Методы разделения движений по темпам

Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Методы разделения движений по темпам 1. Разделение движений по темпам на основе естественных свойств ММ ОУ (сингулярно возмущенные системы). 2. Искусственное разделение движений с помощью обратной связи: 2.1) с большими коэффициентами (глубокая обратная связь); 2.2) с разрывными управлениями и организацией скользящего режима. 1. Сингулярно возмущенные системы Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотическое разложение сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. x& = f ( x, y ), x Î R n - p , ММ ОУ m y& = s ( x, y ), y Î R p , det{¶s / ¶y} ¹ 0 , m – скалярный положительный параметр. При m = 0 динамический порядок системы понижается на p : 0 = s( x , y ) Þ y = j (x ) Þ x& = f ( x ) = f [ x , j ( x )], s ( x , j ( x )) = 0 , уравнения движений в пространстве R n вдоль многообразия s ( x , j ( x )) = 0 ( y = j ( x ) Î R p ), x Î R n - p – вектор состояния вырожденной системы. Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме При очень малом m > 0 в сингулярно возмущенной системе (СВС) x& = f ( x, y ), x Î R n - p , m y& = s ( x, y ), y Î R p выделяют две фазы: – быстрые движения на начальном интервале при t Î [t0 ; t1 ] , чем меньше m , тем меньше этот интервал; – медленные движения при t > t1 . Если быстрые движения устойчивы, то при t > t1 состояние исходной системы n -го порядка будет близко к состоянию вырожденной системы (n - p ) -го порядка, т.е. в результате быстрого изменения y траектории вектора состояния в пространстве R n сойдутся к многообразию s ( x , j ( x )) = 0 ( y = j ( x ) Î R p ): lim x(t ) = x (t ) Û x(t ) = x (t ) + O ( m , t ) , m ®0 x (t ) – вектор укороченной системы x& = f (x ) , где быстрые движения не учтены, lim y (t ) = j ( x , t ) Û y (t ) = j ( x ) + Py (t ) + O ( m , t ) , t = mt Þ t = t / m , m ®0 lim O ( m , t ) = 0 , lim Py (t ) = 0 при t > t1 , m ®0 t ®¥ вектор-функция Py (t ) характеризует быстрые движения, скорость затухания которых увеличивается с уменьшением m . 2 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме 2.1. Системы с большими коэффициентами (глубокими обратными связями) Мееров М.В. Системы автоматического управления, устойчивые при бесконечно больших коэффициентах усиления. //Автоматика и телемеханика. 1947. Т. 8. № 4. Связь между СВС и системами с большими коэффициентами. РФ: x& = f ( x, y ), x Î R n - p , y& = u , u = m1 s ( x, y ), u, s Î R p , k = 1 / m ® ¥ , m ® 0 . Быстрые движения задаются группой собственных чисел Re li ® -¥ , i = 1, p . Уравнения быстрых движений в растянутом масштабе времени t = t / m : ds æ ¶s ö 1 æ ¶s ö ds æ ¶s ö æ ¶s ö = ç ÷ f ( x, y ) + ç ÷ s ( x, y ) Þ m = m ç ÷ f ( x, y ) + ç ÷ s( x, y ), dt è ¶x ø m è ¶y ø dt è ¶x ø è ¶y ø { 1 / dt ds ds æ ¶s ö æ ¶s ö æ ¶s ö æ ¶s ö = ç ÷s = m ç ÷ f ( x, y ) + ç ÷ s( x, y ), detç ÷ ¹ 0. Если система dt 1è4 x2 dt è ¶y ø ¶4 ø 44 è ¶y ø 3 è ¶y ø ®0 равномерно экспоненциально устойчива, то траектории системы сходятся к многообразию 0 = s ( x , y ) Þ y = j (x ) асимптотически. Уравнения медленных движений: x& = f ( x ) = f [ x , j ( x )], lim s (t ) = 0 . t ®¥ 3 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме 2.2. Системы с разрывными управлениями. Идеальный скользящий режим В 1956 г. С.В. Емельянов начал разработку систем с переменной структурой. Технический аспект. В настоящее время получили распространение электрические безынерционные исполнительные устройства на базе силовых электронных элементов, которые функционируют исключительно в ключевом режиме. При этом непрерывное управление будет сформировано в виде высокочастотного разрывного сигнала, средняя составляющая которого равна непрерывному управлению. В такой ситуации более естественно сразу применять законы разрывного управления. ìu + ( x, t ) при s ( x, t ) > 0, Пример 1. x& = u , x, u Î R , разрывное управление: u ( x, t ) = í _ u î ( x, t ) при s ( x, t ) < 0, u + , u - , s – непрерывные функции s ( x, t ) = 0 – линия переключений (линия разрыва) на плоскости Otx Частный случай разрывного управления: u = - Msign x , s = x = 0 M = const > 0 – амплитуда разрывного управления ì1, если x > 0; идеальное реле: signx = í î - 1, если x < 0. при x = 0 функция signx не определена. 1 signx -M u ò x -1 4 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме При u = - Msign x имеем замкнутую систему x& = - Msign x . Прямая x = 0 (линия переключений) делит полуплоскость (t + , x) на две области: I) x > 0 , где u = - M и x (t ) = x (0) - Mt ; II) x < 0 , где u = M и x (t ) = x (0) + Mt . Траектории движения – прямые, направленные навстречу друг другу. Изображающая точка ( x (t ) ИТ) из "x (0) ¹ 0 попадает на прямую x = 0 (особая траектория, она не совпадает ни с одной из траекторий системы) и будет двигаться по ней, теоретически совершая колебания с бесконечно малой амплитудой и бесконечно большой частотой. Такой процесс называют идеальным скользящим режимом. x I) x > 0, x& = - M < 0 x=0 t II) x < 0, x x ( 0) > 0 t1 t x& = M > 0 Достаточные условия попадания изображающей точки на линию переключений s = 0 : если расстояние s ¹ 0 до этой прямой и скорость его изменения s& имеют разные знаки: s&s < 0 . В нашем случае x&x < 0 . 5 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме x x x ( 0) > 0 x& = u , u = - kx, x(0) > 0 x& = - kx, k > 0 x(t ) = x(0)e - kt t1 t t t1 Попадание на линию переключений x = 0 происходит за конечное время t1 =| x(0) | / M . Общее движение делится на две фазы: 1) t Î [0, t1 ] – движение к линии переключений (условно быстрые движения); 2) t > t1 – движение по линии переключений (условно медленные движения). Фазовое пространство системы x& = - Msign x одномерно. Фазовые траектории направлены навстречу друг другу, фазовая точка при t > t1 остается в точке x = 0 . x ( 0) > 0 x ( 0) < 0 x=0 x 6 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме x& = f ( x, y ), y& = u , u = - Msigns ( x, y ), x Î R n - p , u , s Î R p , M = diag( M i ), M i = const > 0 , signs = col(signs1 ,..., signs p ) , s = col( s1 , ..., s p ) si ( x, y ) – непрерывные функции, i = 1, p ì - M i при si ( x, y ) > 0, ui = í rank (¶s / ¶y ) = dim u = p î + M i при si ( x, y ) < 0, Пересечение поверхностей разрыва 0 = s ( x, y ) Î R p – многообразие скольжения в пространстве R n (особые траектории, не совпадающие с траекториями непрерывной системы). При возникновении скользящего режима t > t1 > 0 динамический порядок системы понижается. При подстановке s ( x, y ) = 0 Þ y = j (x ) в первое уравнение получим систему ( n - p ) -го порядка: x& = f ( x, j ( x )), s = 0 . Это уравнения идеального скольжения (медленные движения). При синтезе системы с разрывными управлениями и принудительной организацией скользящего режима нужно обеспечить: 1) попадание изображающей точки на поверхности разрыва: si s&i < 0 , i = 1, p ; s T s& < 0 – на их пересечение s = col( s1 , ..., s p ) ) (условие достижимости); 2) возникновение скользящего режима на этой поверхности (условие существования); 3) устойчивость медленных движений. 7 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Пример 2. РФ: x&1 = x2 , x& 2 = u . Фиктивное управление x2 = - k1 x1, k1 = const > 0 . Обеспечим стабилизацию невязки s = k1 x1 + x2 с помощью истинного разрывного управления u = - Msign (k1 x1 + x2 ) , M = const > 0 . Замкнутая система (без замены переменных): x&1 = x2 , dx2 - Msigns = , x2 dx2 = - Msignsdx1 x& 2 = - Msign (k1 x1 + x2 ) = - Msigns, dx1 x2 Прямая переключений s = k1 x1 + x2 = 0 ( x2 = - k1 x1) делит фазовую плоскость Ox1 x2 на две области: I) s > 0 , x22 = -2 Mx1 + c1; II) s < 0 , x22 = 2 Mx1 + c2 . Фазовые траектории – параболы, направленные навстречу друг другу на отрезке AB A, B – точки касания фазовых x2 II) s < 0 I) s > 0 траекторий с прямой s = 0 : B 2 ì s = k1 x1 + x2 = 0, ìï A( M / k1 , - M / k1 ) Þí í î s& = k1 x2 ± M = 0 îï B (- M / k12 , M / k1 ) x1 A s = k1 x1 + x2 = 0 Подставив s = k1 x1 + x2 = 0 Þ x2 = - k1 x1 в первую подсистему, получим уравнение устойчивого движения в скользящем режиме: x&1 = - k1 x1 , s = 0 , t > t1 . 8 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Условия существования Скользящего Режима (СР) Система x& = f ( x, u ) , x Î R n со скалярным разрывным управлением: u Î R : ìu + ( x) при s ( x) > 0, u ( x, t ) = í r (¶f / ¶u ) = 1, f , u + , u _ , s – непрерывны îu ( x) при s ( x) < 0, Функция s ( x ) = 0 определяет в R n поверхность переключений (разрыва) S , которая делит R n на два подпространства: R-n = {x : s ( x) < 0} и R+n = {x : s ( x) > 0}. В окрестности поверхности разрыва для точек x1 Î R-n и x2 Î R+n , которые находятся по разные стороны от поверхности разрыва, условие Липшица f ( x1 , t ) - f ( x2 , t ) £ L x1 - x2 не выполняется. Траектории движения по S особые, не совпадают ни с одной из фазовых траекторий 1. Условия достижимости: для того чтобы ИТ точка x при s ( x ) ¹ 0 двигалась в сторону поверхности переключений, достаточно, чтобы s&s < 0 . 9 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме фазовые траектории f ( x, u + ) s<0 f ( x, u - ) R-n grads s > 0, R+n s<0 векторы фазовой скорости R-n s>0 Rn + f ( x, u - ) f ( x, u + ) s ( x) = 0 s ( x) = 0 Правая часть x& = f ( x, u ) на поверхности S терпит разрыв, но существуют левые и + + правые пределы: lim f ( x, u ) = f ( x, u ) = f , lim f ( x, u ) = f ( x, u ) = f . s ® -0 s&( x) = grads × f ( x, u ) : 123 ¶s / ¶x s ® +0 - s& - = lim s&( x) = grads × f , s& + = lim s&( x ) = gradsf + . s ® -0 s ® +0 Градиент направлен по нормали к S в сторону возрастания s (x ) : R+n = {x : s ( x) > 0} 1) s& - = lim s&( x) = grads × f вектор f - - s ® -0 > 0 Þ угол между векторами grads и f - острый, направлен в сторону R+n J (см. рис., аналогично s& + = grads × f угол между векторами grads и f 2) s& - = lim s&( x) = grads × f s ® -0 - + тупой, вектор f + + <0Þ направлен в сторону R-n J); < 0 Þ угол тупой, f - направлен в сторону R-n L. 10 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме 1 s ( x) = 0 Типы точек поверхности переключений 1. Векторы f - и f + направлены в одну s>0 - + n сторону, s & s& > 0 . R + n + 2. Вектор f направлен в сторону R , f –в + 2 3 s<0 R-n f ( x, u ) f ( x, u - ) сторону R+n , они направлены в разные стороны от поверхности переключения, s& - < 0, s& + > 0 . В обоих случаях фазовые траектории прошивают поверхность разрыва, ИТ сходит с поверхности. Точки разрыва изолированные. 3. Поверхность переключений, состоящая из точек третьего типа, называется поверхностью скольжения. Векторы f - , f + направлены навстречу друг другу, и фазовые траектории у поверхности S направлены встречно: s& - = lim s& > 0 , s& + = lim s& < 0 – достаточное условие существования скольs ® -0 s ® +0 зящего режима, если оно выполняется, то s&s < 0 . Если это имеет место "t ³ 0 , то условие существования одновременно является и условием достижимости. Точки разрыва плотно лежат на некотором интервале. 11 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Описание движения в скользящем режиме При движении в СР фазовая скорость не равна ни f - , ни f + , нужны доопределения (А.Ф. Филиппов, Е.С. Пятницкий, Первозванский, Уткин В.И. (МЭУ)). Метод эквивалентного управления (МЭУ) для описания движения в СР x& = f ( x, u ) , x Î R n , u Î R , rank (¶f / ¶u ) = rank (ds / dx) = dim u = 1. 1. Из уравнения статики находим эквивалентное управление ueq : ds f ( x, ueq ) = 0 Þ ueq (x) . dx 2. Подставляем ueq в ММ ОУ, получим уравнения движения в СР: x& = f ( x, ueq ) , s = 0 . s&( x) = касательная плоскость s<0 grads f ( x, u - ) u- s > 0 М f ( x, u + ) u+ f ( x, ueq ) s ( x) = 0 С геометрической точки зрения МЭУ предполагает замену разрывного управления на границе разрыва, где оно не определено, непрерывным управлением, которое направляет вектор скорости в пространстве состояний вдоль поверхности разрыва. В точке M Î S строим годограф x& = f ( x, u ) , изменяя управление от u - до u + и находим точку его пересечения с касательной плоскостью, что соответствует ueq (x) и определяет правую часть x& = f ( x, ueq ) при движении в скользящем режиме. 12 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме 3. Реальный скользящий режим Идеальный скользящий режим – движение, при котором изображающая точка совершает относительно многообразия скольжения колебания с бесконечно большой частотой и бесконечно малой амплитудой. Реальный скользящий режим из-за различного рода неидеальностей совершается с конечной частотой и конечной амплитудой в некоторой ненулевой окрестности многообразия скольжения (пограничном слое), что влияет на точность регулирования в установившемся режиме. Первая группа неидеальностей – аппаратурная реализация переключающих устройств. В отличие от идеального реле они работают при определенном гистерезисе, наклоне линии переключения и с запаздыванием по задающему воздействию. M -e -M M M e -M -e e -M Вторая группа неидеальностей – неучтенные в ММ ОУ динамические звенья с малыми постоянными времени (паразитные динамики), запаздывание, которые смещают моменты переключений. При микропроцессорной реализации нужно учитывать задержку переключений при смене знака s , обусловленную дискретным характером вычислений. 13 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Пример 3. Реальный скользящий режим в системе x x& = - Msignx : ИТ x(t ) при t > t1 движется в не- x(0) котором пограничном слое прямой переключений Δ x (t ) = 0 : x £ Δ , Δ > 0 , t1 – время попадания в Δ -окрестность прямой -Δ скольжения x (t ) = 0 ; t p – время реакции переключающего устройства; t1 t tp Т = 4t p – период реального скользящего режима, T = 2p / w , w = p /(2t p ) – частота переключений в реальном скользящем режиме; Δ = Mt p ; t1 = x(0) / M - t p , M -Þ t1 ¯, Δ - ; t p -Þ Δ - , но w -Þ Δ ¯ (- Δ; + Δ ) – пограничный слой, в котором возможны произвольные, хаотичные высокочастотные колебания – автоколебания или чаттеринг (chattering) – «болтанка». Проблему чаттеринга можно решить двумя способами: уменьшить амплитуду разрывных управлений или повысить частоту переключений При реализации разрывного управления в вычислительной среде частота СР определяется мощностью процессора (w ³ 106 герц, t p £ 10-6 сек. – СР близкий к идеальному). Нужно использовать методы интегрирования первого порядка (Эйлера, Адамса) с постоянным (по возможности мелким) шагом интегрирования! 14 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Физический смысл эквивалентного управления Реальный скользящий режим Идеальный скользящий режим x& = f ( x, u, t ) , s ( x) = 0 , x& = f ( x, ueq , t ) ~ x& = f ( x, u~, t ) , в новом управлении u~ : ì - M при s > 0, u=í î + M при s < 0 s=0 u M -M t t1 ui+ £ u~i £ ui- учтены любые неидеальности s £ Δ, s = ( s T s )1 / 2 s=0 ~ u u~ ueq t t t t 1 1 x (t ) = x(t ) . Независимо от природы неидеальностей lim ~ D®0 Реальное управление u~ содержит медленную (среднюю) составляющую, на которую накладывается высокочастотная составляющая. ОУ – динамическое звено, его поведение в основном определяется медленной составляющей, реакция на высокочастотную незначительная. Физический смысл эквивалентного управления: в СР истинное разрывное управление заменяется непрерывной функцией ueq ( x, t ) , которая совпадает с медленно меняющейся (средней) составляющей разрывного управления. 15 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Реализация метода эквивалентного управления Для получения сигнала ueq надо отфильтровать высокочастотную составляющую, т.е. произвести усреднение и выделить медленно меняющуюся составляющую. Если подать на вход линейного фильтра первого порядка с малой постоянной времени m > 0 разрывное управление, то при t > t1 выход фильтра даст ueq . m > 0 должна быть достаточно мала по отношению к медленно меняющейся составляющей (чтобы не искажать ее), но достаточна для фильтрации высокочастотной. Пограничный слой ± Δ следует уменьшить, чтобы приблизить реальный скользящий режим к идеальному. При уменьшении Δ должна возрастать частота переключений управления. Для фильтрации высокочастотной составляющей (она определяется переключениями в скользящем режиме) величина, обратная частоте переключений, которая пропорциональна Δ , должна быть намного меньше m , Δ / m ® 0 (на практике обычно принимают m = 0,001, m = 0,01). Математическая модель низкочастотного фильтра: mt& = -t + u , dimt = dim u t – переменная состояния, m > 0 – постоянная времени фильтра. Предельная ситуация при m ® 0 после возникновения скользящего режима t > t1 : lim t (t ) = ueq (t ) Þ t (t ) = ueq (t ) + O( m , t ) , lim O ( m , t ) = 0 m ®0 D / m®0 m ®0 16 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Инвариантность по отношению к согласованным возмущениям x& = f ( x) + B ( x)u + Q ( x )h (t ), x Î X Ì R n , rankB( x) = rank( B Q) = dim u = p , Q = BL – условия согласования ìïui+ ( x) при si ( x) > 0, + ui ( x), ui- ( x), si ( x), (i = 1, p ) – непрерывные ф-ции. ui ( x ) = í ïîui ( x) при si ( x) < 0, h (t ) Î R q – вектор параметрических и внешних ограниченных возмущений, h £ N x& = f ( x) + B ( x)[u + L ( x)h (t )], G = ¶s / ¶x , rankG = p , det GB p ´ p ¹ 0 МЭУ: s& = (¶s / ¶x) x& = Gf + GB (ueq + Lh ) = 0 Þ ueq = -[GB ]-1 Gf - Lh . Уравнения скользящих (медленных) движений не зависят от возмущений: x& = f + B[-[GB ]-1 Gf - Lh + Lh ] = f - B[GB ]-1 Gf , s = 0 , t > t1 . Если подать разрывные управления на входы p фильтров mt& = -t + u , dimt = dim u , то при t > t1 можно получить оценки неизвестных согласованных -1 возмущений: t » ueq ( x, t ) = -[GB ]-1 Gf - Lh Þ Lh (t ) » -[GB] Gf - t (t ) . p n В СР все траектории лежат на пересечении поверхностей разрыва s Î R в R . Динамический порядок системы понижается на p. Вместо ММ ОУ n-го порядка можно записать систему уравнений скольжения (n-p)-го порядка (выразить из s=0 p координат вектора состояния и подставить их в первые (n-p) уравнений). 17 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме МЭУ в системах с большими коэффициентами усиления x& = f ( x) + B ( x)[u + L ( x)h (t )], G = ¶s / ¶x , rankG = p , det GB p ´ p ¹ 0 u = ks( x) = s( x ) / m , 1 / k = m ® 0 . Уравнения быстрых движений ds / dt = Gf + GB (u + Lh ), 1 / k = m ® 0, t = t / m ds = m (Gf + GB( u{ + Lh )) = m (Gf + GBLh ) + GBs . dt s/m Если система ds / dt = GBs равномерно экспоненциально устойчива, то при m ® 0 (k ® ¥ ) траектории системы сходятся к многообразию s = 0 , а управление стремится к эквивалентному: s& = Gf + GB (u eq + Lh ) ® 0 Þ u ® u eq = -[GB]-1 Gf - Lh , k ®¥ u = ueq + O(1 / k , t ) , lim O(1 / k , t ) = 0 при t > t1 (фильтров не надо). 1/ k ®0 Уравнения медленных движений: x& = f ( x) + B ( x )[-[GB ]-1 Gf - Lh + O( m , t ) + Lh ] = = f ( x) - B[GB]-1 Gf + BO( m , t ), s (t ) ® 0 , Gf + GBLh £ F = const > 0 . При t > t1 , большом, но конечном k обеспечивается инвариантность с заданной точностью – движение в пограничном слое s £ D £ mF = F / k , k - D ¯ 18 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Свойства скользящих режимов 1. При использовании разрывных управлений и организации скользящего режима движение замкнутой системы разделяется по времени на две составляющие: 1) попадание на многообразие скольжения за конечное время t1; 2) движение по этому многообразию. Время попадания сокращается с ростом амплитуды, но при этом растет величина пограничного слоя: M -, t1 ¯, D - . 2. В скользящем режиме динамический порядок системы понижается до n - p , так как ИТ находится на многообразии размерности p < n в R n . 3. Движение в скользящем режиме не зависит оператора объекта управления и определяется уравнениями поверхностей разрыва, что позволяет осуществить декомпозицию задачи синтеза на независимо подзадачи меньшей размерности: Ø выбор многообразия скольжения s ( x) = 0 в качестве фиктивного управления в подзадаче размерности (n - p ) ; Ø решение задачи стабилизации системы s& = 0 размерности p . 19 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме 4. Алгоритмы настройки параметров просты. Синтез заключается в выборе амплитуд разрывных управлений из достаточных условий возникновения скользящего режима, которые имеют вид неравенств. 5. Движение системы в скользящем режиме инвариантно по отношению к действию внешних и параметрических ограниченных возмущений, принадлежащих пространству управления. В отличие от систем с непрерывным управлением, где можно обеспечить инвариантность с некоторой точностью с помощью больших коэффициентов усиления, в разрывных системах обеспечивается полная инвариантность с помощью управлений с конечными амплитудами. 6. Для систем с аддитивным вхождением управления сигнал, соответствующий эквивалентному управлению, можно получить с выхода линейного фильтра с малой постоянной времени. При этом будут получены текущие оценки внешних неконтролируемых воздействий, принадлежащих пространству управления. 20 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Домашнее задание № 5 Синтез разрывного управления на основе регулярной формы На основе регулярной формы, полученной в ДЗ2, выполнить следующие расчеты: 1) реализовать процедуры блочного синтеза с линейной фиктивной обратной связью, сформированной в ДЗ 2, и: а) с чисто разрывным управлением; б) с комбинированным управлением с линейной и разрывной составляющими; 2) формализовать законы управления в терминах исходной системы. Провести моделирование в среде MATLAB– SIMULINK. Представить: 3) структурные схемы замкнутых систем в терминах MATLAB–SIMULINK; 4) графики xi (t ) , i = 1,3, e0 (t ) , u (t ) для расчетных случаев; 5) провести сравнительный анализ полученных результатов с результатами ДЗ1 по следующим критериям: для xi (t ) – время переходного процесса, область изменения, качество установившегося процесса (гладкость/негладкость сигналов); для u (t ) – области изменения вначале переходного процесса и в установившемся режиме. 21 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Синтез разрывного управления на основе РФ с замкнутыми локальными связями ММ ОУ x& = Ax + Bu, x Î R n , u Î R p , An´n , Bn´ p , p < n , rankB = p0 £ p < n æ x1 ö T = TaTp , Tx = x = çç ÷÷ , è x0 ø РФ x&1 = A11 x1 + A10 x0 , A11 æ ç ( n - p0 )´( n - p0 ) TAT -1 = A = ç A01 ç è p0 ´( n - p0 ) æ O ö ö ç ( n - p0 )´ p ÷ ( n - p0 )´ p0 ÷ , TB = ç ÷ A00 ÷÷ B ç ÷ p0 ´ p0 ø è p0 ´ p ø A10 rankB = rankB0 ( p 0 ´ p ) = dim x0 = p0 , x1 Î R n - p0 x&0 = A01 x1 + A00 x0 + B0u , æ A1 A10 ö æ x1 ö æ e1 = x1 ö æO ö æO ö -1 ÷÷ , Te ç ÷ = ç ÷ ÷÷ = e , Te A Te = çç Te çç ÷÷ = çç è B0 ø è B0 ø è x0 ø è e0 = - F1 x1 + x0 ø è C01 C00 ø e0 = (- F1 I ) x = (- F1 I )T x = F * x Общее преобразование: TeTx = e 14243 F* A1 = A11 + A10 F1, s ( A1 ) = s d – заданный спектр e&1 = A1e1 + A10 e0 , e1 Î R n - p0 РФ с замкнутыми локальными связями: e&0 = C01e1 + C00 e0 + B0u , e0 Î R p0 C01 = A01 + A00 F1 - F1 A1 , C00 = A00 - F1 A10 22 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме 1. Организация скользящего режима по плоскости e0 = 0 с помощью чисто разрывного управления u = - B0+ Msigne0 , M = const > 0 sgne0 = (sgne01 , sgne02 , ..., sgne0 p0 )T ( M = diag ( mi ), mi = const > 0 , i = 1, p0 ) Замкнутая система: e&1 = A1e1 + A10 e0 , e&0 = C01e1 + C00 e0 - Msign e0 . В скользящем режиме "t > t1 > 0 динамический порядок системы понижается на p0 : e&1 = A1e1 , e0 = 0 e0 (t ) = 0 (t > t1 ) Þ e1 (t ) ® 0 . Разрывное управление в исходных переменных x : u = - B0+ Msign( F * x) Достаточные условия возникновения скользящего режима: e0T e&0 < 0 Þ e0T e&0 = e0T (C01e1 + C00 e0 - Msigne0 ) = e0T C01e1 + e0T C00 e0 - e0T Msigne0 142 4 43 4 - M ( e01 + e02 + ...+ e0 p0 ) = - M e0 1) если собственные движения во 2-й подсистеме устойчивы (матрица C00 гурвицева), то e0T e&0 £ e0T ( C01 e1 - C00 e0 - M ) < 0 Þ M > C01 e1 ; C01e1 £ C01 e1 2) если собственные движения во второй подсистеме неустойчивы, то e0T e&0 £ e0T ( C01 e1 + C00 e0 - M ) < 0 Þ M > C01 e1 + C00 e0 . Нормы матриц C01 , C00 и нормы векторов e1 , e0 должны быть согласованы. 23 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Справка согласована с нормой вектора x * , если для любых Am A и x выполняется условие: Ax * £ A m x * , sup Ax * / x * – норма матрицы A , подчиненная норме x * Норма матрицы x¹0 Основные нормы вектора: l¥ -норма (кубическая) x ¥ = max{ x1 ,..., xn } l1 -норма (октаэдрическая) x 1 = x1 + .... + xn евклидова l 2 -норма (сферическая) x 2 = x12 + ... + xn2 , x ¥ £ x 2 £ x 1 Норма A ¥ = n max{ aij } согласована с тремя основными нормами l2 , l1 , l¥ . i, j С l1-нормой вектора согласована строчная (столбцовая) норма матрицы A s = max{ ai1 + ... + ain } – максимальная из l1-норм строк. 1£ i £ n l2 -нормой вектора согласована спектральная норма матрицы A 2 = | l | , где l – T максимальное собственное число матрицы A A . С n n aij2 i =1 j =1 Ae = åå n , n A 1 = å å aij – редко используются, A ¥ = max{ aij } не согласована i =1 j =1 i, j 24 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Для определения нижней границы для выбора амплитуды разрывного управления M используют нормы l¥ , l1 или покомпонентные оценки, которые дают меньшие оценки. Амплитуду завышать не следует, т.к. с ее повышением увеличивается не только скорость сходимости, но и ширина пограничного слоя в реальном скользящем режиме. В вычислительных экспериментах минимально допустимое значение М определяют по результатам моделирования, так как оценки на основе норм всегда существенно завышены. На практике при наличии комплектных электрических исполнительных устройств (ИУ), реализующих разрывное управление, амплитуда (напряжение) уже установлена и не подлежит изменению. На этапе проектирования выбирают ИУ требуемой мощности. 25 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Структурная схема замкнутой системы с разрывным управлением u = - B0-1Msigne0 = - B0-1Msign( F * x) Scope Scope u A u= x 1 s B - B0-1Msigne0 F* 1 - B -1 M -1 e0 = F * x Scope При моделировании скользящих режимов нужно использовать методы первого порядка (Эйлера, Адамса) с постоянным шагом интегрирования. 26 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме 2. Организация скользящего режима по плоскости e0 = 0 с помощью комбинированного управления с разрывной и линейной составляющими e&1 = A1e1 + A10 e0 , e&0 = C01e1 + C00 e0 + B0u Если во второй подсистеме собственные движения неустойчивые, то закон управления: u = - B0+ (C01e1 + C00 e0 + Msigne0 ) , M = const > 0 замкнутая система: e&1 = A1e1 + A10 e0 , e&0 = - Msigne0 В скользящем режиме "t > t1 > 0 динамический порядок системы понижается на p0 : e&1 = A1e1 , e0 = 0 e0 (t ) = 0 (t > t1 ) Þ e1 (t ) ® 0 . Достаточные условия возникновения скользящего режима: e0T e&0 < 0 Þ e0T e&0 = e0T (- Msigne0 ) £ e0T (- M ) < 0 Þ "M > 0 Меньшая амплитуда обеспечивает лучшее качество установившегося режима! Управление в исходных координатах: TeTx = e u = - B0+ ((C01 C00 )e + Msigne0 ) = = - B0+ ((C01 C00 )TeT x + Msign ((- F1 I )T x)) = - B0+ ( F ** x + Msign( F * x)) 14243 144244 3 F ** F* 27 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме e&1 = A1e1 + A10 e0 , e&0 = C01e1 + C00 e0 + B0u Если во второй подсистеме собственные движения устойчивые (матрица C00 гурвицева), то закон управления: u = - B0+ (C01e1 + Msigne0 ) , "M > 0 замкнутая система: e&1 = A1e1 + A10 e0 , e&0 = C00 e0 - Msign e0 В скользящем режиме "t > t1 > 0 динамический порядок системы понижается на p0 : e&1 = A1e1 , e0 = 0 e0 (t ) = 0 (t > t1 ) Þ e1 (t ) ® 0 . Достаточные условия возникновения скользящего режима: e0T e&0 < 0 Þ e0T e&0 = e0T (C00 e0 - Msigne0 ) £ e0T (- C00 × e0 - M ) < 0 Þ "M > 0 Меньшая амплитуда обеспечивает лучшее качество установившегося режима! Управление в исходных координатах: TeTx = e , u = - B0+ ((C01 O)e + Msigne0 ) = = - B0+ ((C01 O)TeT x + Msign ((- F1 I )T x)) = - B0+ ( F ** x + MsignF * x) 14243 14243 F ** F* 28 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Структурная схема замкнутой системы с комбинированным управлением u = - B0-1 (C01e1 + C0 e0 + Msigne0 ) = - B0-1 ( F ** x + MsignF * x) { или O Scope Scope u A B 1 s F* x F ** F ** x - B -1 M 1 Scope - 1 e0 = F * x При моделировании скользящих режимов нужно использовать методы первого порядка (Эйлера, Адамса) с постоянным шагом интегрирования. 29 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Численный пример æ1 1 0 ö æ 0ö ç ÷ ç ÷ ММ ОУ: x& = Ax + Bu , A = ç 0 1 0 ÷, B = ç 1 ÷ . ç 1 0 1÷ ç 0÷ è ø è ø æ ö ÷ ç 1 1 æ ö æ 0ö ÷ ç ÷ ç ç ÷ æ x1 ö æ x1 ö æ e1 ö -1 Tx = çç ÷÷ , T = ç 0 0 1 ÷ , TAT = A , Te çç ÷÷ = çç ÷÷ , Te = ç 0 1 0 ÷ , TeTB = ç 0 ÷ ÷ ç è x0 ø è x0 ø è e0 ø ç 0 1 0÷ ç1 ÷ 5 6 1 è ø è ø çç 1 424 3 ÷÷ è ( - F1 I ) ø æ - 4 - 6 1ö ç ÷ -1 Te A Te = Ae = ç 1 1 0 ÷ , e0 = (- F1 I )Tx = (5 6 1)Tx = (5 1 6) x 1424 3 ç - 19 - 30 6 ÷ F* è ø æ - 4 - 6ö æ1 ö e&1 = ç ÷e1 + ç ÷e0 , РФ с замкнутыми локальными связями: è 1 1 ø è 0ø e&0 = (-19 - 30)e1 + 6e0 + u , B0 = 1 30 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме 1. Организация скользящего режима по плоскости e0 = 0 с помощью чисто разрывного управления u = - B0-1Msigne0 = - Msigne0 , M = const > 0 Разрывное управление в исходных переменных x: u = - Msign((5 1 6) x) Замкнутая система: æ - 4 - 6ö æ1 ö e&1 = ç ÷e1 + ç ÷e0 , e&1 = A1e1 + A10 e0 , è 1 1 ø è 0ø e&0 = C01e1 + C00 e0 - Msign e0 e&0 = (-19 - 30)e1 + 6e0 - Msigne0 Выбор полки M Собственное движение во 2-й подсистеме неустойчиво: M > C01e1 + C00e0 C01e1 + C00 e0 £ C01,1 e1,1 + C01, 2 e1, 2 + C00 e0 Найдем оценки областей изменения преобразованных переменных e1 ,e0 : æ 1 0 0 öæ 1ö æ 1 ö ç ÷ç ÷ ç ÷ 1) пересчитаем начальные условия xi (0) = 1: TeTx (0) = ç 0 0 1÷ç 1÷ = ç 1 ÷ = e(0) ; ç ÷ç ÷ ç ÷ è 5 1 6 øè 1ø è 12 ø 2) для e0 процесс апериодический e0 (t ) £ e0 (0) = E0 = 12 , e0 (t ) ³ 0 . 31 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме 3) для переменных e1 можно получить явное решение ДУ e&1 = A1e1 + A10 e0 : e1 (t ) = t + ò exp( A1 (t - t )) A10 e0 dt , 0 444 1 424444 3 e1c ( t ) - собственные движения exp( A1t )e1 (0) 14 4244 3 e1в (t) - вынужденная составляющая Находим собственные движения, решая ЛОДУ 2-го порядка с н.у. e1 (0) = (1, 1)T : æ e1,1 ö æ x1 ö ì x&1 = -4 x1 - 6 x2 , æ - 4 - 6ö ÷ = çç ÷÷ , тогда e&1 = ç обозначим e1 = çç ÷e1 Û í ÷ è 1 1ø î x&2 = x1 + x2 è e1, 2 ø è x2 ø &x&1 = -4 x&1 - 6 x&2 = -4(-4 x1 - 6 x2 ) - 6( x1 + x2 ) = 10 x1 + 18 x2 , ì x&1 = -4 x1 - 6 x2 , ì x1 = -3 x&1 - &x&1 Þ &x&1 + 3x&1 + 2 x1 = 0, l1 = -1, l 2 = -2 Þí í î &x&1 = 10 x1 + 18 x2 î6 x2 = 2 &x&1 + 5 x&1 &x&1 + 3 x&1 + 2 x1 = 0 : x1 = c1e - t + c2 e - 2t , x&1 = - c1e - t - 2c2 e - 2t , &x&1 = c1e - t + 4c2 e - 2t , ìï x1 = c1e - t + c2 e - 2t , í ïî x2 = -0,5c1e - t - 1,5c2 e - 2t ìï x1с = 2,5e - t - 1,5e - 2t , í c1 = 2,5; c2 = -1,5 Þ ïî x2c (t ) = -5e - t + 2,25e - 2t x1 (0) = 1, x2 (0) = 1 32 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме Находим область изменения вынужденной составляющей: +¥ A1 гурвицева, s ( A1 ) = {l1 , l2 }, l1, 2 < 0 Þ ò e A1 (t -t ) Fdt = - A1-1 F F = A10 E0 , если e0 (t ) ³ 0 , F = - A10 E0 , если e0 (t ) £ 0 "t ³ 0 , t 3 öæ 1 ö æ - 6 ö æ e1,1в Î [-6; 0] ö æ 0,5 A1 ( t -t ) -1 ÷ A10 E0 dt = - A1 A10 E0 = - 12ç ÷ç ÷ = ç ÷ Þ çç òe ÷ è - 0,5 - 2 øè 0 ø è 6 ø è e1, 2 в Î [6; 0] ø Определяем покомпонентные оценки e1 с учетом 0 < exp( - kt ) £ 1, t ³ 0 e1,1 = 2,5e - t - 1,5e - 2t + e1,1в Þ e1,1 (t ) £ 2,5 - 1,5 + - 6 = 7 = E1,1 e1, 2 (t ) = -5e - t + 2,25e - 2t + e1, 2 в Þ e1, 2 (t ) £ - 5 + 2,25 + 6 = 8,75 = E1, 2 Определяем нижнюю границу амплитуды: e&0 = ( -19 - 30)e1 + 6e0 - Msigne0 M > C01,1 e1,1 + C01, 2 e1, 2 + C00 e0 = 19 × 7 + 30 × 8,75 + 6 × 12 = 467,5 ; M = 500 Расчетное значение можно понизить, если учитывать знаки переменных в переходном процессе при условии, что они не меняются: M > C01,1 e1,1 + C01, 2 e1, 2 + C00 e{0 = 19 × 7 - 30 × 8,75 + 6 × 12 = 60,5 , M = 65 { { - + + Адекватную нижнюю оценку лучше получать не расчетным, а экспериментальным путем 33 Лекция 3. Системы с разрывными управлениями, функционирующие в скользящем режиме 2. Организация скользящего режима по плоскости e0 = 0 с помощью комбинированного управления с разрывной и линейной составляющими e&0 = (-19 - 30)e1 + 6e0 + u Во второй подсистеме собственные движения неустойчивые, закон управления: u = - ((-19 - 30)e1 + 6e0 + Msigne0 ) , замкнутая система: e&1 = A1e1 + A10 e0 , e&0 = - Msigne0 , "M = const > 0 . Примем M = 10 Управление в исходных координатах: TeTx = e u = - B0+ ((C01 C00 )e + Msigne0 ) = = - B0+ ((C01 C00 )TeT x + Msign ((- F1 I )T x)) 14243 144244 3 F ** F* æ1 0 0 ö ÷ ç u = - ((-19 - 30 6)ç 0 0 1÷ x + 10sign((5 1 6) x)) = - ((11 6 6) x + 10sign((5 1 6) x)) ç5 1 6÷ è ø 34