Определенный интеграл и его приложения

Лекция №6 Определенный интеграл и его приложения (3 часа) Определенный интеграл от функции f(x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю: Свойства определенного интеграла Ниже предполагается, что f(x) и g(x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b]. Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [a,b]. Если F(x) - первообразная функции f(x) на [a,b], то Замена переменной в определенном интеграле Определенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g(t): Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями: Интегрирование по частям для определенного интеграла При использовании этого метода интегрирования формула интегрирования по частям имеет вид: Примеры решения задач: 1) 2) 3) Приложения определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции Площадь фигуры, ограниченной осью Ox, двумя вертикальными прямыми x=a, x=b и графиком функции f(x) (рисунок 1), определяется по формуле Пусть F(x) и G(x) - первообразные функций f(x) и g(x), соответственно. Если f(x) ≥ g(x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f(x), y = g(x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой Главный и первый этап решения задачи – построение чертежа!!!! Рекомендую посмотреть сайт: http://mathprofi.ru/vychislenie_ploshadi_c_pomoshju_opredelennogo_integrala.html Примеры решения задач: 1) Рис 3 2) 3) Рис 4 Рис 6 4) Длина дуги кривой Пусть некоторая функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой АВ: В предположение о непрерывности производной f’(x) на отрезке x  [a, b] длина дуги кривой между точками А и В выражается формулой: Если линия задана параметрическими уравнениями: длина дуги кривой выражается формулой: определяющие точки А и В. , , где t1 и t2 – значения, Примеры решения задач: Решение: Решение: Поскольку все арки циклоиды одинаковы, рассмотрим первую ее арку, вдоль которой параметр t изменяется от 0 до 2. Объем тел вращения Тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x), имеет объём Аналогично объём v тела, полученного вращением вокруг оси ординат (Oy) криволинейной трапеции выражается формулой Примеры решения задач: Пример 7. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями Решение: Нарисуем чертеж и применим формулу: Пример 8. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (Ox) фигуры, ограниченной гиперболой , осью абсцисс и прямыми , . Решение: Объём тела вращения найдём по формуле, в которой Пример 9. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (Ox) фигуры, заключённой между параболами и . Решение: Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением вокруг оси абсцисс криволинейных трапеций ABCDE и ABFDE.