Прямая на плоскости

Прямая на плоскости Общее уравнение прямой Уравнение прямой в отрезках Каноническое уравнение прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом Угол между двумя прямыми Расстояние от точки до прямой Биссектриса углов между прямыми Деление отрезка в заданном отношении Общее уравнение прямой Уравнение вида: Ax + By + C = 0 с произвольными коэффициентами А; В; С такими , что А и В не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой. М0(х0; у0 ) Теорема Вектор Если точка М0(х0; у0 ) принадлежит прямой, то общее уравнение прямой превращается в тождество: Ax 0 + By 0 + C = 0 Пусть задана прямая: Ax + By + C = 0 n = {A; B} будет ортогонален этой прямой. Доказательство: Пусть некоторая точка М0(х0; у0 ) принадлежит прямой: Ax 0 + By 0 + C = 0 (2) (1) Общее уравнение прямой Найдем разность уравнений (1) и (2):  Ax + By + C = 0 −   Ax 0 + By 0 + C = 0 A(x − x0 ) + B (y − y 0 ) = 0 (3) n М (х; у ) М0(х0; у0 ) Пусть точки М0(х0; у0 ) и М (х; у ) лежат на данной прямой. Рассмотрим векторы: n = {A; B} и M 0M = {x − x0 ; y − y 0 } Равенство (3) представляет собой скалярное произведение этих векторов, которое равно нулю: n ⋅ M0M = 0 ⇒ n ⊥ M0M Таким образом, вектор n перпендикулярен прямой и называется нормальным вектором прямой. Равенство (3) также является общим уравнением прямой Общее уравнение прямой Общее уравнение прямой называется полным, если все коэффициенты А, В, и С отличны от нуля. В противном случае уравнение называется неполным. Виды неполных уравнений: 1) C = 0; Ax + By = 0 2) B = 0; Ax + C = 0 3) A = 0; By + C = 0 4) B = C = 0; Ax = 0 ⇒ x = 0 5) A = C = 0; By = 0 ⇒ y = 0 y х Уравнение прямой в отрезках Рассмотрим полное уравнение прямой: Ax + By + C = 0 ⇒ y x ⇒ −C + −C = 1 B A −C Обозначим: =a A Ax + By = −C −C =b B Уравнение в отрезках Уравнение в отрезках используется для построения прямой, при этом a и b – отрезки, которые отсекает прямая от осей координат. ⇒ Получим: Ax By + =1 −C −C x y + =1 a b y b a х Каноническое уравнение прямой Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой. Требуется найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0(х0; у0 ) и параллельно заданному вектору q = l; m { } Очевидно, что точка М (х; у ) лежит на прямой, только в том случае, если векторы q = {l; m} и M 0 M = {x − x0 ; y − y0 } q М (х; у ) М0(х0; у0 ) коллинеарны. По условию коллинеарности получаем: x − x0 y − y0 = l m Каноническое уравнение прямой Каноническое уравнение прямой Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от друга точки: М1(х1; у1 ) и М2(х2; у2 ). q М2(х2; у2 ) М1(х1; у1 ) Тогда в качестве направляющего вектора в каноническом уравнении можно взять вектор: q = M1M 2 = {x 2 − x1; y 2 − y 1} x − x1 y − y1 = y 2m − y1 x 2 −l x1 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Уравнение прямой с угловым коэффициентом Если прямая не параллельна оси OY и имеет направляющий вектор q = l; m , то угловой коэффициент k этой прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси OX. y { } m q m k = tgα = l α α l x − x0 y − y0 = l m х ⇒ Уравнение прямой с угловым коэффициентом m y − y0 = k ( x − x0 ) l ⇒ y = y0 + kx − kx0 ⇒ y = kx + yb0 − kx0 Уравнение пря угловым коэффициент =b Пример Прямая проходит через точку М(1; 2 ) и имеет направляющий вектор: q = {−1; 3} Написать: каноническое, общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение с угловым коэффициентом. Найти нормальный вектор прямой, отрезки, которые отсекает прямая от осей координат и угол, который составляет прямая с осью OX. 1. Каноническое уравнение: 2. Общее уравнение: 3x + y − 5 = 0 x −1 y − 2 = −1 3 N = {3;1} x −1 y − 2 = −1 3 ⇒ 3 ( x − 1) = −( y − 2) ⇒ Пример ⇒ 3. Уравнение в отрезках: 3 x + y − 5 = 0 3x y + =1 5 5 x y + =1 5 5 3 ⇒ 5 a= 3 4. Уравнение с угловым коэффициентом: 3x + y = 5 b=5 3x + y − 5 = 0 y = −3 x + 5 y b М q N a х ⇒ ⇒ k = tg α = −3 Угол между двумя прямыми Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями: L1 : L2 : A1x + B1y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0 L2 Угол между этими прямыми определяется как угол между нормальными векторами к этим прямым: n1 = {A1;B1} n2 n1 ϕ ϕ n2 = {A2 ;B2 } n1 ⋅ n2 cos ϕ = cos( n1; n2 ) = n1 ⋅ n2 A1 ⋅ A2 + B1 ⋅ B2 = 0 A1 B1 = A2 B2 = A1 ⋅ A2 + B1 ⋅ B2 A12 + B12 ⋅ A22 + B22 ⇒ L1 ⊥ L2 ⇒ L1 ll L2 L1 Угол между двумя прямыми Пусть две прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями: L1 : L2 : x − x1 y − y 1 = l1 m1 x − x2 y − y 2 = l2 m2 L2 q2 Угол между этими прямыми определяется как угол между направляющими векторами q2 = l 2 ;m2 к этим прямым: q1 = l1;m1 { { } q1 ⋅ q2 cos ϕ = cos(q1; q2 ) = q1 ⋅ q2 l1 ⋅ l 2 + m1 ⋅ m2 = 0 l1 m1 = l 2 m2 = ϕ q1 ϕ } l1 ⋅ l 2 + m1 ⋅ m2 l12 + m12 ⋅ l 22 + m22 ⇒ L1 ⊥ L2 ⇒ L1 ll L2 L1 Угол между двумя прямыми Пусть две прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: y L L1 : y = k1x + b1 L2 : y = k 2 x + b2 2 ϕ ϕ = α 2 − α1 k1 = tgα1 α1 k 2 = tgα 2 α2 tgα 2 − tgα1 k 2 − k1 tgϕ = tg (α 2 − α1 ) = = 1 + tgα 2 ⋅ tgα1 1 + k 2 ⋅ k1 k1 ⋅ k 2 = −1 k1 = k 2 ⇒ ⇒ L1 ⊥ L2 L1 ll L2 х L1 Расстояние от точки до прямой Пусть необходимо найти расстояние от точки М0(х0; у0 ) до прямой, заданной общим уравнением: Ax + By + C = 0 М0(х0; у0 ) n Пусть М1(х1; у1 ) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М0 на прямую L. d М1(х1; у1 ) d = M1M 0 = {x0 − x1; y 0 − y 1} L Найдем скалярное произведение векторов n = {A; B} и M1M 0 n ⋅ M1M 0 = n ⋅ M1M 0 ⋅ cos ϕ ϕ=0 или ϕ=π n ⋅ M1M 0 = ± n ⋅ M1M 0 ⇒ cos ϕ = ±1 = ± n ⋅d Найдем скалярное произведение в координатной форме: n ⋅ M1M 0 = A( x0 − x1 ) + B( y 0 − y 1 ) = Ax 0 − Ax1 + By 0 − By 1 Расстояние от точки до прямой = Ax 0 + By 0 − (Ax1 + By 1 ) Точка М1(х1; у1 ) принадлежит прямой L , следовательно: Ax1 + By 1 + C = 0 ⇒ Ax1 + By 1 = −C  n ⋅ M1M 0 = Ax 0 + By 0 + C   n ⋅ M1M 0 = ± n ⋅ d Ax 0 + By 0 + C d =± n ⇒ ± n ⋅ d = Ax 0 + By 0 + C d= Ax 0 + By 0 + C A2 + B 2 Биссектриса углов между прямыми Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями: L1 : A1x + B1y + C1 = 0 L2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 L2 M(x; y) Если точка M(x; y) лежит на биссектрисе угла между прямыми, то расстояние от точки М до прямой L1 равна расстоянию до прямой L2: d1 = d 2 d1 = A1x + B1y + C1 A +B 2 1 2 1 d2 = d2 A2 x + B2 y + C2 A22 + B22 A1A x1+ y1y+ C xB + 1B + 1C1 AA2 2xx++BB2 y2 y++CC2 2 = ±= 2 2 2 2 A1A+1 B AA2222++BB2222 + 1B1 d1 L1 Деление отрезка в заданном отношении Разделить отрезок М1М2 в заданном отношении λ > 0 значит найти на отрезке такую точку М(х;y), что имеет место равенство: M1M MM 2 = λ или M1M = λ MM 2 M M1 Пусть M1(x1; y1) и M2(x2; y2). Найдем координаты точки М. M1M = λ ⋅ MM 2 В координатной форме: M1M = { x − x1; y − y 1 } x − x1 = λ ⋅ ( x 2 − x ) y − y1 = λ ⋅ ( y 2 − y ) x ⋅ (1 + λ ) = λx 2 + x1 y ⋅ (1 + λ ) = λy 2 + y 1 MM 2 = { x 2 − x; y 2 − y } ⇒ ⇒ x = λx 2 − λx + x1 y = λy 2 − λy + y 1 x1 + λx 2 x= 1+ λ ⇒ y 1 + λy 2 y= 1+ λ M2 Пример Даны вершины треугольника: А(1; 1); В(10; 13); С(13; 6) Найти: Уравнения высоты, медианы и биссектрисы, проведенных из вершины А. 1. Уравнение высоты: x − 10 y − 13 = (ВС): 13 − 10 6 − 13 ⇒ x − 10 y − 13 = 3 −7 А ⇒ − 7 x + 70 = 3y − 39 ⇒ 7 x + 3y − 109 = 0 N = {7; 3} (АН): q = {7; 3} 3 x − 7y + 4 = 0 x −1 y −1 = 7 3 ⇒ В N =q Н С 3 x − 3 = 7y − 7 ⇒ Пример В 2. Уравнение медианы: т. М: λ = BM MC xM = x B + xC 2 yM = y B + yC 2 =1 ⇒ А 10 + 13 = 11.5   2  ⇒ M (11.5; 9.5) 13 + 6  = = 9 .5  2 М = x −1 y −1 = 11.5 − 1 9.5 − 1 ⇒ 8.5 x + 10.5 y + 2 = 0 x −1 y −1 = 10.5 8.5 ⇒ ⇒ С 8.5 x − 8.5 = 10.5 y − 10.5 17 x + 21y + 4 = 0 ⇒ Пример В 4. Уравнение биссектрисы: (АВ): x −1 y −1 = 10 − 1 13 − 1 ⇒ 4 x − 3y − 1 = 0 x −1 y −1 = (АС): 13 − 1 6 − 1 4 + ( −3) 2 2 А x −1 y −1 = 12 5 ⇒ ⇒ К С ⇒ 5 x − 12y + 7 = 0 5 x − 5 = 12y − 12 =± ⇒ ⇒ 12x − 9y − 3 = 0 ⇒ 12 x − 12 = 9 y − 9 4 x − 3y − 1 x −1 y −1 = 9 12 5 x − 12y + 7 5 + ( −12) 2 2 ⇒ 4 x − 3y − 1 5 x − 12y + 7 =± 5 13 52 x − 39 y − 13 = ±(25 x − 60 y + 35 ) ⇒ Пример Для биссектрисы внутреннего угла треугольника должно выполняться условие: k AB ≤ k AK ≤ k AC или 4 x − 3y − 1 = 0 ⇒ 5 x − 12y + 7 = 0 ⇒ k AC ≤ k AK ≤ k AB 4 1 y = x− ⇒ 3 4 5 7 y = x+ ⇒ 12 12 4 k AB = 3 5 k AC = 12 1) 52 x − 39 y − 13 = 25 x − 60 y + 35 ⇒ 27 x + 21y − 48 = 0 ⇒ 9 16 9 9 x + 7 y − 16 = 0 ⇒ y = − x + k AK = − 7 9 7 2) 52 x − 39 y − 13 = −(25 x − 60 y + 35) ⇒ 77 x − 99 y − 22 = 0 ⇒ 7 x − 9y − 2 = 0 7 2 y = x− 9 9 k AK 7 = 9 5 7 4 ≤ ≤ 12 9 3