Справочник от Автор24
Высшая математика

Конспект лекции
«Кратные интегралы.»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по высшей математике / Кратные интегралы.

Выбери формат для чтения

pdf

Конспект лекции по дисциплине «Кратные интегралы.», pdf

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Кратные интегралы.». pdf

txt

Конспект лекции по дисциплине «Кратные интегралы.», текстовый формат

ЛЕКЦИЯ №6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 6.1. Метод ячеек Приближенная оценка двукратного интеграла по прямоугольной области может быть дана следующим образом d b   f ( x, y)dxdy  S f ( x , y ) , (6.1) c a где S  (b  a )( d  c), x  ab cd , y 2 2 - координаты центра прямоугольника площади S. Для повышения точности разобьем область интегрирования на прямоугольные ячейки системой линий, параллельных осям координат, и построим обобщенную квадратурную формулу d b   f ( x , y )dxdy   S где i f ( xi , y i ) , (6.2) i c a x i , y i - координаты центра прямоугольной ячейки. Оценим погрешность интегрирования. Пусть в обобщенной квадратурной формуле (6.2) стороны прямоугольника разбиты соответственно на N и M равных частей. Тогда погрешность этой формулы для единичной ячейки Ri  1 ba 2 d c 2 S i [( ) f xx  ( ) f yy ] 24 N M . Суммируя погрешность по всем ячейкам, получим суммарную погрешность R  1 ba 2 d c 2 [( )  f xx dxdy  ( )  f yy dxdy]  O( N 2  M 2 ) . 24 N M G G т.е. формула имеет второй порядок точности. Если граница области интегрирования G криволинейная, то формулу (6.2) применяют, накладывая на область G прямоугольную сетку. Все ячейки разделяют на внутренние и граничные. Площадь внутренней ячейки равна произведению ее сторон. Площадь граничной ячейки вычисляют приближенно, заменяя в пределах данной ячейки истинную границу области хордой. Значения этих площадей подставляют в (6.2). Погрешность формулы (6.2) при этом будет такой. В каждой внутренней ячейке O( N 2 ) , в каждой граничной ячейке относительная ошибка есть ошибка составляет O( N 1 ) , так как центр тяжести прямоугольной ячейки не совпадает с центром тяжести входящей в интеграл части. Но граничных ячеек примерно в N раз меньше чем внутренних. Поэтому общая погрешность будет O( N 2 ) , т.е. имеем второй порядок точности. Можно граничные ячейки вообще не включать в сумму. Погрешность при этом будет O( N 1 ) . 6.2. Последовательное интегрирование Рассмотрим интеграл по прямоугольной области d b b c a a I    f ( x, y) dx dy   F ( x) dx , (6.3) где d F ( x)   f ( x, y)dy . c По каждой координате введем сетку узлов. Каждый однократный интеграл вычисляют на данной сетке по квадратурным формулам: I   Ai F ( x i ) , где F ( xi )   Aj f ( xi , y j ) . i j Тогда I   Ai Aj f ( xi , y j )   g i j f ( xi , y j ) . i j i j Для разных направлений можно использовать квадратурные формулы разных порядков точности (трапеций, прямоугольников, средних, Симпсона и т.д.). Можно также использовать формулы Гаусса, тогда gi j  xi  1 (b  a )( d  c) i  j , 4 ab ba  i , 2 2 yj  cd d c  j , 2 2 1  i, j  n , где i , j ,  i ,  j - нули многочленов Лежандра и веса формулы Гаусса. Теперь пусть область интегрирования ограничена непрерывными однозначными кривыми ( ( x)   ( x)) y   ( x), y   ( x) и двумя вертикалями x  a и x  b . Имеем b  ( x) b a  ( x) a I   f ( x, y )dxdy   dx G  f ( x, y)dy   F ( x)dx , где  ( x) F ( x)   f ( x, y)dy  . ( x) Отсюда n  ( xi ) m i 1  ( xi ) j 1 I   Ai F ( xi ) , F ( xi )  n  f ( xi , y )dy   Bi j f ( xi , y j ) , m I   f ( x, y )dxdy   Ai Bi j f ( xi , y j ) , G i 1 j 1 где Ai ,Bi j - известные постоянные. Пример. Получить кубатурную формулу для вычисления двукратного интеграла d b   f ( x, y)dxdy , используя по каждому направлению формулу Симпсона. c a Пусть областью интегрирования является прямоугольник со сторонами (b-a) и (dc). Разобьем каждую сторону данного прямоугольника на N и M интервалов, т.е. введем на каждой границе области сетку с N+1 и M+1 узлами. Соответствующие шаги сетки hx  ba d c , hy  . N M Согласно (6.3) получим d b  b d b a c a f ( x, y )dxdy   dx  f ( x, y )dy   F ( x) dx  c a h  x 3 N 1 2  F i 0 2i (6.4)  4 F2i1  F2i2 , где каждое слагаемое под знаком суммы d Fk   f ( xk , y ) dy  c hy 3 M 1 2  f (x , y k j 0 2j  )  4 f ( xk , y2 j 1 )  f ( xk , y2 j 2 ) , (6.5) здесь k  2i, 2i  1, 2i  2 . Чтобы получить представление о том, как выглядит формула численного вычисления двукратного интеграла в развернутом виде, рассмотрим частный случай, когда N=M=2. В данном случае имеем 9 узлов с координатами ( x0 , y0 ), ( x0 , y1 ), ( x0 , y2 ), ( x1, y0 ), ( x1, y1 ), ( x1, y2 ), ( x2 , y0 ), ( x2 , y1 ), ( x2 , y2 ), Тогда с учетом (6.4) и (6.5) кубатурной формуле можно придать вид d b hx   f ( x, y)dxdy  3 F  4 F1  F2   hx h y c a 9 [ f ( x0 , y 0 )  f ( x 2 , y 0 )  f ( x0 , y 2 )   f ( x 2 , y 2 )  4[ f ( x1 , y 0 )  f ( x0 , y1 )  f ( x 2 , y1 )  f ( x1 , y 2 )]  16 f ( x1 , y1 )]. При выводе принято во внимание, что d F0   f ( x0 , y ) dy  c d F1   f ( x1 , y ) dy  c d F2   f ( x2 , y ) dy  c hy 3 hy 3 hy 3 [ f ( x0 , y0 )  4 f ( x0 , y1 )  f ( x0 , y2 )], [ f ( x1 , y0 )  4 f ( x1 , y1 )  f ( x1 , y2 )], [ f ( x2 , y0 )  4 f ( x2 , y1 )  f ( x2 , y2 )] (6.6) При построении алгоритма программы конструировать общие формулы типа (6.6) нет нужды. Рабочими формулами являются (6.4), (6.5), т.е. алгоритм расчета двукратного интеграла строится согласно (6.4), где каждое слагаемое определяется из (6.5), как это и показано в предыдущем примере. Если область интегрирования криволинейная, то в самом простом варианте можно построить прямоугольник R , стороны которого параллельны осям координат и ввести вспомогательную функцию ( x, y )  G  f ( x, y ), f * ( x, y )   . ( x, y )  R  G  0, В таком случае, очевидно  f ( x , y )dxdy   f G * ( x , y )dxdy . G Последний интеграл может быть вычислен по общей кубатурной формуле. Подчеркнем еще раз, что вычисление интегралов по каждому направлению x и y выполняется независимо, т.е. по разным направлениям могут быть применены различные методы численного интегрирования, например, по одному направлению метод Симпсона, а по другому метод Гаусса. Аналогично формулами алгоритму вычисления двукратного интеграла, задаваемого (6.4), (6.5), строятся алгоритмы численных расчетов интегралов более высокой кратности.

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Высшая математика

Кратные интегралы.

Кратные интегралы. Двойные интегралы. Условия существования двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. Замена пер...

Высшая математика

Кратные интегралы

Лекция 5. Кратные интегралы Вопросы: 1. Определение двойного интеграла. Основные свойства 2. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойно...

Высшая математика

Неопределенный интеграл

Лекции «Математический анализ» 2 семестр 1. Неопределенный интеграл 1.1. Первообразная и неопределённый интеграл Ставится задача: дана функция f ( x) ...

Высшая математика

Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексное сопряжение

Лекция 7. Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексное сопряжение. Модуль и аргумент ...

Высшая математика

Высшая математика

К У Р С В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К И Краткий конспект лекций ЧАСТЬ 2 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее ...

Высшая математика

Двойной интеграл (4 часа).

Раздел «Кратные интегралы» Лекция 1: Двойной интеграл (4 часа) 1. Понятие двойного интеграла 2. Повторные интегралы. Сведение двойного интеграла к пов...

Высшая математика

Криволинейные интегралы (4 часа).

Раздел «Кратные интегралы» Лекция 2: Криволинейные интегралы (4 часа) 1. Криволинейные интегралы первого рода 2. Вычисление криволинейных интегралов п...

Высшая математика

Неопределенный интеграл и его свойства

Неопределенный интеграл и его свойства 1. Первообразная. Определение неопределенного интеграла Определение 1. Функция F (x) называется первообразной о...

Высшая математика

Интегрирование по частям

3 метод Интегрирование по частям. Способ основан на известной формуле производной произведения: (𝑢𝑣) = 𝑢𝑣 + 𝑣𝑢 где 𝑢 и 𝑣 – некоторые функции от 𝑥. ...

Высшая математика

Центральная предельная теорема и теоремы непрерывности . Многомерное нормальное распределение.Дискретный и общий случай.

Êðàòêèé êîíñïåêò ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå (II-é êóðñ, âåñåííèé ñåìåñòð, ìîäóëü III) ëåêòîð Ñ.Â. Øàïîøíèêîâ 1. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåì...

Автор лекции

Шапошников С. В.

Авторы

Смотреть все