Основы финансовой математики

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Корпоративные финансы Основы финансовой математики к.э.н., доцент ВШУБ ИПМЭиТ Киселева Елена Григорьевна Дисконтирование и наращение   Финансовые вычисления – расчеты, производимые с данными, выраженными в стоимостной оценке. Простейшим видом финансовой сделки является однократное представление в долг некоторой суммы(PV) с условием, что через некоторое время (t) она будет возвращена с приростом (FV) НАСТОЯЩЕЕ (Present) Исходная сумма (PV) БУДУЩЕЕ (Future) Наращение Возвращаемая сумма (FV) Процентная ставка (i) Дисконтирование Ожидаемая сумма (FV) Дисконтированная сумма (РV) Учетная ставка (d) Дисконтирование и наращение   Процесс в котором заданы исходная сумма и ставка – наращение, искомая величина – наращенная сумма , используемая при этом ставка – ставка наращения (i) Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и ставка – дисконтирование, искомая величина – дисконтированная сумма, используемая ставка – ставка дисконтирования (d). Процентная ставка (interest rate) показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени   Абсолютная величина этого изменения процент, измеряется в денежных единицах и обозначается I. Если обозначить будущую сумму FV, а современную (или первоначальную) PV, то I = FV – PV. FV  PV i PV ДИСКОНТИРОВАНИЕ Расчет современной стоимости будущих денежных поступлений Обратный процесс по отношению к наращению 00 1 2 FV  PV i PV формула расчета процентной ставки идентична расчету статистического показателя “темп прироста” - абсолютная сумма процента (I) представляет собой прирост современной величины, то отношение этого прироста к самой современной величине и будет темпом прироста первоначальной суммы. Учетная ставка учетная ставка d ( ставка дисконта, Diskont “скидка”), определяется: FV  PV d FV Основной областью применения учетной ставки является дисконтирование, но иногда она используется и для наращения, в частности, для определения суммы, дисконтирование которой по заданным учетной ставке и сроку, даст искомый результат. (пример 2) Сравнение учетной и процентной ставки FV  PV i PV Снижение будущей стоимости Прирост текущей стоимости FV  PV d FV    Сравнивая формулы ученой и процентной ставки можно заметить, что сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым образом – как разница между будущей и современной стоимостями. Однако, смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков: если в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, своего рода “наценке”, то во втором определяется снижение будущей стоимости, “скидка” с ее величины. Основной областью применения учетной ставки является дисконтирование, процесс, обратный по отношению к начислению процентов. Тем не менее, иногда она используется и для наращения. Пример 2. Наращение по учетной ставке  Торговый агент предлагает организации вместо оплаты наличными выписать на стоимость закупленных материалов вексель в сумме 500 тыс. рублей со сроком оплаты через 90 дней, который может быть учтен в банке по простой учетной ставкой 25% годовых (обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, ACT/360). Какая сумма должна быть проставлена на этом векселе чтобы организация получила при обналичивании векселя 500 тыс. рублей? Виды простых процентных ставок Декурсивные FVi Антисипативные . 1  PV(1  ni) FVd  PV 1  n  d Процент ные ставки где n – продолжительность ссуды, лет. Номинал векселя – 533 330 рублей  Для определения суммы, которую понадобится проставить в этом векселе необходимо начислить проценты на стоимость товара, используя учетную ставку (антисипативный метод). 500 Sd   533,3 90  0,25 (1  ) 360  Начисление антисипативных процентов используется для определения наращенной суммы, которая затем будет дисконтироваться по той же самой ставке, по которой производилось наращение. Виды процентных ставок Простые декурсивные Сложные FVi  PV(1  ni) Банковский учет . Процент ные ставки FV  PV(1  i) n Математическое дисконтирование FVn 1 PV   FVn  n (1  d ) (1  d ) n Финансовая природа начислений При начислении простых процентов наращение первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процентов – в геометрической. Виды процентных ставок  Простые декурсивные проценты FV  PV(1  ni) где РV – исходная сумма, руб.: n – количество лет инвестирования, шт.; i – ставка процента (требуемая доходность), дол. ед.  Сложные проценты (декурсивные и антисипативные) FV  PV(1  i) n  Р  KF1(i, n)  Математическое дисконтирование (сложный процент) PV  (DCF-model) FVn 1  FVn   FVn  KF2(d, n), n n (1  d) (1  d) где Р – дисконтированная (текущая, приведенная) сумма, руб.: n – количество лет инвестирования, шт.; d – ставка дисконтирования, к-т; KF1,2(i,d,n) –множители: наращения и дисконтирования. Пример  Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 1000 рублей при размещении ее в банке на условиях начисления простого и сложного процента, если годовая ставка 20%, периоды наращения 90 дней ,180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет. Схема начисления Множитель наращения: -простые проценты - сложные проценты Наращенная сумма (простые % ), руб. Наращенная сумма (сложные % ), руб. 90 дней (n=1/4) 180 дней (n=0,5) 1 год (n=1) 5 лет 10 лет (n=5) (n=10) Вывод 1 2 3 Если вкладывать денежные средства на депозит ровно на год, то не имеет значения схема начисления процентов (1200=1200) Если срок депозита менее одного года, то более выгодна схема начисления по простым процентным ставкам Если срок депозита более года, более выгодно начисление по сложной процентной ставке Неоднократное начисление процентов за период i nm FV  Р  (1  ) m где i –годовая ставка, к-т; m – количество начислений в году; n – количество лет. Банк предлагает депозит с полугодовым начислением процентов. Ставка – 20% годовых. Сумма вклада 50 000 рублей, срок депозита – 2 года. Рассчитайте сумму которую получит вкладчик. 0,2 4 FV  50  (1  )  73205 2 Период Сумма, с которой идет начисление, руб. Ставка, дол. ед. Сумма , руб. 6 месяцев 50 000 1,1 55 000 12 месяцев 55 000 1,1 60 500 18 месяцев 60 500 1,1 66 550 24 месяца 66 550 1,1 73 205  Начисление процентов за дробный период (не год) более чем один раз  Сложные проценты i W F FV  Р  (1  ) m  Смешанная схема   i W FV  Р  (1  )  1 f  i , m m  где w – целое число базовых периодов в финансовой операции; f – дробная часть базового периода; i - годовая ставка; m – количество начислений в году. Анализ денежных потоков Элементарный денежный поток состоит из одной выплаты и последующего поступления, либо разового поступления с последующей выплатой, разделенных во времени Contents Дисконтные облигации Срочные депозиты Кредит с выплатой процентов в момент погашения Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой. Contents Частный случай ренты -аннуитет (annuity) – поток платежей, все члены которого равны друг другу, так же как и интервалы времени между ними. Аннуитет– финансовый актив, приносящий фиксированный доход ежегодно в течение ряда лет. Купонные облигаций Банковский кредит (аннуитетный платеж) Долгосрочная аренда, страховой полис Аннуитет – методология начислений Принцип временной ценности денег делает невозможным прямое суммирование членов ренты правила наращения и дисконтирования Проценты начисляются по сложной схеме, т.к. получатель потока имеет возможность реинвестировать получаемые суммы АННУИТЕТ такой поток платежей, все члены которого равны друг другу, как и интервалы времени между ними Наращение Дисконтирование АННУИТЕТ Пренумерандо Постнумерандо Поступления денежных средств сконцентриров аны в конце периода Поступления денежных средств сконцентриров аны в начале периода 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Денежные потоки (финансовая рента) Принятые обозначения: Отдельный рентный платеж - член ренты (CFt).      FVn – будущая стоимость потока за n периодов, руб.; PVn - современная стоимость потока за n периодов, руб.; CFt – величина платежа в периоде t (месяц, год); r - процентная ставка, %; n – число периодов проведения операции (общее время, в течение которого она проводится), ед.; р - число платежей за период ,ед. АННУИТЕТ НАРАЩЕНИЕ n FV   CFk  (1  rk ) ( nk ) (1) k 1 где К – номер периода ренты В примере член ренты R неизменен в течение всего срока, процентная ставка i также постоянна. Поэтому наращенную величину ренты можно найти как сумму геометрической прогрессии с первым членом 3000 и знаменателем (1 + 0,2): (1  0,2) 5  1 (1  0,2) 5  1 FV  3000   3000   22325 (1  0,2)  1 0,2 от общей формулы наращения ренты (1) можно перейти к ее частному случаю – формуле наращения аннуитета: (1  r)  1 FV  CF  r n (2) руб. (1  r)  1 FV  CF  r n Наращение денежных потоков имеет место при периодическом внесении на банковский депозит фиксированных сумм с целью накопления финансового фонда к определенному моменту времени. Финансовые накопления В конце каждого года в течение 3 лет предприниматель вносит на банковский счет сумму в 5000 руб. под 24% годовых с ежемесячным начислением процентов. Определить наращенную сумму к концу срока. Рассматриваемый ДП является аннуитетом постнумерандо начислением процентов 12 раз в год: n = 3; m = 12; R = 5000; j/m = 0,02. Будущая стоимость аннуитета: с АННУИТЕТ ДИСКОНТИРОВАНИЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СОПОСТАВИМОСТИ ДАННЫХ  общая формула дисконтирования денежных потоков: n CFk РV   k k 1 (1  rk )  (3) Так как в нашем примере i и R постоянные величины, то применяя правило суммирования геометрической прогрессии, получим частную формулу дисконтирования аннуитета: 1  (1  r ) РVn  CF  r n (4) Ключевые моменты лекции проводя количественно е обоснование финансовой операции, необходимо контролироват ь соответствие процентной ставки и продолжитель ности базисного периода фактическая эффективность финансовой сделки характеризует ся эффективной годовой процентной ставкой при расчете итогового денежного потока элементы не могут быть просуммированы непосредственно – должна быть учтена временная компонента. Приведение осуществляется к началу, либо к концу периода