Особенности сверхзвукового течения.

ЛЕКЦИЯ ПО ГИДРОГАЗОДИНАМИКЕ Особенности сверхзвукового течения. Движение жидкости или газа, обтекающего неподвижное тело, и, наоборот, движение тела в неподвижном на бесконечности газе – это эквивалентные подходы. Фактически они связаны с выбором инерциальной системы отсчёта. Мы встречались с таким выбором при определении силы трения, действующей на падающий шар в вязкой жидкости (формула Стокса), и при изучении ударных волн (невозмущенный газ втекает в ударную волну). Рассмотрим несколько ситуаций, в которых происходит движение со скоростями, превышающими скорость звука с. В лекции Волны в жидкости при изучении распространения малого возмущения, мы видели (рис. на стр.1), что область повышенного давления распространяется по трубе со скоростью звука, опережая толкающий газ поршень. При обтекании тела, которое перемещается с дозвуковой скоростью, газ заранее приходит в движение под действием повышенного давления. Линии тока могут оставаться плавными, без вихрей, если тело имеет обтекаемую форму. 1. Самолёт, летящий со сверхзвуковой скоростью, толкает невозмущённый газ. Одна из линий тока газа относительно самолёта закончится в носовой части, в этой точке скорость газа обратится в 0. Кинетическая энергия при этом перейдёт в тепло. При нагревании воздуха и обшивки местная скорость звука увеличится, новая волна плотности будет догонять предыдущую , – это механизм возникновения ударной волны. Эта ударная волна имеет фронт в форме конуса, с вершиной в носовой части самолёта. Угол при вершине конуса, называемый углом Маха, определяется по формуле sin α =c/v = 1/M, M – число Маха. Ударная волна возникает при преодолении звукового барьера и сопровождает самолёт при его дальнейшем движении. При пересечении конуса земной поверхностью возникает область, в которой мы слышим звук от самолёта. Граница этой области – гипербола (вспомните математику и начертательную геометрию, конические сечения). Энергия, которая расходуется на нагрев воздуха в ударной волне, приводит к потерям, которые можно учесть путём введения дополнительной силы волнового сопротивления. Волновое сопротивление также существенно при движении на воде с большими скоростями, когда возникают поверхностные волны. Снижение волнового сопротивления особенно актуально при гиперзвуковых скоростях, когда число Маха M > 5. На эту тему сейчас много информации, доступной в сети. Пример (самостоятельно). Самолёт летел со скоростью M = 3 и звук от него пришёл к наблюдателю через t = 4 c после того, как самолёт пролетел над его головой. На какой высоте летел самолёт? Сделать рисунок. Из какой точки траектории приходит звук? Скорость звука c = 330 м/с. ( H= c t /(1-c2 /v2)1/2 ) 2. Сопло Лаваля. Пусть упругая жидкость( газ) вытекает из камеры сгорания или парового котла под большим давлением. Как должна быть устроена труба, по которой жидкость течёт, чтобы достичь максимальной скорости? Очевидно, что при сужении трубы скорость жидкости возрастает. Всегда ли это справедливо? Жидкость протекает по трубе переменного сечения. Закон сохранения массы (уравнение неразрывности) Q = ρ v S = const (1) Здесь Q кг/с – массовый расход. Дифференциал от ln(ρ v S) будет равен нулю, и поскольку плотность, скорость и сечение независимые переменные, то d lnρ + d lnv +d lnS = 0, или Воспользуемся обобщённым уравнением Бернулли для адиабатического потока (мы его применяли при выводе потока энергии через ударный разрыв): Здесь H0 – удельная энтальпия в камере, где направленная скорость равна 0, далее на линии тока энтальпия H. Дифференциал от обеих частей также равен нулю, v dv + dH = 0. (4). Исходя из определения энтальпии H =ε+ pV= ε +p/ρ ( ε- удельная внутренняя энергия, V – удельный объём) , имеем dH = (dε +p dV) + dpV = dQ + dpV =dp/ρ В адиабатическом течении теплообмен отсутствует, и dQ=0. Тогда из (4) получаем: v dv + dp/ρ =0 (5) Преобразуем первое слагаемое из (2) с учётом (5): Квадрат скорости звука равен с2 =dp/dρ. Тогда из (2) получаем Из уравнения (7) следует, как изменяется скорость течения при изменении площади сечения трубы. А). Дозвуковое течение, v0, когда dS<0. Иными словами, скорость растёт, если труба становится уже. Б). Сверхзвуковое течение, v>c. Выражение в скобках меньше нуля, и приращения скорости и площади имеют одинаковые знаки. Скорость течения при скорости, большей скорости звука, растёт в расширяющейся трубе. Сопло Лаваля сначала сужается, в этой части скорость растёт и достигает скорости звука в горловине. Затер сопло расширяется, так что скорость продолжает расти. Если на выходе в окружающую среду давление равно внешнему давлению, рвых = р0, то сопло называется идеальным. При этом в потоке не возникают ударные волны, которые бы приводили к нагреву газа и потерям энергии. Давление в идеальном сопле Лаваля монотонно падает от камеры сгорания до выхода из сопла, а скорость течения растёт. Как следует из (1), плотность в расширяющейся части сопла уменьшается, но падение давления происходит в основном из-за падения температуры Т. Процесс превращения энергии при истечения газа через сопло: внутренняя энергия раскалённого газа из котла превращается в кинетическую энергию вытекающей струи. Шведский изобретатель и учёный Густав Лаваль работал над созданием паровой турбины, лопатки её должен был вращать пар, выходящий из котла через сопло, разработанное в 1889 г., которое впоследствии и получило своё имя. Подобные сопла применяются в ракетных двигателях. Реактивная сила, возникающая при выбросе струи, по закону Ньютона, равна изменению импульса Δр в единицу времени, С ростом скорости сила тяги растёт. В (8) скорость выброшенного газа измеряется относительно летящей ракеты.