Основы теории вероятностей

Основы теории вероятностей. Введение. Понятия событий. Теорию вероятностей можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым случайным - явлениям. Методы теории вероятностей широко применяются при математической обработке результатов измерений, а также во многих задачах экономики, статистики, страхового дела, массового обслуживания. Опыт, эксперимент, наблюдение явления называются испытанием. Испытаниями, например, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенным на каждую грань числом очков — от одного до шести). Результат (исход) испытания называется событием, например, выпадение герба или выпадение цифры, попадание в цель или промах и т.д. Исходными понятиями теории вероятностей являются понятия стохастического эксперимента, случайного события и вероятности случайного события. Стохастическим назовём эксперимент, результат которого заранее (до его проведения) предугадать нельзя. Часто вместо стохастического эксперимента говорят об испытании, опыте. Случайным событием назовем явление, которое может произойти или не произойти в результате стохастического эксперимента. Для обозначения случайных событий будем использовать большие буквы А, В, С, снабжая их при необходимости индексами. Предположим теперь, что среди всех возможных событий, которые в данном опыте могут произойти или не произойти, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий, которые обладают следующими свойствами: взаимно исключают друг друга, и в результате опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий, каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло событие А. Элементарные события будем обозначать греческой буквой  (омега), снабжённой при необходимости индексом, а их совокупность -  (омега) будем называть пространством элементарных событий. Определение Пример События называются равновозможными, если условия испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них. Испытание: бросанием игральной кости. Результатом этого стохастического эксперимента может быть появление одного из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 равного числу выпавших очков. В этом случае элементарными событиями со можно считать появление любого числа от 1 до 6. Очевидно, что всего имеется 6 элементарных событий. Они являются равновозможными. Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает другого в одном и том же испытании. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А- появление трех очков, В – появление нечетного числа очков. А и В совместимы. Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А- выпадание четного числа, событие В – выпадание нечетного. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого. Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Испытание: бросание монеты. Событие А — выпадение герба, событие В — выпадение цифры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они и появление одного из них исключает появление другого. Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Испытание: извлечение тара из урны, в которой все шары белые. Событие А — вынут белый тары — достоверное событие, событие В — вынут черный шар — невозможное событие. Следует отметить, что достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными. Примечание. Достоверное событие не может не произойти (например, выпадение не менее одного очка при бросании кости); невозможное событие не может произойти (например, выпадение семи очков). Задача теории вероятностей заключается в построении вероятностных моделей случайных экспериментов. Вероятностная модель позволяет придать строгий математический смысл таким словам, как «случайность», «событие», «вероятность», «правдоподобный» и т.п., позволяет оценить шансы не появление различных результатов, возможных в данном случайном эксперименте. Конечно, надо отдавать себе отчет в том, что, как всякая модель, и вероятностная модель тоже, является некоторой идеализацией описываемого эксперимента — она не предназначена для воспроизведения всех деталей, а воплощает лишь основные черты явления. В частности, при подбрасывании монеты мы предполагаем, что результатом эксперимента не может быть пропажа монеты или приземление ее на ребро. Кроме того, чрезвычайно важным в теории вероятностей является предположение о принципиальной возможности многократного повторения случайного эксперимента. Если такой возможности нет, то построение вероятностной модели не имеет смысла. Можно сказать, что конкретная информация о самых разных ситуациях, которые могут возникнуть в данном случайном эксперименте, содержащаяся и вероятностной модели, "разворачивается" лишь при многократном повторении этого эксперимента. Так, мы можем утверждать, что если подбросим "правильную" монету 1000 раз, то число выпадений герба будет мало отличаться от 500. Классическое определение вероятности С понятием вероятности случайных событий мы встречаемся в своей повседневной деятельности, когда оцениваем шансы появления такого рода событий. В юридической практике, например, часто можно услышать высказывание такого типа: «Я имею шансы выиграть этот процесс». Рассмотрим стохастический эксперимент и случайное событие А, наблюдаемое в этом эксперименте. Повторим этот эксперимент n – раз и пусть m(А) – число экспериментов, в которых событие А произошло. Назовем вероятностью данного события А отношение числа элементарных исходов (m), к числу всех таких исходов. Вероятность обозначается Р(А) и по определению равна . Так как mn, то 0Р(А) 1. Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного - 0. Вероятность равновозможных событий равна 1/ n. Пример. Выпадение герба или решки при большом количестве испытаниях равновероятные ½= 0,5. Алгебра событий. Формула полной вероятности. Операции над событиями (объединение(+ или ), пересечение( или ) соответствуют аналогичным операциям над множествами. Объединение (суммой) двух событий А и В назовем событие А+В , происходящее тогда и только тогда, когда происходит или событие А или В. Сумма противоположных событий равна 1. Пример. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по выстрелу). Событие А — попадание в мишень первым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С =А + В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком. Пересечение (произведением) событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошли к событие А, и событие В. В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков. Произведение несовместных событий — событие невозможное.  Разность событий А и В назовем событие А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В. Условная вероятность — вероятность появления события А при условии, что произошло событие В. Вероятность произведения событий вычисляется с помощью условных вероятностей по формуле или (*) Пример . В ящике имеются 7 белых и 5 черных шаров, отличающихся лишь цветом. Опыт состоит в том, что сначала вынимают (не глядя) один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность, что оба вынутых шара черные? Появление первого черного шара (событие А) имеет, очевидно, вероятность Р(А) = 5/12. Если первый шар оказался черным, то условная вероятность события В — появления второго черного шара (при условии, что первый шар был черным) — равна Р(В) = 4/11. Так как перед выниманием второго шара осталось 11 шаров, из них 4 черных. Вероятность вынуть, два черных шара подряд можно подсчитать по формуле . Для независимых событий появление одного из них не влияет на вероятность появления другого, гак, в предыдущем примере, вероятность появления второго черного шара не зависела бы от цвета вынутого первого шара, если, вынув первый шар, мы положили бы его обратно в ящик. Пример. Производится два выстрела по цели. Пусть событие А - попадание в цель при первом выстреле и В - при втором, тогда и - промах соответственно при первом и втором выстрелах. Обозначим поражение цели событием С и примем, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Требуется выразить С через А и В.  Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и промах при втором; промах при первом и попадание при втором; попадание при первом и втором выстрелах. Используя введенные выше операции, перечисленные варианты можно соответственно записать: . Интересующее нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного), то есть . С другой стороны, событие, противоположное С, есть промах при двух выстрелам, то есть. На практике для вычисления вероятности того или иного событие А часто бывает удобно использовать формулу полной вероятности. Допустим, что имеется полная группа не совместных событий B1, В2, ... Вk, и пусть А—некоторое событие, которое наступает при уcловии наступления некоторых из событий B1, B2, .. ., Вk. Так как события B1, B2, .. ., Вk образуют полную группу несовместных событий, то событие А можно представить как сумму произведений событий; А=АВ1+АВ2+…+АВК где все слагаемые в правой части равенства являются несовместными между собой событиями, и, следовательно, вероятность наступления события А равна сумме вероятностей событий АВ1, АВ2, … АВК P(A)=P(АВ1)+P(АВ2)+...+P(АВК), Применив к каждому из слагаемых, состоящих и правой части последнего равенства, формулу условной вероятности (*), получим формулу полной вероятности P(A)=P(A\B1) P(B1)+ P(A\B2) P(B2)+…+ P(A\BК) P(BК). Формулы комбинаторики. Схема Бернулли. Пример. Сколькими способами можно набрать семизначный номер телефона, если все его цифры различны. Очевидно, первую цифру можно набрать 10 способами, вторую - 9, так как одна цифра уже использована,...,седьмую - 4. Согласно правилу произведения общее число возможных номеров равно 10 × 9 ×8 × 7 ×6 ×5 ×4 = 604800. Решение. Пусть из некоторого множества, состоящего из n различимых элементов, отбирается в определённом порядке m. Для подсчёта числа возможных вариантов заметим, что первый элемент можно выбрать n способами, второй – (n - 1), ..., m –й… (n - m + 1) способами. Согласно правилу произведения общее число вариантов будет равно n × (n - 1)-... (n - m + 1). Такие комбинации называют размещениями, а число вариантов обозначают . При n=m говорят о перестановках из n элементов, их число равно (n-факториал), т.е. 5!=1 ×2 ×3 ×4 ×5 или 7!= 1 ×2 ×3 ×4 ×5 ×6 ×7 Пример. Формируется первая последовательность студентов в 6 человек для сдачи экзаменов в студенческой группе из 20 человек. Тогда число возможных вариантов Если порядок отбираемых m элементов из n не играет роли, то говорят о числе сочетаний из n элементов по m. Пример. Сколькими способами можно из 20 присяжных заседателей отобрать трёх для участия в судебном процессе. Решение. Поскольку несущественно, в каком порядке отобраны кандидатуры, число вариантов равно Рассмотрим стохастический эксперимент, который в свою очередь, является последовательностью n – независимых и однородных (одинаковых) испытаний, в результате каждого из которых может произойти событие а или ему противоположное . С вероятностями р и q=1-р соответственно. По условию результат любого испытания не зависит от его порядкового номера и от того, что произошло до него. Простейшим примером может служить многократное бросание монеты. Когда с вероятностью р=0,5 выпадает герб и q= 0,5 – решка. Событие В, состоящее в том, что событие А наступило при каждом из m событий и не произошло при остальных n-m испытаниях можно записать в виде произведения Так как все n испытания по условию независимы, то вероятность наступления события В равна произведению вероятностей наступления событий А и : или Число всевозможных различных последовательностей из n элементов, содержащих m элементов А, равно числу сочетаний из элементов по m. Так как различные последовательности из m элементов А и n-m элементов могут быть рассмотрены как различные исходы серии из n независимых испытаний, то все эти исходы (события) являются несовместными и искомая вероятность вычисляется по формуле Бернулли: или