Основы финансовой математики

Краткий конспект лекции по дисциплине «Основы финансовой математики» 1 Содержание 1. Введение, основные понятия .............................................................................................4 2. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам ...............................5 2.1. Формула наращения ....................................................................................................5 2.1.1. Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд .....................................5 2.1.2. Переменные ставки ..............................................................................................6 2.1.3. Начисление процентов при изменении суммы депозита во времени .............7 2.1.4. Реинвестирование по простым ставкам .............................................................8 2.2. Погашение задолженности частями ..........................................................................8 2.2.1. Контур финансовой операции .............................................................................8 2.2.2. Частичные платежи ..............................................................................................9 2.3. Наращение процентов в потребительском кредите ...............................................11 2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке .............................................................................................................................................12 2.4.1. Математическое дисконтирование ...................................................................12 2.4.2. Банковский учет (учет векселей) ......................................................................13 2.4.3. Наращение по учетной ставке ...........................................................................13 2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам...........................................................................................................................14 3. Сложные проценты ..........................................................................................................15 3.1. Начисление сложных годовых процентов ..............................................................15 3.1.1. Формула наращения ...........................................................................................15 3.1.2. Начисление процентов в смежных календарных периодах ...........................16 3.1.3. Переменные ставки ............................................................................................17 3.1.4. Начисление процентов при дробном числе лет...............................................17 3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам ............................................18 3.3. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки ........19 3.3.1. Номинальная ставка ...........................................................................................19 3.3.2. Эффективная ставка ...........................................................................................20 3.4. Дисконтирование по сложной ставке ......................................................................21 3.5. Операции со сложной учетной ставкой ..................................................................22 3.5.1. Учет по сложной учетной ставке ......................................................................22 3.5.2. Номинальная и эффективная учетные ставки .................................................23 3.5.3. Наращение по сложной учетной ставке ...........................................................24 3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок ............................................................................................................25 3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки ......................................25 3.7.1. Срок ссуды ..........................................................................................................26 3.7.2. Величина процентной ставки ............................................................................26 4. Производные процентные расчеты .................................................................................28 4.1. Средние процентные ставки .....................................................................................28 4.1.1. Простые ставки ...................................................................................................28 4.1.2. Сложные ставки ..................................................................................................28 4.1.3. Усреднение ставок в однородных операциях ..................................................29 4.2. Эквивалентность процентных ставок ......................................................................29 4.2.1 Эквивалентность простых процентных ставок ................................................30 4.2.2. Эквивалентность простых и сложных ставок ..................................................31 4.2.3. Эквивалентность сложных ставок ....................................................................32 4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей .....................33 4.3.1. Финансовая эквивалентность обязательств .....................................................33 4.3.2. Консолидирование (объединение) задолженности .........................................34 2 4.3.3. Определение размера консолидированного платежа .....................................35 4.3.4. Определение срока консолидированного платежа .........................................36 4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта .....................................37 5. Аннуитеты .........................................................................................................................40 5.1. Обыкновенные и полагающие аннуитеты ..............................................................40 5.2. Определение платежей аннуитета и процентной ставки .......................................42 3 1. Введение, основные понятия Предмет финансовой математики – методы количественного анализа финансовых операций. Количественный финансовый анализ применяется в условиях определенности и неопределенности. В первом случае данные для анализа заранее известны и фиксированы. Основные задачи финансовой математики: – измерение конечных финансовых результатов операции (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон; – разработка планов выполнения финансовых операций, в т. ч. планов погашения задолженностей; – измерение зависимости конечных результатов операции от основных ее параметров; – определение допустимых критических значений этих параметров и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий операции. Время – важнейший фактор финансовых расчетов. При проведении финансовых операций суммы денег связываются с конкретными моментами или периодами времени. Существует принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени, или, подругому, принцип изменения ценности денег во времени. Обоснование: возможность инвестирования денег и получения дохода; инфляция; риски в экономике. Суммирование денег, относящихся к разным периодам времени допустимы в бухгалтерском учете, но недопустимы при принятии решений финансового характера. Принцип финансовой эквивалентности – равенство (эквивалентность) финансовых обязательств сторон, участвующих в операции. Процентные деньги (проценты) – абсолютная величина дохода от представления денег в долг в любой форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, учет векселя и т. д. Процентная ставка – относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т. е. отношение дохода (процентных денег) к сумме долга. Она измеряется в виде дроби или в процентах. Период начисления – временной интервал, к которому привязана процентная ставка (год, полугодие, квартал и т. д.) Чаще всего используется год.. Наращение (рост) – процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов. Дисконтирование – определение процентов при движении во времени в обратном направлении (от будущего к настоящему). В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта (скидки). В финансовом анализе процентная ставка является измерителем доходности (эффективности) любой финансовой операции. Если при начислении процентов применяют постоянную базу для начисления процентов, то используются простые процентные ставки. Если эта база последовательно изменяется на каждом этапе наращения или дисконтирования, то используют сложные процентные ставки. Важным является выбор принципа расчета процентных денег. Существует два принципа: от настоящего к будущему и от будущего к настоящему. В первом случае применяют ставки наращения, во втором – дисконтные (учетные) ставки. Проценты, полученные по ставке наращения, называются декурсивными, по учетной ставке – антисипативными [10, с. 11–19]. 4 2. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам 2.1. Формула наращения Введем обозначения: I – проценты за весь срок ссуды; P – первоначальная сумма долга. Другое обозначение – PV (present value); S – наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока. Другое обозначение – FV (future value); i – ставка наращения процентов (десятичная дробь) (как правило, годовая ставка);. n – срок ссуды (как правило, в годах). Проценты, начисленные за весь срок: I  Pni . Тогда наращенная сумма S  P  I  P  Pni  P1  ni . (2.1) (2.1) – формула наращения по простым процентам, или формула простых процентов. Множитель 1  ni  – множитель наращения простых процентов. Рис. 2.1 Пример 2.1. Определим проценты и сумму накопления долга, если ссуда равна 700 тыс. руб., срок 4 года, проценты простые по ставке 20 % годовых (i = 0,2). I  700  4  0.2  560 тыс. руб.; S  P  I  700  560  1260 тыс. руб. Увеличим ставку в два раза. Сумма процентов удвоится, однако наращенная сумма 1  2  4  0,2 2,6   1,444 раза [10, с. 20–21]. увеличится в 1  4  0,2 1,8 2.1.1. Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд Выразим срок n в виде дроби: n t , K (2.2) 5 где t – число дней ссуды, K – число дней в году, или временная база начисления процентов. Применяют две временные базы: K = 360 дней (12 месяцев по 30 дней) и K = 365 (366) дней. Если К = 360, то получают обыкновенные (коммерческие) проценты. Если К = 365 (366), то – точные проценты. Число дней ссуды также измеряют приближенно либо точно. При приближенном способе длительность каждого месяца принимается равной 30 дням. При точном способе подсчитывается число дней между датой выдачи и датой погашения. При этом дата выдачи и дата погашения считаются за один день. На практике используется три варианта: 1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. Обозначение в документе: 365/365 либо ACT/ACT. 2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Метод иногда называется банковским. Обозначается: 365/360 либо ACT/360. Этот метод дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Применяется, когда не требуется большой точности. Обозначение: 360/360. Пример 2.2. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20 января 2008 года до 8 октября 2008 года включительно под 18 % годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов. Применим все три метода. 1. 365/365.  258  S  1000000  1   0,18   1127233 руб.  365  2. 365/360.  258  S  1000000  1   0,18   1129000 руб.  360  3. 360/360.  255  S  1000000  1   0,18   1127500 руб.  360  Если общий срок ссуды захватывает 2 смежных календарных года и есть необходимость в делении суммы процентов между ними, то I  I 1  I 2  Pn1i  Pn2 i , где n1 и n2 – части срока ссуды, приходящиеся на каждый календарный год [10, с. 21–23]. 2.1.2. Переменные ставки Если предусмотрено изменение процентной ставки во времени, то сумма, наращенная на конец срока: 6 m (2.3) S  P1  n1i1  n2 i2  ...  nm im   P1   nt it  ,  t 1  где it – ставка простых процентов в периоде t; nt – продолжительность периода с постоянной ставкой, n   nt . t Пример 2.3. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – 16 %, в каждом последующим полугодии ставка повышается на 1 %. Необходимо найти множитель наращения за 2,5 года. 1   nt it  1  1  0,16  0,5  0,17  0,5  0,18  0,5  0,19  1,43 [10, с. 24]. 2.1.3. Начисление процентов при изменении суммы депозита во времени В этом случае I   R j n ji , (2.4) j где Rj – остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств; nj – срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете. В банковско-сберегательном деле обычно применяют следующий способ. Интервалы между моментами изменений величины остатка на счете выражают в днях, а процентную ставку – в процентах (а не в десятичных дробях). Тогда получим: I   R j n ji  j  R jt j K 100 : i , (2.5) где К – число дней в году; tj – срок в днях между последовательными изменениями остатков на счете. K Величину  R j t j 100 называют процентным числом, а делитель – процентным i (постоянным) делителем. Пример 2.4. Движение средств на счет характеризуется следующими данными: 5 февраля 2009 года, поступило 12 млн. руб., 10 июля снято 4 млн. руб., 20 октября поступило 8 млн. руб. Процентная ставка – 18% годовых. Найти сумму на счете на конец года. Процентный делитель Дата 5.02.08 10.07.08 20.10.08 31.12.08 Итого K 365   20 ,27778 . i 18 Движение средств 12 -4 8 – Остаток, Rj 12 8 16 16 7 Срок, tj (дней) 155 102 72 – Процентное число 18,60 8,16 11,52 – 38,28 Сумма процентов за весь срок составит I  38,28  1,888 млн. руб. [10, с. 24–25]. 20 ,27778 2.1.4. Реинвестирование по простым ставкам Иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока. Фактически это означает реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или переменной ставок. Наращенная сумма для всего срока составит: S  P1  n1i1   1  n2 i2   ... 1  nt it   ... , (2.6) где it – размер ставок, по которым производится реинвестирование. Если промежуточные строки nt и ставки it не изменяются, то получим S  P1  ni , m (2.7) где m – число повторений реинвестирования. Пример 2.5. 100 млн. руб. положены 1 января на месячный депозит под 20 % годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется 3 раза? 1. Начислим точные проценты (365/365): 31 28 31       S  100  1   0,2   1   0,2   1   0,2   105 ,013 млн. руб.  365   365   365  2. Обыкновенные проценты (360/360): 3 30   S  100  1   0,2   105,084 млн. руб. [10, с. 25–26].  360  2.2. Погашение задолженности частями 2.2.1. Контур финансовой операции Пусть выдана ссуда P на срок T. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся два платежа R1 и R2,а в конце срока выплачивается остаток R3. 8 Рис. 2.2. Контур финансовой операции Такой график называется контуром операции. На интервалах t1, t2 и t3 задолженность возрастает в силу начисления процентов. Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур [10, с. 26–27]. 2.2.2. Частичные платежи Краткосрочные обязательства иногда погашаются с помощью ряда промежуточных платежей. В этом случае важно решить, какую сумму брать за базу для расчета процентов и каким путем определять остаток задолженности. Существует два метода. Актуарный метод применяется в основном в операциях сроком более года. Правило торговца – в сделках со сроком не более года. Если иное не оговорено, то в обоих случаях используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней (360/360). I. Актуарный метод. Он предполагает последовательное начисления процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница (остаток) идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток служит базой для начисления процентов за следующий период и т. д. Если же частичный платеж меньше суммы начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются, а поступление денег приплюсовывается к следующему платежу. Для рисунка 2.2 получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности Kj: K1  P1  t1i   R1 ; (2.8) K 2  K1 1  t 2 i   R2 . Поскольку задолженность на конец срока должна быть погашена полностью, то: K 2 1  t 3i   R3  0 . Пример 2.6. Имеется обязательство погасить за 1,5 года (с 12.03.07 по 12.09.08) долг в сумме 15 млн. руб. Кредитор согласен получать частичные платежи. Процентная ставка – 20 % годовых. Произведены следующие частичные платежи (в тыс. руб.): 9 12.06.07 – 500 тыс. руб. 12.06.08 – 5000 тыс. руб. 30.06.08 – 8000 тыс. руб. 12.09.08 – ? тыс. руб. Решение 12.03.07 12.06.07 долг долг с процентами поступление 15000 тыс. руб. 15750 тыс. руб. –500 тыс. руб. Поступление меньше начисленных процентов (750), поэтому сумма 500 тыс. руб. присоединяется к следующему поступлению. 12.06.08 долг с процентами поступление (500 + 5000) 18750 тыс. руб. –5500 тыс. руб. 30.06.08 остаток долга долг с процентами поступление (8000) 13250 тыс. руб. 13382,5 тыс. руб. –8000 тыс. руб. остаток долга долг с процентами 5382,5 тыс. руб. 5597,8 тыс. руб. 12.09.08 Контур операции показан на рис. 2.3. Рис. 2.3 II. Правило торговца. Если срок ссуды не превышает одного года, то сумма долга с процентами остается неизменной до полного погашения. А частичные платежи накапливаются с начисленными на них до конца срока процентами. Последний взнос должен быть равен разности этих сумм. Алгоритм записывается следующим образом: Q  S  K  P1  ni   R j 1  t j i j  , (2.9) где Q – остаток долга на конец срока; S – наращенная сумма долга; K – наращенная сумма платежей; Rj – сумма частичного платежа; n – общий срок ссуды; tj – интервал времени от момента платежа до конца срока ссуды. 10 Рис. 2.4. Графическое изображение операции при двух промежуточных платежах Пример 2.7. Обязательство 1,5 млн. руб., взятое 10.08.07, должно быть погашено 10.06.08. Процентная ставка – 20% годовых. В счет погашения долга 10.12.07 поступило 800 тыс. руб. Найти остаток долга на конец срока. 1. Правило торговца 6  10    Q  1,5  1   0,2   0,8  1   0,2   0,87 млн. руб.  12   12  2. Актуарный метод    4 6    Q  1,5  1   0,2   0,8  1   0,2   0,88 млн. руб. [10, с. 26–29].  12      12 2.3. Наращение процентов в потребительском кредите В потребительском кредите проценты, как правило, начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основной сумме долга в момент открытие кредита. Погашение долга с процентами производится частями, обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Таким образом, наращенная сумма долга S  P1  ni , а величина разового погасительного платежа составит R S , nm (2.10) где m – число платежей в году; n – число лет. Пример 2.8. Кредит для покупки товара на сумму 1млн. руб. открыт на 3 года, процентная ставка – 15 % годовых, выплаты производятся в конце каждого месяца. Сумма долга с процентами составит S  1  1  3  0,15  1,45 млн. руб. 11 Ежемесячные платежи будут такими: R 1450  40 ,278 тыс. руб. [10, с. 30]. 3  12 2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке Задача, обратная наращению процентов: по заданной сумме S, которая подлежит уплате через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды. Расчет Р по S необходим тогда, когда проценты с суммы S удерживается вперед, то есть непосредственно при выдаче кредита или ссуды. В таком случае говорят, что сумма S дисконтируется, или учитывается. Сам процесс начисления процентов и их удержания называют учетом, а удержанные проценты – дисконтом или скидкой. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем. В широком смысле дисконтирование – это определение любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени. Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют современной стоимостью, или современной величиной, будущего платежа S, а иногда – текущей стоимостью. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения, удобно учитывать фактор времени. В зависимости от вида процентной ставки применяют два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором – учетная ставка [10, с. 31]. 2.4.1. Математическое дисконтирование Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. В этом случае задача формулируется так: какую первоначальную сумму надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S, при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i. P где n  S , 1  ni (2.11) t – срок ссуды в годах. k Величина P является современной величиной суммы S, которая будет выплачена 1 спустя n лет. Дробь называют дисконтным, или дисконтирующим множителем. 1  ni Пример 2.9. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16 % годовых. Временная база – 365 дней. Какова первоначальная сумма долга? 12 P 310000  287328 ,59 руб. 180 1  0 ,16 365 Разность S – P можно рассматривать не только как проценты, начисленные на P, но и как дисконт с суммы S [10, с. 31–32]. 2.4.2. Банковский учет (учет векселей) Суть операции заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до поступления срока платежа по векселю (или иному платежному обязательству) приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, то есть покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь, владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объеме, но ранее указанного на нем срока. При учете векселя применяется банковский, или коммерческий, учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d. P  S  Snd  S 1  nd  , (2.12) где n – срок в годах от момента учета до даты погашения векселя; (1  nd ) – дисконтный множитель. Временная база, как правило, K = 360 дней, а число дней ссуды – точное: ACT/360 или 365/360. Пример 2.10. Тратта (переводной вексель) выдана на сумму 1 млн. руб. с уплатой 17.11.08. Владелец векселя учел его в банке 23.09.08 по учетной ставке 20 % годовых (ACT/360). Найти дисконт. Оставшийся до конца срока период составит 55 дней. Полученная при учете сумма (без уплаты комиссионных) равна: 55   P  1000000  1   0,2   969444 ,4 руб.  360  Дисконт составит 30555,6 руб. [10, с. 32–33]. 2.4.3. Наращение по учетной ставке Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. Например, при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. S  P 1 . 1  nd (2.13) 13 Множитель наращения: 1 [10, с. 34]. 1  nd 2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам Для процентной ставки прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной – дисконтирование. Для учетной ставки прямая задача – дисконтирование, обратная – наращение. Рассмотренные два метода наращения и дисконтирования (по ставке наращения i и учетной ставке d) приводят к разным результатам даже тогда, когда i = d [10, с. 34–36]. Ставки i Прямая задача S  P  1  ni d P  S  1  nd  Обратная задача S P 1  ni P S 1  nd ДМ – дисконтный множитель МН – множитель наращения Рис. 2.5 Рис. 2.6 14 3. Сложные проценты 3.1. Начисление сложных годовых процентов 3.1.1. Формула наращения В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. База для их начисления увеличивается с каждым шагом во времени. Процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательные реинвестирования средств, вложенных под простые проценты на один период начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов. Если проценты начисляются и капитализируются один раз в году, то в конце первого года проценты составят Pi, а наращенная сумма – P + Pi = P (1 + i). К концу второго года наращенная сумма будет P (1 + i) + P (1 + i) i = P (1 + i)2 и т. д. В конце n-го года S  P1  i  , n (3.1) где n – число лет, i – процентная ставка. Проценты за этот срок в целом таковы:   I  S  P  P  1  i   P  P  1  i   1 . n n (3.2) Часть из них получена за счет начисления процентов на проценты. Она равна:     I p  I сложные  I простые  P  1  i   1  Pni  P  1  i   1  ni    n  P  1  i   1  ni  n n (3.3) Рост по сложным процентам является процессом, соответствующим геометрической прогрессии с первым членом, равным P, и знаменателем (1 + i). Величину (1  i) n называют множителем наращения по сложным процентам. Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как ACT/ACT. Рис. 3.1 Пример3.1. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5 % годовых? По формуле (3.1) получим 15 S  1000000  1  0,155  2055464 ,22 руб. 5 Пример. Остров Манхэттен, на котором расположена центральная часть Нью-Йорка, был продан за 24 доллара. Стоимость земли этого острова через 350 лет оценивалась примерно в 40 миллиардов долларов, т. е. увеличилась в 1,667 ∙ 109 раз. Такой рост достигается при сложной ставке всего 6,3 % годовых. Формула 3.1 может применяться не только для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Она используется и для периодов начисления, отличных от года. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал, полугодие), а n – число таких периодов [10, с. 43–45]. Если проценты на основной долг начисляются по ставке i, а проценты на проценты – по ставке r ≠ i, то  S  P  Pi  1  1  r   1  r   ...  1  r  2 n 1  n   1  r 1  .  P  1  i   r   (3.4) 3.1.2. Начисление процентов в смежных календарных периодах Если даты начала и окончания ссуды находятся в двух отчетных периодах, то в бухгалтерском учете или при налогообложении возникает задача распределения начисленных процентов по периодам. Рис. 3.2 Общий срок ссуды делится на два периода n1 и n2. Тогда I  I1  I 2 , где 16   I1  P  1  i  1  1 , n       I 2  P  1  i  1  1  i  2  1  P  1  i  1  1  i  2  1  i  1  P  1  i   1  i  1 . n n n n n n n Пример 3.2. Ссуда была выдана на 2 года: с 01.05.06 по 01.05.08. Размер ссуды – 10 млн. руб. Ставка 14 % годовых (ACT/ACT). Необходимо распределить начисленные проценты по календарным годам. За период с 1.05.06 по 31.12.06 (244 дня): 244   I 06  10000   1  0,14 365  1  915 ,4 тыс. руб.   За 2007 г.:   I 07  10000  1  0,14 365  1  0,14   1  1528 ,2 тыс. руб. 244 1 За период с 1.01.08 по 1.05.08 (121 день): 244 121 1   365 365  I 08  10000  1  0,14    1  0,14   1  552 ,4 тыс. руб.   I  I 06  I 07  I 08  2996 тыс. руб. Если подсчитать для всего срока в целом, то получим   I  10000  1  0,14  1  2996 тыс. руб. [10, с. 46]. 2 3.1.3. Переменные ставки В этом случае S  P  1  i1  1  1  i2  2  ... 1  ik  k , n n n (3.5) где i1, i2, …, ik – последовательные значения процентных ставок в периодах n1, n2, …, nk. Пример 3.3. Срок ссуды – 5 лет. Договорная базовая процентная ставка – 12 % годовых плюс маржа 0,5 % впервые 2 года и 0,75 % в оставшиеся годы. Найти множитель наращения. q  1  0,12  0,005  1  0,12  0,0075   1,81407 [10, с. 46–47]. 2 3 3.1.4. Начисление процентов при дробном числе лет Применяется 2 метода. Согласно первому расчет ведется непосредственно по формуле (3.1). Второй метод, смешанный, предусматривает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть года – по формуле простых процентов: S  P  1  i   1  bi , a (3.6) 17 где n = a + b – срок ссуды, a – целое число лет, b – дробная часть года. Аналогичный метод применяется и в случаях, когда периодом начисления является полугодие, квартал или месяц. Следует иметь в виду, что множитель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, т. к. для n < 1 справедливо соотношение: 1 + ni > (1 + i)n. Наибольшая разница при b = ½. Пример 3.4. Кредит в размере 3 млн. руб. выдан на 3 года и 160 дней. Ставка – 16,5 % сложных годовых. Найти сумму долга на конец срока. 160  3,43836 года. 365 1. Общий метод (по формуле (3.1)): n  3 S  3000000  1  0,165 3 ,43836  5071935 ,98 руб. 2. Смешанный метод: S  3000000  1  0,165  1  0,43836  0,165  5086595 ,98 руб. [10, с. 47–48]. 3 3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам При условии, что временная база для начисления процентов одна и та же, выполняются соотношения: 1) для срока меньше года (n < 1) простые проценты больше сложных: 1  nis   1  i n , здесь is – ставка простых процентов; 2) для срока больше года (n > 1) сложные проценты больше простых: 1  nis   1  i n ; 3) для срока, равного году (n = 1), множители наращения равны друг другу: 1  nis   1  i n . Рис. 3.3 Сравним множители наращения при is = i = 12 %, K = 365 дней (см. таблицу). Множитель наращения 1 + ni (1 + i)n 30 дней 1,01644 1,00936 180 дней 1,05918 1,05748 Срок ссуды 1 год 5 лет 1,12 1,6 1,12 1,76234 18 10 лет 2,2 3,10584 100 лет 13 83522,3 Наиболее наглядно влияние вида ставки можно показать, сопоставляя числа лет, необходимые для удвоения первоначальной суммы. На основе (2.1) и (3.1) получим следующие формулы удвоения: 1 ; is ln 2 0,69315 – по сложным процентам: n  .  ln1  i  ln1  i  – по простым процентам: n  Пример 3.5. Найти сроки удвоения для is = i = 22,5 %. n 1  4,44 ; 0,225 n ln 2  3,04 [10, с. 48–49]. ln1  0 ,225  3.3. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки 3.3.1. Номинальная ставка При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой (3.1). В этом случае n означает число периодов начисления, а i – ставка за соответствующий период. Пусть j – годовая ставка, а m – число периодов начисления в году. Каждый раз проценты начисляются по ставке j m . Ставку j называют номинальной. Формула наращения: N j  S  P  1   ,  m (3.7) где N  n  m – общее число периодов начисления процентов. Пример 3.6. Изменим одно условие в примере 3.1. Пусть теперь проценты начисляются не один раз в году, а поквартально. В этом случае N = 20. Найти сумму долга. S  1000000  (1  0,155 20 )  2139049,01 руб. 4 А при ежегодном начислении процентов мы получим S  1000000  (1  0,155) 5  2055464,22 руб. Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс). Например: m Множитель наращения 1 6,1917 2 6,7275 4 7,04 19 12 7,2682 365 7,385 Пример 3.7. Какова сумма долга через 25 месяцев, если его первоначальная величина500 тыс. руб., проценты сложные, ставка 20 % годовых, начисление поквартальное? По условиям задачи число периодов наращения N = 25 : 3 = 8⅓. Применим два метода наращения: общий и смешанный. 1. Общий метод:  0 ,2  S  500000  1   4   81 3  750840 ,04 руб. 2. Смешанный метод: 8  0,2   1 0,2  S  500000  1    1     751039 ,85 руб. [10, с. 49–51]. 4   3 4   3.3.2. Эффективная ставка Другое название – действительная ставка. Она измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j m . Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной ставке и номинальной ставке при m-кратном начислении процентов) должны быть равны друг другу: mn 1  i   1  j  .  m Отсюда следует: n m j  i  1    1 .  m (3.8) При m >1 эффективная ставка больше номинальной. Если в договоре номинальная ставка j при m-кратном начислении процентов заменяется на эффективную ставку i, то финансовые обязательства сторон договора не изменятся. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Поэтому разные по величине номинальные ставки оказываются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки одинаковы. Пример 3.8. Найти размер эффективной ставки, если номинальная ставка равна 25 % при ежемесячном начислении процентов. 12  0,25  i  1    1  0,280732 . 12   20 Для участвующих в сделке сторон безразлично, применить ставку 25 % при ежемесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28,0732 %. Введем обозначение j(m) – размер номинальной ставки и число начислений за год. Эквивалентная замена номинальной ставки имеет место только когда выполняется равенство: m   j 1  1  1   m1   m1 m   j 2   1  2  . m2   m2 Поскольку m может принимать только целые значения, то удобнее определять значение новой ставки, задавшись величиной m2: j2 ку j (12)  m2  m1    m1  m2    j1   1 .  m2  1  m1      Пример 3.9. Определить номинальную ставку j(4), которая безубыточно заменяет став= 25 % в примере 3.8. j 4  12     0,25  4   4   1    1  0,25524 . 12      Т. о., сокращение количества начислений потребует увеличения ставки с 25 % до 25,524 %. При подготовке контрактов может возникать необходимость определения j по заданным значениям i и m [10, с. 51–53]:   j  m  m 1  i 1 . (3.9) 3.4. Дисконтирование по сложной ставке Из формулы (3.1) получим: P S  S  vn , n 1  i  v n  1  i   -n (3.10) 1 . qn (3.11) Величину v называют дисконтным (учетным, дисконтирующим) множителем. При начислении процентов m раз в году получим: 21 P v mn S j  1    m  S  v mn ; mn j   1    m (3.12) -mn . (3.13) Величина P – современная (текущая) стоимость величины S. Разность S – P, когда P определено дисконтированием, называют дисконтом:   D  S  P  S  1-v n . Пример 3.10. Сумма в 5 млн. руб. выплачивается через 5 лет. Необходимо определить ее современную величину при условии, что применяется ставка сложных процентов, равная 12 % годовых. Дисконтный множитель равен v 5  1  0,12  0,56574 . -5 Т. о., первоначальная сумма сократилась почти на 44 %. Современная величина равна: P  5000  1,12 5  2837 ,1 тыс. руб. [10, с. 53–54]. С увеличением срока платежа величина современной стоимости убывает. Например, при ставке 12 % получим: n v 10 лет 0,32197 50 лет 0,00346 100 лет 0,000012 Рис. 3.4. Зависимость дисконтного множителя от процентной ставки 3.5. Операции со сложной учетной ставкой 3.5.1. Учет по сложной учетной ставке В практике учетных операций иногда применяют сложную учетную ставку. В этом случае процесс дисконтирования происходит с замедлением, поскольку на каждом шаге учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при простой учетной ставке), а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Дисконтирование по сложной учетной ставке выполняется по формуле: 22 P  S  1  d  , n (3.14) где d – сложная годовая учетная ставка. Пример 3.11. Долговое обязательство на сумму 5 млн. руб., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной учетной ставке 15 % годовых. Найти размер суммы, полученной за долг, и величину дисконта (в тыс. руб.). P  5000  1  0,15  2218,5 тыс. руб. 5 D  S  P  5000  2218 ,5  2781,5 тыс. руб. Если применить простую учетную ставку того же размера, то P  5000  1  5  0,15  1250 тыс. руб. D  5000  1250  3750 тыс. руб. Т. о., дисконтирование по сложной учетной ставке для должника выгоднее, чем дисконтирование по простой учетной ставке, т. к.   w  1  n  d – дисконтный множитель для простой учетной ставки, а s s n w  1  d  – дисконтный множитель для сложной учетной ставки. Согласно первой формуле значение дисконтирующего множителя равномерно уменьшается по мере роста n и достигает нуля при n  1 d . Согласно второй формуле множитель экспоненциально уменьшается и достигает нуля лишь в пределе при n   [10, с. 55– 56]. Рис. 3.5 3.5.2. Номинальная и эффективная учетные ставки Дисконтирование может производиться не один раз в году, а m раз в год, т. е. каждый раз учет производится по ставке f m . В этом случае mn f   P  S  1   ,  m (3.15) где f – номинальная годовая учетная ставка. 23 Эффективная учетная ставка d показывает степень дисконтирования за год. Ее определяют из равенства дисконтных множителей: 1  d n  1   mn f   , m откуда m f   d  1  1   .  m В свою очередь   f  m  1 m 1 d . Эффективная учетная ставка меньше номинальной при m > 1. Пример 3.12. По данным примера 3.11 определим сумму, полученную при поквартальном учете по номинальной учетной ставке 15 %, и эффективную учетную ставку. Имеем f = 0,15; m = 4; n = 5; m∙n = 20. 20  0,15  P  5000  1    2328 ,0 тыс. руб. 4   Эффективная учетная ставка составит 4  0,15  d  1  1    0,14177 , или 14,177 % [10, с. 56–57]. 4   3.5.3. Наращение по сложной учетной ставке Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки. Из (3.14) и (3.15) следует: S P , 1  d n S P f   1    m mn (3.16) . (3.17) Множитель наращения при использовании сложной учетной ставки d равен [10, с. 57] 1  d n . 24 3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок Для решения поставленной задачи достаточно сопоставить соответствующие множители наращения (дисконтирования). Считаем размеры ставок одинаковыми. Имеют место следующие соотношения для множителей наращения: 1  i n  1  nis  1  i  1  is  1 1  1  nd 1  d n 1 1  1  ds 1  d 1  nis  1  i   n 1 1  n 1  d  1  nd при 0  n  1 , при n = 1, при n > 1. Видно, что соотношение множителей наращения зависит от сроков наращения процентов. Пример. Множители наращения для разных видов ставок (20 %). Срок (в годах) 0,5 1,0 2,0 10,0 is i 1,10 1,20 1,40 11,00 ds 1,0954 1,2000 1,4400 6,1917 d 1,1111 1,2500 1,6667 ∞ 1,1180 1,2500 1,5625 9,3132 Соотношения для дисконтных множителей следующие: 1  d n  1  nds  1  d  1  ds  1 1  1  ni 1  i n при 0  n  1 , 1 1  1  is 1  i 1  nd s  1  d   n при n = 1, 1 1  n 1  i  1  nis при n > 1 [10, с. 57–58]. 3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки При разработке условий финансовых операций часто возникает необходимость решения обратных задач – расчета продолжительности ссуды или уровня процентной ставки. 25 3.7.1. Срок ссуды При наращении по сложной годовой ставке i и по номинальной ставке j на основе формул (3.1) и (3.7) получим: n n logS P  , log1  i  (3.18) logS P  . j  m  log1    m (3.19) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f получим: n n logP S  , log1  d  (3.20) logP S  . f   m  log1    m (3.21) Пример 3.13. За какой срок в годах сумма, равная 75 млн. руб., достигнет 200 млн. руб. при начислении процентов по сложной ставке 15 % раз в году и поквартально? По формулам (3.18) и (3.19) получим сроки: n log200 75  7 ,0178 года; log1  0,15 n log200 75  6 ,6607 года [10, с. 59–  0 ,15  4  log1   4   60]. 3.7.2. Величина процентной ставки При наращении по сложной годовой ставке процентов i и по номинальной ставке j получим: i  n S P 1 , j  m  mn (3.22)  S P 1 . (3.23) При дисконтировании по сложным учетным ставкам d и f: d  1 n P S ,  (3.24)  f  m  1  mn P S , (3.25) 26 Пример 3.14. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. руб., выкупная его сумма 160 тыс. руб., срок 2,5 года. Каков уровень доходности в виде годовой ставки сложных процентов? По формуле (3.22) получим i  2 ,5 1,6  1  0,20684 . Пример 3.15. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30 %. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт? По формуле (3.24) получим d  1 2 P 0,7 S  1  1  0,7  0,16334 [10, с. 60]. S S 27 4. Производные процентные расчеты 4.1. Средние процентные ставки Если в финансовой операции размер процентной ставки изменяется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней. Замена всех усредняемых значений ставок на среднюю процентную ставку не изменяет результатов наращения или дисконтирования. 4.1.1. Простые ставки Пусть за периоды n1, n2, …, nk начисляются простые проценты по ставкам i1, i2, …, ik. Приравниваем множители наращения 1  N  i  1   nt it . t Отсюда получим i  nt it , (4.1) N где N   nt – общий срок наращения процентов. Аналогично определяется средняя учетная ставка: d   nt d t . (4.2) N Пример 4.1. Контракт предусматривает переменную по периодам ставку простых процентов: 20, 22 и 25 %. Продолжительность последовательных периодов начисления процентов: 2, 3 и 5 лет. Какой размер ставки приведет к аналогичному наращению исходной суммы? i 2  0,2  3  0,22  5  0,25  0,231 , или 23,1 % [10, с. 66–67]. 10 4.1.2. Сложные ставки Из равенства множителей наращения 1  i N  1  i1 n  1  i2 n 1 2  ... 1  ik  k n следует i  N 1  i1  1  1  i2  2  ... 1  ik  k  1 . n n n (4.3) Т. о., получаем среднюю геометрическую из переменных ставок. 28 Пример 4.2. Для первых двух лет ссуды применяется ставка 15 %, для следующих трех лет она равна 20 %. Найти среднюю ставку. i  5 1  0,15  1  0,2  1  0,17974 , или 17,974 % [10, с. 67]. 2 3 4.1.3. Усреднение ставок в однородных операциях Если применяются простые ставки и сроки этих операций одинаковые (n), то из равенства  Pt 1  ni    Pt 1  nit  следует i  Pt it .  Pt (4.4) Для усреднения сложных ставок для однородных ссудных операций при одинаковых сроках этих операций (n)  Pt  1  it   1 . i  Pt n (4.5) n Формулы (4.4) и (4.5) получены для частных случаев, когда сроки ссуд одинаковы [10, с. 67–68]. 4.2. Эквивалентность процентных ставок В принципе соотношения эквивалентности можно найти для любой пары ставок различного вида – простых и сложных. Формулы эквивалентности во всех случаях получают исходя из равенства множителей наращения, взятых попарно. В качестве примера определим соотношение эквивалентности между простой и сложной ставками. Приравняем множители наращения: 1  nis   1  i n , где is и i – ставки простых и сложных процентов. Приведенное равенство предполагает, что начальные и наращенные суммы при применении двух видов ставок идентичны (см. рис. 4.1). Решая приведенное выше равенство, получим соотношения эквивалентности [10, с. 68–69]: is  1  i n  1 , (4.6) n 29 i  n 1  nis  1 . (4.7) Рис. 4.1 4.2.1 Эквивалентность простых процентных ставок При выводе соотношений между ставкой процента и учетной ставкой, следует иметь в виду, что при применении этих ставок используется временная база K = 360 или K = 365 дней. Если временные базы одинаковые, то из равенства соответствующих множителей наращения следует: is  ds , 1  nds (4.8) is , 1  nis (4.9) ds  где n – срок в годах, is – ставка простых процентов, ds – простая учетная ставка. Пример 4.3. Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15 %. Какова доходность учетной операции в виде процентной ставки? По формуле (4.8) находим is  0,15  0,17647 , или 17,647 %. 1  0,15 Иначе говоря, операция учета по учетной ставке 15 % за год дает тот же доход, что и наращение по ставке 17,647 %. Отношения между ставками is и ds существенно зависят от срока операции. Например, для d = 10 % получим следующие размеры эквивалентных ставок: n (в годах) 0,1 0,5 1 2 5 10 is (%%) 10,1 10,5 11,1 12,5 20 ∞ Пусть срок ссуды измеряется в днях, тогда, подставив в (4.8) и (4.9) n  t K (t – срок ссуды в днях, K – временная база), получим: а) временные базы одинаковы и равны 360 дням: 30 is  360 , 360  td s ds  (4.10) 360is . 360  t  is (4.11) б) если при начислении процентов принята база K = 365, а для учетной ставки K = 360, то is  365d s , 360  td s ds  (4.12) 360is . 365  t  is (4.13) Пример 4.4. Необходимо найти величину учетной ставки, эквивалентной годовой процентной ставке 40 % (K = 365) при условии, что срок учета равен 255 дням. Находим по формуле (4.13) d 360  0,4  0,30835 , или 30,835 % [10, с. 69–70]. 365  255  0,4 4.2.2. Эквивалентность простых и сложных ставок Рассмотрим соотношения эквивалентности простых ставок is и ds, с одной стороны, и сложных ставок i и j – с другой стороны. Сложную учетную ставку рассматривать не будем. Попарно приравняв друг к другу соответствующие множители наращивания, получим искомое соотношения. Эквивалентность is и i: см. формулы (4.6) и (4.7). Эквивалентность is и j: j  1   m is   n j  m  mn mn 1 , (4.14)  1  nis  1 , (4.15) Эквивалентность ds и i: 1  1  i  , ds  n (4.16) i  n 1  nd s  1 , (4.17) n 31 Эквивалентность ds и j: j  1  1    m ds  n j  m  mn mn , (4.18)  1  nd s  1 . (4.19) Пример 4.5. Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку 18 % (K = 365), не изменяя финансовых последствий? Срок операции 580 дней. По (4.7) получим эквивалентную сложную ставку: i  580 365 1  580  0,18  1  0,17153 , или 17,153 % [10, с. 71]. 365 4.2.3. Эквивалентность сложных ставок Рассмотрим только соотношение эквивалентности для ставок i, j и d. Имеем m j  i  1    1 ,  m  (4.20)  j  m  m 1 i 1 . (4.21) Эквивалентность i и d: d , 1 d i d . 1 i i (4.22) (4.23) Приведем еще ряд полезных соотношений, которые можно получить на основе приве1 денных выше формул с учетом того, что v  : 1 i d  iv , (4.24) v 1 d , (4.25) i  d  id . (4.26) В формулах (4.22)–(4.26) время (срок) не играет никакой роли. Пример 4.6. При разработке условий контракта стороны договорились о том, что доходность кредита должна составлять 24 % годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно и поквартально? 32 j  12   1,24  1  0,21705 ; 12   j  4  4 1,24  1  0,22100 [10, с. 71–72]. 4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей 4.3.1. Финансовая эквивалентность обязательств На практике нередко возникают случаи, когда нужно заменить одно денежное обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, или объединить несколько платежей в один и т. д. Такие задачи решают на основе принципа финансовой эквивалентности обязательств. Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи «приведенными» к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения платежа (если дата относится к будущему). Если при изменении условий контракта указанный принцип не соблюдается, то одна из сторон контракта терпит ущерб, размер которого можно заранее определить. Принцип финансовой эквивалентности лежит в основе значительного числа методов количественного финансового анализа. В наиболее простом проявлении этот принцип следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины P и S. Сумма P эквивалентна сумме S при принятой процентной ставке и методе начисления процентов. Две суммы S1 и S2, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. Замена S1 и S2 в этих условиях формально не изменяет отношения сторон договора [10, с. 73]. Пример 4.7. На принципе эквивалентности основывается сравнение разновременных платежей. Имеется два обязательства. Условия первого: выплатить 400 тыс. руб. через 4 месяца; условия второго: выплатить 450 тыс. руб. через 8 месяцев. Можно ли считать их равноценными? Т. к. платежи краткосрочные, то при дисконтировании на начало срока применим простую ставку, равную, допустим, 20 %. Получим: P1  400  375,00 тыс. руб. 4 1   0,2 12 P2  450  397 ,06 тыс. руб. 8 1   0,2 12 Т. о., сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке и в силу этого не могут адекватно заменять друг друга. Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, его результат зависит от ее величины. Однако, что практически весьма важно, эта зависимость не является столь жесткой, как это может показаться на первый взгляд. Допустим, сравниваются 2 платежа S1 и S2 со сроками n1 и n2, причем, S1 < S2 и n1 < n2. Соот33 ношение их современных стоимостей P1 и P2 зависит от размера процентной ставки i (см. рис. 4.2). Рис. 4.2 С ростом i размеры современных стоимостей Р1 и Р2 уменьшаются, причем при i = i0 выполняется Р1 = Р2. Для любой ставки i < i0 выполняется Р1 < Р2. Т. о., результат сравнения зависит от размера ставки, равного i0. Эта ставка называется критической (барьерной). Ее можно найти из равенства: 1 S1 S2 S1 S2 .   i0  S1 1  n1i0 1  n2i0 n2  n1 S2 (4.27) Пример 4.8. Для данных примера 4.7 получим 400 450 i0   0,428 , или 42,8 %. 400 8 4   450 12 12 1 Т. о., соотношение P2 > P1 справедливо при любом уровне процентной ставки, который меньше 42,8 %. Если дисконтирование производится по сложной ставке, то критическую ставку найдем из равенства S1  1  i0   n1  S 2  1  i0   n2 . Получим [10, с. 74–76] i0  n2 n1 S2 1 . S1 (4.28) 4.3.2. Консолидирование (объединение) задолженности Общий метод решения подобных задач заключается в разработке так называемого уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому34 либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение обычно осуществляется на основе простых ставок, а для средне- и долгосрочных – с помощью сложных процентных ставок. В простых случаях можно обойтись без разработки и решения уравнения эквивалентности. Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация (объединение) платежей. Пусть платежи S1, S2,…, Sm со сроками n1, n2, …, nm заменяются одним платежом S0 со сроком n0. В этом случае возможны две постановки задачи: если задан срок n0, то нужно найти S0; и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа S0, то нужно найти срок n0 [10, с. 76]. 4.3.3. Определение размера консолидированного платежа При решении этой задачи уравнение эквивалентности имеет простой вид. В общем случае, когда n1 < n2 <….< nm, искомую величину находят как сумму наращенных и дисконтированных платежей. При применении простых процентных ставок получим: S 0   S j 1  t j i    S k 1  t k i  , 1 j (4.29) k где Sj – размеры объединяемых платежей со сроками nj < n0, Sk – размеры объединяемых платежей со сроками nk > n0, t j  n0  n j , tk  nk  n0 . Пример 4.9. Два платежа 1 млн. руб. и 0,5 млн. руб. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней объединяются в один платеж со сроком 200 дней. Пусть стороны согласились на применение при конверсии простой ставки, равной 20 %. Найти консолидированную сумму долга.  200  150   200  180  S 0  1000  1   0,2   500  1   0,2   1532 ,87 тыс. руб. 365 365     Консолидацию платежей можно осуществить и на основе сложных процентных ставок. Вместо формулы (4.29) для общего случая (n1 < n0 < nm) получим S 0   S j  1  i  j   S k  1  i   tk t . (4.30) Пример 4.10. Платежи в 1 и 2 млн. руб. и сроками через 2 и 3 года соответственно объединяются в один платеж со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20 %. Найти сумму консолидированного платежа. S0  1000  1  0,2 2 ,52  2000  1  0,2 ( 32 ,5 ) 35  2921,187 тыс. руб. [10, с. 76–77]. 4.3.4. Определение срока консолидированного платежа Если задана величина консолидированного платежа S0, то возникает задача определения его срока n0. В этом случае уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей. При применении простой ставки это равенство имеет вид: S0  1  n0i    S j  1  n j i  , 1 1 j откуда    S0 1  n0     1 . 1 i   S j  1  n j i    j  (4.31) Очевидно, что решение можно получить при условии, что S 0   S j  1  n j i  , иначе 1 j говоря, размер заменяющего платежа не может быть менее суммы современных стоимостей заменяемых платежей. Заметим также, что искомый срок пропорционален величине консолидированного платежа. Пример 4.11. Суммы в размере 10, 20 и 15 млн. руб. должны быть выплачены через 50, 80 и 150 дней соответственно. Стороны согласились заменить их одним платежом в размере 50 млн. рублей. Найти срок платежа. Современная стоимость заменяемых платежей (обозначим ее через P) при условии, что ставка i = 10 % и K = 365 дней, составит 1 1 1 50 80      150  P  10  1   0,1  20  1   0,1  15  1   0,1  43,844 млн. руб.  365   365   365  По формуле (4.31) находим n0  1  50    1  1,404 года = 512 дней. 0,1  43,844  Если размер заменяющего платежа задан в сумме 45 млн. руб., то срок сократится и составит 0,264 года = 96 дней. Для определения срока консолидированного платежа на основе сложных процентных ставок уравнение эквивалентности запишем следующим образом: S 0  1  i   n0   S j  1  i  n j . j Для упрощения дальнейшей записи примем: Q   S j  1  i  n j . j После этого находим 36 S  ln 0  Q n0    . ln1  i  (4.32) Решение существует, если S0 > Q. Для частного случая, когда S0   S j , при определении срока консолидированного платежа иногда вместо (4.32) применяют средний взвешенный срок: n0   S jn j j S0 . (4.33) Привлекательность этой формулы в том, что она не требует задания уровня процентной ставки. Но надо помнить, что она дает приближенный результат, который больше точного. Чем выше ставка i, тем больше погрешность решения по формуле (4.33). Пример 4.12. На основе данных примера 4.10 определить срок консолидированного платежа в сумме 3 млн. руб. Точное значение срока находим по формуле (4.32). Для этого сначала рассчитаем Q: Q  1 1  0,2 2  2  1  0,2 3  1,8518 млн. руб. После этого находим  3  ln  1,8518   n0   2,646 года. ln1  0,2 Приближенное решение по формуле (4.33) дает: n0  1 2  2  3  2 ,667 года [10, с. 77–79]. 3 4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта При изменении условий выплат решение заключается в разработке соответствующего уравнения эквивалентности. Если приведение платежей осуществляется на некоторую начальную дату, то получим следующие уравнения эквивалентности в общем виде:  S j  1  n j i    S k  1  nk i  – при использовании простых процентов; j k n n  S j  v   Sk  v – при использовании сложных процентов. j j k k 37 тежей. Здесь Sj и nj – параметры заменяемых платежей; Sk и nk – параметры заменяющих пла- Конкретный вид равенства определяется содержанием контракта, поэтому методику разработки уравнений эквивалентности рассмотрим на примерах [10, с. 79]. Пример 4.13. Две суммы 10 и 5 млн. руб. должны быть выплачены 1 ноября и 1 января следующего года. Стороны согласились пересмотреть порядок выплат: должник 1 декабря выплачивает 6 млн. руб. Остаток долга гасится 1 марта. Необходимо найти сумму остатка при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 20 % (K = 365). Графическое изображение условий задачи приведено на рис. 4.3: Рис. 4.3 Пусть базовой датой будет момент выплаты 5 млн. руб. Уравнение эквивалентности тогда будет таким: 1 61 31 59       10  1   0,2   5  6  1   0,2   S  1   0,2  . Отсюда S = 9,531 млн. руб.  365   365   365  При изменении базовых дат приходим к незначительным смещениям результатов. Например, при приведении платежей к 1 марта получим следующее уравнение эквивалентности: 59 90  120      10  1   0,2   5  1   0,2   6  1   0,2   S . Теперь S = 9,523 млн. руб.  365   365   365  [10, с. 80]. Пример 4.14. Имеется обязательство уплатить 10 млн. руб. через 4 месяца и 7 млн. руб. через 8 месяцев после некоторой даты. По новому обязательству необходимо выплату произвести равными суммами через 3 и 9 месяцев. Изменение условий осуществляется с использованием простой ставки, равной 10 % (K = 360). Примем в качестве базовой даты начало отсчета времени. Уравнение эквивалентности в таком случае выглядит так: 1 1 1 1 4 8 3 9         10  1   0,1  7  1   0,1  S  1   0,1  S  1   0,1 .  12   12   12   12  Отсюда S = 8,521 млн. руб. [10, с. 80–81]. 38 Пример 4.15. Существует обязательство уплатить 100 тыс. руб. через 5 лет. Стороны согласились изменить условия погашения долга следующим образом: через 2 года выплачивается 30 тыс. руб., а оставшийся долг – спустя 4 года после первой выплаты (см. рис. 4.4). Необходимо определить сумму последнего платежа. Рис. 4.4 Уравнение эквивалентности составим на начало отсчета времени: 100v 5  30v 2  S  v 6 , где v – дисконтный множитель. Аналогичное по смыслу равенство можно составить на любую дату, например, на конец шестого года. В этом случае 100  1  i   30  1  i   S . 4 Данное уравнение легко получить из предыдущего, умножив его на 1  i  . При решении любого из приведенных уравнений относительно S находим (при условии, что ставка равна 10 % годовых) S = 133,233 тыс. руб. Выбор базовой даты при применении сложных процентов не влияет на результаты расчетов по замене платежей [10, с. 81]. 6 39 5. Аннуитеты Аннуитет – последовательность периодических платежей, сделанных через одинаковые промежутки времени. Пример: платежи при покупке в кредит. Период времени между двумя последовательными платежами – это интервал платежа. Срок аннуитета – период времени от начала первого интервала до окончания последнего интервала платежа. Если платежи проводятся в моменты окончания интервалов, то это обыкновенный аннуитет, а если в начальные моменты интервалов – то это полагающий аннуитет. Пример. Покупатель приобретает товар в рассрочку, выплачивая 100 тыс. руб. в день покупки и затем ежемесячно по 10 тыс. руб. в течение двух лет. Первый и последующие платежи он осуществляет в конце каждого месяца. В этом случае интервал платежа составляет 1 месяц, а срок аннуитета – 2 года [7, с. 22–27]. 5.1. Обыкновенные и полагающие аннуитеты Текущую стоимость аннуитета Р определяют как сумму, эквивалентную всей серии платежей, на момент начала аннуитета. Итоговую стоимость S – как сумму, эквивалентную всей серии платежей, на конец аннуитета. Для обыкновенного аннуитета: t P  B   1  i  , n (5.1) t 1 n 1 S  B   1  i  , t (5.2) t 0 где B – величина платежа; n – число периодов. Поскольку (5.1) и (5.2) – это суммы возрастающей и убывающей геометрических прогрессий со знаменателем (1 + i), то формулы можно представить в виде: 1  1  i  P  B i n , (5.3) n  1  i 1 S  B . (5.4) i Пример 5.1. Пусть величина платежа B равна 10 тыс. руб., i = 5 %, число периодов n = 12. Найти P и S в случае обыкновенного аннуитета. 1  1  0,05 P  10000  0,05 12 S  10000   88632 ,52 руб. 1  0,0512  1  159171,27 0,05 руб. 40 Стоимости P и S являются эквивалентами суммами, связанными следующими соотношениями: S  P  1  i  . P  S  1  i  , n n (5.5) Эти стоимости заменяют всю серию платежей на начало срока и окончание срока соответственно. В примере (5.1) вместо суммы 120 тыс. руб., распределенной на 1 год, одноразовая эквивалентная плата на начало покупки составит 88 632 руб., а на момент окончания выплаты она будет 159 171 руб. Если, кроме периодических платежей В, был осуществлен первоначальный взнос в сумме В0, то получим: 1  1  i  P  B i n  B0 , (5.6) n  1  i 1 n S  B  B0  1  i  , (5.7) i поскольку цена денег на момент окончания выплат возрастает по формуле сложных процентов. Пример 5.2. Работник делает ежеквартальные вклады по 10 тыс. руб. на депозит в банк с нормой процента 5 %, которые начисляются поквартально. Какую сумму он будет иметь через 5 лет? По формуле (5.2) получим (n = 5 ∙ 4 = 20): t  0,05  S  10000   1    225629 ,79 руб. 4  t 0  19 Если к началу аннуитета на счете работника уже было В0 = 50 тыс. руб., то через 5 лет получим (n = 5 ∙ 4 = 20): t 20  0,05   0,05  S  10000   1    50000  1    289731,65 руб. 4  4  t 0   19 Иногда считают, что срок аннуитета исчисляется от даты первого платежа (полагающий аннуитет). В этом случае платежи производят в начале периода. Получаем: P  1  i   B  1 1  1  i  , i n (5.8) отсюда 1  1  i  P  B  1  i  . i n (5.9) 41 Аналогично S  B 1  i n  1  1  i  . (5.10) i 5.2. Определение платежей аннуитета и процентной ставки Уравнения (5.6) и (5.7) связывают текущую стоимость Р, итоговую стоимость S, платежи В и процентную ставку i. Разрешая эти уравнения относительно В или n, получают зависимости для определения величины платежей или числа периодов платежей. B  P  BS i ; n  1  1  i  (5.11) i ; 1  i n  1 (5.12)   P i  B   ln  B  ; n ln1  i  (5.13)  S i  B  ln  B   . n ln1  i  (5.14) Пример 5.3. Банк начисляет 5 % в год. Какой величины нужно делать ежеквартальные вклады, чтобы накопить через 5 лет 500 тыс. руб. По формуле (5.12): i 0 ,05 0,0125  0 ,0125 ; n  5  4  20 ; B  500000   22160 ,19 руб. 4 1  0,0125 20  1 Пример 5.4. Сколько раз нужно делать платежи, чтобы выплатить кредит в сумме 100 тыс. руб., делая ежемесячные взносы по 5000 руб. при ставке кредита 2 % в месяц? По формуле (5.13): i = 0,02; P = 100000; B = 5000;   100000  0,02  5000   ln  5000    25,796 . n ln1  0,02  42 Решение уравнения обычно дает не целые значения для числа периодов n. В этом случае следует округлить результат до меньшего целого и определить величину последнего платежа. В примере 5.4 необходимо найти величину 26-го платежа B26. Используя уравнение эквивалентности для конца 25-го периода, получим: B26  1  i   B  1 откуда 1  i 25  1  P  1  i 25 , i  1  i 25  1   1  i  . B26   P 1  i 25  B   i   (5.15) (5.16) Тогда получим величину последнего платежа для примера 5.4:  1  0,02 25  1   1  0,02   3830 ,92 руб. 25 B26  100000  1  0 ,02   5000   0 ,02   В случае, если возникают задачи по определению необходимой процентной ставки i при известных платежах В и числе периодов n, то для достижения известного результата P или S можно воспользоваться уравнениями (5.6) и (5.7). Однако аналитического решения для i эти уравнения не имеют и могут быть решены лишь численно. Пример 5.5. Какова должна быть процентная ставка для того, чтобы кредит в размере 100 тыс. руб. был оплачен за 20 платежей, каждый в размере 10000 руб.?  1  ( 1  i )20 100000  10000   i     i  0 ,077547 , или i = 7,75 %.  43