Решение однородного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных

Лекция 14. Решение однородного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных 17.1. Декартовы координаты. Однородное уравнение Гельмгольца будет встречаться в дальнейшем при постановке разных граничных задач. Случай декартовых координат является простейшим, и поэтому именно с него начинается изложение. Уравнение Гельмгольца  2u  k 2u  0 (17.1) при использовании декартовой системы координат (х, у, z) принимает вид:  2u  2u  2u  2  2  k 2u  0. 2 x y z (17.2) Рассмотрим получение его решений методом разделения переменных (п.11.1). Ожидаемое решение и = и(х, у, z) представляется в виде произведения и(х, у, z) = X(x)Y(y)Z(z), (17.3) где Х(х), Y(y) и Z(z) - функции координат х, у, и z соответственно. Подставим представление (17.3) в уравнение (17.2) и разделим все члены на u = XYZ. Это дает: 1 d 2 X 1  2Y 1  2 Z    k2  0 . X dx 2 Y dy 2 Z dz 2 (17.4) Как видно, первые три члена - функции разных аргументов, а третий постоянен. Это дает основание (§11 п. 1) положить каждую из указанных 2 2 2 функций константе; назвав введѐнные константы   x ,   y ,   z , получаем три обыкновенных дифференциальных уравнения: 1 d2X    x2 2 X dx 1  2Y    y2 2 Y dy 1 2Z    z2 2 Z dz , причѐм  x2   y2   z2  k 2 (17.5) Это уже много раз встречавшиеся уравнения типа (7.7) с решениями (7.8). Таким образом, сразу можно выразить решение (17.3) уравнения (17.2):  A cos  x x  B sin  x x   C cos  y y  D sin  y y    E cos  z z  F sin  z z  u ( x, y, z )   i x   i y y   i z z  (17.6) i z z i y y x Te  We  Qei x x R e  Se     Pe     x2   y2   z2  k 2 Данная символическая запись означает, что каждый из сомножителей решения (X, Y и Z) можно брать как в форме верхней строчки, так и в форме нижней. Очевидно, что записанная функция (17.6) выражает решение уравнения (17.2) при любых постоянных коэффициентах А, В, ..., Т, W и 2 2 2 любых «постоянных разделения»  x ,  y ,  z , подчинѐнных равенству в нижней строке. В случае двумерного уравнения Гельмгольца  2 u   2u  0, (17.7) записываемого в декартовых координатах как  2u  2u  2   2u  0, 2 x y (17.8) имеем:  A cos  x x  B sin  x x   C cos  y y  D sin  y y   u ( x, y )   i x    i  x  i  y i  y x y  Qe x  Se y   Pe  R e  (17.9)  x2   y2  k 2 17.2. Цилиндрические координаты. В цилиндрической системе координат (r, φ, z) согласно (6.17) уравнение (17.1) примет вид: 1   u  1  2u  2u  2  k 2u  0 r  2 2 r r  r  r  z (17.10) Полагая и(r, φ, z) = U(r) W(φ)Z(z), (17.11) где U (r), W(φ) и Z(z) - функции координат r, φ и z соответственно. В результате подстановки (17.11) в (17.10) и деления на и = UWZ получаем: 1 d  dU r Ur dr  dr 1 d 2W 1 d 2 Z     k2  0  2 2 2 Z dz  Wr d (17.12) Третий член есть функция только координаты z и, таким образом, независим от предыдущих. Это дает основание (§ 11 п. 1) положить его равным некоторой постоянной; последнюю обозначим - χ2z. Оставшиеся слева члены в сумме также равны постоянной величине, а именно  2  k 2   z2 . Поэтому имеем следующие уравнения: 1 d  dU  1 d 2W r   2   2 2 Ur dr  dr  Wr d 1 d 2Z    z2 2 Z dZ  2   z2  k 2 , (17.13) эквивалентные вместе первоначальному уравнению (17.12). Далее произведѐм операцию разделения переменных в первом из уравнений (17.13), которое после умножения всех членов на r2 принимает форму: 1 d  dU r U dr  dr 2  1 dW    2r 2  0 .  2  W d Второй член (функция φ) не зависит от первого и третьего (функций r). Поскольку сумма всех членов - нуль, введѐм, как делалось в п. 11, постоянные п2 и - п2, которые в сумме равны нулю, и получим: r d  dU  2 2 2 r   r  n , U dr  dr  1 d 2W  n 2 2 W d (17.14) Легко убедиться, что в первой строчке (17.14) мы имеем не что иное, как уравнение Бесселя относительно U как функции аргумента χr. Действительно, после дифференцирования по r и умножения всех слагаемых 2 на U/χ имеем: d 2U 1 dU  2 n 2       2   0. dr 2 r dr  r  Оно совпадает с уравнением (16.1) при замене х на χr. (17.15) Итак, объединяя результаты (17.13) и (17.14) с учѐтом (17.15), получаем совокупность следующих обыкновенных дифференциальных уравнений, эквивалентную уравнению Гельмгольца (17.10): d 2U 1 dU  2 n 2     2   0 dr 2 r dr  r  2 dW  n 2W  0, 2 d d 2z   z2  0 2 dz  2   z2  k 2 (17.16) Общие решения их известны, причѐм каждое можно записать в двух формах: с использованием функций Бесселя и Неймана или Ханкеля для первого уравнения согласно (16.6а, б) и с использованием функций тригонометрических или экспоненциальных - для двух последних уравнений. Таким образом, находим следующее выражение и = UWZ: u(r, φ,z) =    AJ n (  r )  BN r (  r )  C cos n  D sin n   E cos  z z  F sin  z z     in   i z z   2 1 in  Wei z z   Te   PH n   r   QH n   r     R e  Se 17.17  2   z2  k 2 Форма записи имеет тот же смысл, что и в (17.6); аналогично также значение входящих в выражение постоянных. Обычно область, в которой ищется решение, не ограничена по углу φ. В этом случае М(r, φ, z) и М(r, φ + 2π, z) - это одна и та же точка наблюдения, а следовательно, u (r, φ, z) и и (r, φ + 2π, z) выражают решение в одной и той же точке, т. е. должно быть: u  r ,  , z   u  r ,   2 , z  , , (17.18) что возможно только при целом п (или равном нулю): п = 0, ±1, ±2, .... При отсутствии зависимости по z уравнение Гельмгольца (17.1) записывается в форме (17.7), т. е. в цилиндрических координатах: 1   u  1  2u   2u  0 r  2 r r  r  r  . (17.19) Его решение имеет вид:    AJ n (  r )  BN n (  r )  C cos n  D sin n  u  r,      in .  2 1 in  PH n   r   QH n   r     R e  Se   (17.20) Выбор того или иного варианта решения определяется граничными условиями конкретной электродинамической задачи.