Конспект лекции по дисциплине «Прямая на плоскости», pdf
Файл загружается
Благодарим за ожидание, осталось немного.
Конспект лекции по дисциплине «Прямая на плоскости», текстовый формат
Лекция ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим наклонную прямую, пересекающую ось ординат при y b и образующую с осью абсцисс угол (0 90). Тогда эта прямая может быть задана уравнением y kx b, k tg( ). у – у0 = k (х – х0), где (х0, у0) – заданная точка на прямой Общее уравнение прямой. Пусть дана фиксированная точка M ( x0 , y0 ), лежащая на прямой, и вектор N ( A, B), перпендикулярный прямой, называемый вектором нормали. Тогда данная прямая может быть задана с помощью уравнения A( x x0 ) B( y y0 ) 0. -уравнение прямой, проходящей через точку М0 (х0, у0) с заданным нормальным вектором N ( A, B), Раскрывая скобки и упрощая, получаем общее уравнение прямой Ax By C 0. Каноническое уравнение прямой. Пусть дана фиксированная точка М0 (х0, у0) лежащая на прямой, и вектор s{m; n} лежащий на прямой параллельной данной или на самой прямой, называемый направляющий вектор прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Предположим теперь, что нам известны координаты двух точек, лежащих на прямой: K ( x1 , y1 ), L( x2 , y2 ) Нетрудно понять, что в этом случае нам известен направляющий вектор прямой KL( x2 x1 , y2 y1 ) и точка K ( x1 , y1 ), лежащая на прямой. Подставляя эти данные в каноническое уравнение прямой, получаем следующее равенство x x1 y y1 . x2 x1 y2 y1 Угол между прямыми. Пусть прямые заданы общими уравнениями A1 x B1 y C1 0, A2 x B2 y C2 0. Из общих уравнений можно найти координаты нормальных векторов к прямым. Поскольку угол между прямыми совпадает с углом между их нормальными векторами, то он находится по формуле A1 A2 B1B2 arccos . 2 2 2 2 A1 B1 A2 B2 Пусть прямые заданы каноническими уравнениями x x1 y y1 , ax ay x x2 y y2 . bx by Из канонических уравнений можно найти координаты направляющих векторов прямых. Поскольку угол между прямыми совпадает с углом между их направляющими векторами, то он находится по формуле axbx a yby arccos . ax2 a y2 bx2 by2 Расстояние от точки до прямой на плоскости. Пусть нам даны: координаты точки M ( x0 , y0 ) и общее уравнение прямой Ax By C 0. Тогда расстояние от точки M до заданной прямой может быть найдено по следующей формуле: d Ax0 By0 C . A2 B 2 В случае, когда прямая задается уравнением y kx b kx0 y0 b d . формула принимает вид 2 k 1 Расстояние между параллельными прямыми. Рассмотрим две параллельные прямые, заданные своими общими уравнениями: A x B y C 0, 1 1 1 A2 x B2 y C2 0. Поскольку у параллельных прямых векторы нормалей коллинеарны, то коэффициенты A2 B2 уравнений, соответствующие t. координатам этих векторов A1 B1 пропорциональны. C2 . C 2 Введем обозначение: t C1 C2 Расстояние между прямыми в данных d . 2 2 A B обозначениях равно: 1 1
