Прогнозирование и его роль в принятии решений

Прогнозирование и его роль в принятии решений Ведущая роль в осуществлении управления отводится: 1) постановке целей, 2) выбору лучшей стратегии достижения целей, 3) увязке ресурсов, необходимых для достижения выбранной стратегии. Эти задачи решает ключевая функция управления – планирование. План – это совокупность конкретных заданий, адресная директивная программа, содержащая все основные параметры, необходимые для управления предприятием или любым его подразделением. Прогноз в отличие от плана имеет предварительный вариантный характер, его горизонт шире планового периода. Прогнозирование можно определить как преддирективный этап плановой работы. Прогноз ограничивает области и возможности, в рамках которых ставятся реальные цели и задачи, выявляет направления, которые должны стать объектом разработки и принятия плановых решений. Под прогнозированием понимаются выявление качественных и количественных характеристик технических, экономических, социальных и других систем или процессов в настоящем на основе познания закономерностей их развития в прошлом и оценка будущих значений этих характеристик. Любое управленческое решение, последствия которого проявятся в будущем, основывается на том или ином способе предвидения, на догадке о будущем, на прогностических оценках. Под прогнозом понимают научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем, об альтернативных путях и сроках его осуществления. Процесс разработки прогнозов называется прогнозированием. Целью прогнозирования является минимизация погрешности прогностических оценок. Очевидно, что научно обоснованные и планомерно разрабатываемые прогнозы являются более точными и эффективными (как основа принятия решений), чем случайные и интуитивные прогнозы. Прогнозы могут быть: • научно-технические; • демографические; • политические; • социальные; • экономические и т.п. Для предприятий, работающих в условиях рыночного хозяйствования, прогноз имеет, прежде всего, коммерческое значение, а среди коммерческих прогнозов выделяется прогноз спроса на продукцию (услуги) предприятия. Стоит отметить, что прогноз спроса должен учитывать и научно-технические, и политические, и демографические, и социально-экономические факторы. Задачи коммерческого прогнозирования: 1) выявление необходимости наращивания (свертывания) производственных мощностей определенного типа продукции в регионе и определение темпов этого процесса; 2) формирование ориентировочных планов производства с учетом имеющегося научно-технического потенциала; 3) оценка потребности в ресурсах, необходимых для выполнения текущих планов. Прогноз, ориентированный на решение любой из этих задач, должен удовлетворять следующему условию: горизонт прогнозирования должен предусматривать достаточно времени для принятия и эффективного выполнения соответствующих управленческих решений. Прогноз первого типа называется долгосрочным, или стратегическим; второго типа – среднесрочным; третьего типа – краткосрочным. Очевидно, что чем шире горизонт прогнозирования, тем более обобщенным и менее точным может быть прогноз. Всю совокупность методов прогнозирования можно разделить на две большие группы: формализованные и интуитивные методы прогнозирования. Первая группа включает методы прогнозирования, основанные на применении различных моделей, описывающих объект прогнозирования с помощью аппарата математических методов. Вторая группа включает методы экспертных оценок с научно обоснованной организацией проведения всех этапов экспертизы и применением количественных методов при оценке суждений экспертов и при формальной обработке результатов. Обычно среди формализованных методов выделяют две самостоятельные группы: методы прогнозной экстраполяции и методы моделирования. Под экстраполяцией понимается метод научного исследования, заключающийся в распространении выводов, полученных из наблюдений над одной частью явления, на другую его часть. Формальная экстраполяция базируется на предположении, что в будущем сохранится такая же тенденция развития явления, что наблюдалась в прошлом и настоящем. Методы моделирования основаны на выявлении и описании взаимосвязей и взаимозависимостей между различными явлениями и прогнозировании изучаемого явления с учетом такого влияния. В связи с этим формализованные методы прогнозирования, в зависимости от используемой информации, можно разделить на два класса: методы прогнозирования по одномерному временному ряду и многофакторное прогнозирование. Интуитивные (экспертные) методы базируются на интуитивно - логическом мышлении человека в сочетании с количественными методами оценки и обработки результатов. Они применяются в основном в следующих случаях: 1) когда объект или экономическое явление не поддается математическому описанию; 2) при отсутствии информационной базы, позволяющей использовать аппарат формализованных методов; 3) при возникновении экстремальных ситуаций, требующих принятия быстрых решений; 4) при большой неопределенности среды функционирования объекта; 5) когда отсутствуют финансовые ресурсы, программное обеспечение, квалифицированные кадры для проведения формализованных исследований. Статистический анализ и прогнозирование временных рядов Динамический (временной) ряд - это ряд, расположенных в хронологической последовательности, значений некоторого показателя. Всякий временной ряд включает конкретные значения показателя, которые называются уровнями ряда и обозначаются через yt. Характеристика t указывает период, за который или по состоянию на который приводятся числовые значения показателя. Прогнозы на основе статистического анализа динамических рядов данных являются наиболее приемлемыми при условии, что между прошлым и будущим имеется тесная причинно-следственная связь. При этом прогноз следует корректировать всякий раз, когда заранее становятся известными те или иные обстоятельства, влияющие на прогнозируемую величину, которые будут иметь место в будущем. При прогнозировании спроса это: • появление новых рынков сбыта; • появление новых конкурентов; • проведение рекламных компаний; • появление новых научно-технических решений и т.п. Для получения достаточно точных и надежных прогнозов, необходимо подробно изучить настоящее и прошлое состояние, которое формируется под воздействием различного рода факторов, иначе определить компонентный состав временного ряда. Общий подход в этом способе прогнозирования – попытка выявления в зависимости прогнозируемого показателя от времени трех типов структурообразующих элементов (составляющих): 1) тренда (тенденции); 2) периодичности (сезонности); 3) случайной составляющей (стоит заметить, что случайная компонента присутствует в разложении временного ряда всегда). Для их выявления: 1) строится график зависимости прогнозируемого параметра от времени по фактическим данным за исследуемый период (рисунок 1); 2) выбирается прогностическая функция и даются оценки на будущий период; 3) рассчитывается погрешность этих оценок; 4) принимается решение о принятии этой или о переходе к другой прогностической функции. yt t Рисунок 1 - Иллюстрация действия на прогнозируемый параметр трех типов зависимости от времени На стадии проведения графического анализа можно исследовать компонентный состав временных рядов, а также сделать первые шаги к выбору модели прогнозирования (прогностической функции) для описания их динамики и последующего прогнозирования. Следует отметить, что универсальных моделей прогнозирования, пригодных на все случаи жизни не существует. Выбор метода прогнозирования и его эффективность зависит не только от наличия или отсутствия в анализируемом временном ряду тренда, сезонной (циклической) компоненты, но и: - от поставленных целей и задач исследования; - от исходной длины временного ряда n. Чем длиннее ряд исходных данных, тем выше точность прогноза; - от периода упреждения l (горизонта прогнозирования), т.е. от того, на сколько временных тактов l строится прогноз. Под одним временным тактом может подразумеваться день, неделя, месяц, квартал, год. Период прогноза (упреждения) не должен превышать третьей части исходной длины ряда. Иначе говоря, для прогноза на 5 лет желательно иметь исходный временной ряд по длине не менее чем за 15 лет. Простейшие приемы прогнозирования Один из наиболее распространенных методов прогнозирования заключается в экстраполяции, т.е. в продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Основная цель данного прогноза заключается в том, чтобы показать, к каким результатам можно прийти в будущем, если развитие явления будет происходить со скоростью, ускорением и так далее, аналогичным прошлого периода. Широкое практическое применение методов экстраполяции объясняется простотой метода, сравнительно небольшим объемом информации и четкостью механизма реализации, лежащих в его основе предпосылок. Теоретической основой распространения тенденции на будущее является свойство социально-экономических явлений, называемое инерционностью, которое проявляется в сохранении во времени тенденций, закономерностей, взаимосвязей с другими явлениями. В зависимости от того, какие исходные данные положены в основу прогноза, выделяют следующие элементарные (наивные) методы экстраполяции. 1. Экстраполяция на основе среднего уровня. Рассчитывается среднее значение за исследуемый период и принимается в качестве прогностической оценки на будущее, т.е. где - прогнозируемое значение в точке n+l; l - период упреждения (прогноза); - среднее значение исходного ряда данных. Метод хорош, если преобладающим является случайный тип зависимости прогнозируемого параметра от времени. Т.е метод применяется при предположении о том, что средней уровень не имеет тенденции к изменению или это изменение незначительно. При определении прогнозных оценок всегда следует определять их погрешность, которая может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза где t - табличное значение t- статистики Стьюдента с n-1 степенями свободы и уровнем значимости ; Sy - среднее квадратическое отклонение для выборки . 2. Экстраполяция на основе среднего абсолютного прироста может быть выполнена в том случае, если есть уверенность в равномерном изменении уровней (на равномерный характер развития указывают примерно одинаковые значения цепных абсолютных приростов). Абсолютные приросты определяются как разность двух сравниваемых уровней. В этом случае прогнозирование осуществляется по следующей формуле: где прогнозная оценка значения показателя в точке n+l; фактическое значение в последней n-ой точке ряда, l - период упреждения, - значение среднего абсолютного прироста. Величина среднего абсолютного прироста за изучаемый интервал времени и вычисляется по формуле: где n - длина исходного временного ряда (т.е. количество уровней ряда). 3. Экстраполяция на основе среднего коэффициента (темпа) роста применяется для прогнозирования процессов, описание динамики которых соответствует представлению в виде показательной или экспоненциальной кривой (на это указывают примерно одинаковые значения цепных темпов роста или прироста). В этом случае прогнозное значение на l шагов вперед определяется по следующей формуле: где - средний коэффициент роста, рассчитанный для ряда. Этот показатель рассчитывают по формуле средней геометрической: Рассмотренные методы прогнозирования являются простейшими, и поэтому прогнозы, полученные на их основе, являются приближенными и не всегда надежны при увеличении периода упреждения. Как правило, эти методы используются только при краткосрочном прогнозировании. Применение этих методов в среднесрочном и долгосрочном прогнозировании нецелесообразно, так как они не только не учитывают колеблемость, изменяемость уровней временного ряда, но и в основе построения моделей прогноза и получения прогнозных оценок на всем периоде упреждения лежит принцип равномерного увеличения или уменьшения. Прогнозирование динамики на основе трендовых моделей Прогнозирование экономических показателей на основе трендовых моделей (кривых роста) должно базироваться на предположении о неизменности, сохранении основной тенденции, как на всем периоде наблюдений, так и в прогнозируемом периоде. Если есть основания принять эти допущения, то прогнозные значения можно найти путем подстановки в уравнение кривой значений времени t , соответствующих периоду упреждения (т.е. t = n+1, …, n+l). При прогнозировании с помощью кривых роста необходимо выполнить следующие действия: 1) провести предварительный анализ данных; 1) выбрать одну или несколько функций (кривых) роста, форма которых соответствует характеру изменения исследуемого ряда; 2) оценить параметры выбранных кривых роста; 3) осуществить проверку адекватности выбранных кривых исследуемому процессу, оценить точность моделей и произвести окончательный выбор кривой роста; 4) произвести расчет точечного и интервального прогнозов. К процедурам предварительного анализа относятся выявление аномальных наблюдений; проверка наличия тренда; сглаживание временных рядов; расчет показателей динамики. В качестве прогностической функции может выступать любая функция: линейная, парабола, экспонента, гипербола и др. Оценка параметров прогностических функций проводится методом наименьших квадратов. Суть метода состоит в нахождении таких параметров, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических значений yt была бы минимальной, т.е. оценки параметров находятся в результате минимизации выражения: Сегодня для нахождения оценок параметров кривых роста широко используются пакеты прикладных программ для выполнения соответствующих расчетов (например, Statistica), а также соответствующий аппарат из MS EXCEL. Для этого необходимо построить график, воспользовавшись функцией «Вставить график» и выделить линию тренда с указанием на диаграмме уравнения тренда и ошибки аппроксимации R2. В качестве ошибки аппроксимации в пакете заложен расчет коэффициента детерминации R2 , который характеризует точность аппроксимации той или иной модели. Считается, что чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем точнее модель описывает исходный набор данных. Также для оценки точности и качества модели можно использовать среднюю относительную ошибку аппроксимации, среднеквадратическую ошибку. При сравнении моделей по этим критериям, предпочтение отдается той, у которой ошибка наименьшая. Уравнение полинома 2-го порядка (параболы) и коэффициента детерминации, полученные по данным при помощи инструментов MS EXCEL, представлены на рисунке 2. Рисунок 2 - Фактические и расчетные по уравнению параболы уровни Аналогично определяются уравнения линейной, экспоненциальной функций. Компактно представить полученные уравнения, их коэффициенты детерминации можно в табличной форме. (Для уравнений тренда принято значения независимой переменной x обозначать через t; запись ведется, начиная со свободного члена). Таблица - Основные характеристики кривых роста Вид кривой роста Аналитическое уравнение Коэффициент детерминации Линейная = 3782,32 – 64,21 · t 0,60 Полином 2-го порядка (парабола) = 4418,68 – 237,76 · t + 8,26 · t2 0,86 Экспоненциальная = 3763,7 · е -0,0192 · t 0,62 Проверка адекватности моделей реальному процессу строится на анализе случайной компоненты. Принято считать, что модель тренда адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты t (et=yt--) удовлетворяют свойствам случайности, независимости, нормальности распределения. Если случайная компонента удовлетворяет этим свойствам, то выбранную кривую роста можно использовать для определения прогноза. Если вид функции выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков не будут обладать свойствами независимости, так как они будут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция остатков. Наиболее распространенным приемом обнаружения автокорреляции является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Использование критерия Дарбина – Уотсона направлено на выявление автокорреляции остатков первого порядка. Фактическое значение этого критерия определяется по формуле: Полученное значение сравнивается с критическими границами: dн (нижняя) и dв (верхняя). При сравнении расчетной величины d с границами критерия возможны следующие варианты: 1) если d< dн, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается; (т.е. в ряду остатков есть автокорреляция); 2) если d > dв, то гипотеза о независимости случайных отклонений не отвергается; 3) если dн < d < dв, то нет достаточных оснований для принятия решений по данному критерию. Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остатках предполагается наличие положительной автокорреляции, т.е. когда d<2. Когда же расчетное значение d превышает 2, то предполагают наличие в ряду остатков отрицательной автокорреляции. Для проверки отрицательной автокорреляции с критическими значениями dн и dв сравнивается не сам коэффициент d, а 4 – d. Прогнозные значения можно найти путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения (т.е. t = n+1, …, n+l). Полученный таким образом прогноз называют точечным. Но, как правило, при прогнозировании показателей «фактическое попадание в точку» маловероятно, и поэтому, прогноз определяется в виде интервала значений. Для линейного тренда оценка погрешности определяется при помощи доверительного интервала где - точечный прогноз на период t = n + l ; t - значение t-статистики Стьюдента, для определения его значения можно воспользоваться функцией MS EXCEL (=СТЬЮДРАСПОБР()), задав уровень вероятности ошибки α и степень свободы n-k,где k - число оцениваемых параметров кривой роста; Sy - среднее квадратическое отклонение фактических данных от расчетных, ; tl - время упреждения, для которого делается экстраполяция, tl = n + l; t - порядковый номер уровня ряда; - порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда, . Пример Определим прогнозные значения потребления электроэнергии по параболе для данных, представленных на рисунке 2.Точечный прогноз на следующий период, т.е. для t =21 будет равен = 4418,68 – 237,76 ·21 + 8,26·212= 3070,18 На практике результат экстраполяции прогнозируемых уровней обычно выполняется не точечным, а интервальным прогнозом. Для этого определяется доверительный интервал прогноза. В нашем примере при 5% -м уровне значимости и числе степеней свободы v = 20 - 3 = 17 табличное значение критерия Стьюдента составит t0,05;17 = 2,109. Среднеквадратическое отклонение Sy определяется по вышеприведенной формуле при помощи MS EXCEL (рисунок 3). Для этого дополнительно были рассчитаны теоретические значения по уравнению параболы подстановкой всех значений t и определены квадраты отклонений (yt –)2. Среднеквадратическое отклонение Sy = 190,793. Значение tl=20+1=21; ; ; . Рисунок 3 - Определение среднеквадратического отклонения Sy Тогда нижняя граница доверительного интервала прогноза составит: 3070,18 – 2,109·190,793·2626,5 (млн. кВт/ч) а верхняя граница интервала прогноза - 3070,18 + 2,109·190,793·3513,9 (млн. кВт/ч) Таким образом, с вероятностью в 95%, можно утверждать, что при неизменности условий и сохранении наметившейся тенденции потребляться электроэнегрии в регионе на следующий год будет от 2626,5 млн. кВт/ч до 3513,9 млн. кВт/ч. Аналогичные расчеты выполняются и для последующих периодов упреждения. Полученные прогнозные значения можно оформить в таблице. Таблица - Прогноз потребления электроэнергии в регионе на 2010-2011 гг., млн. кВт·ч. Год Прогнозное значение Доверительный интервал прогноза,(p=0,95) нижняя граница верхняя граница 2010 3070,18 2625, 5 3513,9 2011 … … … Прогнозирование методом "скользящего" среднего. Скользящее среднее можно применять при предварительном анализе временного ряда для определения наличия или отсутствия тренда. Часто его используют как простейший способ при прогнозировании, предполагая, что в следующем периоде значение прогнозируемой функции будет равно среднему значению за последние m интервалов. где n – последний из моментов времени, для которого есть фактические данные; m– число моментов времени, учитываемых при прогнозе. Метод простой, но недостаточно точный. Базу прогнозирования m здесь можно минимизировать. Прогнозирование методом "экспоненциального сглаживания" Особенностью этого метода заключается в том, что при нахождении прогнозного значения предшествующие значения берутся с определенным весом, и он уменьшается по мере от того момента наблюдения для которого находится сглаженное (прогнозное) значение. Формально выражение прогноза можно записать как , где - прогнозируемое значение на шаг вперед n+1,  - параметр адаптации (сглаживания),(0 <  <1), - фактическое значение уровня ряда в момент времени n, - прежний прогноз на момент времени n. Таким образом, экспоненциальное сглаживание - это процедура постоянного пересмотра результатов прогнозирования в свете самых последних событий. Параметр сглаживания α является взвешивающим фактором, ее значение определяется тем, в какой мере текущее наблюдение должно влиять на прогнозируемую величину. Первая прогнозная оценка здесь находится по формуле: Пример. Известен спрос на товар за первые 8 месяцев года. Требуется дать прогноз относительно его реализации на 4 оставшихся месяца. (Будем считать, что нам известны фактические данные за 8-й  12-й месяцы. Они также указаны в таблице): Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Спрос 199 202 199 208 212 194 214 220 219 234 219 233 Спрогнозируем спрос на основе исходных данных за восемь месяцев при помощи экстраполяции среднего уровня (простого среднего), скользящего среднего и экспоненциального среднего. Оценку дадим через среднеквадратическое отклонение Sy. 1. Рассчитанный методом простого среднего за 8 месяцев прогноз на 9-й, 10-й, 11-й, 12-й месяцы одинаков: 206 (=(199+202+…+220)/8). Отклонение прогноза от фактического спроса: Sy.= . 2. Прогноз, рассчитанный методом скользящего среднего (база m – 5 месяцев): на 9-й месяц: ; факт – 219; y= 88; на 10-й месяц: факт  234; y 2 = 492; на 11-й месяц: на 12-й месяц: Среднеквадратичное отклонение составило Sy.= , что меньше, чем в первом случае. 3. Прогноз, рассчитанный методом экспоненциального сглаживания (база – 5 месяцев, α= 0,8; 1- α=0,2) на 9-й месяц: y*9 = 0,8 (220 + 0,2  214 + 0,22 194 + 0,23  212 + 0,24 208) = 218; на 10-й месяц: 0,8 219 + (1- 0,8)  218 = 218,8; на 11-й месяц: 0,8 234 + 0,2  218,8 = 231,0; на 12-й месяц: 0,8 219 + 0,2  231 = 221,4. Значение отклонения: Sy = т. е. меньше чем ранее, следовательно, это лучший метод прогнозирования из трех представленных. На практике мы не имеем изначально фактических данных в прогнозируемом периоде. Поэтому выбор модели может определяться на основе критерия минимальности среднеквадратической ошибки или средней относительной ошибки аппроксимации на периоде наблюдений, т.е. при i=1,…,n. Прогнозирование с учетом сезонных колебаний Рассмотрим способ прогнозирования, который позволяет учесть в прогнозных оценках не только основную тенденцию (тренд), но и наличие периодических колебаний. Периодические колебания, которые регулярно повторяются из месяца в месяц, или из квартала в квартал каждый год, называются сезонными. Эти колебания является результатом природных, общественных и социально-экономических факторов. Сезонные колебания проявляются с различной степенью интенсивности в различных сферах жизни общества: неодинаковое потребление электроэнергии в течение года; ярко-выраженный сезонный характер имеет сельское хозяйство, что вызывает неравномерность работы перерабатывающих предприятий, а это в свою очередь вызывает сезонные колебания в торговле. Сезонность также возникает из-за сезонного спроса на товары потребления (обувь, одежда) и т.д. Рассмотрим поквартальные данные по прибыли предприятия за четыре года. Таблица 1 - Прибыль предприятия, тыс. долл. сша № года квартал порядковый номер квартала t прибыль, тыс. долл. сша I 1 10 1 II 2 11,4 III 3 12 IV 4 17,5 I 5 16 2 II 6 17 III 7 18,5 IV 8 23,6 I 9 23 3 II 10 24,6 III 11 25 IV 12 30,6 I 13 29 4 II 14 31 III 15 31,9 IV 16 34 Анализ и прогнозирование временных рядов начинается с графического представления данных. Как видно, есть устойчивая тенденция к возрастанию прибыли из года в год, а также можно отметить, что прибыль в четвертом квартале значительно выше, чем в другие кварталы. Для получения прогнозных оценок необходимо не только описать тенденцию при помощи функции роста, но и описать сезонные колебания. Самым простым способом для этого является определение показателей сезонности. Процедуры расчета зависят от принятой модели временного ряда, содержащей сезонность в мультипликативной или в аддитивной форме. В случае аддитивной связи сезонные колебания рассчитываются в абсолютных величинах, а при мультипликативной связи - в относительных величинах. Поэтому, прежде чем приступить к прогнозированию явлений, содержащих сезонные колебания необходимо установить вид связи сезонной и трендовой компонент. Отличительная особенность аддитивной модели заключается в том, что характер периодических колебаний, т.е. амплитуда этих колебаний не изменяется во времени. При мультипликативном типе связи амплитуда колебаний растет с увеличением среднего значения ряда, и наоборот амплитуда колебаний уменьшается при снижающейся тенденции. Если невозможно определить тип связи, то при построении прогнозных оценок можно выбрать ту прогнозную модель, для которой минимально значение среднеквадратической ошибки или средней относительной ошибки аппроксимации на периоде наблюдений. При мультипликативной связи модель прогноза с помощью индексов сезонности на любой месяц (квартал) можно представить следующим образом: где - индекс сезонности i-го месяца или квартала (i = 1, 2, ... , 12; либо i = 1, 2, 3, 4), выраженный в коэффициентах; оценка исследуемого показателя, вычисленная по уравнению тренда; прогнозируемое значение показателя в момент времени t = n+1, n+2, …, n+l ; ɛt – случайная составляющая. Для определения индексов сезонности необходимо: - определить функцию выравнивания (т.е. уравнение тренда); - вычислить по уравнению тренда для всех t = 1, 2, … , n теоретические уровни; - определить показатели сезонности ft, как отношение фактических уровней yt к соответствующим теоретическим уровням (для всех t = 1, n) - найти индексы сезонности как средние арифметические из показателей сезонности по одноименным периодам (либо по месяцам, либо по кварталам). Например, индекс сезонности для первого квартала определяется так где m - число одноименных периодов (лет). - проверить правильность и скорректировать: средний индекс сезонности должен быть равен 1 (или 100%). Если не равен, то следует произвести выравнивание индексов, которое заключается в умножении индексов сезонности на величину, обратную среднему индексу сезонности. Если использовать аддитивную структурную модель временного ряда, то характеристики сезонности исчисляются в абсолютных величинах, т.е. определяются показатели сезонности, как . При прогнозировании уровни ряда, вычисленные по уравнению тренда прибавляются к аддитивным индексам сезонности Gsi, т.е. прогнозируемое значение показателя в момент времени t = n+1, n+2, …, n+l будет определяться как . Пример расчета индексов сезонности 1. По данным нашего примера для определения индексов сезонности было найдено уравнение тренда. Наилучшим образом тенденцию развития отображает уравнение линейной функции 8,4575+1,616 t. 2. В таблице 2 (см. графу 4) приведены теоретические уровни, найденные по уравнению тренда путем подстановки в него порядкового номера квартала t = 1, 2, … , 12. 3. Далее для каждого квартала определяются показатели сезонности как отношение фактических уровней к теоретическим по уравнению тренда (см. гр. 5) для мультипликативной связи. Для аддитивной связи показатели сезонности определяются через разность (см. гр.6). В нашем примере связь между сезонной и трендовой компонентами, скорее всего, аддитивна, т.к. амплитуда колебаний не изменяется из года в год. Таблица 2- Расчетные значения для построения индексных сезонных моделей № года Квартал Исходные уровни ряда yt Теоретические уровни по уравнению тренда Показатели сезонности Расчетные значения по индексной сезонной модели Мультипликативные ft Аддитивные gt с мультипликативными индексами с аддитивными индексами 1 2 3 4 5 = 3 : 4 6 = 3 - 4 7 8 1 I 10,00 10,074 0,993 -0,073 9,933 9,804 II 11,40 11,690 0,975 -0,289 11,422 11,304 III 12,00 13,306 0,902 -1,306 12,528 12,154 IV 17,50 14,922 1,173 2,579 16,287 16,729 2 I 16,00 16,538 0,967 -0,538 16,307 16,268 II 17,00 18,154 0,936 -1,154 17,738 17,768 III 18,50 19,770 0,936 -1,270 18,614 18,618 IV 23,60 21,386 1,104 2,215 23,342 23,193 3 I 23,00 23,002 1,000 -0,002 22,681 22,732 II 24,60 24,618 0,999 -0,017 24,054 24,232 III 25,00 26,234 0,953 -1,234 24,701 25,082 IV 30,60 27,850 1,099 2,751 30,398 29,657 4 I 29,00 29,466 0,984 -0,466 29,055 29,196 II 31,00 31,082 0,997 -0,082 30,369 30,696 III 31,90 32,698 0,976 -0,798 30,787 31,546 IV 34,00 34,314 0,991 -0,314 37,453 36,121 4.Индексы сезонности рассчитываются как среднее арифметическое из показателей сезонности, взятых по одноименным периодам (таблица 3): I квартал : Gs=(-0,073-0,538-0,002-0,466)/4 = -0,27 II квартал: Gs=(-0,289-1,154-0,017-0,082)/4 = -0,386 и т.д. Аналогично для каждого квартала можно определить мультипликативные индексы: I квартал : IS = (0,993+0,967+1,000+0,984)/4= 0,986 (98,6 %) II квартал: Is = (0,975+0,936+0,999+0,997)/4=0,977(97,7 %) и т.д. 5.Правильность нахождения индексов определяется при помощи расчета среднего индекса. Средний индекс для аддитивных показателей должен быть равен нулю: (-0,27-0,386-1,152-1,808)/4=0. Если такого не происходит (например, были взяты для рассмотрения данные не за весь последний год), то необходимо полученные индексы скорректировать путем вычитания из значений Gs среднего значения индекса. Таблица 3 – Индексы сезонности Квартал Индексы сезонности Is, % Gs (тыс. долл. сша) I 98,6 -0,270 II 97,7 -0,386 III 94,2 -1,152 IV 109,1 1,808 Индексы сезонности характеризуют модель сезонной волны прибыли предприятия во внутригодовом цикле. Наибольшая прибыль приходится на четвертый квартал с превышением среднегодового уровня почти на 9,1%, что составляет 1,808 тыс. долл. сша. При аддитивной связи модель прогноза с помощью индексов сезонности будет следующей: yt = Gsi +·(8,4575+1,616·t) + t, На основе индексов сезонности Gs из таблицы 3 определяются прогнозные значения прибыли на следующий год для соответствующих кварталов. В нашем случае прогнозные значения определяются для t= 17,18 и т.д.: для I кв. =-0,270+(8,4575+1,616·t)= -0,270+(8,4575+1,616·17)=35,66 (тыс. долл. сша) для II кв. = -0,386+(8,4575+1,616 18) = 37,16 (тыс. долл. сша) и т.д. Расчетно-графическая работа 1. 1.1 Известна статистика продаж товаров за первые 9 месяцев года (см. файл с исходными данными по вариантам). Спрогнозируйте продажи на последующие 3 месяца методами простого и скользящего среднего, методом экспоненциального сглаживания. Новые данные о продажах, также показанные в таблице. Оцените погрешность прогноза каждым из методов. 1.2 По исходным данным своего варианта подберите аппроксимирующую кривую (уравнение тренда) на интервале в девять месяцев с помощью пакета MS EXCEL (выбрав из трех: линейной, полиномиальной и экспоненциальной). Сравните модели по ошибке аппроксимации R2 . Определите прогнозные значения продаж на последующие три месяца по наилучшей модели, определите доверительный интервал прогноза (при α=0,05). Прогнозные значения оформите в таблице, сделайте выводы о целесообразности применения для прогнозирования модели тренда. Сравните прогнозные значения с имеющимися фактическими данными. Графически представьте фактические, расчетные и прогнозные по модели тренда значения. дополнительное задание Используя данные, характеризующие помесячную (или поквартальную) динамику выбранного показателя (www.gks.ru), определите прогнозные значения на полгода вперед по наилучшей модели, выбрав из: индексных сезонных моделей с аддитивными или мультипликативными показателями сезонности.