Произвольные системы m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Жордана-Гаусса.

Лекция Произвольные системы m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Жордана-Гаусса. 1. Произвольные системы m линейных уравнений с n неизвестными. Понятие общего, базисного, частного решений. Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2  ... ... ... ... ... ... ... ... am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm (I) Решением системы (I) называется упорядоченная совокупность чисел 1 ,  2 ,...,  n , которые при подстановке в уравнения системы вместо неизвестных x1,x2,…,xn соответственно, обращают уравнения в верные равенства. Система (I) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, система не имеющая ни одного решения называется несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет бесчисленное множество решений. Назовем матрицу  a11 a12   a21 a22 A ... ...  a  m1 am 2 ... a1n   ... a2 n  ... ...  , ... amn  состоящую из коэффициентов при неизвестных, основной матрицей системы. Матрицу  a11 a12   a21 a22 B ... ...  a  m1 am 2 ... a1n ... a2 n ... ... ... amn b1   b2  ...  , bm  полученную из А приписыванием столбца свободных членов системы (I), называют расширенной матрицей. Теорема I. (Кронекера – Капелли). Система (I) m линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы r(A) = r(B). Теорема 2. Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, если ранг системы равен числу неизвестных r(A)=r(B), т.е. r = n и имеет бесчисленное множество решений, если r(A)=r(B)=r < n. При решении системы (1) могут быть 2 случая 1) r = n (числу неизвестных). В этом случае система (1) примет вид a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2  ... ... ... ... ... ... ... ... an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn (2) Получаем систему n линейных уравнений с n неизвестными с определителем   M  0 . r Согласно теореме Крамера при   0 система уравнений имеет единственное решение. 2) r < n В системе уравнений a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2  ... ... ... ... ... ... ... ... ar1 x1  ar 2 x2  ...  arn xn  br неизвестные x1, x2,…, xr , коэффициенты при которых входят в базисный минор M  0 , называются базисными, а остальные неизвестные xr+1, xr+2, …, xn -свободными. Если разрешить систему относительно x1, x2,…, xr, то решение будет иметь следующий вид: r  x1  b1  a1, r 1 xr 1  ...  a1n xn   x2  b2  a2 , r 1 xr 1  ...  a2 n xn  ... ... ... ... ... ... ... ...  xr  br  ar , r 1 xr 1  ...  arn  xn  (3) Совокупность выражений (3) называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением. Если свободным неизвестным в (3) придать значения xr+1=xr+1=…= xn=0, то базисные неизвестные примут значения x  b, x  b ,..., x  b . Решение X  (b, b ,..., b ,0,...,0) называется базисным решением. 1 1 2 r 1 2 2 r r Замечание. В системе (2) базисными являются первые r неизвестных x1, x2,…, xr , но это не обязательно. В качестве базисных можно взять и другую группу r неизвестных. Максимальное возможное число базисных переменных равно C . Приведенные теоремы справедливы и для систем линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой равен нулю. Для такой системы r(A)=r(B)=r