Риск и прибыль

РИСК И ПРИБЫЛЬ Любая сфера человеческой деятельности, в особенности экономика или бизнес, связана с принятием решений в условиях неполноты информации. Источники неопределенности могут быть самые разнообразные: нестабильность экономической и/или политической ситуации, неопределенность действий партнеров по бизнесу, случайные факторы, т.е. большое число обстоятельств, учесть которые не представляется возможным (например, погодные условия, неопределенность спроса на товары, неабсолютная надежность процессов производства, неточность информации и др.). Экономические решения с учетом перечисленных и множества других неопределенных факторов принимаются в рамках так называемой теории принятия решений — аналитического подхода к выбору наилучшего действия (альтернативы) или последовательности действий. В зависимости от степени определенности возможных исходов или последствий различных действий, с которыми сталкивается лицо, принимающее решение (ЛПР), в теории принятия решений рассматриваются три типа моделей: • выбор решений в условиях определенности, если относительно каждого действия известно, что оно неизменно приводит к некоторому конкретному исходу; • выбор решения при риске, если каждое действие приводит к одному из множества возможных частных исходов, причем каждый исход имеет вычисляемую или экспортно оцениваемую вероятность появления. Предполагается, что ЛПР эти вероятности известны или их можно определить путем экспертных оценок; • выбор решений при неопределенности, когда то или иное действие или несколько действий имеют своим следствием множество частных исходов, но их вероятности совершенно не известны или не имеют смысла. Проблема риска и прибыли - одна из ключевых в экономической деятельности, в частности в управлении производством и финансами. Под риском принято понимать вероятность (угрозу) потери лицом или организацией части своих ресурсов, недополучения доходов или появления дополнительных расходов в результате осуществления определенной производственной и финансовой политики. Различают следующие виды рисков: • производственный, связанный с возможностью невыполнения фирмой своих обязательств перед заказчиком; • кредитный, обусловленный возможностью невыполнения фирмой своих финансовых обязательств перед инвестором; • процентный, возникающий вследствие непредвиденного изменения процентных ставок; • риск ликвидности, обусловленный неожиданным изменением кредитных и депозитных потоков; • инвестиционный, вызванный возможным обесцениванием инвестиционнофинансового портфеля, состоящего из собственных и приобретенных ценных бумаг; • рыночный, связанный с вероятным колебанием рыночных процентных ставок как собственной национальной денежной единицы, так и зарубежных курсов валют. Риск подразделяется на динамический и статический. Динамический риск связан с возникновением непредвиденных изменений стоимости основного капитала вследствие принятия управленческих решений, а также рыночных или политических обстоятельств. Такие изменения могут привести как к потерям, так и к дополнительным доходам. Статический риск обусловлен возможностью потерь реальных активов вследствие нанесения ущерба собственности и потерь дохода из-за недееспособности организации. Все участники проекта заинтересованы в том, чтобы не допустить полного провала проекта или хотя бы избежать убытка. В условиях нестабильной, быстро меняющейся ситуации необходимо учитывать все возможные последствия от действий конкурентов, а также изменения конъюнктуры рынка. Поэтому основное назначение анализа риска состоит в том, чтобы обеспечить партнеров информацией, необходимой для принятия решений о целесообразности участия в некотором проекте, и предусмотреть меры по защите от возможных финансовых потерь. При анализе риска могут использоваться следующие условия или предположения: • потери от риска не зависят друг от друга; • потери по одному из некоторого перечня рисков не обязательно увеличивают вероятность потерь по другим; • максимально возможный ущерб не должен превышать финансовых возможностей участников проекта. Все факторы, влияющие на рост степени риска в проекте, можно условно разделить на объективные и субъективные. Объективные факторы непосредственно не зависят от самой фирмы: это инфляция, конкуренция, анархия, политические и экономические кризисы, экология, налоги и т.д. Субъективные факторы непосредственно характеризуют данную фирму: это производственный потенциал, техническое оснащение, уровень производительности труда, проводимая финансовая, техническая и производственная политика, в частности выбор типа контракта между инвестором и заказчиком. Последний фактор играет особо важную роль для фирмы, поскольку от типа контракта зависят степень риска и величина вознаграждения по окончании проекта. Исследование риска целесообразно проводить в следующей последовательности: • выявление объективных и субъективных факторов, влияющих на конкретный вид риска; • анализ выявленных факторов; • оценка конкретного вида риска с финансовых позиций, определяющая либо финансовую состоятельность проекта, либо его экономическую целесообразность; • установка допустимого уровня риска; • анализ отдельных операций по выбранному уровню риска; • разработка мероприятий по снижению риска. Финансирование проекта, являясь одним из наиболее важных условий эффективности его выполнения, должно быть нацелено на обеспечение потока инвестиций для планомерного выполнения проекта, на снижение капитальных затрат и риска проекта за счет оптимальной структуры инвестиции и получения налоговых преимуществ. В плане финансирования проекта должны учитываться следующие виды рисков: • риск нежизнеспособности проекта; • налоговый риск; • риск неуплаты задолженностей; • риск незавершения строительства. Высокая степень риска проекта приводит к необходимости поиска путей искусственного снижения его (риска) возможных последствий на состояние фирмы. В существующей практике применяются главным образом четыре основных способа управления риском: распределение риска между всеми участниками проекта (передача части риска соисполнителям), страхование, резервирование средств на покрытие непредвиденных расходов и диверсификация. Анализ рисков подразделяется на два взаимно дополняющих друг друга вида: качественный, главная задача которого состоит в определении факторов риска и обстоятельств, приводящих к рисковым ситуациям, и количественный, позволяющий вычислить размеры отдельных рисков и риска проекта в целом. МЕРЫ РИСКА Наиболее распространена точка зрения, согласно которой мерой риска некоторого коммерческого (финансового) решения или операции следует считать среднее квадратичное отклонение (положительный квадратный корень из дисперсии) значения показателя эффективности этого решения или операции. Действительно, поскольку риск обусловлен недетерминированностью исхода решения (операции), то, чем меньше разброс (дисперсия) результата решения, тем более он предсказуем, т.е. меньше риск. Если вариация (дисперсия) результата равна нулю, риск полностью отсутствует. Например, в условиях стабильной экономики операции с государственными ценными бумагами считаются безрисковыми. Чаще всего показателем эффективности финансового решения (операции) служит прибыль. Рассмотрим в качестве иллюстрации выбор некоторым лицом одного из двух вариантов инвестиций в условиях риска. Пусть имеются два проекта А и В, в которые указанное лицо может вложить средства. Проект А в определенный момент в будущем обеспечивает случайную величину прибыли. Предположим, что ее среднее ожидаемое значение, математическое ожидание, равно тА с дисперсией S A2 . Для проекта В эти числовые характеристики прибыли как случайной величины предполагаются равными соответственно mB и S B2 . Средние квадратичные отклонения равны соответственно SA и SB. Подробнее описание числовых характеристик дано, например, в [2, гл.4] и [7, гл. 14]. Возможны следующие случаи: a) тA = mB, SA < SB, следует выбрать проект А; b) тA > mB, SA < SB, следует выбрать проект А; c) тA > mB, SA = SB, следует выбрать проект А; d) тA > mB, SA > SB; e) тA < mB, SA < SB. В последних двух случаях решение о выборе проекта А или В зависит от отношения к риску ЛПР. В частности, в случае d проект А обеспечивает более высокую среднюю прибыль, однако он и более рискован. Выбор при этом определяется тем, какой дополнительной величиной средней прибыли компенсируется для ЛПР заданное увеличение риска. В случае е для проекта А риск меньший, но и ожидаемая прибыль меньшая. Субъективное отношение к риску учитывается в теории НейманаМоргенштерна и рассматривается в гл. 4. Пример. Пусть имеются два инвестиционных проекта. Первый с вероятностью 0,6 обеспечивает прибыль 15 млн руб., однако с вероятностью 0,4 можно потерять 5,5 млн руб. Для второго проекта с вероятностью 0,8 можно получить прибыль 10 млн руб. и с вероятностью 0,2 потерять 6 млн руб. Какой проект выбрать? Р е ш е н и е . Оба проекта имеют одинаковую среднюю прибыльность, равную 6,8 млн руб. (0,6*15 + +0,4(-5,5)=0,8*10 + 0,2(-6) = 6,8). Однако среднее квадратичное отклонение прибыли для первого проекта равно 10,04 млн руб. ([0,6(15 - 6,8)2 + 0,4(-5,5 – 6,8)2]1/2 = 10,04), а для второго - 6,4 млн руб. ([0,8 (10 - 6,8)2 + 0,2(-6 – 6,8)2]1/2 = 6,4), поэтому более предпочтителен второй проект. Хотя среднее квадратичное отклонение эффективности решения и используется часто в качестве меры риска, оно не совсем точно отражает реальность. Возможны ситуации, при которых варианты обеспечивают приблизительно одинаковую среднюю прибыль и имеют одинаковые средние квадратичные отклонения прибыли, однако не являются в равной мере рискованными. Действительно, если под риском понимать риск разорения, то величина риска должна зависеть от величины исходного капитала ЛПР или фирмы, которую он представляет. Теория Неймана-Моргенштерна это обстоятельство учитывает. Из публикаций, посвященных методам измерения и управления рисками, укажем на [8,9,10,16,18,20]. На рис. 1.1 рассмотрен случай выбора из более чем двух вариантов инвестиций. Характеристики вариантов показаны точками на плоскости (т, S), где т - средняя прибыль, получаемая в результате инвестиции, а S- среднее квадратичное отклонение прибыли. Рис. 1.1. Варианты выбора инвестиций Из рис. 1.1 видно, что среди вариантов А, В и С наиболее предпочтителен А. Из вариантов В, D и Н следовало бы выбрать Н. Вариант Н лучше вариантов С и F. Однако сравнительная предпочтительность, например, вариантов А, D, F и G зависит от склонности ЛПР к риску. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ПОЛНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Неопределенность, связанную с отсутствием информации о вероятностях состоянии среды (природы), называют «безнадежной» или «дурной». В таких случаях для определения наилучших решении используются следующие критерии: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Альтернативные подходы, в частности принципы Байеса - Лапласа, рассматриваются в разд. 6.2.1. Применение каждого из перечисленных критериев проиллюстрируем на примере матрицы выигрышей (3.1) или связанной с ней матрицы рисков (3.2). Критерий максимакса. С его помощью определяется стратегия, максимизирующая максимальные выигрыши для каждого состояния природы. Это критерий крайнего оптимизма. Наилучшим признается решение, при котором достигается максимальный выигрыш, равный M  max max aij . 1i  m 1 j  n Нетрудно увидеть, что для матрицы А наилучшим решением будет А1, при котором достигается максимальный выигрыш - 9. Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия, в экономике в общем нередки, и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены руководствоваться принципом «или пан, или пропал». Максиминный критерий Вальда. С позиций данного критерия природа рассматривается как агрессивно настроенный и сознательно действующий противник типа тех, которые противодействуют в стратегических играх (см. гл. 2). Выбирается решение, для которого достигается значение W  max min aij . 1i  m 1 j  n Для платежной матрицы А (3.1) нетрудно рассчитать: • для первой стратегии (i = 1) min x aij  1 ; 1 j  4 • для второй стратегии (i=2) min x a ij  3 ; 1 j  4 • для третьей стратегии (i=3) min x a ij  2 . 1 j  4 Тогда W  max min aij  3 , что соответствует второй стратегии A2 игрока 1. 1i  m 1 j  n В соответствии с критерием Вальда из всех самых неудачных результатов выбирается лучший (W = 3). Это перестраховочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай. Такая стратегия приемлема, например, когда игрок не столь заинтересован в крупной удаче, но хочет себя застраховать от неожиданных проигрышей. Выбор такой стратегии определяется отношением игрока к риску. Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей А (3.1), а матрицей рисков R (3.2): S  min max rij 1i  m 1 j  n Для матрицы R (3.2) нетрудно рассчитать: • для первой стратегии (i=1) max rij  4 ; 1 j  n • для второй стратегии (i=2) max rij  6 ; 1 j  n • для третьей стратегии (i=3) max rij  7 . 1 j  n Минимально возможный из самых крупных рисков, равный 4, достигается при использовании первой стратегии А1. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия в матрице А выбирается в соответствии со значением При p = 0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при р = 1 - с критерием Вальда. Покажем процедуру применения данного критерия для матрицы А (3.1) при р = 0,5: • для первой стратегии • для второй стратегии • для третьей стратегии  Тогда H A  max  a  max a  0,5 1min   5,5 , т.е. оптимальной является вторая 1i 3    j 4 ij 1 j 4 ij  стратегия А2. Применительно к матрице рисков R критерий пессимизма-оптимизма Гурвица имеет вид: При р = 0 выбор стратегии игрока 1 осуществляется по условию наименьшего из всех возможных рисков ( min rij ); при р = 1 - по критерию минимаксного риска i, j Сэвиджа. В случае, когда по принятому критерию рекомендуется к использованию несколько стратегий, выбор между ними может делаться по дополнительному критерию, например в расчет могут приниматься средние квадратичные отклонения от средних выигрышей при каждой стратегии. Данная идея отвечает подходу, рассмотренному в разд.1.2 (см. рис. 1.1). Еще раз подчеркнем, что здесь стандартного подхода нет. Выбор может зависеть от склонности к риску ЛПР. В заключение приведем результаты применения рассмотренных выше критериев на примере следующей матрицы выигрышей: Для игрока 1 лучшими являются стратегии: • по критерию Вальда – А3, • по критерию Сэвиджа – А2 и А3, • по критерию Гурвица (при р = 0,6) – А3; • по критерию максимакса – А4. Поскольку стратегия А3, фигурирует в качестве оптимальной по трем критериям выбора из четырех испытанных, степень ее надежности можно признать достаточно высокой для того, чтобы рекомендовать эту стратегию к практическому применению. Таким образом, в случае отсутствия информации о вероятностях состоянии среды теория не дает однозначных и математически строгих рекомендации по выбору критериев принятия решений. Это объясняется в большей мере не слабостью теории, а неопределенностью самой ситуации. Единственный разумный выход в подобных случаях - попытаться получить дополнительную информацию, например, путем проведения исследований или экспериментов. В отсутствие дополнительной информации принимаемые решения теоретически недостаточно обоснованы и в значительной мере субъективны. Хотя применение математических методов в играх с природой не дает абсолютно достоверного результата и последний в определенной степени является субъективным (вследствие произвольности выбора критерия принятия решения), оно тем не менее создает некоторое упорядочение имеющихся в распоряжении ЛПР данных: задаются множество состояний природы, альтернативные решения, выигрыши и потери при различных сочетаниях состояния «среда - решение». Такое упорядочение представлений о проблеме само по себе способствует повышению качества принимаемых решений. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА Методы принятия решении в условиях риска разрабатываются и обосновываются в рамках так называемой теории статистических решений. При этом в случае «доброкачественной», или стохастической, неопределенности, когда состояниям природы поставлены в соответствие вероятности, заданные экспортно либо вычисленные, решение обычно принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего выигрыша или минимума ожидаемого среднего риска (матрицы типа (3.1) либо (3.2)). Если для некоторой игры с природой, задаваемой платежной матрицей А = ||aij||m,n, стратегиям природы Пj соответствуют вероятности рj, то лучшей стратегией игрока 1 будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, т.е. Применительно к матрице рисков (матрице упущенных выгод) лучшей будет та стратегия игрока, которая обеспечивает ему минимальный средний риск: Заметим, что когда говорится о среднем выигрыше или риске, то подразумевается многократное повторение акта принятия решений. Условность предположения заключается в том, что реально требуемого количества повторений чаще всего может и не быть. Покажем, что критерии (3.3) и (3.4) эквивалентны в том смысле, что оптимальные значения для них обеспечивает одна и та же стратегия Аi, игрока 1. Действительно, т.е. значения критериев отличаются на постоянную величину, поэтому принятое решение не зависит от стратегии Аi. Например, для игры, задаваемой матрицей А (3.1) или матрицей R (3.2), при условии, что р1 = р2 = р3 = р4 = 1/4, А1 - лучшая стратегия игрока 1 по критерию (3.3), поскольку Эта же стратегия является лучшей для игрока 1 по критерию (3.4) относительно обеспечения минимального уровня риска: На практике целесообразно отдавать предпочтение матрице выигрышей (3.1) или матрице рисков (3.2) в зависимости от того, какая из них определяется с большей достоверностью. Это особенно важно учитывать при экспертных оценках элементов матриц А и R. ВЫБОР РЕШЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ (ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ) Рассмотрим более сложные (позиционные, или многоэтапные) решения в условиях риска. Одноэтапные игры с природой, таблицы решений (см. разд.3.3), удобно использовать в задачах, имеющих одно множество альтернативных решений и одно множество состояний среды. Многие задачи, однако, требуют анализа последовательности решений и состояний среды, когда одна совокупность стратегий игрока и состояний природы порождает другое состояние подобного типа. Если имеют место два или более последовательных множества решений, причем последующие решения основываются на результатах предыдущих, и/или два или более множества состояний среды (т.е. появляется целая цепочка решений, вытекающих одно из другого, которые соответствуют событиям, происходящим с некоторой вероятностью), используется дерево решений. Дерево решений — это графическое изображение последовательности решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для любых комбинаций альтернатив и состояний среды. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ В постановочном плане рассмотрим несколько задач, которые могут быть решены с помощью данного метода. Задача 3.2. Разведывательное бурение скважин. Некоторая нефтяная разведывательная партия должна решить, стоит ли бурить скважины на данном участке до того, как истечет срок контракта. Для руководителей партии не ясны многие обстоятельства: • в какую сумму обойдется стоимость бурения, зависящая от качества грунта, глубины залегания нефти и т.д.; • на какие запасы нефти в этом месте можно рассчитывать; • сколько будет стоить эксплуатация скважины. В распоряжении руководства имеются объективные данные об аналогичных и не вполне похожих скважинах этого типа. При помощи сейсмической разведки можно получить дополнительную информацию, которая, однако, не дает исчерпывающих сведений о геофизической структуре разведываемого участка. Кроме того, получение сейсмической информации стоит недешево, поэтому еще до того, как будет принято окончательное решение (бурить или нет), следует определить, есть ли необходимость собирать эти сведения. Задача 3.3. Выпуск нового товара. Большая химическая компания успешно завершила исследования по усовершенствованию строительной краски. Руководство компании должно решить, производить эту краску самим (и если - да, то какой мощности строить завод) либо продать патент или лицензию, а также технологию независимой фирме, которая имеет дело исключительно с производством и сбытом строительной краски. Основные источники неопределенности: • рынок сбыта, который фирма может обеспечить при продаже новой краски по данной цене; • расходы на рекламу, если компания будет сама производить и продавать краску; • время, которое потребуется конкурентам, чтобы выпустить на рынок подобный товар (успеет ли компания за этот срок окупить затраты, понесенные для того, чтобы стать лидером в данной сфере производства). Компания может получить некоторые дополнительные сведения, имеющие косвенное отношение к проблемам проникновения конкурентов на рынок сбыта, опросив часть поставщиков краски. Но к материалам опросов следует относиться с осторожностью, ибо поставщики в действительности могут поступать не так, как они первоначально предполагают. В качестве подтверждения последнего суждения можно привести исследования, проведенные американскими автомобильными корпорациями для того, чтобы определить спрос на большие легковые автомобили. Несмотря на надвигающийся энергетический кризис 1971-1973 гг., результаты анкетирования показали, что американские покупатели по-прежнему предпочитают многоместные легковые автомобили. Однако на деле все произошло с точностью до наоборот, и на рынке стали пользоваться спросом небольшие, экономичные машины. Такие результаты опроса могут быть частично объяснены скрытностью человеческого характера, и это должно учитываться при принятии решений. АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ Процесс принятия решений с помощью дерева решений в общем случае предполагает выполнение следующих пяти этапов. Этап 1. Формулирование задачи. Прежде всего необходимо отбросить не относящиеся к проблеме факторы, а среди множества оставшихся выделить существенные и несущественные. Это позволит привести описание задачи принятия решения к поддающейся анализу форме. Должны быть выполнены следующие основные процедуры: определение возможностей сбора информаций для экспериментирования и реальных действии; составление перечня событии, которые с определенной вероятностью могут произойти; установление временного порядка расположения событий, в исходах которых содержится полезная и доступная информация, и тех последовательных действий, которые можно предпринять. Этап 2. Построение дерева решений. Этап 3. Оценка вероятностей состояний среды, т.е. сопоставление шансов возникновения каждого конкретного события. Следует отметить, что указанные вероятности определяются либо на основании имеющейся статистики, либо экспертным путем. Этап 4. Установление выигрышей (или проигрышей, как выигрышей со знаком минус) для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) и состояний среды. Этап 5. Решение задачи. Прежде чем продемонстрировать процедуру применения дерева решений, введем ряд определений. В зависимости от отношения к риску решение задачи может выполняться с позиций так называемых «объективистов» и «субъективистов». Поясним эти понятия на следующем примере. Пусть предлагается лотерея: за 10 дол. (стоимость лотерейного билета) игрок с равной вероятностью р = 0,5 может ничего не выиграть или выиграть 100 дол. Один индивид пожалеет и 10 дол. за право участия в такой лотерее, т.е. просто не купит лотерейный билет, другой готов заплатить за лотерейный билет 50 дол., а третий заплатит даже 60 дол. за возможность получить 100 дол. (например, когда ситуация складывается так, что, только имея 100 дол., игрок может достичь своей цели, поэтому возможная потеря последних денежных средств, а у него их ровно 60 дол., не меняет для него ситуации). Безусловным денежным эквивалентом (БДЭ) игры называется максимальная сумма денег, которую ЛПР готов заплатить за участие в игре (лотерее), или, что то же, та минимальная сумма денег, за которую он готов отказаться от игры. Каждый индивид имеет свой БДЭ. Индивида, для которого БДЭ совпадает с ожидаемой денежной оценкой (ОДО) игры, т.е. со средним выигрышем в игре (лотерее), условно называют объективистом, индивида, для которого БДЭ ^ ОДО, - субъективистом. Ожидаемая денежная оценка рассчитывается как сумма произведений размеров выигрышей на вероятности этих выигрышей. Например, для нашей лотереи ОДО = 0,5*0 + 0,5*100 = 50 дол. Если субъективист склонен к риску, то его БДЭ > ОДО. Если не склонен, то БДЭ < ОДО. Вопрос об отношении к риску более строго рассматривается в гл. 4i Предположим, что решения принимаются с позиции объективиста. Рассмотрим процедуру принятия решения на примере следующей задачи. Задача 3.4. Руководство некоторой компании решает, создавать ли для выпуска новой продукции крупное производство, малое предприятие или продать патент другой фирме. Размер выигрыша, который компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного состояния рынка (табл. 3.1). На основе данной таблицы выигрышей (потерь) можно построить дерево решений (рис. 3.1). Рис. 3.1. Дерево решений без дополнительного обследования конъюнктуры рынка:  - решение (решение принимает игрок): [*] - случай (решение "принимает" случай); // - отвергнутое решение Таблица 3.1 Номер Действия компании стратегии 1 2 3 Строительство крупного предприятия (а1) Строительство малого предприятия (a2) Продажа патента (a3) Выигрыш, дол., при состоянии экономической среды* благоприятн неблагоом приятном 200 000 -180 000 100 000 -20 000 10 000 -10 000 • Вероятность благоприятного и неблагоприятного состояний экономической среды равна 0,5. Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой вершины дерева (при движении справа налево) ожидаемых денежных оценок, отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение ОДО. Определим средний ожидаемый выигрыш (ОДО): • для вершины 1 ОДО1 = 0,5*200 000 + 0,5(-180 000) = 10 000 дол.; • для вершины 2 ОДО2 = 0,5*100 000 + 0,5(-20 000) = 40 000 дол.; • для вершины 3 ОДО3 = 10 000 дол. Вывод. Наиболее целесообразно выбрать стратегию а2, т.е. строить малое предприятие, а ветви (стратегии) а1 и а3 дерева решений можно отбросить. ОДО наилучшего решения равна 40 000 дол. Следует отметить, что наличие состояния с вероятностями 50 % неудачи и 50 % удачи на практике часто означает, что истинные вероятности игроку скорее всего неизвестны и он всего лишь принимает такую гипотезу (так называемое предположение «fifty - fifty» - пятьдесят на пятьдесят). Усложним рассмотренную выше задачу. Пусть перед тем, как принимать решение о строительстве, руководство компании должно определить, заказывать ли дополнительное исследование состояния рынка или нет, причем предоставляемая услуга обойдется компании в 10 000 дол. Руководство понимает, что дополнительное исследование по-прежнему не способно дать точной информации, но оно поможет уточнить ожидаемые оценки конъюнктуры рынка, изменив тем самым значения вероятностей. Относительно фирмы, которой можно заказать прогноз, известно, что она способна уточнить значения вероятностей благоприятного или неблагоприятного исхода. Возможности фирмы в виде условных вероятностей благоприятности и неблагоприятности рынка сбыта представлены в табл. 3.2. Например, когда фирма утверждает, что рынок благоприятный, то с вероятностью 0,78 этот прогноз оправдывается (с вероятностью 0,22 могут возникнуть неблагоприятные условия), прогноз о неблагоприятности рынка оправдывается с вероятностью 0,73. Таблица 3.2 Прогноз фирмы Фактически Благоприятны Неблагоприятн й ый Благоприятный 0,78 0,22 Неблагоприятный 0,27 0,73 Предположим, что фирма, которой заказали прогноз состояния рынка, утверждает: • ситуация будет благоприятной с вероятностью 0,45; • ситуация будет неблагоприятной с вероятностью 0,55. На основании дополнительных сведений можно построить новое дерево решений (рис. 3.2), где развитие событий происходит от корня дерева к исходам, а расчет прибыли выполняется от конечных состояний к начальным. Рис. 3.2. Дерево решений при дополнительном обследовании рынка (см. условные обозначения к рис. 3.1) Анализируя дерево решений, можно сделать следующие выводы: • необходимо проводить дополнительное исследование конъюнктуры рынка, поскольку это позволяет существенно уточнить принимаемое решение; • если фирма прогнозирует благоприятную ситуацию на рынке, то целесообразно строить большое предприятие (ожидаемая максимальная прибыль 116 400 дол.), если прогноз неблагоприятный - малое (ожидаемая максимальная прибыль 12 400 дол.). ВЫБОР ФУНКЦИЙ РЕШЕНИЯ Для всех состояний природы не существует одной наилучшей функции решения. От статистика требуется применение таких методов, которые дают оптимальные функции решения в более узком диапазоне. Для этого необходимо использовать критерии оптимальности. Статистик в статистической игре (, D, R) или в расширенных статистических играх стремится к выигрышу, т. е. к определению наилучшей функции решения, при которой риск R(, ) был бы минимальным. Но это не просто, так как для каждого состояния природы  имеется своя лучшая функция. Пусть у нас имеются две различные функции решения 1 и (рис. 6.2). Рис. 6.2. Сравнение двух функций решения Можно выделить область, где функция 1 будет лучшей, - в диапазоне состояний природы 1< <2. Вторая функция 2 будет лучшей для состояния природы при <1 и при >2. Функция   D называется допустимой, если в множестве D* нет никакой другой функции решения 0, которая была бы лучшей  для всех . Данная функция для каждого  должна удовлетворять неравенству R(,0)  R(,). Таким образом, допустимая функция решения не будет доминирующей стратегией статистика в статистической игре. Рассмотрение только допустимых функций существенно уменьшит множество D* до множества допустимых функций решения. Отметим, что байесовские функции решения входят в класс допустимых функций. Определение. Функция решения 0D* называется байесовской относительно априорного распределения  состояний природы , если она минимизирует байесовский риск r(, ) на множестве D*. Таким образом, r(, ) = inf r(, ). Приведем формулу Байеса. Прежде чем ее D* написать, обратимся к теореме о полной вероятности [2, разд. 2.5, 2.6]. Теорема. Если событие А может наступить только при условии появления одного из событий В1, В2, ...,Bn, образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий В1, В2, ...,Bn на соответствующую условную вероятность события А: где P(Bi) - вероятность события Bi; Р(А|Вi) - условная вероятность события А в случае, если событие Вi уже произошло. Формула Байеса используется тогда, когда событие А появляется совместно с какимлибо из полной группы несовместных событий В1, В2, ..., Bn . Событие А произошло, и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий В1, В2, ..., Bn. При этом известны вероятности Р(В1), Р(В2),..., Р(Bn) до опыта (априорные). Требуется определить вероятности после опыта (апостериорные). Апостериорные вероятности представляют собой условные вероятности Р(В1|А), Р(В2|А) ,..., Р(Вn|А). Вероятность совместного наступления событий А с любым из этих событий Вj по теореме умножения равна: Эту формулу можно переписать исходя из формулы полной вероятности: Задача 6.1. Собирается партия исправных изделий с трех предприятий. Первый завод поставляет 60 %, второй - 30 %, третий - 10 % изделий. В1, В2, В3 - события, соответствующие тому, что изделия изготовлены на первом, втором и третьем предприятиях. Вероятность исправной работы изделий первого предприятия равна 0,98, второго 0,99, третьего - 0,96. Определить вероятность того, что в собранную партию исправных изделий попали соответственно изделия с первого, второго и третьего предприятий. Введем обозначения: А - событие, заключающееся в том, что изделие исправно; Р(А) - полная вероятность того, что изделие исправно; Р(В1|А), Р(В2|А), Р(В3|А) - условные вероятности того, что исправное изделие изготовлено соответственно на первом, втором и третьем предприятиях; Р(A|В1), Р(A|В2), Р(A|В3) - условные вероятности того, что изделие, изготовленное соответственно на первом, втором и третьем предприятиях, исправно; Р(В1), Р(В2), Р(В3) - вероятности того, что изделие изготовлено соответственно на первом, втором и третьем предприятиях. Известно: Р(А|В1) = 0,98; Р(А|В2) = 0,99; Р(А|В3) = 0,96; Р(В1) = 0,60; Р(В2) = 0,30; Р(В3) = 0,10. Требуется определить Р(А); Р(В1|А); Р(В2|А); Р(В3|А). Решение. 1. Определим полную вероятность того, что изделия, прибывшие с разных предприятии, исправны: 2. Вычислим условные вероятности того, что в партию исправных попали изделия с первого, второго и третьего предприятии соответственно: 3. Проверим: Р(В1|А) + Р(В2|А) + Р(В3|А) = 0,599 + 0,303 + + 0,098 = 1. Вывод. По формуле Байеса количественная переоценка доли предприятии в партии исправных изделии составляет: первое предприятие имеет 59,9 %; второе - 30,3 %; третье - 9,8 %. Остановимся на некоторых нестандартных принципах принятия решений. Принцип Байеса - Лапласа. Данный принцип отступает СП-условий полной неопределенности. В нем предполагается, что возможные состояния природы могут достигаться с вероятностями Р1, P2,..., Рn при условии, что Р1+ P2+ ,...,+ Рn =1. Байес в 1763 г. предложил считать равными вероятности отдельных состояний природы. В 1812 г. Лаплас обобщил этот принцип на случай различных вероятностей, но тем не менее говорят и о байесовском подходе. Если напомнить, что байесовские функции решения входят в класс допустимых функций, то будет понятно их широкое использование в практике принятия решений (см. гл. 3). Принцип Гурвица. Этот принцип является упрощенным вариантом принципа Байеса - Лапласа. Если известны вероятности отдельных состояний, то берут среднее арифметическое результатов при наилучшем решении. Иногда, если существует возможность определить вес наихудшего и наилучшего решений, то используют их взвешенную среднюю арифметическую. Проиллюстрируем применение данного принципа на примере строительства предприятий при четырех разных состояниях природы и наличии четырех разных типов предприятий. Задача 6.2. Имеются определенные средства на возведение предприятий. Необходимо наиболее эффективно использовать капиталовложения с учетом климатических условий, подъездных путей, расходов по перевозкам и т.д. Сочетание этих факторов по влиянию на эффективность капиталовложений можно разбить на четыре состояния природы B1, В2, В3, В4. Типы предприятий обозначим А1, А2, А3, А4. Эффективность строительства определяется как процент прироста дохода по отношению к сумме капитальных вложений. Информацию, отражающую постановку задачи, представим в табл. 6.2. Таблица 6.2 Варианты решений 1. Решение по принципу стратегических игр, по принципу максимина: max min aij = i j 4 . Нужно строить предприятие А3. Изменим условия задачи и предположим, что в табл. 6.2 отражены затраты на строительство предприятий, тогда выбор типа предприятий следует осуществить по принципу минимакса: min max aij =9. Нужно строить предприятие А1 или А4. i j 2. Решение по принципу Гурвица. Если известны все вероятности, определяющие состояния природы, сделаем выбор с помощью среднего арифметического лучшего и худшего результатов. Согласно табл. 6.2 это будет рекомендация строить предприятие А2, обеспечивающее 13  3 максимальную среднюю эффективность Ф = = 8. 2 3. Применим принцип Байеса при равных вероятностях состояний природы Р(В1)=Р(В2)=Р(В3)=Р(В4)=1/4. Определим рентабельность, соответствующую решению А1, т. е. М1: Далее определяем М2, М3, и М4. Выводы. Предполагая, что все вероятности состояний природы равны, следует строить предприятие А3, так как M3 = 7,5 = max (M1, M2, M3, M4). Отметим, что принцип Байеса-Лапласа имеет смысл применять, если возможно оценить вероятности отдельных состояний природы. При этом необходимо, чтобы решения также повторялись многократно. Когда события повторяются многократно, действует закон больших чисел, согласно которому достигается максимальный средний результат. При единичных решениях принцип Байеса - Лапласа не следует применять. Принцип Гурвица фактически является упрощением байесовских оценок. Гурвиц допускает, в частности, при отсутствии информации о вероятностях возникновения отдельных состояний природы брать среднее арифметическое значение результатов наилучшего и наихудшего решений. МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ При применении теории статистических игр на предприятии, в фирме бывает возможным получить дополнительную статистическую информацию, которая позволяет перейти от стратегической к статистической игре с природой. Очень часто при возможности многократного повторения как состояний природы, так и решений статистика мы можем принимать минимаксные байесовские решения. Для макроэкономических задач значительно реже удается получать информацию о состояниях природы. Кроме того, имея распределение вероятностей ее состояний, мы не всегда можем этой информацией воспользоваться. Принятие решения может носить одноразовый характер. В этой ситуации наилучшая байесовская стратегия при многократном принятии решения утрачивает свои оптимизационные свойства. Задачи, решаемые в условиях неопределенности, имеющие характер игры с природой, делятся на два типа: 1) в условиях полной неопределенности, когда отсутствует возможность получения дополнительной статистической информации о состояниях природы; основной моделью при этом служит стратегическая игра (, A, L), которая не преобразуется в статистическую; 2) в условиях риска, если существует возможность сбора дополнительной статистической информации о распределении состояний природы; эти задачи можно преобразовать к статистической игре (, D, R), в которой функции риска рассматриваются как платежи. Рассмотрим практический пример. Задача 6.3. Получение лицензии на новую продукцию. Требуется выбрать лучшую лицензию на выпуск легкового автомобиля у иностранных фирм. Имеются четыре предложения, следовательно, множество решении А = {а1, а2, а3, а4}, где а1 -решение о покупке лицензии у инофирмы Ai (i = 1,4 ). Фирмы требуют неодинаковые суммы за лицензии в зависимости от различных затрат на организацию производства и издержек эксплуатации. Известно, что основным требованиям владельцев автомобилей (эстетика, количество мест в салоне, скорость) удовлетворяют все четыре фирмы. В результате главным критерием являются затраты, связанные со сделкой. Пусть на основе экономического расчета вычислена эффективность покупки каждой из четырех лицензий. Эта эффективность зависит от длительности периода, в течение которого можно будет выпускать автомобили по лицензии, учитывая уровень их рентабельности и соответствия последним достижениям науки и техники в области автомобилестроения. Множество состояний природы   {1 , 2 } , где 1, 2 рентабельность и соответствие техническому уровню выпущенных по приобретенной лицензии первого и второго автомобилей, достигаемые соответственно через 15 и 25 лет. Представим формулу экономической эффективности: где У - продажная цена автомобиля; С - себестоимость; W- выигрыш игрока 1, в данном случае статистика, представляющего автомобильную промышленность. Отразим в табл. 6.3 полученные значения эффективности W(, a). Таблица 6.3. О стратегиях природы нет информации, и ее невозможно получить. Решение нужно найти при полной неопределенности, так как нет данных для перехода от стратегической игры к статистической. Применим максиминный критерий Вальда. Для этого перепишем табл. 6.3 и найдем минимальные значения по строке и максимальные - по столбцу. Это определит матрицу игры (табл. 6.4). Таблица 6.4 Матрица игры (, A, W) имеет седловую точку, равную 22 %, поскольку Итак, оптимальной нерандомизированной максиминной стратегией статистика (игрока 1), представляющего интересы автомобильной промышленности, будет решение а2, что соответствует покупке лицензии у фирмы А2 на производство легкового автомобиля. Это наиболее осторожная стратегия в игре с природой при отсутствии дополнительной статистической информации. При этом в качестве функций платежей была принята эффективность сделки W( , a) = 22.