Представление аналитических функций рядами. Понятие вычета.

Представление аналитических функций рядами. Понятие вычета Лекция 13 . Ряд Тейлора (разложение в ряд в окрестности точки аналитичности) ( - точка аналитичности функции ближайшая к особая точка ; z Контур положительно ориентирован и охватывает точку 𝑧 𝑧0 С и точку Функция аналитична на контуре внутри контура по интегральной формуле Коши: d= = = Разложения в ряд для основных элементарных функций совпадают с их разложениями для функций действительного переменного. Пример: 𝑧1 Ряд Лорана (разложение в ряд в окрестности особой точки особая точка функции ближайшая к другая особая точка 𝑧0 𝑧1 Область аналитичности – кольцо Для применения интегральной формулы Коши область аналитичности превращаем в односвязную, сделав разрез: = ; = + Главная часть Правильная часть Пример. Разложение в в окрестности особой точки имеет вид = . Область сходимости: = Изолированные особы е точки аналитической функции Точка называется изолированной особой точкой функции, если однозначная функция аналитична в открытом круге за исключением самой точки В такой области функция однозначно представляется рядом Лорана, что и является основой классификации точек: 1. Устранимая особая точка - ряд Лорана содержит только правильную часть Пример: для = точка устранимая 2. Существенно особая точка – ряд Лорана содержит бесконечное число членов в главной части ( отрицательных степеней): + не существует Пример: для существенно особая 3. Полюс порядка – главная часть ряда Лорана содержит членов: + Пример: для точка – полюс = 2, а – полюс = 1 Вычет аналитической функции в изолированной особой точке Рассматриваем однозначную функцию , аналитичную в открытом круге за исключением самой точки Находим интеграл по контуру , который охватывает точку и не проходит через другие особые точки: Вычетом функции в точке называют коэффициент при разложения в ряд Лорана: ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫЧЕТА. 1) В устранимой особой точке = 0 ; 2) В существенно особой точке вычет находят как коэффициент разложения в ряд: = 3. В особой точке полюс порядка вычет можно найти как или по формулам: . или Вычет аналитической функции в изолированной особой точке Пусть функция аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки • + правильная часть главная часть Классификация точки по числу членов в главной части ряда Лорана: - устранимая особая точка 2. + - полюс порядка 3. +- существенно особая ВЫЧЕТОМ функции азывают число при : . Пример: = =… Основные теоремы о вычетах Пусть функция аналитична на всей комплексной плоскости за исключением конечного числа особых точек Тогда справедливо: 1. или 2. - – число особых точек, охваченных контуром . Обе теоремы являются записью теоремы Коши для многосвязных областей через понятие вычета: 1) 2) Вычисление контурных интегралов. Пример. Пример. Вычислим интеграл по различным контурам 1) Ни одна из особых точек не попадает в область, охваченную контуром, и по теореме Коши ; 2) . Все особые точки– простые полюсы попадают в область, охваченную контуром. Сумму вычетов во всех точках сразу в данном случае можно вычислить, используя вычет на бесконечности: = ; 3) Контур охватывает точки (простые полюсы). Сумму вычетов в комплексно сопряженных точках удобно вычислить по формуле = = =. Вычисление несобственных интегралов. Примеры 1) ; 2) 3) ; 4) ) ; Пример. = =