Прогнозирование финансовых временных рядов

Лекция № 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Под прогнозом понимается научно обоснованное описание возможных состояний объектов в будущем, а также альтернативных путей и сроков достижения этого состояния. Процесс разработки прогнозов называется прогнозированием (от греч. Prognosis - предвидение, предсказание). В зависимости от объектов прогнозирования экономические прогнозы принято разделять по масштабности и по времени упреждения. В зависимости от масштабности объекта прогнозирования экономические прогнозы могут охватывать все уровни: от микроуровня (определения характеристик развития отдельных предприятий, производств) до макроуровня (анализа экономического развития в масштабе страны) или до глобального уровня (где существующие закономерности рассматриваются в мировом масштабе). Важной характеристикой является время упреждения прогноза – отрезок времени от момента для которого имеются последние статистические данные об изучаемом объекте до момента к которому относится прогноз. По времени упреждения экономические прогнозы делятся на: 1. оперативные (с периодом упреждения до одного месяца); 2. краткосрочные (период упреждения от одного или нескольких месяцев до года); 3. среднесрочные (период упреждения более 1 года, но не превышает 7 лет); 4. долгосрочные (с периодом упреждения более 7 лет). Метод прогнозирования представляет собой последовательность действий, которые нужно совершить для получения модели прогнозирования. Модель прогнозирования есть функциональное представление, адекватно описывающее исследуемый процесс и являющееся основой для получения его будущих значений. 3.1. Классификация моделей и методов прогнозирования На первом этапе классификации методы прогнозирования обычно разделяют на две группы: интуитивные и формализованные (рисунок 57). Методы прогнозирования Интуитивные методы (имеют дело с суждениями) Формализованные методы (имеют дело с матем. моделями) Рис. 57. Методы прогнозирования Интуитивные методы прогнозирования используют экспертные суждения и оценки. На сегодняшний день они часто применяются в маркетинге, экономике, политике, так как система поведение которой необходимо спрогнозировать или очень сложна и не поддается математическому описанию или же очень проста и в таком описании не нуждается. Формализованные методы — методы прогнозирования, позволяющие строить модели прогнозирования, то есть они определяют такую математическую зависимость, которая позволяет вычислить будущее значение процесса, сформировать прогноз. На первом этапе модели следует разделить на две группы: модели предметной области и модели временных рядов (рисунок 58). 2 Формализованные методы (имеют дело с матем. моделями) Модели предметной области (фундаментальный анализ) Модели временных рядов (ищут зависимости внутри самого процесса) Рис. 58. Модели прогнозирования (общая классификация) Модели предметной области — такие математические модели прогнозирования, для построения которых используют законы предметной области. Модели временных рядов — математические модели прогнозирования, которые стремятся найти зависимость будущего значения от прошлого внутри самого процесса и на этой зависимости вычислить прогноз. Модели временных рядов можно разделить на две группы: статистические и структурные (рис. 59). Модели временных рядов (ищут зависимости внутри самого процесса) Структурные модели (нейронные сети,генетические алгоритмы,цепи Маркова) Статистические модели (регрессия, автокорреляция и др.) Рис. 59. Модели временных рядов В статистических моделях зависимость будущего значения от прошлого задается в виде определенного уравнения. К таким моделям относятся: 1. Регрессионные модели (линейная регрессия, нелинейная регрессия); 3 2. Авторегрессионные модели (ARIMAX, GARCH, ARDLM); 3. Модель экспоненциального сглаживания; 4. Модель по выборке максимального подобия; 5. Другие модели. В структурных моделях зависимость будущего значения от прошлого задается в виде некоторой структуры и правил перехода по ней. К таким моделям относятся: 1. Нейросетевые модели; 2. Модели на базе цепей Маркова; 3. Модели на базе классификационно-регрессионных деревьев; 4. Другие модели. Временные ряды Временным рядом называется последовательность значений, описывающих протекающий во времени процесс, измеренных в последовательные моменты времени обычно через равные промежутки. Отдельные наблюдения временного ряда называются уровнями этого ряда. В практике прогнозирования принято считать, что значения уровней временных рядов экономических показателей состоят из следующих компонент: тренда, сезонной, циклической и случайной составляющих. Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия. Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах экономических процессов часто имеют место регулярные колебания - периодические составляющие рядов динамики. Если период колебаний не превышает 1 года, то их называют сезонными. При большем периоде колебаний считают, что во временных рядах имеет место 4 циклическая составляющая. Примерами могут служить демографические, инвестиционные и другие циклы. Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента. Экономисты разделяют факторы под действием которых формируется нерегулярная компонента на 2 вида: • факторы резкого, внезапного действия; • текущие факторы. Первый тип факторов (например, стихийные бедствия, эпидемии) как правило вызывает более случайными значительные колебаниями. Иногда отклонения такие по сравнению со отклонения называют катастрофическими колебаниями. Факторы второго типа вызывают случайные колебания, являющиеся результатом действия большого числа побочных причин. Влияние каждого из текущих факторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие. Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующих компонент, то полученная модель носит название аддитивной (11), если в виде произведения - мультипликативной (12) или смешанного типа (13): 𝑌𝑌𝑡𝑡 = 𝑢𝑢𝑡𝑡 + 𝑠𝑠𝑡𝑡 + 𝑣𝑣𝑡𝑡 + 𝑒𝑒𝑡𝑡 , 𝑌𝑌𝑡𝑡 = 𝑢𝑢𝑡𝑡 ∙ 𝑠𝑠𝑡𝑡 ∙ 𝑣𝑣𝑡𝑡 ∙ 𝑒𝑒𝑡𝑡 , 𝑌𝑌𝑡𝑡 = 𝑢𝑢𝑡𝑡 ∙ 𝑠𝑠𝑡𝑡 ∙ 𝑣𝑣𝑡𝑡 + 𝑒𝑒𝑡𝑡 , (1 1) (1 2) (1 3) где 𝑌𝑌𝑡𝑡 - уровни временного ряда; 𝑢𝑢𝑡𝑡 - трендовая составляющая; 𝑠𝑠𝑡𝑡 - сезонная компонента; 𝑣𝑣𝑡𝑡 - циклическая компонента; 𝑒𝑒𝑡𝑡 - случайная компонента. 5 Процесс прогнозирования экономических временных рядов базируется на выявлении закономерностей, объясняющих динамику процесса в прошлом и использовании этих закономерностей для описания развития в будущем. 1.2. Прогнозирование финансовых временных рядов на основе нейронных сети В настоящее время применение нейронных сетей развивается в следующих направлениях: 1. Биржевое и макроэкономическое прогнозирование (Neuro XL, OptimuStock, StocksNeural); 2. Распознавание речи и диалог с человеком (Siri, Alexa, Cortana, Алиса); 3. Имитация интеллектуальной деятельности (слабый ИИ в Siri, Alexa, Cortana, Алиса); 4. Улучшение некачественной и зашумлённой информации (DeepImagePrior); 5. Идентификация подозрительных лиц и ситуаций (GLXSS, Face++). Нейронная сеть — это математическая модель, состоящая из набора связанных между собой элементов, аналогичных нейронам головного мозга и функционирующих похожим образом. Рис.60. Модель нейронной сети Нейронной сетью называют множественную суперпозицию многочлена сигма-подобных функций. 6 𝑖𝑖=𝑚𝑚 𝑗𝑗=𝑛𝑛 𝑖𝑖=𝑚𝑚 𝑗𝑗=𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=𝑖𝑖 𝐹𝐹 = 𝑘𝑘0 𝜍𝜍 �𝑘𝑘1 𝜍𝜍 �� 𝑘𝑘2 𝜍𝜍 �� 𝑘𝑘3 𝜍𝜍�𝑘𝑘4 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ���� + 𝑘𝑘5 𝜍𝜍 �� 𝑘𝑘6 𝜍𝜍 �� 𝑘𝑘7 𝜍𝜍�𝑘𝑘8 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ���� + ⋯ �, В качестве сигма-функций используют рациональную сигмоиду или гиперболический тангенс. Причина использования сигма-функции заключается в том, что различные её участки имеют различное поведение. Изменяя входной коэффициент нейрона можно добиться от него поведения похожего на степенную, линейную или логарифмическую зависимости. Рис. 61. Сигма функция Особенный характер функции нейронной сети придают входные и выходные коэффициенты нейронов, обуславливающие как тип зависимости (входные), так и силу влияния нейрона (выходные) на другие нейроны сети. Подбор этих коэффициентов называется обучением нейронной сети. Существует три типа обучения сети: Стохастический метод (обучение по Кохонену) предполагает перебор случайных значений коэффициентов до тех пор пока функция нейронной сети не начнёт удовлетворительно отображать искомую зависимость. Недостаток этого метода – низкая скорость обучения сети. Градиентный метод (обратное распространение ошибки) предполагает изменение коэффициентов сети на вычисляемую через производные величину 7 градиента ошибки сигма-функции таким образом, чтобы минимизировать ошибку. Недостаток метода – невозможность поиска альтернативных решений при достижении минимума ошибки в тех случаях, когда минимум функции не глобальный. Эту особенность называют западанием в локальный минимум. Смешанные методы сочетают в себе одновременное использование как стохастической, так и градиентной составляющей обучения. Примером такого сочетания может служить эволюционный алгоритм, применяемый в модуле поиска решения MS EXCEL. 1. Представим графически модель одного нейрона (рис. 62). x1 ×k1 x2 ×k2 x3 ×k3 tanh ∑ ×k4 =Y Рис. 62. Модель одного нейрона Опишем формулой модель одного нейрона: 3 −3 𝑘𝑘𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ; 𝑘𝑘1−3 ∈ � , � ; 𝑘𝑘4 ∈ [⌊𝑥𝑥𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖 ⌋, ⌈6𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ⌉] 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛=1 𝑛𝑛=3 𝑌𝑌 = 𝑘𝑘4 tanh � Формула в MS Excel имеет вид: =$K$4*TANH(X1*$K$1+X2*$K$2+X3*$K$3) 2. Представим графически модель однослойной сети (рис.63). 8 x1 ×k1 x2 ×k2 x3 ×k3 x4 ×k4 ×k5 tanh ∑ tanh ∑ ×k7 =Y ×k6 tanh ∑ Рис. 63 - Модель однослойной сети Опишем формулой модель однослойной сети: 𝑛𝑛=4 𝑌𝑌 = 𝑘𝑘7 tanh �𝑘𝑘6 tanh � 𝑛𝑛=2 𝑘𝑘𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑘𝑘5 tanh � 𝑛𝑛=3 𝑛𝑛=1 𝑘𝑘𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 � ; 3 −3 𝑘𝑘1−4 ∈ � , � ; 𝑘𝑘5,6 ∈ [−1,1]; 𝑘𝑘7 ∈ [⌊𝑥𝑥𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖 ⌋, ⌈6𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ⌉] 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Формула в MS Excel имеет вид: =$K$7*TANH ($K$5*TANH (X1*$K$1+X2*$K$2) + $K$6*TANH (X3*$K$3+ X4*$K$4)) Вычисления в Excel Задание № 1 Построим автокорреляционный нейронный прогноз для курса доллара США. Предположим, что завтрашний курс доллара зависит от пяти предыдущих значений. Решение: Построим временной ряд со сдвигом в 1 день и оценим автокорреляцию (рис.64-65). 9 Рис. 64. Автокорреляция Рис. 65. Расчет корреляции Рассчитаем границы коэффициентов [⌊𝑥𝑥𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖 ⌋, ⌈6𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ⌉] (рис.66). 10 нейрона, как � −3 , 3 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � и Рис. 66. Расчет коэффициентов нейрона Зададим начальные значения коэффициентов и создадим формулу нейронной сети (рис.67). Рис. 67. Нейронная сеть Рассчитаем ошибку сети, как сумму квадратов отклонений (рис.68). Рис. 68. Расчет ошибки сети Продолжим формулу нейронной сети на одно сформируем данные прогноза, как среднеквадратичного отклонения (рис.69). 11 результат значение сети с вперёд, учётом Рис. 69. Прогноз нейронной сети Зададим ограничения коэффициентов нейронной сети и проведём их подбор эволюционным алгоритмом, используя как оптимизирующий критерий уменьшение ошибки (рис.70). Рис. 70. Подбор коэффициентов нейронной сети Получим прогноз и оценим его качество, построив график (рис.71). 12 Рис. 71. График прогноза на основе нейронной сети Задачи для самостоятельного решения 1. Проведите графический анализ входных и выходных данных. Постройте в подходящем масштабе графики прогнозируемой величины и величин, которые предположительно влияют на неё. Рассчитайте величины их корреляции. Определите предполагаемые зависимости. 2. Определите подходящую архитектуру нейронной сети. Можно использовать следующие виды архитектуры: - Для явных зависимостей с высокой (>0.75) корреляцией: 1 нейрон с несколькими входами (до 20 входов) – 21 коэффициент. - Для неявных зависимостей с умеренной (>0.5) корреляцией: 1 слой до 10 нейронов с 1 входом + выходной нейрон – 21 коэффициент. - Для неявных зависимостей с низкой (<0.5) корреляцией: 2 слоя до 3-х нейронов с 3 входами + выходной нейрон – 22 коэффициента. 13 3. Задайте формулу сети, формулу ошибки сети и определите обучающую выборку. 4. Рассчитайте значения границ входных и выходных коэффициентов. Для сетей с тангенциальной сигма-функцией: • границы входных коэффициентов: � −3 , 3 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � • границы выходных коэффициентов: [⌊𝑥𝑥𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖 ⌋, ⌈6𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ⌉] Для сетей с рациональной сигма-функцией для 𝛼𝛼 = 1: • границы входных коэффициентов: � −6 , 6 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � • границы выходных коэффициентов: [−12𝑥𝑥𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 , 12𝑥𝑥𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 ] 5. Задайте границы и проведите обучение сети эволюционным алгоритмом. 6. Получите от обученной сети прогноз для текущих данных. Модель прогноза на основе однослойной нейронной сети Структурной единицей искусственной нейронной искусственный нейрон. Искусственный нейрон математическая модель биологического нейрона. – сети это является упрощенная Рассмотрим нейрон Маккалоха-Питса, который был предложен в 1943 году. 1 У искусственного нейрона выделяют следующие три главных компонента, которые графически представлены на рисунке 72. 1. Входной сигнал – это синапсы (или их еще называют связями) каждый из которых характеризуется собственным весом или силой. В частности, сигнал 𝑥𝑥𝑗𝑗 на входе синапса 𝑗𝑗, связанного с нейроном 𝑘𝑘, умножается на вес 𝑤𝑤𝑘𝑘𝑘𝑘 . В отличие от синапсов у биологического нейрона мозга синаптический вес искусственного нейрона может быть как положительным, так и отрицательным. У биологического нейрона связи характеризуются сложным 1 Бодянский Е.В., Руденко О.Г. Искусственные нейронные сети: архитектуры, обучение, применение, с. 13 14 химическим процессом, который по сути своей не может подавать отрицательные веса. 2. На сумматоре происходит сложение входных сигналов, взвешенных относительно соответствующих синапсов нейрона. Другими словами, происходит перемножение значений 𝑥𝑥𝑗𝑗 на соответствующий вес 𝑤𝑤𝑘𝑘𝑘𝑘 и полученные результаты складываются. Эту операцию можно описать как линейную комбинацию. 3. Активационная функция ограничивает амплитуду выходного сигнала нейрона. Эта функция называется функцией сжатия. Рис. 72. Схема искусственного нейрона В общем виде, принцип работы нейрона можно записать двумя уравнениями: 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖=0 𝑣𝑣𝑘𝑘 = 𝑏𝑏𝑘𝑘 + � 𝑤𝑤𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑖𝑖 = � 𝑤𝑤𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑖𝑖 , где 𝑤𝑤𝑘𝑘0 = 𝑏𝑏𝑘𝑘 , 𝑥𝑥0 = 1 В качестве функции 𝑦𝑦𝑘𝑘 = 𝜑𝜑(𝑣𝑣𝑘𝑘 ) активации может выступать любая функция. Перечислим те из них, которые чаще всего используются при построении нейронной сети: 1) Пороговая функция активации 15 𝑣𝑣𝑘𝑘 ≥ 0 . 𝑣𝑣𝑘𝑘 < 0 1, 𝜑𝜑(𝑣𝑣𝑘𝑘 ) = � 0, Это первая введенная активационная функция, она описана в работе МакКаллока и Питса. 2) Кусочно-линейная функция активации 1, 𝑣𝑣𝑘𝑘 ≥ 𝑎𝑎 𝜑𝜑(𝑣𝑣𝑘𝑘 ) = �𝑣𝑣𝑘𝑘 , −𝑎𝑎 ≤ 𝑣𝑣𝑘𝑘 < 𝑎𝑎, −1, 𝑣𝑣𝑘𝑘 ≤ −𝑎𝑎 где 𝑎𝑎 – некоторое пороговое значение. Здесь в качестве линейной части выбрана функция 𝜑𝜑(𝑣𝑣𝑘𝑘 ) = 𝑣𝑣𝑘𝑘 , однако вместо нее может быть любая другая линейная функция с другими коэффициентами. 3) Сигмоидальная активационная функция где a-параметр, 𝜑𝜑(𝑣𝑣𝑘𝑘 ) = определяющий 1 , 1 + 𝑒𝑒 −𝑎𝑎𝑣𝑣𝑘𝑘 наклон функции. Часто вместо сигмоидальной функции используют гиперболический тангенс, который обладает такими же свойствами.2 𝑒𝑒 𝑣𝑣𝑘𝑘 − 𝑒𝑒 −𝑣𝑣𝑘𝑘 𝜑𝜑(𝑣𝑣𝑘𝑘 ) = 𝑡𝑡ℎ(𝑣𝑣𝑘𝑘 ) = 𝑣𝑣 . 𝑒𝑒 𝑘𝑘 + 𝑒𝑒 −𝑣𝑣𝑘𝑘 Наиболее популярными в настоящее время являются сигмоидальная и функция активации гиперболического тангенса. Рассмотрим простую однослойную нейронную сеть из трех входных и одного выходного нейрона (рис.73). 2 Лапыгин Ю.Н. Экономическое прогнозирование: учеб. пособие./ Лапыгин Ю.Н., Крылов В.Е., Чернявский А.П. – М.:Эксмо, с. 205 16 Рис. 73. Однослойная сеть из трех входных и одного выходного нейрона Для такой сети необходимо подбирать 13 коэффициентов. Формула в MS Excel для однослойной нейронной сети с использованием функции активации гиперболического тангенса имеет вид: "=(TANH(TANH(СУММ(B24*B21;B25*C21;B26*D21))*K21+ TANH(СУММ(B27*E21;B28*F21;B29*G21))*L21 Вычисления в Excel Задание № 2 Необходимо построить автокорреляционный прогноз на один период для курса USD/RUB на однослойной нейронной сети. Решение: 1. На первом этапе экспортируем с сайта finam.ru финансовый временной ряд USD/RUB за 2014-2016гг. Нормируем значения временного ряда (рис.74). 17 C5: =B5/(МАКС($B$5:$B$1000)*1,1) Рис. 74. Нормирование значений временного ряда 2. Вычисляем формулу выхода сети: D4:=TANH(СУММ(TANH(СУММ(C5*$C$3;C6*$D$3;C7*$E$3))*$L$3;TAN H(СУММ(C8*$F$3;C9*$G$3;C10*$H$3))*$M$3;TANH(СУММ(C11*$I$3;C12* $J$3;C13* На рисунке 75 представлены выходы сети. 18 Рис. 75. Выходы нейронной сети 3. Вычисляем отклонение выхода как квадрат разницы выхода нейрона и реального значения (рис.76). E14: =СУММКВРАЗН(C14;D14) Рис. 76. Расчет отклонения выхода сети 19 4. Установим значения ячеек С3-О3 (коэффициентов) равными нулю. Откроем окно поиска решения. Зададим для ячеек C3-O3 (коэффициенты сети) ограничение значений от -1 до 1, в качестве критерия оптимизации укажем минимум для ячейки F6 (сумма квадратов отклонений). Задачу можно решить как методом ОПГ, так и эволюционным поиском (рис. 77). Рис. 77. Параметры поиска решения для подбора коэффициентов нейронной сети 5. Получаем значение прогноза на основе нейронной сети (рис. 78) Рис. 78. Прогноз 20 Задачи для самостоятельного решения Проведите поиск решения различными методами, оцените качество прогнозирования (ошибку прогноза), постройте график прогноза и реальных данных. Создайте аналогичный прогноз для пары EUR/RUB TOD. Улучшение качества прогноза однослойной нейронной сети динамическим (изменяющимся) весом критерия оптимизации Вычисления в Excel Задание № 3 Возьмём однослойную нейронную сеть, рассмотренную в предыдущем примере. Улучшим качество её прогноза, для текущего периода. Решение: 1. Введём коэффициент веса ошибки, который будет линейно изменяться от нуля, до единицы (рис. 79). E18: =E17+1/(285-17) Рис. 79. Коэффициент веса ошибки 21 2. Умножим отклонение выхода на этот коэффициент. Таким образом оптимизационный критерий отклонения станет гораздо сильнее зависеть от самых последних (текущих) данных и меньше зависеть от старых данных, когда рыночные условия были иными. Проведём поиск решения для коэффициентов сети, аналогично предыдущему примеру (рис. 80). Рис. 80. Параметры поиска решения Рис. 81. Прогноз временного ряда USD/RUB на один период вперед 22 Задачи для самостоятельного решения Создайте прогнозы аналогичные текущему для других временных рядов. Сравните качество прогнозов с фиксированным и динамическим (текущий прогноз) весом критерия оптимизации на последней трети (33%) временного ряда прогноза. Многофакторный прогноз на основе однослойной нейронной сети Вычисления в Excel Задание № 4 Необходимо построить многофакторный прогноз на основе однослойной нейронной сети. Решение: Предположим, что курс доллара зависит не только от собственных тенденций, но и от цен на нефть и золото. Возьмём однослойную нейронную сеть рассмотренную в предыдущем примере. Подадим на входы различных нейронов - различные данные за предшествующие три дня (1-й нейрон: стоимость нефти BRENT; 2-нейрон: стоимость унции золота; 3-й нейрон: курс USD/RUB(TOD). Введём коэффициент веса ошибки (рис. 82). Рис. 82. Данные для многофакторного прогноза 23 Выполним поиск решения как для предыдущего прогноза (рис. 83). Рис. 83. Поиск подбора коэффициентов сети Получаем прогноз на основе многофакторного прогнозирования (рис. 84). Рис. 84. Многофакторный прогноз 24 Задачи для самостоятельного решения Оцените качество последней трети текущего прогноза в сравнении с линейным и автокорреляционным нейронным прогнозами. Создайте прогнозы аналогичные текущему для других временных рядов. Используйте критерий опережающей корреляции для поиска показателей исходных факторов. Многослойная нейронная сеть Вычисления в Excel Задание № 5 Необходимо построить многослойную нейронную сеть. Решение: Возьмём однослойную нейронную сеть, рассмотренную в предыдущем примере. Добавим к ней второй слой. При этом выходы первого слоя будут входами второго, а выходы второго слоя - входами выходного нейрона. Такая сеть обучается горазд медленнее, однако дает более точный прогноз. Выполним поиск решения, как и для предыдущего прогноза (рис. 85-86). Рис. 85. Параметры поиска решения 25 Рис. 86. Прогноз Задачи для самостоятельного решения Оцените качество прогноза данной сети. Сравните его с прогнозом однослойной сети из первого примера. Создайте многофакторный прогноз на многослойной сети с динамическим весом ошибки. Создайте многофакторный прогноз для нейронной сети со следующей топологией: 2 слоя по 4 нейрона с 4 входами каждый, один выходной нейрон. 26 Лекция 2. ПОСТРОЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ МОДЕЛЕЙ В EXCEL 1.1. Построение биржевых индикаторов По объему используемых данных все индикаторы делятся на три типа: 1. Мгновенные (использующие исключительно текущие данные); 2. Скользящие (использующие, кроме текущих, и предыдущие данные за некоторый период); 3. Накопительные (использующие все данные от момента начала временного ряда). По обработке используемых данных индикаторы можно разделить на два типа: 1. Непосредственные (не использующие промежуточные вычисления); 2. Опосредованные (использующие промежуточные вычисления). На примере временного ряда курса доллара рассмотрим три непосредственных индикатора, принадлежащих к разным типам. 1. Мгновенный индикатор определяющий пересечение определенной границы (30)- столбец C (рис.37). Рис. 37. Мгновенный определенной границы (30) индикатор определяющий пересечение На рисунке 38 представлен график мгновенного индикатора. Рис. 38. График пересечения границы в 30 2. Скользящий индикатор, определяющий среднее за 30 дней (скользящее среднее) (рис. 39). Рис. 39. Скользящий индикатор, определяющий среднее за 30 дней 3. Накопительный индикатор, вычисляющий достигнутое математическое ожидание (рис. 40). 2 Рис. 40. Накопительный индикатор, вычисляющий достигнутое математическое ожидание Задание для самостоятельного решения Создайте индикаторы для пары USD/RUB за период 2014-2019гг.: 1. Определяющий находится ли цена актива в промежутке между 33 и 35; 2. Вычисляющий среднее геометрическое значение последних 90 дней торгов; 3. Вычисляющий достигнутое среднее гармоническое значение; 4. Определяющий точки разворота вниз (верхние экстремумы) среднего геометрического за 90 дней. Нормирование данных При анализе временных рядов используют три метода нормирования (общепринято нормировать к единице) и их комбинации. 1. масштабирование по максимуму ряда используют в тех случаях, когда ряд завершён и новых данных не будет. 2. масштабирование по текущему достигнутому максимуму используют, когда ожидается поступление следующих данных. 3 3. нелинейную обратимую компрессию используют для улучшения статистики данных с большим количеством выбросов. Масштабирование не влияет на статистику ряда, оставляя её неизменной. Нелинейная обратимая компрессия способна изменять статистику ряда, например, влиять на его стационарность и вариативность. На примере временного ряда курса доллара рассмотрим три метода нормирования и их комбинации. 1. Масштабирование по максимуму ряда (рис.41-42) можно применять, только когда новых данных в ряду больше не будет. Рис. 41. Масштабирование по максимуму ряда Рис. 42. График масштабирование по максимуму ряда 2. Масштабирование по текущему максимуму представлено на рисунке 43. При каждом новом максимуме значение равно единице. 4 D4: =B4/МАКС(B$1:B4) (результат: 0,999778) Рис. 43. Масштабирование по текущему максимуму ряда 3. Логарифмическая компрессия функцией одной второй десятичного логарифма представлена на рисунке 44. E4: =LOG10(B4)/2 (результат: 0,7328) Рис. 44. Логарифмическая компрессия функцией одной второй десятичного логарифма 4. Многократная компрессия масштабированных данных гиперболического тангенса представлена на рисунке 45. F4: =TANH(TANH(TANH(TANH(TANH(TANH(TANH(C4))))))) 5 функцией Рис. 45. Многократная компрессия масштабированных данных функцией гиперболического тангенса На рисунке 46 представлены графики методов нормирования. Рис. 46 Графики различных методов нормирования Задание для самостоятельного решения 1. Почему при непрерывно поступающем потоке данных используют нормирование по текущему максимуму? 2. Почему для компрессии не используют функции синуса или косинуса? 3. Можно ли при нелинейной компрессии не снизить, а усилить вариативность ряда? 4. Проведите нормирование нескольких рядов данных различными методами, постройте их общий график 5. Объясните, почему при создании индикаторов важно нормирование? 6 Среднее значение Среднее - это традиционное название меры центральной тенденции (одного единственного числа, служащего для описания множества значений) в статистике. Основной характеристикой меры центральной тенденции (центральной меры) является её робастность (устойчивость к выбросам) иногда характеризуемая, как правдоподобность. В зависимости от типа статистической шкалы различают четыре вида слабо робастных мер центральной тенденции: 1. Для интервальных или разностных шкал, например, временные ряды (рис. 47). Среднее арифметическое - функция СРЗНАЧ(). Рис. 47. Среднее значение 2. Для абсолютных шкал или шкал отношений, например, независимые количественные данные: Среднее геометрическое, гармоническое, степенное - функции СРГАРМ(), СРГЕОМ(). 7 Рис. 48. Среднее геометрическое 3. Для ранговых или порядковых шкал, например, вида: да/скорее да/скорее нет/нет): Медиана - функция МЕДИАНА(). Рис. 49. Медиана 4. Для именованных номинальных или шкал, например, китаец/русский/американец (рис. 50): Мода - функция МОДА.ОДН(). Рис. 50. Мода Задание для самостоятельного решения Рассмотрите приведённые ниже графики мер центральной тенденции(рис.51). 8 Рис. 51. Графики мер центральной тенденции. Обратите внимание на скорость и интенсивность их изменения, ответьте на вопросы: 1. Является ли обязательным округление исходных значений при вычислении моды временного ряда, в каком случае оно производится? 2. Какая из мер является самой "быстрой", какая самой "медленной", перечислите приведенные на графике меры в порядке возрастания их робастности. 3. Какое среднее скользящее значение будет чувствительнее к изменениям рынка: "за 10 дней" или "за 30 дней"? 4. Приведите 2-3 примера ранговой шкалы. Ограничена ли глубина её значений, существуют ли ограничения в объёме её генсовокупности, если да, то какие? 5. Вычислите моду следующей выборки: 1, 2, 9, 7, 8, 4, 5, 3, 91, 14, 19, 41, 23, 32, 54, 45, 20, 11. 6. Каков должен быть объем выборки, чтобы её мода гарантировано существовала? 9 Вариативность Вариативность - это мера центральной тенденции (единственное число) характеризующая отклонения значений выборки от их общей меры центральной тенденции (среднего). Основные величины выражения вариативности зависят не только от выражаемой величины, но и от временного периода, в течение которого она оценивается. В эконометрике наиболее часто используют восемь основных мер вариативности. Все они имеют различную робастность, чувствительность и назначение в зависимости от шкалы. Наиболее распространенные меры вариативности 1. Среднее абсолютное отклонение (MAD) - среднее модулей отклонений значений ряда от его математического ожидания. Функция - СРОТКЛ() 2. Дисперсия – математическое ожидание квадратов абсолютных отклонений. Функция - ДИСП.В() 3. Среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение) - корень квадратный из дисперсии. Функция -СТАНДОТКЛОН.В() Специальные меры вариативности 1. Скедастичность (относительная вариативность) - отношение модулей отклонений к математическому ожиданию. Пример: СРЗНАЧ(Bm:Bn), где Bn = ABS(Am-СРЗНАЧ(Am:An))/СРЗНАЧ(Am:An) 2. Среднее кубическое отклонение - применяют для выявления тренда роста/спада скрытого белым шумом. Пример - кубический корень математического ожидания кубов абсолютных отклонений. 10 3. Среднее прогрессивное отклонение - применяют для выявления тенденции скрытого роста. Пример, математическое ожидание положительных значений абсолютного отклонения. 4. Среднее структурное отклонение - применяют при частотном анализе эконометрических данных. Пример - мода отклонения от моды ряда. 5. Волатильность - мера вариативности временного ряда выражаемая с привязкой к временной шкале. Отношение стандартного отклонения к корню времени периода в годах. На рисунке 52 представлены графически меры вариативности Рис. 52. Графики мер вариативности. Задание для самостоятельного решения 1. Рассчитайте все восемь вышеперечисленных выбранного вами произвольного временного ряда. 11 мер вариативности для 2. Рассмотрите приведённые графики мер вариативности. Опишите, какие биржевые индикаторы можно создать на основе каждой из мер. 3. Обратите внимание на начальные области графиков. Объясните, почему они не отображают адекватную информацию о вариативности ряда. 4. Создайте собственный скользящий двадцатидневный индикатор направления тренда на основе среднего кубического отклонения. 1.2. Индикатор кризиса Кризис актива (не путать с экономическим кризисом) - это изменение стоимости актива не соответствующее стандартной модели Блэка-Шоулза. Основной идеей данной модели является стационарность и нормальность накопленной вариативности временного ряда, представляющей Гауссовский (нормально распределенный) шум. На основе данной идеи построено большинство авторегрессионных прогностических математических моделей в экономике и биржевой аналитике (смотреть ARMA). В случае кризиса нарушаются предполагаемые моделью правила поведения вариативности (например, правило трех сигм). Для определения кризиса является сравнение накопленной за длительный период вариативности с текущей вариативностью скользящей выборки. Согласно модели подразумевающей нормальность отклонений ряда его утроенная мгновенная вариативность не может превышать вариативность накопленную за длительный период. На рисунке 53 представлен пример расчета индикатора кризиса. 12 Рис. 53. Расчет индикатора кризиса Задание для самостоятельного решения Рассмотрите приведённые ниже графики (рис. 54). Рис. 54. Виды индикаторов Ответьте на вопросы: 1. Является ли обязательным для определения кризиса сравнение накопленной и скользящей вариативности. Что выражает каждый из этих показателей? 2. Можно ли определить кризис анализируя не саму вариативность, а её отклонение от собственной меры центральной тенденции? 3. Какой параметр индикатора наиболее явно влияет на его чувствительность? Создайте для данного ряда кризисные индикаторы со скользяшими выборками 13 продолжительностью 10 и 40 дней; Индикаторы с множителем стандартного отклонения 1 и 2. 1. На что влияет длина скользящей выборки? 2. Почему начальный период временного ряда обязательно должен быть некризисным. Какова приблизительная длина начального периода, после которого индикатор станет работать? 3. Создайте собственные кризисные индикаторы, основанные на отличных от приведённых, методах оценки вариативности временного ряда или её характеристик. Модель индикатора на основе волатильности Основными эмпирическими свойствами волатильности являются склонность к кластеризации, длительная память (автокорреляция) и высокая корреляция с объемом торгов. На этих свойствах основаны классические прогностические модели GARCH, ARCH предполагающие, что волатильность - стохастический процесс. В основе этих моделей используются стандартные распределения Гаусса или Стьюдента. В тех случаях, когда волатильность выходит за пределы предсказуемости используемых моделей в три сигма стандартные методы прогнозирования волатильности перестают работать, что не позволяет трейдерам адекватно оценить риски и как правило приводит к биржевой панике, являющейся триггером кризиса торгуемого актива. На рисунке 54 показана (пунктирная линия) зависимость разницы между отклонением волатильности и значением волатильности для коридора в три сигма от наличия кризисных кластеров курса Доллара США (сплошная линия). Оценка ошибки отклонения волатильности в течение не кризисных периодов близка к своему математическому ожиданию в то время как в периоды кризисов она значительно (более чем в полтора раза) изменяется (рис.55). 14 Рис. 55. Кризисный индикатор Создадим индикатор чувствительности к кризисам актива (серый), для чего будем сравнивать математические ожидания соседних участков стандартного отклонения индикатора изменения волатильности (пунктирная линия). В индикатор добавлена переменная, влияющая на его чувствительность (рис. 56). Рис. 56. Индикатор с элементом чувствительности к кризисам 15 Задание для самостоятельного решения Выберите произвольный актив Блумберг с временным рядом включающим не кризисный период (2004-2007 годы) и создайте для него собственный индикатор кризиса основанный на правиле трех сигм, имеющий регулируемую чувствительность и отражающий кризис 2008 года. Проверьте работу вашего индикатора на временных рядах других произвольных активов. 16 Лекция №1 ПОСТРОЕНИЕ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ В EXCEL 1.1 Современная портфельная теория (Modern portfolio theory). Алгоритм построения инвестиционного портфеля Современная портфельная теория Modern portfolio theory (MPT) была впервые сформулирована Гарри Марковицем в его работе «Выбор портфеля», опубликованной в 1952 году в финансовом журнале «Journal of Finance». Тридцать лет спустя Гарри Марковиц разделил Нобелевскую премию, полученную за широкое использование теории выбора портфеля с Мертоном Миллером и Уильямом Шарпом. До публикации работы Г. Марковица при составлении портфелей инвесторы уделяли основное внимание оценке рисков и прибыли по отдельно взятым активам. При инвестировании обычно рекомендовалось определить ценные бумаги, обещающие наилучшие возможности для получения прибыли при наименьшем риске и формировать свой портфель из них. Следуя этому совету, инвестор мог прийти к выводу, что, например, ценные бумаги предприятий, работающих в области железнодорожных перевозок, имеют наилучшее соотношение риск-прибыль, и составить свой портфель исключительно из них. По мнению Г. Марковица, подходить к этому вопросу интуитивно неправильно. При помощи показателя диверсификации он предложил инвесторам при выборе портфеля ориентироваться на соотношение риск-прибыль в целом по портфелю, а не составлять их только из таких ценных бумаг, каждая из которых по отдельности имеет наиболее привлекательное соотношение риска и доходности. Основные определения: 1. Инвестиционный портфель - набор финансовых инвестиций. 2. Инвестиции —размещение капитала с целью получения прибыли. Термин инвестиционный портфель относится к любому набору финансовых активов, таких как акции, облигации, валюты. Инвестиционные портфели могут принадлежать индивидуальным инвесторам, хедж-фондам, банкам и другим финансовым институтам. Общепринятым принципом к составлению портфеля является сопоставление показателей риска портфеля, временных рамок и инвестиционных целей. Денежная стоимость каждого набора из одних и тех же активов может влиять на соотношение рискдоходность портфеля и представляет собой долю в инвестиционном портфеле. При составлении инвестиционного портфеля инвестор руководствуется желанием максимизировать свою доходность от вложений и минимизировать риск. Таким образом, формируется задача многоцелевой оптимизации. Портфель называется оптимальным, если его показатель соотношения рискдоходность наиболее предпочтителен для инвестора. Определить его можно точкой касания множества допустимых инвестиционных портфелей с кривой безразличия инвестора. Кривая безразличия отражает отношение инвестора к риску и доходности и изображается графически кривой в соответствующей системе координат, где по оси абсцисс откладывается величина риска, а по оси ординат – доходность. Каждая кривая представляет собой набор гипотетических инвестиционных портфелей, удовлетворяющих заданным желаниям инвестора. Множество допустимых инвестиционных портфелей так же изображается в системе координат риск и доходность (Рисунок 1). Такое множество графически иллюстрирует всевозможные портфели из заданных ценных бумаг. По форме график напоминает зонт (множество D). Ограничения множества слева и справа характеризуют показатели риска наименее рискованного возможного портфеля и наиболее рискованного соответственно (точки A и B). 2 Ограничения сверху и снизу – показатели наиболее доходного и наименее доходного портфелей соответственно (точки B и C). Таким образом, можно определить множество эффективных портфелей – это портфели, оптимальные по соотношению риск-доходность. Такие портфели расположены на левой верхней границе множества допустимых портфелей (дуга AB). Все остальные возможные портфели признаются неэффективными. Пересечение кривой безразличия именно с множеством эффективных портфелей даёт инвестору оптимальный для него инвестиционный портфель. Рис. 1 Множество допустимых инвестиционных портфелей Наибольшая доходность инвестиционного портфеля предполагает высокий риск, если придерживаться безрисковой позиции, то и доход будет минимальным. Риск можно разделить на два вида: рыночный (недиверсифицируемый) и специфический (диверсифицируемый). Рыночный риск глобальный, влияющий на всю систему в целом, как правило, определяется существенными экономическими факторами (смена власти, войны, экономический кризис). Такой риск нельзя исключать никогда. Специфический риск непосредственно связан с конкретным финансовым активом, реагирующим на благоприятность положения в компании-эмитенте. Такой тип риска можно избежать с помощью 3 диверсификации инвестиционного портфеля, распределив инвестиции в различные активы в рамках одного портфеля ценных бумаг. Предполагается, что только рыночный риск вознаграждается более высокой ожидаемой доходностью, поскольку его нельзя избежать никак. Характеристики финансовых активов Основные характеристики финансовых активов формируют три фактора: прибыль, время и риск. Доходность (r) - это мера прибыли получаемой за определенное время. Волатильность (𝜎𝜎) - это мера риска возникающего за определенное время. При оценке активов всегда следует использовать одинаковые временные интервалы. Общепринятый интервал мер доходности и волатильности - 1 год. Для справки. В торговом дне 24 часа он начинается и заканчивается в 00:00 UTC (Universal Coordinated Time - Всемирное координированное время). UTC+3 сответствует MSK (Московское время). Торговый день условно разделяется на четыре торговые сессии: Азиатская (Япония, Китай), Европейская (Лондон, Германия, Швейцария), Американская (США, Канада), Тихоокеанская (Австралия, Новая Зеландия). Условно, в календарной неделе 5 торговых дней, в календарном месяце 21 торговый день, в календарном году 252 торговых дня. В году 12 месяцев. Фактическое количество торговых дней в году на Московской бирже приведено в таблице 1. Таблица 1. Год Дней 2007 249 2008 250 2009 249 2010 249 2011 248 2012 248 2013 250 2014 251 2015 250 2016 252 2017 247 Расчёт относительной среднегодовой доходности. Относительная доходность измеряется в долях и соответствует отношению разницы приращения стоимости актива к первоначальной цене: 𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉1 1 𝑟𝑟 = × ; 4 𝑉𝑉1 𝑃𝑃 (1) 𝑟𝑟% = где 𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉1 1 × × 100, 𝑉𝑉1 𝑃𝑃 (2) - среднегодовая доходность; 𝑟𝑟 𝑉𝑉1 - первоначальная цена; 𝑉𝑉2 - текущая цена; 𝑟𝑟% - среднегодовая доходность в процентах; 𝑃𝑃 - продолжительность периода выраженная в годах. Пример 1: Исходные данные для 2017 года (247 дней): Цена вчера: 50 руб. Цена сегодня: 50,01 руб. Относительная среднегодовая доходность: 𝑟𝑟 = 50,01 − 50 1 × × 100 = 4,94% 50 1⁄247 Пример 2: Цена месяц назад: 50 руб. Цена сегодня: 50,2 руб. 𝑟𝑟 = 50,2 − 50 1 × × 100 = 4,8% 50 1⁄12 Пример 3: Цена год назад: 50 руб. Цена сегодня: 52,3 руб. 𝑟𝑟 = 52,3 − 50 × 100 = 4,6% 50 5 Расчёт годовой волатильности. Среднегодовая волатильность равна стандартному отклонению доходности за период, делённому на квадратный корень временного периода, выраженного в годах. 𝜎𝜎 = где 𝜎𝜎 (3) 𝜎𝜎𝑟𝑟 √𝑃𝑃 - среднегодовая волатильность; 𝜎𝜎𝑟𝑟 - стандартное отклонение доходности за период; 𝑃𝑃 - продолжительность периода выраженная в годах. Пример 1: Исходные данные для 2017 года (247 дней): Стандартное отклонение доходности за день: 0,007 Среднегодовая волатильность: 𝜎𝜎 = 0,007 �1⁄247 Пример 2: × 100 = 11% Стандартное отклонение доходности за месяц: 0,01733 𝜎𝜎 = 0,01733 �1⁄12 Пример 3: × 100 = 6% Стандартное отклонение доходности за три года: 0,0867 𝜎𝜎 = 0,867 √3 × 100 = 5% Вычисления в Excel Задание № 1 Необходимо рассчитать доходность и волатильность актива на основании годовых данных о ежедневных ценах (на примере актива RUSAL pls (RUAL). 6 Решение: 1. Экспортируем с сайта finam. ru временной ряд актива RUSAL pls (RUAL) (рис.1). Рис. 1 Экспорт временного ряда с сайта finam.ru 2. В ячейке С7 подсчитываем дневную доходность актива RUAL (рис. 2). Рис. 2. Расчет дневной доходности актива RUAL 3. В ячейке D7 вычисляем дневную доходность актива RUAL в процентах (рис.3). 7 Рис. 3. Расчет дневной доходности актива RUAL в процентах 4. Согласно формуле 1 рассчитываем суммарную доходность актива RUAL в натуральных и относительных величинах. В ячейке С2 вычисляем доходность актива RUAL в денежном эквиваленте за период 2016-2017 гг.(рис.4) Рис. 4. Расчет доходности актива RUAL за период 2016-2017гг. 5. В ячейке Д2 рассчитываем доходность актива RUAL в процентах за период 2016-2017 гг. (рис. 5). Д2: = СРЗНАЧ(D7:D257)*СЧЁТ(B6:B257) 8 Рис. 5. Расчет доходности актива RUAL в процентах за период 2016-2017гг. 6. Согласно формуле (3) в ячейке С3 вычисляем волатильность актива RUAL в рублях (рис. 6). С3: =СТАНДОТКЛОН.В(C7:C257)/КОРЕНЬ(1/СЧЁТ(B6:B257)) Затем подсчитываем волатильность актива в процентах. Д3: =СТАНДОТКЛОН.В(D7:D257)/КОРЕНЬ(1/СЧЁТ(B6:B257)). Рис. 6. Расчет волатильности актива RUAL в процентах за период 2016-2017гг. 9 Задание для самостоятельного решения Изучите формулы EXCEL для расчёта дневной и годовой доходности и волатильности. Рассчитайте самостоятельно доходность и волатильность произвольно выбранного актива с сайта finam.ru на основании годовых данных о ежедневных ценах. Сделайте тоже самое на временном ряде недельных цен. Основные положения портфельной теории Г. Марковица 1. Тенденции активов к росту или снижению в течение длительного времени не изменяются. 2. Ковариация доходности любых двух активов в течение длительного времени не изменяется. 3. В течение всего времени существования инвестиционного портфеля, его характеристики не изменяются. 4. Доходность портфеля ценных бумаг соответствует сумме произведений их доходностей на доли в портфеле. 5. Риск ценой бумаги соответствует вариативности её доходности за время существования инвестиционного портфеля. 6. Разнонаправленная доходность любых двух активов снижает общий риск пары пропорционально коэффициенту корреляции. 7. Из всей существующей совокупности возможных портфелей, всегда можно выбрать наиболее оптимальный, используя метод квадратичной оптимизации. Основные формулы портфельной модели Г. Марковица Доходность портфеля из n активов. 𝑛𝑛 𝑟𝑟𝑝𝑝 = � 𝜔𝜔𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑖𝑖 (4) 𝑖𝑖=1 Риск портфеля из n активов. 2 𝜎𝜎𝑝𝑝 = �∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑤𝑤𝑖𝑖2 𝜎𝜎𝑖𝑖 + ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 𝜔𝜔𝑖𝑖 𝜔𝜔𝑗𝑗 𝜎𝜎𝑖𝑖 𝜎𝜎𝑗𝑗 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐�𝑟𝑟𝑖𝑖 , 𝑟𝑟𝑗𝑗 � ; 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 10 (5) где 𝑟𝑟 - доходность; 𝜔𝜔 - доля в портфеле; 𝜎𝜎 - риск; cor - коэффициент корреляции. Любые два актива можно рассматривать как самостоятельный портфель. Портфель из любого количества активов можно рассматривать, как совокупность пар активов. Доходность портфеля из двух активов. (6 ) 𝑟𝑟𝑝𝑝2 = 𝜔𝜔1 𝑟𝑟1 + 𝜔𝜔2 𝑟𝑟2 Риск портфеля из двух активов. 𝜎𝜎𝑝𝑝2 = � 𝜔𝜔11 𝜎𝜎11 + 𝜔𝜔22 𝜎𝜎22 + 2𝜔𝜔1 𝜔𝜔2 𝜎𝜎1 𝜎𝜎2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑟𝑟1 , 𝑟𝑟2 ) (7) Алгоритм построения портфеля Г. Марковица в MS EXCEL из двух активов 1. Выбирается произвольное число активов. Производится отбор активов по доходности. Активы с отрицательной доходностью исключаются. 2. Рассчитываются коэффициенты корреляции (нормированной ковариации) для всех возможных пар оставшихся активов. 3. Для формирования портфеля отбирается пара с наименьшим коэффициентом корреляции. 4. Вводятся формулы расчёта риска и доходности портфеля. 5. В решателе задач задаются ограничения: доходность портфеля - не менее заданной, риск - минимальный. 6. Выполняется поиск решения по минимизации риска портфеля. 11 Вычисления в Excel Задание № 2 Необходимо построить портфель минимального риска для заданной доходности на основе модели Г. Марковица, состоящий из двух активов, выбранных из четырех произвольных с сайта finam.ru Решение: 1. Выбираем произвольное число активов. Делаем экспорт с сайта finam.ru четырех активов: RUAL, ALRS, QIWI, YNDX (рис. 7). Рис. 7. Выбор активов с сайта finam.ru 2. Производим отбор активов по доходности. Рассчитываем дневную доходность по каждому активу: F4: =(B4-B3)/B3; G4: =(C4-C3)/C3; H4: =(D4-D3)/D3; I4: =(E4-E3)/E3. 12 Рис.8. Расчет доходности активов: RUAL, ALRS, QIWI, YNDX. 3. Рассчитываем среднегодовую доходность по каждому активу. Активы с отрицательной доходностью исключаем (рис.9). K3: =СРЗНАЧ(F4:F254)*СЧЁТ($A:$A) (результат: 72,032%); L3: =СРЗНАЧ(G4:G254)*СЧЁТ($A:$A) (результат: -1,104%); M3: =СРЗНАЧ(H4:H254)*СЧЁТ($A:$A) (результат: 10,888%); N3 =СРЗНАЧ(I4:I254)*СЧЁТ($A:$A) (результат: 38,386%); Рис. 9. Расчет среднегодовой доходности активов: RUAL, ALRS, QIWI, YNDX. 4. Рассчитаем среднегодовой риск активов (рис.10): K9: =СТАНДОТКЛОН.В(F4:F254)/КОРЕНЬ(1/СЧЁТ($A:$A)) (результат: 37,190%); L9: =СТАНДОТКЛОН.В(H4:H254)/КОРЕНЬ(1/СЧЁТ($A:$A)) 36,848%); 13 (результат: M9: =СТАНДОТКЛОН.В(I4:I254)/КОРЕНЬ(1/СЧЁТ($A:$A)) (результат: 35,011%); Рис. 10. Расчет среднегодового риска активов. 5. Вычисляем коэффициенты корреляции (нормированной ковариации) для всех пар активов. QIWI+RUAL: L14: =КОРРЕЛ($H$4:$H$254;F4:F254) (результат: 0,15185162); YNDX+RUAL: L15: =КОРРЕЛ($I$4:$I$254;F4:F254) (результат: 0,21095004); YNDX+QIWI: M15: =КОРРЕЛ($I$4:$I$254;H4:H254) (результат: 0,157017751); Рис. 11. Таблица корреляции доходности активов. 6. Для формирования портфеля отбираем пару с наименьшим коэффициентом корреляции (QIWI+RUAL). Вводим формулы расчёта риска и доходности портфеля. Согласно формуле 6 вычисляем доходность портфеля в Excel. M26: =M23*L23+M24*L24 (результат: 38,0306%); Согласно формуле 7 вычисляем риск портфеля в Excel: 14 N26: =КОРЕНЬ(L23^2*N23^2+L24^2*N24^2+2*L23*L24*N23*N24*O23) (результат: 27,982%). 7. В параметрах поиска решения задаем ограничения: доходность портфеля - не менее заданной, риск - минимальный. Выполняем поиск решения по минимизации риска портфеля (рис.12). Рис. 12. Расчет долей активов в портфеле. Таким образом, доля актива RUAL = 0,494565461, доля актива QIWI = 0,505434539. 8. Построим график возможных портфелей для активов RUAL и QIWI (рис. 1314). Рис. 13. Расчет возможных портфелей для активов RUAL и QIWI. 15 Рис. 14. Граница минимального риска портфеля для активов RUAL и QIWI. Задание для самостоятельного решения Измените в параметрах поиска решения ограничение доходности на 50%, рассчитайте портфель минимального риска для нового ограничения. Рассчитайте собственный портфель Г. Марковица минимального риска для заданной доходности, состоящий из двух активов выбранных из пяти произвольных с сайта finam.ru. Постройте график доходность-риск для портфелей состоящих из двух ваших активов. Проанализируйте график, объясните, почему он имеет такую форму. Алгоритм построения наименее рискового портфеля Г. Марковица в MS EXCEL из N активов 1. Выбирается произвольное число активов. Производится отбор активов по доходности. Активы с отрицательной доходностью исключаются. 2. Рассчитываются коэффициенты корреляции (нормированной ковариации) для всех возможных пар оставшихся активов. 16 3. Для формирования портфеля отбирается пара с наименьшим коэффициентом корреляции. 4. Вводятся формулы расчёта риска и доходности портфеля. 5. В решателе задач задаются ограничения: риск портфеля - минимизировать, доходность - максимально возможная. 6. Выполняется поиск решения по минимизации риска портфеля. 7. В дальнейшем, получившийся портфель рассматривается, как единый актив. Рассчитывается ежедневная доходность портфеля. 8. Рассчитываются коэффициенты корреляции между получившимся портфелем и множеством оставшихся активов. 9. Для формирования нового портфеля отбирается пара с наименьшим коэффициентом корреляции. 10. Вводятся формулы расчёта риска и доходности портфеля. 11. В решателе задач задаются ограничения: риск портфеля - минимизировать, доходность - максимально возможная. 12. Выполняется поиск оптимального портфеля. Повторяем алгоритм с п. №7. После достижения необходимого уровня риска или при накоплении нужного числа активов, рассчитываются доли отдельных активов в общем портфеле. Вычисления в Excel Задание № 3 Необходимо рассчитать доли активов портфеля минимального риска, состоящего из пяти активов. Решение: 1. Выбираем произвольное число активов. Производим отбор активов по доходности. Активы с отрицательной доходностью исключаем (рис.15). 17 Рис. 15. Расчет среднегодовой доходности активов: KMAZ, MSNG, QIWI, SBER, SBERP, MSFT, NVDA, RUALR, MS, PYPL, VSMO, YNDX. 2. Рассчитываем коэффициенты корреляции для всех пар активов. Для формирования портфеля отбираем пару с наименьшим коэффициентом корреляции (рис.16). Рис. 16. Расчет корреляции доходности активов. 3. Вводим формулы расчёта риска и доходности портфеля. В поиске решения задаются ограничения: риск портфеля - минимизировать, доходность максимально возможная. Выполняем поиск решения по минимизации риска портфеля (рис.17). Расчёт доходности портфеля: AP18: =AP10*AP7+AP11*AP8 18 Расчёт риска портфеля: AP19: =КОРЕНЬ(AP7^2*AP13^2+AP8^2*AP14^2+2*AP7*AP8*AP13*AP14*AP16) Рис. 17. Расчет портфеля минимального риска пары RUALR и PYPL. 4. На следующем этапе получившийся портфель рассматриваем как единый актив (рис.18-21): a. Рассчитываем ежедневную доходность портфеля. b. Рассчитываем коэффициенты корреляции между получившимся портфелем и множеством оставшихся активов. c. Для формирования нового портфеля отбираем пару с наименьшим коэффициентом корреляции. d. Вводим формулы расчёта риска и доходности портфеля. e. В решателе задач задаем ограничения: риск портфеля - минимизировать, доходность - максимально возможная. f. Выполняем поиск оптимального портфеля. g. Повторяем алгоритм. 19 h. Рисуем график зависимости риска получившегося портфеля от количества активов (рис.22). Рис. 18. Расчет портфеля минимального риска пары MSNG и P1. 20 Рис. 19. Расчет портфеля минимального риска пары MS и P2 Рис. 20. Расчет портфеля минимального риска пары QIWI и P3 21 Рис. 21. Расчет долей активов в портфеле. Рис. 22. График зависимости риска портфеля от количества активов. 22 Задание для самостоятельного решения Сформируйте и рассчитайте доли собственного портфеля минимального риска, состоящего из шести или более активов. Постройте график зависимости риска получившегося портфеля от количества активов. 1.2 Модель и алгоритм построения VAR портфеля VaR (Value at Risk) - натуральная статистическая мера риска выражающая возможную сумму убытка за определённый срок с определенной вероятностью. VaR - регламентированный показатель. Всего существует три стандарта и три методики для его расчёта. Изменения стоимости активов могут происходить очень быстро, в течение единиц, часов или дней. При оценке биржевых и финансовых рисков используются очень короткие временные интервалы. Стандарты: 1. Risk Metrics был введен J.P. Morgan & Co. в 1992 г. для измерения рисков портфельных активов. Временной горизонт t дней=1. Уровень значимости α=0,05. Минимально необходимый период наблюдений N для исторического VaR (98 периодов), для гипотетического VaR (1 год). 2. Basel II – 193 был введен Базельским комитетом по банковскому надзору 2010 г. (вступил в силу с 2015 г.) для измерения стрессовых рисков. Временной горизонт t дней = 10. Уровень значимости α = 0,01. Минимально необходимый период наблюдений N для исторического VaR (384 периода), для гипотетического VaR (1-5 лет). 3. Basel III - 189 был введен Базельским комитетом по банковскому надзору 2010 г. (вступил в силу с 2015 г.) для измерения рисков сделок РЕПО и займов. Временной горизонт t дней = 5 (20 для залоговых займов). Залоговый или безопасный займ - это займ, гарантия возврата которого обеспечивается 23 залогом ликвидного актива (например, имущества). К ним относятся автокредиты, ипотека. Уровень значимости α = 0,01. Минимально необходимый период наблюдений N для исторического VaR (384 периода), для гипотетического VaR (1-5 лет). Методики: 1. Исторический VaR. Достоинства - простота алгоритма, высокая точность. Недостатки - большое количество наблюдений. Статистическая гипотезараспределение доходности стационарно. 2. Гипотетический VaR. Достоинства – простота, малое количество наблюдений. Недостатки - низкая точность. Статистическая гипотеза распределение доходности стационарно и нормально. 3. Гипотетический модельный VaR. Достоинства - малое количество наблюдений. Недостатки - необходимость построения внутренней математической модели. Статистическая гипотеза - распределение доходности стационарно и соответствует математической модели. Алгоритм исторического VaR: 1. Вычисляем последние N значений доходности актива за периоды t дней. 2. Ранжируем значения по убыванию. 3. Модуль значения с порядковым номером равным n соответствует историческому VaR. (8) 1⌋ Вычисления в Excel Задание № 1 Необходимо рассчитать исторический VaR по регламенту Risk Metrics для актива RUAL. Решение: 24 1. Экспортируем дневные данные актива RUAL с сайта finam.ru за период 20162017гг. Рассчитываем дневную доходность актива за период 2016-2017гг. (рис.23). Рис. 23. Расчет дневной доходности актива 2. Вычисляем последние N значений доходности актива за периоды t дней (рис.24). Рис. 24. Подсчет количества наблюдений N 25 3. Согласно формуле 8 подсчитываем модуль значения с порядковым номером равным n, который соответствует историческому VaR (рис.25). G4: =ОКРВНИЗ(E4*(1-0,05)+1;1) Рис. 25. Расчет параметра n, который соответствует историческому VaR 4. Ранжируем значения по убыванию. Получаем модуль значения ячейки с номером n (рис.26). N4: =ABS(ДВССЫЛ(СЦЕПИТЬ("K";ТЕКСТ(G4;0)))) Рис. 26. Значение ячейки с номером n Таким образом, с вероятностью 95% в течение следующего одного дня, максимальный убыток данного актива не превысит 97 копеек. Задание для самостоятельного решения Рассчитайте самостоятельно исторический VaR по регламенту Risk Metrics для произвольно выбранного актива. 26 Алгоритмы Гипотетический VaR: 1. Вычисляем последние N значений доходности актива за периоды t дней. Считаем распределение стандартным. 2. Вычисляем математическое ожидание доходности, её стандартное отклонение и Z-оценку доверительного интервала. Z-оценка показывает сколько сигм содержится в одностороннем интервале заданной вероятности нормального распределения. В EXCEL вычисляется функцией НОРМ.СТ.ОБР(). 3. Модуль разницы математического ожидания и произведения z-оценки на стандартное отклонение соответствует гипотетическому VaR. (9) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = |𝑀𝑀 − 𝑧𝑧 × 𝜎𝜎| Гипотетический модельный VaR: 1. Вычисляем последние N значений доходности актива за периоды t дней. Строим математическую модель распределения доходности. 2. Вычисляем центральную тенденцию модели, её отклонение и оценку доверительного интервала. 3. Модуль разницы центральной тенденции и произведения оценки на отклонение соответствует гипотетическому модельному VaR. 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = |𝐶𝐶 − 𝑧𝑧 × 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑| (10) Вычисления в Excel Задание № 2 Необходимо рассчитать гипотетические значения VaR по регламентам Risk Metrics и Basel III для актива RUAL. Решение: 27 1. Вычисляем отклонение математическое и Z-оценку ожидание доходности, доверительного её интервала. стандартное Вычисляем гипотетическое значение VAR (рис.27). Математическое ожидание: E4: =СРЗНАЧ (C5:C255) Стандартное отклонение: G4: =СТАНДОТКЛОН.В (C5:C255) Z-оценка доверительного интервала: I4: =НОРМ.СТ.ОБР (95%) Расчет гипотетического значения VaR: K4: =ABS (E4-G4*I4) Рис. 27. Расчет гипотетического значения VaR Таким образом, с вероятностью 95%, в течение следующего одного дня, максимальный убыток данного актива не превысит 1 руб. 12 копеек. Задание для самостоятельного решения Рассчитайте самостоятельно гипотетические значения VaR по регламентам Risk Metrics и Basel III для трех произвольно выбранных активов. Существует два подхода к оценке рисков выраженных VaR: 1. VaR - это мера доли нормального отклонения, в портфеле должны учитываться ковариации доходностей активов, по аналогии с портфелем Г. Марковица. 28 2. VaR - это мера инвестиционного резерва, необходимого для покрытия максимально возможных убытков портфеля. Ковариации доходностей не должны учитываться. Инвесторы на практике чаще используют второй подход, его в дальнейшем и будем рассматривать. Вычисления в Excel Задание № 3 Рассмотрим гипотетический инвестиционный процесс. Инвестор желает инвестировать в активы ММВБ 10000 рублей. При этом, в качестве резерва для погашения возможных дневных убытков планирует дополнительно держать 300 рублей. Соответственно VaR начального портфеля не должен превышать суммы дневного резерва (300 рублей) и доходность должна быть максимальной. Примем условие, что все активы должны быть представлены и что монополизация портфеля одним активом не должна превышать 30%. Необходимо построить портфель. Решение: 1. Выбираем активы для портфеля: KMAZ, MSNG, QIWI, SBER, SBERP. Рассчитываем доходность по каждому активу. G4: =B4-B3 (результат: 0,5); H4: =C4-C3 (результат:0,02 ); и т.д. Рассчитываем среднюю дневную доходность за 2017г. по каждому активу. L4: =СРЗНАЧ(G4:G192) (результат: 0,02); M4: =СРЗНАЧ(H4:H192) (результат: 0); и т.д. Рассчитываем VaR в день в рублях по каждому активу . L6: =ABS(СРЗНАЧ(G4:G192)-СТАНДОТКЛОН.В(G4:G192)*НОРМ.СТ.ОБР(95%)) (результат: 1,2); 29 M6: =ABS(СРЗНАЧ(H4:H192)-СТАНДОТКЛОН.В(H4:H192)*НОРМ.СТ.ОБР(95%)) (результат: 0,09); и т.д. На рисунке 28 представлены расчеты, изложенные выше. Рис. 28. Предварительные расчеты для портфеля 2. Рассчитаем следующие значения для портфеля (рис. 29-30): Доходность портфеля в день для каждого актива Q6: =Q4*L4 (результат: 0,11); R6: =R4*M4 (результат: 0,01); и т.д. Возможный убыток в день для каждого актива Q8: =L6*Q4 (результат: 6,02); R8: =M6*R4 (результат: 0,45); и т.д. Цена долей и портфеля Q10: =Q4*B192 (результат: 265); R10: =R4*C192 (результат: 14,95); и т.д. Доли активов в портфеле и монополизация Q12: =Q10/$V$10 (результат: 4%); R12: =R10/$V$10 (результат: 0%) ; и т.д. 30 Рис. 29. Расчетные данные для портфеля Рис. 30. Расчетные данные в виде формул для портфеля 3. Создадим оптимизационную задачу (рис. 31): • Доходность – максимизировать. • Число бумаг - целое, не менее 1; • Возможный убыток - не более 300 руб.; • Цена портфеля - не более 10000 руб.; • Монополизация - не более 30%. 31 Рис. 31. Параметры поиска решения долей портфеля. 4. Получаем портфель со следующими результатами (рис. 32) Рис. 32. Результаты расчета портфеля. Задание для самостоятельного решения Самостоятельно создайте и рассчитайте VaR-портфель для трёх произвольных активов ММВБ. 32 1.3 Модель построения динамического инвестиционного портфеля Динамическим называют инвестиционный портфель в котором инвестор периодически изменяет соотношение долей активов. Процесс изменения долей активов называется ребалансировкой. Поскольку характеристики активов портфеля могут изменяться очень быстро, для расчёта ребалансировки используют короткие временные интервалы. Всего существует два типа ребалансировки. 1. Периодическая - производится через заданные временные промежутки. Например, портфель Г. Марковица ребалансирут раз в год, а VaR-оптимальный портфель ребалансируют каждые две недели. 2. По сигналу - производится по какому-либо признаку изменения рыночных факторов. Например, при превышении VaR портфеля определённой границы или при изменении биржевых индексов больше чем на 1%. При ребалансировке по сигналу существует два типа сигналов. 1. Внутренние сигналы - зависят только от активов портфеля. Например, при превышении VaR портфеля определённой границы или при изменении риска портфеля больше чем на 1%. 2. Внешние сигналы - зависят от внешних факторов. Например, при объявлении страной G20 экономических санкций волатильности VIX больше, чем на 1%. 33 или при изменении индекса Вычисления в Excel Задание № 1 Необходимо построить динамический бивалютный портфель минимального риска по модели Г. Марковица для трёх активов. Решение: 1. Построим динамический портфель Г. Марковица с 2001 по 2017гг., состоящего из трех активов валютных пар: EUR/RUB, USD/RUB, JPY/RUB. Рассчитаем доходности активов (рис. 33). Рис. 33. Расчет доходности активов в портфеле 2. На основе алгоритма формирования динамического портфеля с минимальным риском рассчитываем доли активов в портфеле каждый год. Вычисляем доли активов в портфеле на конец 2000г. Рассчитаем среднегодовые значения на конец 2000 года. Среднегодовая доходность % для каждого актива: H264: =(СРЗНАЧ(E8:E264)*СЧЁТ(B7:B264)) (результат: -2.69%); I264: =(СРЗНАЧ(F8:F264)*СЧЁТ(C7:C264)) (результат: 11,59%); J264: =(СРЗНАЧ(G8:G264)*СЧЁТ(D7:D264)) (результат: 1,26%). Среднегодовой риск % для каждого актива: H266: =СТАНДОТКЛОН.В(E8:E264)/КОРЕНЬ(1/СЧЁТ(B7:B264)); 34 I266: =СТАНДОТКЛОН.В(F8:F264)/КОРЕНЬ(1/СЧЁТ(C7:C264)); J266: =СТАНДОТКЛОН.В(G8:G264)/КОРЕНЬ(1/СЧЁТ(D7:D264)). Корреляция: EUR/USD J268: =КОРРЕЛ(E8:E264;F8:F264) (результат: -0,013452%); EUR/JPY J269: =КОРРЕЛ(E8:E264;G8:G264) (результат: -0,06785%); USD/JPY J270: =КОРРЕЛ(F8:F264;G8:G264) (результат: 0,897004%). Исключаем EUR как убыточный. Рассчитываем портфель минимального риска для USD и JPY (рис. 34). Рис. 34. Расчет среднегодовых значений активов 3. Находим портфель минимального риска на конец 2000г. (рис. 35). Вычисляем риск портфеля: K282: =КОРЕНЬ(I279^2*K279^2+I280^2*K280^2+2*I279*I280*K279*K280*L279) Вычисляем доходность портфеля: J282: =J279*I279+J280*I280 Рис. 35. Расчет портфеля минимального риска для трех активов 35 4. Вычисляем доли активов в портфеле на конец 2001г. Рис. 36. Доли активов портфеля на конец 2001 г. На следующих этапах продолжаем расчёты портфеля для следующих десяти лет. Задание для самостоятельного решения 1. Рассчитайте для произвольного актива гипотетический VaR с исторической глубиной в 20-дней. И гипотетический VaR этого же актива с исторической глубиной в 1 год. Постройте их графики. 2. Рассчитайте доли в динамическом портфеле Г. Марковица из трёх активов, существующем пять лет с ежегодной ребалансировкой. Постройте указанные графики для 12-летнего интервала. 4. Рассчитайте доли в динамическом VaR-портфеле из двух активов, существующем год с ребалансировкой каждые 20 дней. 36 Лекция 4 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ В EXCEL 1.1. Методы оценки эффективности инвестиционных проектов Потоком платежей(cash flow), или финансовым потоком называется последовательность 𝐶𝐶𝐶𝐶 = {𝑡𝑡𝑘𝑘 , 𝐶𝐶𝑘𝑘 }, платежей 𝐶𝐶𝑘𝑘 , осуществляемых в моменты времени 𝑡𝑡𝑘𝑘 . Положительные платежи (𝐶𝐶𝑘𝑘 > 0) представляют собой поступления, а отрицательные платежи (𝐶𝐶𝑘𝑘 < 0) – выплаты. Существует два метода оценки инвестиционного проекта: Статические и динамические. Срок окупаемости инвестиций (Payback Period, PP) Наиболее распространенным статическим показателем оценки инвестиционных проектов является срок окупаемости. Под сроком окупаемости понимается период времени с момента начала реализации проекта до момента эксплуатации объекта, когда доходы от эксплуатации становятся равными первоначальным инвестициям (капитальные затраты и эксплуатационные расходы). 𝑛𝑛 𝑃𝑃𝑃𝑃 = min 𝑛𝑛 , при котором � 𝐶𝐶𝐹𝐹𝑘𝑘 ≥ 𝐼𝐼𝐼𝐼, где IC -первоначальные инвестиции. 𝑘𝑘=1 Показатель периода окупаемости инвестиций использует как сравнительный показатель для оценки эффективности альтернативных инвестиционных проектов. Тот проект, у которого быстрее период окупаемости тот эффективнее. Коэффициент эффективности инвестиции (Accounting Rate of Return, ARR) Данный коэффициент называют также учетной нормой прибыли или коэффициентом рентабельности проекта. Вычисляют 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 по формуле: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐹𝐹ср , 𝐼𝐼𝐼𝐼 где 𝐶𝐶𝐹𝐹ср – средний денежный поток (чистая прибыль) объекта инвестиций за рассматриваемый период (месяц, год). Данный показатель используется для сравнения различных альтернативных инвестиционных проектов. Чем выше ARR, тем выше привлекательность данного проекта для инвестора. Как правило, данный показатель используется для оценки уже существующих проектов, где можно проследить и статистически оценить эффективность создания денежного потока данной инвестиций. Чистая приведенная стоимость (Net Present Value, NPV) Современной величиной потока (present value) называют величину 𝑃𝑃𝑃𝑃, которая представляет собой сумму всех платежей потока, приведенных (дисконтированных) к начальному моменту времени. 𝑃𝑃𝑃𝑃 = � 𝑘𝑘 𝐶𝐶𝑘𝑘 (1 + 𝑟𝑟𝑘𝑘 )𝑘𝑘 Здесь 𝐶𝐶𝑘𝑘 – поток платежей в i -й год; 𝑟𝑟𝑘𝑘 - годовая процентная ставка при платеже через 𝑘𝑘 лет. Считается, что финансовый поток 𝐶𝐶𝐹𝐹1 предпочтительнее потока 𝐶𝐶𝐹𝐹2 , если 𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐶𝐶𝐹𝐹1 ) > 𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐶𝐶𝐹𝐹2 ). При оценке проектов денежный поток будет выглядеть следующим образом: 𝐶𝐶𝐶𝐶 = (0, −𝐶𝐶0 ), (1, 𝐶𝐶1 ), … , (𝑛𝑛, 𝐶𝐶𝑛𝑛 ), где 𝐶𝐶0 = 𝐼𝐼𝐼𝐼 > 0 2 В этом случае приведенную стоимость 𝑃𝑃𝑃𝑃 часто называют чистой приведенной стоимостью(net present value, NPV) 𝑛𝑛 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 = −𝐶𝐶0 + � 𝑘𝑘=1 𝐶𝐶𝑘𝑘 (1 + 𝑟𝑟)𝑘𝑘 Считается, что вкладывать деньги в проект порождающий данный финансовый поток выгодно, если 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 > 0. В данном случае процентная ставка 𝑟𝑟 имеет смысл альтернативной стоимости, которую получает инвестор, вкладывая в проект вместо того, чтобы инвестировать их в активы финансового рынка. Таблица 1 Значения NPV 𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵 < 𝟎𝟎 Инвестиционный проект является убыточным 𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵 = 𝟎𝟎 Инвестиционный проект обеспечит уровень безубыточности, когда все доходы равны расходам 𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵 > 𝟎𝟎 Инвестиционный проект прибыльный 𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝟏𝟏 > 𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝟐𝟐 Инвестиционная привлекательность первого проекта больше второго Внутренняя норма доходности (Internal Rate of Return, IRR) Один из способов оценки истинной нормы доходности состоит в нахождении нормы доходности дисконтированного потока платежей (discounted cash flow rate of return, DCF), или внутренней нормы доходности (internal rate of return, IRR). Внутренняя норма доходности определяется как ставка дисконтирования 𝑟𝑟, при которой 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 = 0. Это приводит к необходимости решать уравнение: 3 𝑛𝑛 −𝐶𝐶0 + � 𝑘𝑘=1 𝐶𝐶𝑘𝑘 =0 (1 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼)𝑘𝑘 Если 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 > 𝑟𝑟, то инвестирование в этот проект является прибыльным, если 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = 0, то проект ни прибыльный, ни убыточный, в остальных случаях проект будет убыточным. Таблица 2 Значения IRR 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 > 𝒓𝒓 Вложенный в инвестиционный проект капитал будет создавать доходность выше, чем стоимость вложенного капитала. Выбранный проект более прибыльный 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝒓𝒓 Проект не принесет ни убытка, ни дохода в будущем периоде и такой проект не является привлекательным 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝟏𝟏 > 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 Первый проект более привлекателен, чем второй, так как дает большую доходность 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 < 𝒓𝒓 Такой проект будет создавать отрицательный дисконтированный денежный поток в будущем Индекс рентабельности инвестиции (Profitability Index, PI) Индекс рентабельности (прибыльности, доходности) рассчитывается по формуле: 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐼𝐼𝐼𝐼 Индекс рентабельности — относительный показатель эффективности 𝑃𝑃𝑃𝑃 = инвестиционного проекта и характеризует уровень доходов на единицу затрат, то есть эффективность вложений — чем больше значение этого показателя, тем выше отдача денежной единицы, инвестированной в данный проект. При 𝑃𝑃𝑃𝑃 > 1 проект является прибыльным, при 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 1 – ни прибыльным, ни убыточным, в остальных случаях – убыточный. 4 Таблица 3 Значения PI 𝑷𝑷𝑷𝑷 < 𝟏𝟏 Инвестиционный проект не сможет возместить в полном размере вложенные в него капитальные затраты 𝑷𝑷𝑷𝑷 > 𝟏𝟏 Проект более привлекателен для вложения, так как сможет обеспечить дополнительную отдачу капитала. 𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟏𝟏 Инвестиционный проект имеет доходность равную выбранной ставки дисконтирования 𝑷𝑷𝑷𝑷𝟏𝟏 > 𝑷𝑷𝑷𝑷𝟐𝟐 Первый проект имеет большую рентабельность, то есть большую отдачу, значит, более выгоден Дисконтированный срок окупаемости инвестиции (Discounted Payback Period, DPP) Дисконтированный срок окупаемости инвестиции (Discounted Payback Period, DPP) устраняет недостаток статического метода срока окупаемости инвестиций и учитывает стоимость денег во времени, а соответствующая формула для расчета дисконтированного срока окупаемости, DPP, имеет вид: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = min 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 при котором � 𝑘𝑘=1 𝐶𝐶𝐹𝐹𝑘𝑘 ≥ 𝐼𝐼𝐼𝐼 (1 + 𝑟𝑟)𝑘𝑘 Очевидно, что всегда выполняется неравенство 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 > 𝑃𝑃𝑃𝑃. Достоинством коэффициента является возможность использовать в формуле свойство денег изменять свою стоимость со временем за счет инфляционных процессов. Это повышает точность оценки периода возврата вложенного капитала. Сложность использования данного коэффициента заключаются в точном определении будущих денежных поступлений от инвестиции и оценке ставки дисконтирования. 5 Вычисления в Excel Задание № 1 Известны следующие данные по инвестиционному проекту: Таблица 4 Исходные данные по проекту Годы Доходы Расходы 2011 2012 2013 2014 16730000 488600000 2015 25717000 216705050 2016 56616000 208896000 Процентная ставка = 7%. Необходимо рассчитать срок окупаемости проекта. Решение: 1. На первом этапе рассчитаем будущие поступления на последующие годы двумя методами: - по среднему значению; - по линейному прогнозу. Ожидаемые поступления по методу среднего дохода найдем по формуле среднего арифметического: I29: =(G9+F9+E9)/3 (результат: 30 623 333); Ожидаемые поступления по методу линейного прогноза найдем по формуле: H36: =ПРЕДСКАЗ (H32;$E$34:$G$34;$E$32:$G$32) (результат: 68 216 333); 6 Рис. 87. Расчет ожидаемых поступлений 2. На втором этапе найдем дисконтированный денежный поток по формуле 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑡𝑡 (1+𝑟𝑟)𝑡𝑡 . Формула в MS Excel имеет вид: E42: =E37/(1+0,07)^E40 (результат: 11 656 733, 68); Рис. 88. Расчет дисконтированного денежного потока 3. На третьем этапе найдем разницу между дисконтированными доходами и расходами по двум методам. По методу среднего значения срок окупаемости равен более 50 лет (рис.89). Рис. 89. Дисконтированная окупаемость по методу среднего значения. По методу линейного прогноза срок окупаемости будет достигнут в 2026г. Через 10 лет суммарно доходы начнут превышать расходы. Задачи для самостоятельного решения 7 Рассчитайте срок окупаемости двух инвестиционных проектов. Ожидаемые доходы по проектам вычислите на основе двух методов: по среднему значению и по линейному прогнозу. 1.2 Методы оптимальных решений Задание № 1 Даны значения курса нефти за период январь – сентябрь 2017г. Известен прогноз на конец 2017 год- 49,9 руб. Необходимо найти значения цены нефти за октябрь - декабрь 2017 года. Рис. 90. Исходные данные задачи Решение: 8 1. Для решения оптимизационной задачи определим функцию оптимизации равную разнице между прогнозным и расчетным значением (рис.91). Расчетное значение среднегодовой цены нефти определим по формуле: B15: =СРЗНАЧ(B1:B12) Рис. 91. Параметры поиска решения 9 Рис. 92. Нахождение верного решения. Задание № 2 Даны значения цены валютной пары USD/RUB за период январь – сентябрь 2017г. Известен прогноз на конец 2017 год - 59,4 руб. Необходимо найти значения цены актива за октябрь - декабрь 2017 года. Рис. 93. Исходные данные Решение: Задача оптимизации приведена на рисунке 94. 10 Рис. 94. Параметры поиска решения Результат решения задачи представлен на рисунке 95. Рис. 95. Результат поиска решения Задание № 3 Даны значения инфляции за период январь – август 2017г. Известно прогнозное значение на конец 2017 г. – 103,9 %. Необходимо найти значения ежемесячной инфляции за период сентябрь-декабрь 2017г. 11 Рис. 96. Данные по инфляции Решение: Найдем решение с помощью параметров поиска решения. За целевую функцию примем значение квадрата разницы между прогнозным и расчетным значением инфляции. Рис. 97. Параметры поиска решения На рисунке 98 представлено решение задачи. 12 Рис. 98. Решение задачи 13