Кратные интегралы

Лекция 5. Кратные интегралы Вопросы: 1. Определение двойного интеграла. Основные свойства 2. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле 3. Приложения двойного интеграла 4. Определение тройного интегралов. Основные свойства 5. Вычисление тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле 6. Приложения тройного интеграла 1. Определение двойного интеграла. Основные свойства Пусть на плоскости имеется область (рисунок 1). Пусть в каждой точке задана функция Разобьем, как показано на рисунке 2, область на частей . Обозначим: – максимальный диаметр области , – площадь части . В каждой части возьмем произвольную точку и составим сумму Эта сумма называется интегральной суммой, соответствующей взятому разбиению и выбору точки . Рисунок 1 Рисунок 2 Продолжим разбиение области так, чтобы . При каждом разбиении будем выбирать точки в каждой частичной области и составлять соответствующие интегральные суммы. Предел последовательности интегральных сумм называется двойным интегралом от функции по области , если этот предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора точек : Множество называется областью интегрирования, – подынтегральной функцией, – переменными интегрирования. Если существует , то функция называется интегрируемой по области . Теорема 1. Функция, непрерывная на замкнутом множестве , интегрируема по этому множеству. Теорема 2. Функция, ограниченная и непрерывная на замкнутом множестве , исключая конечное множество точек и линий разрыва, интегрируема по этому множеству. Основные свойства двойного интеграла 1. Свойство линейности. Пусть – интегрируемые по функции, и - числа. Имеет место равенство Следствие 1. При Следствие 2. При Следствие 3. При 2. Свойство аддитивности. Пусть область интегрирования является объединением множеств и , не имеющих общих внутренних точек (Рисунок 3), тогда Рисунок 3 3. Свойство 3 (Интегрирование неравенств). Пусть а) функции интегрируемы по (S); б) . Тогда Следствие. Пусть а) функция интегрируема по (S); б) . Тогда 4. Свойство 4. (Теорема о среднем). Пусть – непрерывная на замкнутом множестве функция. Существует такая точка , что выполняется равенство где – площадь . 5. Свойство 5. Если функция интегрируема по , то функция интегрируема по и имеет место равенство 2. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле Двойной интеграл вычисляется обычно при помощи сведения его к повторному интегралу того или иного вида. Теорема 1. Если: 1) область интегрирования ограничена снизу кривой с уравнением , сверху , с боков причем функции непрерывны на (рисунок 4); 2) существует ; 3) для любого существует , то где Рисунок 4 Последний интеграл называется повторным. Внутренний интеграл вычисляется при постоянном значении Теорема 2. Если: 1) область интегрирования ограничена снизу прямой с уравнением , сверху , слева кривой с уравнением справа причем функции непрерывны на (рисунок 5); Рисунок 5 2) существует 3) для любого существует , то где Пример 1. Вычислить интеграл – область, ограниченная линиями с уравнениями . Решение. Вычислим интеграл I двумя способами. 1. Сведем рассматриваемый интеграл к повторному, используя теорему 1. Область проектируется на ось в отрезок (рисунок 6). Поэтому пределы интегрирования во внешнем (левом) интеграле повторного интеграла равны 0 и 1. Рисунок 6 Внутренний интеграл находится при фиксированном (постоянном) значении . Возьмем какую-нибудь точку из и проведем через неё прямую, параллельную оси . Рассмотрим ось, совпадающую с этой прямой и направленную так же, как ось . Эта ось входит в область интегрирования, пересекая параболу , выходит, пересекая прямую . Поэтому пределы внутреннего интеграла равны и соответственно. Имеем 2. Используем теорему 2. Спроектируем область интегрирования на ось Получим снова отрезок . Пределы внешнего интегрирования, как и раньше, равны 0 и 1. Для определения пределов внутреннего интегрирования возьмем точку из и зафиксируем её. Ось, проходящая через эту точку и параллельная оси , входит в область интегрирования, пересекая прямую , выходит, пересекая ветвь той же параболы (рисунок 7) Рисунок 7 Отсюда Пример 2. Изменить порядок интегрирования в интеграле . Решение. Интеграл получен в результате сведения к повторному двойного интеграла , где область интегрирования определена пределами интегрирования данного повторного интеграла (рисунок 8) Рисунок 8 Рисунок 9 Спроектируем область интегрирования на ось (рисунок 9). Решим уравнения относительно . Правая граница области интегрирования состоит из отрезков двух прямых и . Одним уравнением эту часть границы записать не удастся. Введем области и Так как , то по свойству аддитивности Сведя каждый из интегралов в правой части последнего равенства к повторному, имеем Замечание. Геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл равен алгебраической сумме объемов тел, ограниченных поверхностью , плоскость и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , проходящей через границу области интегрирования ; при этом объемы тел, расположенных над плоскостью , берутся со знаком «+», под плоскостью – со знаком «-« ( предполагается, что ось направлена снизу вверх). Замена переменных в двойном интеграле Замена переменных интегрирования в интеграле состоит в переходе от переменных и к новым переменным и , связанным со старыми соотношениями Рисунок 10 Эти соотношения представляют собой отображение некоторой замкнутой ограниченной области в плоскости на замкнутую ограниченную область в плоскости . Если выполняются условия: 1) 2) функции , непрерывно дифференцируемы в ; 3) якобиан отображения то имеет место формула При этих условиях существует обратное отображение , , т.е. Далее, называются криволинейными координатами точки М. Кривые называются координатными линиями. Через каждую точку области проходят две координатные линии . (Аналогично для каждой точки ). Во многих задачах в качестве криволинейных координат часто используются полярные координаты , которые определяются следующим образом (рисунок 11). Вводится полярная ось с началом в полюсе (точка Р). Из Р проводится луч РМ в точку М (М – любая точка плоскости, не совпадающая с точкой Р). Первая координата – полярный радиус-вектор точки М задается равенством , вторая координата – угол между вектором и осью , . При не определен, для него можно задать любое значение. Рисунок 11 Во многих случаях полярные координаты связывают с декартовыми. Если полярную ось совместить с неотрицательной полуосью прямоугольной декартовой системы координат так, чтобы полюс Р совпал с точкой О, то получим формулы Найдем якобиан преобразования: Формула (1) запишется в виде Пример. Вычислить интеграл , расположена в 1-м координатном квадранте и ограничена линиями с уравнениями , (рисунок 12) Рисунок 12 Рисунок 13 Решение. Введем новые переменные интегрирования и по формулам . Область перейдет в область (рисунок 13). Выразим и через и : . Найдем якобиан преобразования: Вычислим далее интеграл I. 3. Приложения двойного интеграла Разобрать самостоятельно по Конспекту лекций по высшей математике: полный курс/ Д.Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 608с. См. § 53, стр. 388 4. Определение тройного интегралов. Основные свойства Пусть в пространстве имеется тело (рисунок 14). Пусть в каждой точке задана функция . Разобьём, как и ранее, на частей (рисунок 15). Обозначим: – наибольший диаметр частичной области , – объем части . В каждой части возьмем произвольную точку Рисунок 14 Рисунок 15 и составим сумму . Эта сумма называется интегральной суммой, соответствующей взятому разбиению и выбору точек . Продолжим разбиение тела так, чтобы . При каждом разбиении будем выбирать точки в каждой частичной области и составлять соответствующие интегральные суммы. Предел последовательности интегральных сумм называется тройным интегралом от функции по , если этот предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора точек : Множество называется областью интегрирования, – подынтегральной функцией, – переменными интегрирования. Если существует , то функция называется интегрируемой по области . Теорема 1. Функция, непрерывная на замкнутом множестве , интегрируема по этому множеству. Теорема 2. Функция, ограниченная и непрерывная на замкнутом множестве , исключая конечное множество точек, линий и поверхностей разрыва, интегрируема по этому множеству. Основные свойства тройного интеграла 1. Свойство линейности. Пусть интегрируемые по функции, и – числа. Имеет место равенство Следствие 1. При Следствие 2. При Следствие 3. При 2. Свойство аддитивности. Пусть область интегрирования является объединением множеств и , не имеющих общих внутренних точек (рисунок 16). Тогда Рисунок 16 3. Свойство 3 (Интегрирование неравенств). Пусть а) функции интегрируемы по (V); б) . Тогда Следствие. Пусть а) функция интегрируема по (V); б) . Тогда 4. Свойство 4 (Теорема о среднем). Пусть - непрерывная на замкнутом множестве функция. Существует такая точка , что выполняется равенство где – объем . 5. Свойство 5. Если функция интегрируема по , то функция интегрируема по и имеет место неравенство 5.Вычисление тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле Тройной интеграл вычисляется обычно при помощи сведения его к повторному интегралу. Теорема 1. Пусть область проектируется на плоскость в область . Если: 1) ограничена снизу поверхностью с уравнением , сверху с боков цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси и проходящими через границу области (эта поверхность может и отсутствовать), причем функции , непрерывны на (рисунок 17). Рисунок 17 2) существует ; 3) для любой точки существует где Внутренний интеграл находится при постоянных значениях и . Замечание. Для расстановки пределов в повторном интеграле рекомендуется взять произвольную точку , провести через неё ось, параллельную оси , заметить, что эта ось входит в область интегрирования , пересекая поверхность с уравнением , выходит из области интегрирования при пересечении поверхности с уравнением . Нижний и верхний пределы интегрирования внутреннего интеграла будут соответственно равны и . Теорема 2. Пусть область интегрирования проектируется на ось в . Если: 1) ограничена снизу плоскостью с уравнением , сверху (рисунок 18); Рисунок 18 2) существует ; 3) для любого существует , где – сечение области плоскостью , то где Внутренний интеграл находится при постоянном значении из . Пример. Вычислить интеграл область интегрирования ограничена плоскостями . Решение Найдем значение этого интеграла двумя способами. 1. Используем теорему 1. Область проектируется на плоскость в прямоугольник (рисунок 19). Возьмем любую точку , проведем через неё ось, параллельную оси . Согласно теореме 1, имеем Рисунок 19 2. Используем теорему 2. Область проектируется на ось в (рисунок 20). Возьмем любую точку , проведем через неё плоскость, параллельную плоскости . Получим в сечении прямоугольник . Спроектируем его для удобства на плоскость . По теореме 2 имеем Рисунок 20 Замена переменных в тройном интеграле В интеграле замена переменных интегрирования влечет переход от переменных к новым переменным интегрирования , связанным со старыми соотношениями Эта система представляет собой отображение некоторой замкнутой ограниченной области в пространстве на замкнутую ограниченную область в пространстве (рисунок 21) Рисунок 21 Если выполняются условия: 1) отображение взаимно однозначно; 2) функции , , непрерывно дифференцируемы в ; 3) якобиан отображения то имеет место формула При этих условиях существует обратное отображение , Далее, , ; называются криволинейными координатами точки М. Поверхности называются координатными поверхностями. Через каждую точку М области проходят три координатные поверхности . (Аналогично для каждой точки ). Линии , , Называются координатными линиями координат соответственно. Через каждую точку М области проходят три координатные линии координат . (Аналогично для каждой точки ). В качестве примеров криволинейных координат можно привести цилиндрические и сферические координаты. Цилиндрические координаты Пусть в пространстве введена прямоугольная декартова система координат . Возьмем произвольную точку . Её цилиндрические координаты определяются следующим образом: полярный радиус есть расстояние точки от оси , полярный угол – угол между плоскостью, исходящей из оси и проходящей через точку , и плоскостью , – аппликата точки (рисунок 22); , , . Рисунок 22 Рисунок 23 Связь с прямоугольными декартовыми координатами: Координатные поверхности: 1) , – прямой круговой цилиндр с осью, совпадающей с осью , образующими, параллельными этой оси, радиус цилиндра равен ; 2) – полуплоскость, исходящая из оси и проходящая через точку ; 3) – плоскость, параллельная плоскости и проходящая через точку . Координатные линии: 1) – координатная линия (полуось, исходящая из оси , проходящая через точку и параллельная плоскости ); 2) – координатная линия (окружность радиуса с центром , проходящая через точку ); 3) - координатная линия (прямая, параллельная оси и проходящая через точку ) (рисунок 23). Найдем якобиан преобразования: Формула замены переменных примет вид Пример. Вычислить интеграл если область интегрирования ограничена поверхностями (та часть цилиндра, где , рисунок 24). Рисунок 24 Решение Перейдем к цилиндрическим координатам. Уравнение цилиндра примет вид , а уравнение конуса станет . Чтобы найти пределы интегрирования по , решим систему уравнений при условии . Отсюда Пределы интегрирования по и ясны из рисунка 24. Далее, элемент объема . Исходный интеграл запишется в виде Сферические координаты Как и раньше, в пространстве введем прямоугольную декартову систему координат . Возьмем произвольную точку . Её сферические координаты определяются следующим образом: есть расстояние точки от начала координат – точки О, – угол между осью и осью – угол между полуплоскостью, исходящей из оси и проходящей через точку , и плоскостью (рисунок 25); , , . Рисунок 25 Рисунок 26 Связь с прямоугольными декартовыми координатами: Координатные поверхности: 1) , – сфера радиуса с центром в точке ; 2) , – прямой круговой конус, ось конуса – ось , вершина – точка ; 3) – полуплоскость, исходящая из оси и проходящая через точку . Координатные линии: 1) – координатная линия (полуось, исходящая из начала координат и проходящая через точку ); 2) – координатная линия (полуокружность радиуса с центром в точке ), проходящая через точку , концы полуокружности находятся на оси ; 3) - координатная линия (окружность с центром на оси , проходящая через точку , плоскость, в которой расположена окружность, параллельна плоскости ) (рисунок 26). Якобиан преобразования: Элемент объема . Формула замены переменных примет вид Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, заданной уравнением Решение Установим вначале вид заданной поверхности. Это поверхность вращения вокруг оси кривой с уравнением , расположенной в плоскости . Чтобы выяснить её форму, перейдем в исходном уравнении к сферическим координатам : . Получим . Простые исследования при приводят к кривой на рисунке 27. Исходная поверхность изображена на рисунке 28. Обозначим тело, ограниченное данной поверхностью. Искомый объём выражается интегралом Вычислим его, перейдя к сферическим координатам . Пределы интегрирования расставим в соответствии с рисунком 28: Рисунок 27 Рисунок 28 6. Приложения тройного интеграла Разобрать самостоятельно по Конспекту лекций по высшей математике: полный курс/ Д.Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 608с. См. § 54, стр. 398