 0 , h& (t ) £ N1 "t > 0 V&2 < 0 обеспечивается вне области e& < N1 /( M 1k1 ) £ Δ при k1 > N1 / ( M 1Δ) . Оба условия выполняются при k1 > max{N , N1} /( M 1Δ) . 30 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка 1. Комбинированное управление с компенсирующей и линейной составляющей u = - 1b (kx + v) Û u = - b1 (kx + h + j ) , j (t ) £ Δ Замкнутая система: x& = -j (t ) + (a - k ) x , a - k < 0 xx& = x(-j (t ) + (a - k ) x) £ x (Δ - (k - a ) x ) < 0 . x&x < 0 обеспечивается вне области Δ - (k - a) x > 0 Þ x < Δ /(k - a) £ d при Δ - (k - a )d < 0 Þ k > Δ / d + a . Результат: x(t ) £ d при t > t2 > t1. 2. Комбинированное управление с компенсирующей и разрывной составляющей: u = - 1b ( Msignx + v) Û u = - 1b ( Msignx + h + j ) . Замкнутая система: x& = -j (t ) + ax - Msignx , x&x < 0 Þ если a > 0 , то M > a | x(0) | + Δ ; если a < 0 , то M > Δ . Результат: x = 0 при t > t2 > t1. Выбором k и M обеспечиваются заданные темпы сходимости x ® 0 . 31 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Структурная схема с НВ с линейной коррекцией с насыщением x& = ax + h + bu , 1) u = - b1 (kx + v) , 2) u = - 1b ( Msignx + v) ; z& = ax + bu + v , z (0) = x(0) = 1, v = M 1sat (k1e ) k 1 M a -1 Msignx 1 u 1 x Scope b b s h kx Scope ОУ Scope M1 1 -1 v(t ) » h (t ) Scope t > t1 e k1 Сменные блоки Scope a x v (- ) 1 s b u z НВ 32 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка д) НВ z& = ax + bu + v , e& = h - v с нелинейным непрерывным корректируюö æ 2 щим воздействием в виде s -функции v = M 1s (k1e ) = M 1 ç 1 ÷. - k1e ø è1+ e В качестве границы разделения сигма-функции на условно постоянную и условно линейную при x ³ 0 примем точку k1Δ1 = c = 3 , ± c » ±3 – абсциссы вершин сигма-функции, в которых ее кривизна достигает максимума s (k1e ) y = 0,5k1e y = s (c )k1e / c 1 | s (k1e ) |³ | sat (e ) | , s (c) y = sat (e ) ìs (c)signe , | e |> c / k1 ; sat (e ) = í - c / k1 îs (c)k1e / c, | e |£ c / k1 c/k e 1 σ (c) = σ (3) » 0,9 s ¢(k1e ) = 0,5k1 (1 - s (k1e )) 0 < σ¢(c) £ σ¢(k1e ) £ σ¢(0) = k1 / 2, | e |£ c / k1 σ¢(c) = σ¢(3) » 0,095k -1 2 0,5 - c / k1 O y = s ¢( k1e ) / k1 c/k1 e 33 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка 1. Амплитуда M 1 > 0 выбирается как в системе с разрывным управлением При e > 3 / k1 имеем: ee& = e (h - M s (k e )) £ e ( N - 0,9 M 1 ) < 0 Þ M 1 > 1,1N , 1 1 что обеспечивает e (t ) £ 3 / k1 за конечное время t > t1 . 2. Параметр k1 > 0 выбирается как в системе с большим коэффициентом. Цель: e (t ) £ Δ , e& (t ) £ Δ Þ h (t ) - v(t ) £ Δ Þ v(t ) = h (t ) + j (t ), j (t ) £ Δ Анализ системы e& = h - M 1s (k1e ) , e&& = h& - M 1s ¢(k1e )e& при e £ 3 / k1 с помощью 2-го метода Ляпунова V = V1 + V2 = 12 e 2 + 12 e& 2 , V&1 < 0 и V&2 < 0 Þ V& < 0 1) V&1 = ee& = e (h - M 1s (k1e )) £ e (h - 0,3M 1k1 e ) < 0 , h (t ) £ N "t > 0 V&1 < 0 обеспечивается вне области N - 0,3M 1k1 e > 0 Þ e < 3,3N /( M 1k1 ) £ Δ при выполнении условия N - 0,3M 1k1 e < 0 Þ k1 > 3,3 N / ( M 1Δ) . 2) V&2 = e&e&& = e&(h& - M 1s ¢(k1e )e&) £ e& (h& - 0,095M 1k1 e& ) < 0 , h& (t ) £ N1 "t > 0 V&2 < 0 обеспечивается вне области N1 - 0,095M 1k1 e& > 0 , e& < 10,5 N1 /( M 1k1 ) £ Δ при выполнении условия h& - 0,095M 1k1 e& < 0 Þ k1 > 10,5 N1 / ( M 1Δ) . Оба условия выполняются при k1 > max{3,3 N ; 10,5 N1} /( M 1Δ) . 34 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка 1. Комбинированное управление с компенсирующей и линейной составляющей u = - 1b (kx + v) Û u = - b1 (kx + h + j ) , j (t ) £ Δ Замкнутая система: x& = j (t ) + (a - k ) x , a - k < 0 xx& = x(-j (t ) + (a - k ) x) £ x (Δ - (k - a ) x ) < 0 . x&x < 0 обеспечивается вне области Δ - (k - a) x > 0 Þ x < Δ /(k - a) £ d при Δ - (k - a )d < 0 Þ k > Δ / d + a . Результат: x(t ) £ d при t > t2 > t1. 2. Комбинированное управление с компенсирующей и разрывной составляющей: u = - 1b ( Msignx + v) Û u = - 1b ( Msignx + h + j ) . Замкнутая система: x& = -j (t ) + ax - Msignx , x&x < 0 Þ если a > 0 , то M > a | x(0) | + Δ ; если a < 0 , то M > Δ . Результат: x = 0 при t > t2 > t1. Выбором k и M обеспечиваются заданные темпы сходимости x ® 0 . 35 Лекция 4. Синтез инвариантной системы управления первого порядка Структурная схема с НВ с нелинейной коррекцией в виде s -функции x& = ax + h + bu , 1) u = - b1 (kx + v) , 2) u = - 1b ( Msignx + v) ; z& = ax + bu + v , z (0) = x(0) = 1, v = M 1s (k1e ) k 1 M a 1 Msignx 1 u 1 x Scope b b s h kx Scope ОУ Scope e s (k1e ) M1 Scope Сменные блоки v(t ) » h (t ) Scope t > t1 a x v (- ) 1 s b u z НВ 36