Граничные задачи для уравнения Гельмгольца. Собственные функции и собственные значения

Лекция 15. Граничные задачи для уравнения Гельмгольца. Собственные функции и собственные значения 18.1. Постановка задач. Применение прямоугольных координат. На прошлой лекции методом разделения переменных была найдена общая форма решения уравнения Гельмгольца в декартовых координатах. Возьмем теперь объѐм V с ограничивающей его поверхностью S, и поставим следующую первую граничную задачу: Располагая общей формой решения (17.6), мы без труда найдѐм решение этой Рис. 18.1 граничной задачи в случае, когда V есть параллелепипед (рис. 18.1а). Формулировка (18.1) при этом принимает вид:    x  a ,    2u  2u  2u  2  2  2  k u  0,  0  y  b,  2  x y z  0  z  c;      x  0, y  0, z  0;   u  0 ï ðè  x  a , y  b , z  c .   (18.2) Требуется найти функцию и(х, у, z) вида (17.6), обращающуюся в нуль на всех гранях параллелепипеда. Проще искать еѐ в форме первой строчки (17.6): u ( x, y, z )  ( A cos  x x  B sin  x x)(C cos  y y     D sin  y y )( E cos  z z  F sin  z z )   2 2 2 2 x   y  z  k  Налагая граничное условие u(0, х, у) = 0, потребуем выполнения равенства A cos  x x  B sin  x x  0 при x  0 ; (условие должно удовлетворяться при всех возможных значениях у и z). (18.3) Отсюда А = 0. Далее, требуя обращения в нуль и(х, 0, z) и и(х, у, 0), точно так же приходим к выводу, что С = 0 и Е = 0, а следовательно, u( x, y, z)  u0  sin  x x  sin  y y  sin  z z, , (18.4) где и0- постоянная, образовавшаяся как произведение неопределѐнных коэффициентов В, D и F. Ввиду линейности и однородности уравнения Гельмгольца в (18.2) коэффициент и0 так и останется неопределѐнным: решение и(х, у, z) допускает умножение на любую постоянную. Что же касается величин χх, χу и χz,то их определим, введя в рассмотрение ещѐ не использованные граничные условия из (18.2). Так как и(а, у, z) = 0 при всех возможных у и z, то, как видно из (18.4), sinχxa = 0, откуда следует, что аргумент синуса χxa равен нулю или кратен числу π: χха = т π, т = 0, 1, 2, ... (отрицательные целые не дают ничего нового, изменяя лишь знак решения, который вообще говоря, произволен). Итак, найдено: χх= т π/a, т = 0, 1, 2,… (18.5а) Аналогично из граничных условий и(х, b, z) = 0 и и(х, у, с) = 0 получаем: и χy= n π/b, п = 0, 1,2, … (18.5б) χz= p π/c, p = 0, 1,2, … (18.5 e) При равном нулю т, п или р очевидно и(х, у, z) = 0. Но всякое сочетание трѐх целых чисел т, п и р определит являющуюся решением (18.4) функцию (18.6) причѐм согласно (18.3) ( ) ( ) ( ) (18.7) есть то значение коэффициента k2 в (18.2), при котором итпр является решением задачи. Образующие бесконечную последовательность решения итпр называются собственными функциями задачи, а числа kтпр - соответствующими им собственными значениями. Говорят, что граничная задача (18.2) есть задача на собственные значения. Рис. 18.2 Для двумерного уравнения Гельмгольца (17.7) аналогичная (18.2) первая граничная задача формулируется в виде:    x  a ,    2u  2u  2  2  k u  0,  0  y  b; 2  x y      x  0, y  0;   u  0 при  x  a , y  b .   (18.8) Отправляясь от общей формы решения (17.9), прежним способом находим, что она имеет собственные функции (18.9) при собственных значениях ( ) ( ) . (18.10) Решения определены в прямоугольной области S с контуром L (рис. 18.2а). Поставим, далее, вторую граничную задачу для уравнения Гельмгольца (18.11) т. е. для области V в виде параллелепипеда (рис. 18.1б): 0  x  a,  2u  2u  2u  2    k u  0,  0  y  b, x 2 y 2 z 2  0  z  c;   x  0,  y  0, u u  0 при   0 при  x y  x  a;  y  b;  z  0, u  0 при  z  z  c;            (18.12) Решение будем искать, как и ранее, исходя из его общей формы (18.3). На основании граничного условия ди/дх = 0 при х = 0 пишем: при х = 0. Отсюда B = 0. Аналогично приходим к выводу, что D = 0 и F = 0, а потому (18.13) где u0 - постоянная, образовавшаяся как произведение неопределенных коэффициентов А, С и Е. Граничные условия при х = а, у = b и z = с приводят к формулам, выражающим χх, χy и χz, которые совпадают с ранее полученными формулами (18.5а, б, в). Действительно, например, граничное условие ди/дх = 0 при х = а, как видно из (18.13), дает: , a отсюда следует (18.5а). Итак, собственные функции второй граничной задачи (18.12) имеют вид: (18.14) а соответствующие им собственные значения k2mnp по-прежнему даются формулой (18.7). Но в отличие от первой граничной задачи теперь функции и0np, и00p и другие с нулевыми индексами существуют (не равны тождественно нулю); при этом собственная функция и000 есть константа. Вторая граничная задача для двумерного уравнения Гельмгольца (17.7) 0  x  a,  2u  2u 2   k u  0,  x 2 y 2 0  y  b;      y  0,  u  0 при  y  y  b;  x  0, u  0 при  x  x  a; (18.15) (рис. 18,2 6) имеет, как нетрудно убедиться прежним способом, собственные функции (18.16) при собственных значениях вида (18.10). Собственные функции и0п, ит0 и u00, не равны тождественно нулю, как в случае первой граничной задачи (18.8). Последняя из них есть константа. В заключение отметим, что в п.7.2 была рассмотрена первая граничная задача для одномерного уравнения Гельмгольца. 18.2. Применение цилиндрических координат. Взяв уравнение Гельмгольца в цилиндрических координатах (17.10), поставим первую граничную задачу (18.1) для цилиндрической области V (рис. 18.3 а):    r  R   1   u  1  2u  2u  2   k u  0,  0    2  r   r r  r  r 2  2 z 2  0 z L        r  R;  u  0 при  z  0, z  L ;    (18.17) и общую форму решения согласно (17.17) выберем в виде: и(r, φ, z) =  C cos n  D sin n  E cos  z  F sin  z     z z  in in   R e  Se   2 2 2   z  k ,   AJ n (  r )  BN r (  r )   (18.18) т. е. оставляя выражение азимутальной зависимости в двух вариантах. Поскольку должно соблюдаться условие азимутальной периодичности (17.18), то п - нуль или целое: п = 0, 1, 2, ... (берѐм только положительные числа, так как изменение знака покрывается неопределенностью констант С, D и Q, Т). Области V принадлежат точки оси цилиндра, а потому согласно (16.7), полагаем в (18.18) В = 0. Граничное условие на цилиндрической поверхности (r = R) требует выполнения равенства: . Отсюда (п.16.7): (18.19) где Впт - корни уравнения (16.37). Налагая граничные условия при z = 0 и z = L, как и ранее в п. 1, имеем: Е = 0, sinχzL= 0; последнее означает, что (18.20) На основании (18.18) теперь остаѐтся заключить, что решения граничной задачи (18.17) - это собственные функции и(r, α, z) = иптp = ( ){ (18.21) Рис. 18.3 (лишние постоянные коэффициенты опущены) при собственных значениях ( ) ( ) (18.22) Продолжая рассматривать цилиндрическую область, сформулируем вторую граничную задачу (18.11) для уравнения (17.10), рис. 18.3б:    r  R   1   u  1  2u  2u  2  2  k u  0,  0    2  r  2 2  r r  r  r  z  0 z L        z  0, u u   0 при r  R;  0 при  z  L ; r z    (18.23) Будем искать еѐ решение, исходя из общей формы (18.19) и констатируя, что по-прежнему п = 0, 1, 2, ... ,и В = 0. Граничное условие на цилиндрической поверхности в данном случае влечѐт  J n (  R)  0, равенство из которого следует (§ 16 п. 7): , (18.24) где Апт - корни уравнения (16.38). Согласно граничным условиям при z = 0 и z = L (ср. п. 1), F= 0 и что , так определяется равенством (18.20). Итак, вторая граничная задача (18.23) имеет собственные функции ( при собственных значениях ){ (18.25) ( ) ( ) (18.26) Заметим, что в случае первой граничной задачи (18.17) собственные функций unm0 тождественно равны нулю; теперь же они существуют. Перейдѐм к двумерным задачам. Первую граничную задачу для уравнения (17.19) поставим в разных областях S (рис 18.4а, б, в, г). Рис 18.4 Соответственно этому, ( а) ) : при (18.27) (рис. 18.4а) и = 0 при r = R; б) при (18.27a) (рис. 18.4б) и = 0 при r = R; и = 0 при { в) при (рис. 18.4 в) и = 0 при { г) (18.27б) при (18.27в) ; (рис. 18.4г) и = 0 при { ; и = 0 при { (18.27г) Исходя из общей формы решения (17.20) { , (18.28) и повторяя предыдущие рассуждения, получим собственные функции и собственные значения задачи (18.27, 27а), рис. 18.4а: ( ){ (18.29) В случае задачи (18.27, 27 6), рис. 18.4б, должно быть . Поэтому С = 0, и в отличие от предыдущего, (18.30) т. е. п является целым, только если секториальная область задачи составляет целую часть полукруга. Собственные функции и собственные значения имеют вид: ( ) ( ) . (18.31) . В задаче (18.27, 27в), рис. 18.4в, исключены точки оси (r = 0), а потому В ≠ 0 в (18.28). Налагая граничные условия (18.27в), пишем: { а отсюда (18.32) Это не что иное как трансцендентное уравнение относительно χ = χ пт Кроме того из записанных соотношений следует, что Поэтому собственные функции задачи имеют вид { , (18.33) а собственные значения χ2 = χпт2 - это квадраты корней уравнения (18.32), входящих также в (18.33). Далее, вы можете убедиться самостоятельно, что собственные функции задачи (18.27, 27г) имеют вид , (18.34) где n = kπ/α0 (k = 1, 2, …), а χ = χпт - корни уравнения (18.33), в котором подразумевается то же n. Вторая граничная задача для уравнения (18.27) формулируется со следующими условиями: а) при 0 ≤ r < R; 0 ≤ α < 2π (рис. 18.4а) (18.35) б) при 0 ≤ r < R; 0 ≤ α < α0 (рис. 18.4б) (18.35б) { в) при R1 < r < R2; 0 ≤ α < 2π (рис, 18.4в) { (18.35в) г) при R1 < r < R2; 0 ≤ α < α0 (рис. 18.4г) { { (18.35г) Опуская промежуточные выкладки, смысл которых ясен из предыдущего, выпишем лишь окончательные результаты для поставленных задач. Собственные функции и собственные значения задачи (18.27,35а), рис. 18.4а, имеют вид: ( ){ ( ) (18.36) Для задачи (18.27,35 б), рис. 38.4б ( ( ) ) ( ) (18.37) В случае (18.27,35в), рис. 18.4в { , (18.38) причем χ = χпт - корни уравнения (18.39) Наконец, для задачи (18.27.35г), рис. 18.4г, ( ) ( ) , (18.40) где n = kπ/α0 (k =0, 1, 2, …), а χ = χпт - корни уравнения (18.39), с тем же n. 18.3. Заключительные замечания. Мы рассмотрели ряд задач на собственные значения для уравнения Гельмгольца. Прямоугольным и цилиндрическим координатам было отдано предпочтение потому, что описываемые в них области представляют наибольший интерес для дальнейшего; полученные результаты пригодятся, например, при изучении волноводов. Читатель может, воспользовавшись данными из § 17 п. 3, в качестве упражнения поставить и решить граничные задачи (18.1) и (18.11) также для областей, ограниченных сферическими поверхностями. Предметом нашего внимания было скалярное уравнение Гельмгольца. Что касается векторного уравнения, то ограничимся пока лишь постановкой двух важных для электродинамики граничных задач, также являющихся задачами на собственные значения: первая граничная задача  2u  k 2u  0 в V ,   u  0,  ,  на S  divu  0    2 u  k 2u  0 в V ,   вторая граничная задача un  0,  ,  на S   rotu   0  (18.41) (18-42)