Неопределенный интеграл и его свойства
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Неопределенный интеграл и его свойства
1. Первообразная. Определение неопределенного интеграла
Определение 1. Функция F (x) называется первообразной от функции f (x) на
некотором множестве Х , если на этом множестве выполняется неравенство F ' ( x) = f ( x) .
Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) имеет на этом
отрезке первообразную.
Теорема 2. Если функции F (x) и G (x) являются первообразными одной и той же
функции f (x) на некотором множестве, то необходимым и достаточным условием этого
является то, что G ( x) = F ( x) + C , где С – любая постоянная.
Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f (x) на этом
множестве называется неопределенным интегралом.
Обозначение f ( x)dx = F ( x) + C ,
где
- знак интеграла, f (x) - подынтегральная функция, f ( x)dx - подынтегральное
выражение, F (x) - первообразная, C - постоянная.
Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую
функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная –
подынтегральной функции.
Например, 2 хdx = х 2 + C , так как ( х 2 + C )' = 2 x или d ( х 2 + C ) = 2 xdx .
С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой
однопараметрическое семейство кривых F ( x) + C (C - параметр).
На рисунке изображен неопределенный интеграл х 2 + C от функции f ( x) = 2 x , т.
е. семейство парабол y = х 2 + C .
Кривые семейства F ( x) + C называются интегральными кривыми. Они
непересекаются между собой и некасаются друг друга. Все интегральные кривые
получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси ординат.
1
2. Свойства неопределенного интеграла:
Укажем основные свойства неопределенного
непосредственно из его определения:
1) d f ( x)dx = d (F ( x) + C ) = F ' ( x)dx = f ( x)dx ;
Благодаря
этому
свойству
правильность
интегрирования
x3
дифференцированием. Например, x dx =
+ C , так как
3
2
интеграла,
вытекающего
проверяется
'
x3
3x 2
+ C =
= x2 .
3
3
2) dF ( x) = F '( x)dx = f ( x)dx = F ( x) + C
3) k ⋅ f ( x)dx = k ⋅ f ( x)dx , где k = const ;
4) ( f ( x) ± g ( x))dx = f ( x)dx ± g ( x)dx .
5) Инвариантность формулы интегрирования.
Если f ( x)dx = F ( x) + C , то и f (u )du = F (u ) + C , где u = ϕ ( х) – произвольная
функция, имеющая непрерывную производную.
Замечание. Данное свойство утверждает, что формула для неопределенного
интеграла остается справедливой независимого от того, является ли переменная
интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей
непрерывную производную. Так
3. Таблица интегралов
1. u n du =
u n+1
+C
n +1
2. du = u + C ;
du
u =2 u +C;
du
1
4. 2 = − + C ;
u
u
3.
au
5. a du =
+C;
ln a
u
1
u
= arctg + C , a = const ;
a
a
du
1 u−a
13. 2
= ln
+ C , a = const ;
2
2a u + a
u −a
du
1 a+u
a 2 − u 2 = 2a ln a − u + C , a = const ;
du
u
14.
= arc sin + C , a = const ;
a
a2 − u2
12.
du
u2 + a2
15.
6. e u du = e u + C ;
du
u = ln u + C ;
8. cos udu = sin u + C ;
7.
9. sin udu = cos u + C ;
du
10.
cos 2 u = tgu + C ;
11.
sin 2 u = −ctgu + C ;
du
2
du
u2 ± a
= ln u + u 2 ± a + C a = const .
Основные методы интегрирования
1 способ. Непосредственное интегрирование или табличный.
С помощью алгебраических действий приводим неопределенный интеграл к
табличному и исполузуем основнын свойства неопределенных интегралов.
Примеры. Вычислить неопределенные интегралы:
x6
5
1. x dx =
+C.
6
dx
x −4+1
x −3
−4
+C =
+C.
2. 4 = x dx =
− 4 +1
−3
x
3.
4.
xdx =
dx
= x
x
3
1
x 2 dx
−
1
3 dx
=
=
1
+1
x2
1
+1
2
1
− +1
x 3
1
− +1
3
5. x 3 ⋅ x dx = x 3 ⋅
xdx
xdx
= 1 =
x
x3
6.
3
7.
+C =
1
x 2 dx
1
1−
x 3 dx
3
x2
+C =
=x
2
x3
2
3
+C =
1
2 dx
2
x 3 dx
−
=
=
+C.
3
2
3x 3
2
7
x 2 dx
2
+1
x3
=
+C.
7
+1
x2
7
+1
2
5
x3
+C =
9
x2
9
2
+C =
9
2x 2
9
+C.
5
3x 3
+C =
+C =
+C.
2
5
5
+1
3
3
x 5x 5 4 x
x − 5x5 + 4x
x
x5
x
dx
=
−
+
dx
=
dx
−
5
dx
+
4
dx =
2
2
2
2
2
x2
x2
x
x
x
x
x
3
2 dx
=
3+
+C =
3
2
3
2x 2
1
2
1
−
dx x
x4
5x 4
2
=x
− 5 x dx + 4 =
− 5⋅
+ 4 ln x + C = −2 x −
+ 4 ln x + C .
x −1
4
4
2
8. ( x 3 − x )dx = ( x 6 − 2 x 3 ⋅ x + x)dx = x 6 dx − 2 x 3 ⋅ x dx + xdx =
−
3
7
x 2 dx
9
x2
2
3
7
9
4x 2
x
x
x
x2
= x dx − 2
+ xdx =
− 2⋅
+
+C =
−
+
+C.
9
7
2
7
9
2
2
3
dx
3dx
dx
dx
1
9. 2
− 2
+ 2
= 2
+ 3 2
=
dx = 2
2
x + 16
x − 25
x +4
x − 52
x + 16 x − 25
1
1
x−5
1
x
x 3 x−5
= arctg + 3 ⋅
⋅ ln
+ C = arctg + ln
+C.
4
2⋅5
x+5
4
4
4 10 x + 5
dx
dx
1
dx
1
10.
=
=
=
ln x + x 2 − 15 + C .
2
2
2
2
2
x − 15
2 x − 30
2( x − 15 )
6
7
2 способ. Подведение под знак дифференциала.
Метод опирается на использование свойтсва 5 неопределенного интеграла о его
инвариантности: если f ( x)dx = F ( x) + C , то и f (u )du = F (u ) + C , где u = ϕ ( x) произвольная функция, имеющая непрерывную производную. При этом необходимо
помнить таблицу дифференциалов.
Таблица дифференциалов:
1. dx = d ( x ± a ) ,
2. dx =
1
d (ax ) , где a = const ;
a
1
1
1
1
2. xdx = d ( x 2 ) ; x 2 dx = d ( x 3 ) ; x 3 dx = d ( x 4 ) и т.д. x n dx =
d ( x n +1 ) ;
2
4
3
n +1
dx
3.
= 2d ( x ) ;
x
dx
1
4. 2 = −d ;
x
x
1
d (a x ) ;
5. a x dx =
ln a
6. e x dx = d (e x ) ;
dx
7.
= d (ln x) ;
x
8. cos xdx = d (sin x) ;
9. sin xdx = −d (cos x) ;
dx
= d (tgx) ;
10.
cos 2 x
dx
11.
= − d (ctgx) ;
sin 2 x
d (arctgx)
dx
=
;
12. 2
x + 1 − d (arcctgx)
d (arcsin x)
dx
.
13.
=
2
−
d
(arccos
x
)
1− x
Примеры.
1 серия примеров. Использует только формулы 1 и 2 таблицы дифференциалов.
1
d (4 x )
dx
1 d (4 x) 1
4
1.
=
=
cos 2 4 x 4 4 cos 2 4 x = 4 tg 4 x + C .
cos 2 4 x
2. cos( x − 3)dx = cos( x − 3)d ( x − 3) = sin( x − 3) + C .
1
1
1
1
3. e 5 x +18 dx = e 5 x +18 d (5 x) = e 5 x +18 d (5 x) = e 5 x +18 d (5 x + 18) = e 5 x +18 + C .
5
5
5
5
4
1
d (8 x)
dx
1 d (8 x) 1 d (8 x + 1) 1
8
4.
=
=
=
= ⋅ 2 8x + 1 + C .
8x + 1
8x + 1 8 8x + 1 8
8x + 1 8
dx
1
1
5.
= (7 − 2 x) −6 dx = (7 − 2 x) −6 − d (−2 x) = − (7 − 2 x) −6 d (−2 x) =
6
2
(7 − 2 x )
2
1
1 (7 − 2 x) −5
(7 − 2 x) −5
−6
= − (7 − 2 x ) d (7 − 2 x ) = − ⋅
+C =
+C.
2
2
−5
10
1
d (11x)
dx
1
d (11x)
11
6.
=
=
=
2
2
2
11
4 − (11x − 15)
4 − (11x − 15)
4 − (11x − 15)
dx
=
=
4 − (11x − 15)
2
=
1
d (11x)
1
d (11x)
11
=
=
2
2
11
4 − (11x − 15)
4 − (11x − 15)
1
d (11x − 15)
1
d (11x − 15)
1
11x − 15
arcsin
=
=
+C.
11 4 − (11x − 15) 2 11 2 2 − (11x − 15) 2 11
2
2 серия примеров. Использует только формулы 3-14 таблицы дифференциалов.
u = cos x
sin xdx − d (cos x)
d (cos x)
1. tgxdx =
=
= −
= du
= − ln cos x + C .
cos x
cos x
cos x
−
= − ln u + C
u
u = ln x
dx
d (ln x)
2.
=
= du
= 2 ln x + C .
=
2
u
+
C
x ln x
ln x
u
u = ctgx
− d (ctgx)
d (ctgx)
du
1
1
=−
= − 2 = − + C = =
+C.
2
2
ctgx
ctg x
ctg x
u
u
1
= +C
u
u = arcsin x
arcsin 5 xdx
arcsin 6 x
5
6
4.
= arcsin xd (arcsin x) = 5
=
+C.
u
6
u
du
=
+
C
1 − x2
6
3.
5.
dx
sin 2 x ⋅ ctg 2 x =
u = x2 + 1
1
d (x2 )
xdx
1 d ( x 2 + 1) 1 du 1
2
=
=
=
= ⋅ 2 u + C = x2 + 1 + C .
2
2
2
2 u 2
x +1
x +1 2
x +1
= u +C
u = x4
4
1
1
1 4
= ex + C .
6. x 3e x dx = e x d ( x 4 ) = e x d ( x 4 ) = 1 u
1 u
4
4
e du = 4 e + C 4
4
4
4
5
3 способ. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Теорема 3. Пусть функция y = f ( x) определена на множестве X , а функция
x = ϕ (t ) - на множестве Φ , причем ϕ (t ) ∈ X , ∀t ∈ Φ . Тогда, если функция y = f ( x)
имеет первообразную F ( x) на X , а функция ϕ (t ) дифференцируема на Φ , то
f [ϕ (t )] ⋅ ϕ ' (t )dt = f ( x)dx .
Замечание 1. Данную формулу называют формулой интегрирования
подстановкой.
Замечание 2. Часто удобно бывает использовать полученную формулу «в
обратную сторону»: f ( x)dx = f [ϕ (t )] ⋅ ϕ ' (t )dt , т.е. заменять переменную х функцией
новой переменной t . Эта формула носит название формулы интегрирования заменой
переменной.
Пример. Вычислить интеграл x x − 3dx .
Решение. x x − 3dx =
x − 3 = u x − 3 = u2 x = 3 + u2
dx = (u + 3)' dt = 2udu
2
= (u 2 + 3)u ⋅ 2udu =
2
u5
u3
= (2u + 6u )du =2 u du + 6 u du = 2 ⋅ + 6 ⋅ + C = ( x − 3 )5 + 2( x − 3 )3 + C .
5
3
5
4 способ. Интегрирование по частям.
Теорема 4. Если функции u ( х) и v( х) дифференцируемы на некотором
4
3
4
2
промежутке, и на нем существует интеграл vdy , то на нем существует и интеграл udv ,
причем udv = uv − vdu .
Этот метод применяется чаще всего к интегралам вида
Pn ( x) f ( x)dx ,
где Pn ( x) –
многочлен, f ( x) – любая элементарная функция.
Возможны три типа:
I тип: f ( x) = ekx , cos kx , sin kx ,
u = P ( x) du = ( P( x))' dx
.
dv = f ( x)dx v = f ( x)dx
II тип: f ( x) = ln kx , arccos kx , arcsin kx , arctgx , arcctgx
u = f ( x) du = f ' ( x)dx
.
dv = P ( x)dx v = P ( x)dx
III тип: возвратный интеграл или сводящийся сам к себе (двукратного
применения интегрирования по частям приходим к исходному интегралу в правой части
с каким-либо коэффициентом). e ax cos(bx)dx , e ax sin(bx)dx , sin(ln x)dx , cos(ln x)dx .
Примеры. Вычислить интегралы:
du = ( x)' dx = 1 ⋅ dx = dx
u=x
1. x cos xdx =
= uv − vdu =
dv = cos xdx v = cos xdx = sin x
= x sin x − sin xdx =x sin x − (− cos x) + C = x sin x + cos x + C .
6
2. x 2 e 3 x dx =
u=x
2
du = ( x 2 )' dx = 2 x ⋅ dx
3x
dv = e 3 x dx v = e dx =
1 3x
1 3 x = uv − vdu =
e
d
x
=
e
(
3
)
3
3
1
1
1
2
= x 2 e 3 x − e 3 x ⋅ 2 xdx = x 2 e 3 x − xe 3 x dx =
3
3
3
3
du = ( x)' dx = 1 ⋅ dx = dx
u=x
=
1 3x
1 3x =
3x
dv = e 3 x dx v = e dx = e d (3 x) = e
3
3
2 1 3x
1 3x x 2 3x 2 1 3x 1 3x
2 1 3x
= x e − x ⋅ e − e dx = e − x ⋅ e − e dx =
3
3 3
3
3 3
3
3
x 2 3x 2 3x 2 3x
x 2 3x 2 3x 2 1 3x
= e − xe + e dx = e − xe + ⋅ e d (3 x) =
3
9
9
3
9
9 3
2
x
2
2
= e 3 x − xe 3 x + e 3 x + C .
3
9
27
1
dx
u = ln x
du = (ln x)' dx = ⋅ dx =
x
x
= uv − vdu =
3. x 6 ln xdx =
7
x
6
dv = x 6 dx v = x dx =
7
x7
x 7 dx x 7
1 6
x7
1 x7
x7
x7
= ln x ⋅
− ⋅ = ln x − x dx = ln x − ⋅
+ C = ln x −
+C.
7
7 x
7
7
7
7 7
7
49
u = arctgx
dx
1
du = (arctgx)' dx =
⋅
dx
=
1 + x2
1 + x 2 = uv − vdu =
4. arctgxdx =
dv = 1 ⋅ dx = dx v = dx = x
dx
xdx
1 d (x2 )
= arctgx ⋅ x − x ⋅
=arctgx ⋅ x −
=arctgx ⋅ x −
=
2 1 + x2
1 + x2
1 + x2
1 d ( x 2 + 1)
1
= arctgx ⋅ x −
=
arctgx
⋅
x
−
ln x 2 + 1 + C .
2
2 1+ x
2
5. e sin xdx =
x
u = ex
du = (e x )' dx = e x ⋅ dx
dv = sin xdx v = sin xdx = − cos x
= uv − vdu =
= e x (− cos x) − (− cos x)e x dx = −e x cos x + e x cos xdx =
=
u = ex
du = (e x )' dx = e x ⋅ dx
dv = cos xxdx v = cos xdx = sin x
= uv − vdu =
= e x cos x + e x sin x − sin xe x dx .
Таким образом, e x sin xdx = e x cos x + e x sin x − e x sin xdx ,
e
x
sin xdx + e x sin xdx = e x cos x + e x sin x ,
2 e x sin xdx = e x cos x + e x sin x e x sin xdx =
7
e x cos x + e x sin x
+C.
2
5 способ. Интегрирование выражений, содержащих в знаменателе квадратный
трехчлен.
dx
1. Рассмотрим интеграл I1 = 2
. Преобразуем трехчлен, стоящий в
ax + bx + c
знаменателе, выделив полный квадрат.
dx
dx
1
dx
I1 = 2
=
=
=
2
2
c a 2
2 b
ax + bx + c
b
b
b
c
a x + x +
x + 2⋅
x+ − +
a
a
2a
a
2a 2a
2
1
dx
c b
1
dx
2
=
=
−
=
±
=
Пусть
k
2
2
2
a
a 2a
a
b
c b
b
2
x + + −
x + + k
2a
a 2a
2a
Знак «+» или «–» берется в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее
слева, положительным или отрицательным. Далее применяем 12 или 13 формулы из
таблицы интегралов.
dx
Пример 1. Вычислить интеграл I1 = 2
.
2 x + 8 x + 20
Решение.
1
1
dx
dx
dx
dx
I1 = 2
=
= 2
= 2
=
2
2 x + 8 x + 20
2( x + 4 x + 10) 2 x + 4 x + 10 2 ( x + 4 x + 4) − 4 + 10
dx
dx
d ( x + 6)
x+2
1
1
1
1 1
=
=
=
=
⋅
arctg
+C.
2 ( x + 2) 2 + 6 2 ( x + 2) 2 + 6 2 2 ( x + 2) 2 + 6 2 2 6
6
dx
.
x 2 + 3 x − 10
dx
dx
dx
=
=
=
Решение. I1 = 2
2
9 9
2
x + 3 x − 10
3
49
x + 3 x + − − 10
x + −
4 4
2
4
Пример 2. Вычислить интеграл I1 =
3
3 7
d x +
x+ −
dx
1
2
2 2 + C = 1 ln x − 2 + C .
=
ln
=
=
2
2
2
2
7
3 7
7 x+5
3 7
3 7
2⋅
x+ +
x + −
x + −
2
2 2
2 2
2 2
dx
2. Рассмотрим интеграл I 2 =
. Применяя те же преобразования, что и
ax 2 + bx + c
для интеграла I1 , можно показать, что этот интеграл сводится выделением полного
квадрата, в зависимости от знака a , к табличным интегралам:
a > 0:
1
dx
dx
dx
I2 =
=
=
=
2
2
2
a
b
c
2
ax + bx + c
a x 2 + x +
x + 2 ⋅ b x + b − b + c
a
a
2a
a
2a 2a
8
1
dx
=
2
2
a
b
c b
x +
+ −
2a
a 2a
Далее применяем 15 формулy из таблицы интегралов.
b
d x +
2
2
b
b
c b
1
1
2a
=
=
+ x +
ln x +
+ − +C.
2
2
a
a
a 2a
2
2
a
a
b
c b
x +
+ −
a 2a
2a
a < 0 : Применяем 14 формулy из таблицы интегралов.
dx
Пример 3. Вычислить интеграл I 2 =
.
3x 2 − 4 x + 1
dx
dx
1
dx
Решение. I 2 =
=
=
=
2
3
4
1
4
1
3x − 4 x + 1
x2 − x +
3 x 2 − x +
3
3
3
3
=
=
2
d x −
3
dx
dx
1
1
1
=
=
=
2
2
3 2 4
3
3
4 4 1
2
1
2
1
x − x + − +
x− −
x− −
3
9 9 3
3
3
3
3
2
1
2
2
1
=
ln x − + x − − + C .
3
3
3
3
dx
Пример 4. Вычислить интеграл I 2 =
Решение.
=
dx
− x + 6x − 5
dx
− (( x − 3) − 4)
2
2
=
=
− x2 + 6x − 5
dx
− ( x − 6 x + 5)
dx
− ( x − 3) + 4
2
2
=
=
dx
4 − ( x − 3)
2
.
dx
− (( x − 6 x + 9) − 9 + 5)
2
=
d ( x − 3)
2 − ( x − 3)
2
2
=
=
x − 3
= arcsin
+C
2
( Ax + B )dx
. В числителе выделяем производную
ax 2 + bx + c
знаменателя и преобразуем интеграл так, чтобы получилось первоначальное выражение.
Затем представляем интеграл в виде суммы двух слагаемых, поделив числитель на
знаменатель.
A
A
(2ax + b) ⋅
−b⋅
+B
( Ax + B )dx
2
2
2
a
a
I3 = 2
dx =
= (ax + bx + c)' = 2ax + b =
ax + bx + c
ax 2 + bx + c
3. Рассмотрим интеграл I 3 =
9
=
A
A
+ B dx
− b ⋅
dx
dx
2a
= A (2ax + b)dx + − b ⋅ A + B
2a +
=
2
2
2
2
2a ax + bx + c
2a
ax + bx + c
ax + bx + c
ax + bx + c
(2ax + b) ⋅
Второй интеграл есть I1 , решаем его аналогично 1 типу. В первом интеграле
выражение 2ax + b заносим под дифференциал, получаем (2ax + b)dx = d (ax 2 + bx + c) :
Для первого интеграла
A d (ax + bx + c)
A
2
+
−
⋅
+
b
B
⋅ I1 = u = ax + bx + c
2
2a ax + bx + c
2a
A du A
= ln u
2a u 2 a
A
A
= ln ax 2 + bx + c + − b ⋅
+ B ⋅ I1 + C
2a
2a
( x + 3)dx
.
Пример 5. Вычислить интеграл I 3 = 2
x − 2x − 5
=
2
Решение. I 3 =
( x + 3)dx
= ( x 2 − 2 x − 3)' = 2 x − 2 =
2
x − 2x − 5
=
1
+1+ 3
2
dx =
x2 − 2x − 5
( 2 x − 2) ⋅
1
4
1 (2 x − 2)dx
dx
2 dx +
= 2
dx
=
+
4
=
2 x2 − 2x − 5
x − 2x − 5
x2 − 2x − 5
x2 − 2x − 5
1 d ( x 2 − 2 x − 5)
1
dx
dx
= 2
+ 4 2
= ln x 2 − 2 x − 3 + 4
=
2 x − 2x − 5
( x − 2 x + 1) − 1 − 5 2
( x − 1) 2 − 6
(2 x − 2) ⋅
1
d ( x − 1)
1
1
x −1− 6
= ln x 2 − 2 x − 5 + 4
= ln x 2 − 2 x − 3 + 4 ⋅
ln
.
2
2
2
2
( x − 1) − ( 6 )
2 6 x −1+ 6
( Ax + B)dx
. Этот интеграл вычисляется при
ax 2 + bx + c
помощи преобразований, аналогичных для интегралов I 3 , т. е. выделением в числителе
выражения, равного производной от подкоренного выражения, стоящего в знаменателе:
A
A
(2ax + b) ⋅
−b⋅
+B
( Ax + B)dx
2
2
2
a
a
I4 =
= (ax + bx + c)' = 2ax + b =
dx =
2
2
ax + bx + c
ax + bx + c
A
A
+ B dx
− b ⋅
(2ax + b) ⋅ dx
dx
2a
= A (2ax + b)dx + − b ⋅ A + B
2a +
=
=
2a ax 2 + bx + c
2a
ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c
4. Рассмотрим интеграл I 4 =
Второй интеграл есть I 2 , решаем его аналогично 2 типу. В первом интеграле
выражение 2ax + b заносим под дифференциал, получаем (2ax + b)dx = d (ax 2 + bx + c) :
10
=
Для первого интеграла
A d (ax + bx + c)
A
+ − b ⋅
+ B ⋅ I 2 = u = ax 2 + bx + c
2a
2a
ax 2 + bx + c
A du
A
=
⋅2 u
2 a u 2a
2
=
A
A
⋅ 2 ax 2 + bx + c + − b ⋅
+ B ⋅ I2 + C
2a
2a
(5 x + 3)dx
Пример 6. Вычислить интеграл I 4 =
.
2
x + 4 x + 10
=
Решение. I 4 =
(5 x + 3)dx
x 2 + 4 x + 10
= ( x 2 + 4 x + 10)' = 2 x + 4 =
5
− 10 + 3
2
dx =
x 2 + 4 x + 10
( 2 x + 4) ⋅
5
(2 x + 4) ⋅ dx
− 7 dx
5 (2 x + 4)dx
dx
2 +
=
=
− 7
=
2
2
2
2
2
x + 4 x + 10
x + 4 x + 10
x + 4 x + 10
x + 4 x + 10
2
5 d ( x + 4 x + 10)
dx
5
d ( x + 2)
=
− 7
= ⋅ 2 x 2 + 4 x + 10 − 7
=
2
2
2
2
2
x + 4 x + 10
( x + 4 x + 4) − 4 + 10
( x + 2) + 6
= 5 x 2 + 4 x + 10 − 7 ln x + 2 + ( x + 2) 2 + 6 + C .
6 способ. Интегрирование рациональных дробей. Разложение многочлена на
множители.
Рассмотрим многочлен, т.е. выражение вида
Pn ( x) = an x n + an −1 x n −1 + K + a1 x + a0 ,
где a0 , a1 ,K, an , x – действительные числа.
Числа a0 , a1 ,K, an называются коэффициентами многочлена, а натуральное число
n – его степенью.
Число x0 называется корнем многочлена, если Pn ( x0 ) = 0 .
Теорема 1. Если x0 корень многочлена Pn ( x) , то многочлен делится без остатка на
x − x0 , т.е. Pn ( x) = ( x − x0 ) Pn −1 ( x) .
Теорема 2. Всякий многочлен может быть представлен в виде
Pn ( x) = an ( x − x1 )( x − x2 ) ⋅ K ⋅ ( x − xn ) ,
где x1 , x2 ,K, xn - корни многочлена, an - коэффициент при наивысшей степени x n .
Пример 1. Разложить на множители многочлены: а) Pn ( x) = x3 − 2 x 2 − x + 2 ,
б) Pn ( x) = x5 − 5 x 4 + 12 x3 − 24 x 2 + 32 x − 16 .
Решение.
а) Pn ( x) = x3 − 2 x 2 − x + 2 = ( x 3 − 2 x 2 ) − ( x − 2) = x 2 ( x − 2) − ( x − 2) = ( x − 2)( x 2 − 1) =
= ( x − 2)( x − 1)( x + 1) .
11
б) Pn ( x) = x5 − 5 x 4 + 12 x3 − 24 x 2 + 32 x − 16 . Найдем делители свободного члена -16:
± 1,±2,±4,±8,±16 . Среди этих чисел подбором найдем один корень. Нетрудно заметить,
что при х = 1 данный многочлен обращается в ноль. Следовательно, он делится на
разность х − 1 . Выполним это деление:
Таким образом, x 5 − 5 x 4 + 12 x3 − 24 x 2 + 32 x − 16 = ( x − 1)( x 4 − 4 x 3 + 8 x 2 − 16 x + 16) .
Далее обратим внимание, что многочлен x 4 − 4 x3 + 8 x 2 − 16 x + 16 обращается в ноль при
х = 2 , следовательно, он делится на разность х − 2 :
Таким образом, x 4 − 4 x3 + 8 x 2 − 16 x + 16 = ( x − 2)( x 3 − 2 x 2 + 4 x − 8) . В свою очередь
получившийся многочлен x3 − 2 x 2 + 4 x − 8 также делится на х − 2 , т. е. х = 2 является
корнем кратности 2 для исходного многочлена. Действительно,
Таким образом, x3 − 2 x 2 + 4 x − 8 = ( x − 2)( x 2 + 4) .
Окончательно имеем
x 5 − 5 x 4 + 12 x3 − 24 x 2 + 32 x − 16 = ( x − 1)( x − 2)( x − 2)( x 2 + 4) = ( x − 1)( x − 2) 2 ( x 2 + 4) .
12
Среди корней многочлена Pn ( x) один и тот же корень может встретиться
несколько раз.
Натуральное число k называется кратность корня x1 многочлена Pn ( x) , если этот
многочлен делится на ( x − x1 ) k , но не делится ( x − x1 ) k +1 .
Корень кратности 1 называется простым, а корень кратности больше 1 – кратным.
Тогда разложение многочлена (теорема 3) запишется в следующем виде
Pn ( x) = an ( x − x1 ) k1 ( x − x2 ) k 2 K ( x − xN ) k N ,
где xi ≠ x j , k1 + k2 + K + k N = n .
Следовательно, в комплексной области всякий многочлен можно разложить на
линейные множители разной кратности.
Разложение рациональных дробей на простейшие
Рациональной функцией R(x) называется функция, равная отношению двух
многочленов:
Pm ( x) bm x m + bm −1 x m −1 + K + b1 x + b0
,
R( x) =
=
Qn ( x) an x n + an −1x n −1 + K + a1 x + a0
где n, m , – целые положительные числа, a0 , a1 ,K, an ; b0 , b1 ,K, bm – действительные числа.
Если степень числителя меньше степени знаменателя ( m < n ), то R(x) называется
правильной дробью, если степень числителя больше либо равна степени знаменателя
( m ≥ n ), то дробь называется неправильной.
Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно
представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби:
Pm ( x)
P ( x)
= M n − m ( x) + 1
,
Qn ( x)
Qn ( x)
P1 ( x)
– правильная дробь.
Qn ( x)
Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию
многочленов, т. е. степенных функций, и правильных дробей.
Покажем, что всякую рациональную дробь модно разложить на сумму простых
P( x)
– правильная рациональная дробь, тогда в зависимости от вида
дробей. Пусть
Q( x)
корней знаменателя Q(x) в разложении будут присутствовать следующие слагаемые,
представляющие собой простейшие дроби:
где M n − m ( x), P1 ( x) – многочлены,
Вид корня знаменателя
Множители в
формуле
Слагаемые в разложении
Простой действительный
( x − x0 )
A
x − x0
Действительный кратности k
( x − x0 ) k
A1
A2
Ak
+
+K+
2
x − x0 ( x − x0 )
( x − x0 ) k
3)
Многочлен,
стоящий
в
знаменателе
не
имеет
x 2 + px + q
13
=
Ax + B
x + px + q
2
действительных
корней,
т.е.
простые
комплексносопряженные корни
4)
Многочлен,
стоящий
в
знаменателе
не
имеет
действительных
корней,
т.е.
имеет кратные комплексные
корни
( x 2 + px + q ) k
A1 x + B1
A2 x + B2
+
+K+
x 2 + px + q ( x 2 + px + q ) 2
A x + Bk
+ 2 k
( x + px + q ) k
Пример 2. Простые действительные корни (1 случай таблицы):
Pn ( x)
A
B
C
.
=
+
+
( x − 1)( x − 2)( x − 5) x − 1 x − 2 x − 5
Пример
3.
Действительные
корни
разной
кратности:
Pn ( x)
A
B
С
D
E
F
=
+
+
+
+
+
.
2
3
2
2
x − 1 x − 2 ( x − 2)
x − 5 ( x − 5)
( x − 1)( x − 2) ( x − 5)
( x − 5)3
Пример
4.
Простые
комплексно-сопряженные
корни:
Pn ( x)
Ax + B
Cx + D
=
+
.
( x 2 + 1)( x 2 + 2 x + 3)
x2 + 1 x2 + 2x + 3
Пример
5.
Комплексно-сопряженные
корни
разной
кратности:
Pn ( x)
A x + B1 A2 x + B2 A3 x + B3
C x + D1
C x + D2
= 12
+ 2
+ 2
+ 21
+ 22
.
2
3
2
2
2
3
( x + 1) ( x + 2 x + 3)
x +1
( x + 1)
( x + 1)
x + 2 x + 3 ( x + 2 x + 3) 2
Pn ( x)
A
Bx + C
D
E
+
+
Пример 6. Общий случай:
=
+
.
( x + 1)( x 2 + 4)( x − 1) 2 x + 1 x 2 + 4 x − 1 ( x − 1) 2
Для определения неизвестных коэффициентов в приведенных разложениях
поступают следующим образом. Написанное равенство есть тождество, поэтому
приводим правую часть к общему знаменателю. Так как дроби равны и у них
одинаковые знаменатели, можно приравнять друг к другу числители. Получается
равенство двух многочленов.
1) Метод частных значений. Если корни многочлена, стоящего в знаменателе
дроби относится к 1 типу из таблицы, то коэффициенты можно найти методом частных
значений. Он заключается в поочередном приравниванию к нулю каждой из скобок
x − x0 . Постепенно находим каждый из коэффициентов.
2) Метод неопределенных значений. Он состоит в приравнивании
коэффициентов при одинаковых степенях x , получим систему уравнений для
определения неизвестных коэффициентов.
Интегрирование рациональных дробей
Алгоритм решения:
1.
Определяют правильная или неправильная дробь. В случаи правильной
дроби, переходим к пункту 2. Если дробь неправильная, путем деления числителя на
знаменатель дробь можно представить в виде суммы некоторого многочлена и
P( x)
остаток
правильной дроби:
= целая часть +
.
Q( x)
Q( x)
14
2.
Выписываем правильную дробь отдельно. Разложив знаменатель правильной
рациональной дроби на множители, представим ее в виде суммы простейших
рациональных дробей, пользуясь таблицей.
3.
Находим коэффициенты разложения.
4.
Проинтегрируем многочлен и полученную сумму простейших рациональных
дробей.
2 x5 + 6 x3 + 1
Пример 7. Вычислить интеграл
dx .
x 4 + 3x 2
Решение.
1.
Подынтегральная дробь является неправильной, поэтому путем деления
числителя на знаменатель дробь можно представить в виде суммы некоторого
многочлена и правильной дроби:
2 x5 + 6 x3 + 1
1
x 4 + 3x 2 dx = 2 x + x 4 + 3x 2 dx .
2.
Выписываем правильную дробь отдельно. Разложив знаменатель правильной
рациональной дроби на множители, представим ее в виде суммы простейших
рациональных дробей, пользуясь таблицей:
1
1
A B Cx + D
=
=
+
+
.
x 4 + 3 x 2 x 2 ( x 2 + 3) x x 2 x 2 + 3
3.
Находим коэффициенты разложения. Написанное равенство есть тождество,
поэтому приводим правую часть к общему знаменателю. Так как дроби равны и у них
одинаковые знаменатели, можно приравнять друг к другу числители. Получается
равенство двух многочленов.
1
1
A B Cx + D Ax( x 2 + 3) + B( x 2 + 3) + (Cx + D) x 2
=
= + +
=
,
x 4 + 3 x 2 x 2 ( x 2 + 3) x x 2 x 2 + 3
x 2 ( x 2 + 3)
Получаем:
1 = Ax( x 2 + 3) + B ( x 2 + 3) + (Cx + D ) x 2 .
Пользуемся методом неопределенных коэффициентов, для этого раскроем скобки
1 = Ax 3 + 3 Ax + Bx 2 + 3B + Cx 3 + Dx 2 .
Имеем по методу неопределенных коэффициентов:
x3 0 = A + C
x 3 0 = A + C A = −C = 0
2
2 0 = B + D B = −D = − 1
x 0 = B + D x
3.
1
1
=
3
A
A
=
x 0 = 3A
x
1
x 0 1 = 3B
x0
1 = 3B B =
3
1
1
0⋅ x −
1
1
1 1 1 1
Таким образом, имеем: 4
= 2 2
= + 32 + 2 3 =
−
.
2
x + 3x
x ( x + 3) x x
x + 3 3 x2 3 x2 + 3
15
Проинтегрируем многочлен и полученную сумму простейших рациональных
1
1 1 1 1
дробей: 2 x + 4
dx = 2 x + 2 − 2
dx =
2
3 x 3 x + 3
x + 3x
1 1 1 1
1 1
1 1
1 dx 1
dx
= 2x +
−
dx =3 xdx + 2 − 2
=
dx = 2 xdx + 2 dx − 2
2
2
3x
3 x + 3
3x
3 x +3
3 x
3 x + ( 3)2
4.
x2 1 1 1 1
x
1
1
x
= 2 + − − ⋅
arctg
+ C = x2 −
−
arctg
+C.
2 3 x 3 3
3x 3 3
3
3
Пример 8. Вычислить интеграл:
7 x − x2 − 4
( x 2 − 5 x + 6)( x + 1) dx ,
Решение.
1.
Подынтегральная дробь является правильной, поэтому переходим к пункту 2.
2.
Выписываем правильную дробь отдельно. Разложив знаменатель правильной
рациональной дроби на множители, представим ее в виде суммы простейших
рациональных дробей, пользуясь таблицей.
Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители. Для этого найдем
корни квадратного уравнения:
x 2 − 5 x + 6 = 0 , D = 25 − 4 ⋅ 6 ⋅ 1 = 1 , x1 = 3 , x1 = 2 x 2 − 5 x + 6 = ( x − 3)( x − 2) = 0
7 x − x2 − 4
7 x − x2 − 4
A
B
C
=
=
+
+
.
2
( x − 5 x + 6)( x + 1) ( x − 3)( x − 2)( x + 1) x − 3 x − 2 x + 1
3.
Находим коэффициенты разложения. Написанное равенство есть тождество,
поэтому приводим правую часть к общему знаменателю. Так как дроби равны и у них
одинаковые знаменатели, можно приравнять друг к другу числители. Получается
равенство двух многочленов.
7 x − x2 − 4
A
B
C
A( x − 2)( x + 1) + B ( x − 3)( x + 1) + C ( x − 3)( x − 2)
=
+
+
=
,
( x − 3)( x − 2)( x + 1) x − 3 x − 2 x + 1
( x − 3)( x − 2)( x + 1)
7 x − x 2 − 4 = A( x − 2)( x + 1) + B( x − 3)( x + 1) + C ( x − 3)( x − 2) .
Пользуемся методом частных значений, для этого в поочередно приравниванию к
нулю каждой из множителей в знаменателе:
x−3= 0
21 − 9 − 4 = A ⋅ (3 − 2)(3 + 1)
,
x=3
8 = 4A A = 2
x−2=0
x=2
x +1 = 0
x = −1
14 − 4 − 4 = B ⋅ (2 − 3)(2 + 1)
6 = −3 B B = − 2
,
− 7 − 1 − 4 = C ⋅ (−1 − 3)(−1 − 2)
− 12 = 12C C = −1
.
7 x − x2 − 4
2
2
1
Таким образом, имеем:
=
−
−
.
( x − 3)( x − 2)( x + 1) x − 3 x − 2 x + 1
16
Проинтегрируем многочлен и полученную сумму простейших рациональных
7 x − x2 − 4
2
1
2
дробей: 2
dx =
−
−
dx =
( x − 5 x + 6)( x + 1)
x − 3 x − 2 x + 1
dx
dx
dx
d ( x − 3)
d ( x − 2)
d ( x + 1)
= 2
− 2
−
== 2
− 2
−
=
x−3
x−2
x +1
x−3
x−2
x +1
= 2 ln x − 3 − 2 ln x − 2 − ln x + 1 + C .
4.
Пример 9. Вычислить интеграл
x5 + x 4 − 8
x3 − 4 x dx .
Решение.
Подынтегральная дробь является неправильной, поэтому путем деления
1.
числителя на знаменатель дробь можно представить в виде суммы некоторого
многочлена и правильной дроби:
Получаем:
2
x5 + x 4 − 8
4 x 2 + 16 x − 8
dx .
dx
=
x
+
x
+
4
+
x3 − 4 x
3
x
−
4
x
2.
Выписываем правильную дробь отдельно. Разложив знаменатель правильной
рациональной дроби на множители, представим ее в виде суммы простейших
рациональных дробей, пользуясь таблицей:
4 x 2 + 16 x − 8 4 x 2 + 16 x − 8 4 x 2 + 16 x − 8
A
B
C
=
=
=
+
+
.
x( x − 2)( x + 2) x x − 2 x + 2
x3 − 4 x
x ( x 2 − 4)
3.
Находим коэффициенты разложения. Написанное равенство есть тождество,
поэтому приводим правую часть к общему знаменателю. Так как дроби равны и у них
одинаковые знаменатели, можно приравнять друг к другу числители. Получается
равенство двух многочленов.
4 x 2 + 16 x − 8
A
B
C
A( x − 2)( x + 2) + Bx( x + 2) + Cx( x − 2)
= +
+
=
,
x( x − 2)( x + 2) x x − 2 x + 2
x( x − 2)( x + 2)
4 x 2 + 16 x − 8 = A( x − 2)( x + 2) + Bx( x + 2) + Cx ( x − 2) .
Пользуемся методом неопределенных коэффициентов, для этого раскроем скобки
4 x 2 + 16 x − 8 = Ax 2 − 4 A + Bx 2 + 2 Bx + Cx 2 − 2Cx .
Имеем по методу неопределенных коэффициентов:
17
x2 4 = A + B + C
x2 4 = A + B + C 4 = 2 + B + C
1
1
16 = 2 B − 2C
x 16 = 2 B − 2C x
x 0 − 8 = −4 A
x0
− 8 = −4 A A = 2
2 = B + C
+
8 = B − C
B = 5, C = −3 .
2 = B + C
=
−
8
B
C
10 = 2 B
4 x 2 + 16 x − 8 2
5
3
= +
−
.
x( x − 2)( x + 2) x x − 2 x + 2
4.
Проинтегрируем многочлен и полученную сумму простейших рациональных
5
x + x4 − 8
2
5
3
дробей: 3
dx = x 2 + x + 4 + +
−
dx =
x x − 2 x + 2
x − 4x
2dx
5dx
3dx
= x 2 dx + xdx + 4dx +
+
−
=
x
x−2
x+2
dx
d ( x − 2)
d ( x + 2)
= x 2 dx + xdx + 4 dx + 2 + 5
− 3
=
x
x−2
x+2
x3 x 2
= +
+ 4 x + 2 ln x + 5 ln x − 2 − 3 ln x + 2 + C .
3
2
x+9
Пример 10. Вычислить интеграл 3
dx .
x − 6x2 + 9x
Решение.
1.
Подынтегральная дробь является правильной, поэтому переходим к пункту 2.
2.
Выписываем правильную дробь отдельно. Разложив знаменатель правильной
рациональной дроби на множители, представим ее в виде суммы простейших
рациональных дробей, пользуясь таблицей.
x+9
x+9
x+9
A
B
C
Получаем: 3
=
=
=
+
+
.
x − 6 x 2 + 9 x x( x 2 − 6 x + 9) x( x − 3) 2 x x − 3 ( x − 3) 2
3.
Находим коэффициенты разложения. Написанное равенство есть тождество,
поэтому приводим правую часть к общему знаменателю. Так как дроби равны и у них
одинаковые знаменатели, можно приравнять друг к другу числители. Получается
равенство двух многочленов.
x+9
A
B
C
A( x − 3) 2 + Bx( x − 3) + Cx
= +
+
=
,
x( x − 3) 2 x x − 3 ( x − 3) 2
x( x − 3) 2
Таким образом, имеем:
x + 9 = A( x − 3)2 + Bx( x − 3) + Cx .
Пользуемся методом неопределенных коэффициентов, для этого раскроем скобки
x + 9 = Ax 2 − 6 Ax + 9 A + Bx 2 − 3Bx + Cx .
Имеем по методу неопределенных коэффициентов:
18
x2
0 = A + B B = −1
1
x 1 = −6 A − 3B + C C = 4 .
x0
9 = 9A A = 1
x+9
1
1
4
Таким образом, имеем:
= −
+
.
2
x x − 3 ( x − 3) 2
x( x − 3)
Проинтегрируем многочлен и полученную сумму простейших рациональных
4.
1
x+9
1
4
дробей: 3
dx
=
−
+
x x − 3 ( x − 3) 2 dx =
x − 6x2 + 9x
=
dx
dx
4dx
dx
d ( x − 3)
d ( x − 3)
−
+
= −
+ 4
=
2
x
x−3
x
x−3
( x − 3)
( x − 3) 2
1
4
= ln x − ln x − 3 + 4 −
+C.
+ C = ln x − ln x − 3 −
x −3
x − 3
7 способ. Интегрирование тригонометрических выражений.
Вид интеграла
Замена
№
1
Формулы понижения степени:
m
1 − cos 2 x
sin xdx ,
sin 2 x =
,
2
n
cos xdx ,
1 + cos 2 x
cos 2 x =
,
m
n
sin
x
⋅
cos
xdx
,
2
где m , n - четные sin x ⋅ cos x = 1 sin 2 x .
2
положительные числа.
2
3
4
sin
В числителе замена (sin 2 x + cos 2 x) k = 1 ,
где
- четные где k = 1, 2,3,...
m, n
отрицательные числа
m
n
Отделяем от нечетной степени один
sin x ⋅ cos xdx ,
множитель
и
заносим
его
под
m
n
xdx
,
cos
xdx
,
sin
дифференциал
по
формулам
где
m,
n
- cos xdx = d (sin x) и sin xdx = −d (cos x) . Затем
положительные числа, по применяют формулы sin 2 x = 1 − cos 2 x или
крайней мере одно из них
cos 2 x = 1 − sin 2 x и решают интеграл с
нечетное.
помощью замены: u = cos x или u = sin x .
u = tgx или u = ctgx
sin m x ⋅ cos n xdx , где m, n
m
x ⋅ cos n xdx ,
- четные числа, одно из
них отрицательное.
19
Пример 1. Вычислить интеграл sin 4 xdx .
2
1 − cos 2 x
1 − 2 cos 2 x + cos 2 2 x
Решение. sin xdx = тип1 = (sin x) dx =
dx
=
dx =
2
4
4
2
2
1 2 cos 2 x cos2 2 x
1
2 cos 2 x
cos2 2 x
dx = dx −
= −
+
dx +
dx =
4
4
4
4
4
4
1
1
1
1
1 1
1 1 + cos 4 x
= dx − cos 2 xdx + cos 2 2 xdx = dx − ⋅ cos 2 xd (2 x) +
dx =
4
2
4
4
2 2
4
2
1
1
1
1
1
1
1
1 1
= x − sin 2 x + dx + cos 4 xdx = x − sin 2 x + x + ⋅ cos 4 xd (4 x) =
4
4
8
8
4
4
8
8 4
3
1
1
= x − sin 2 x + sin 4 x + C .
8
4
32
dx
Пример 2. Вычислить интеграл 4
.
sin x cos 2 x
dx
1 ⋅ dx
(sin 2 x + cos 2 x) 2 dx
= тип 2 = 4
=
=
Решение. 4
sin x cos 2 x
sin x cos 2 x
sin 4 x cos 2 x
(sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x)dx
sin 4 xdx
2 sin 2 x cos 2 xdx
cos 4 xdx
=
= 4
+
+ 4
=
sin 4 x cos 2 x
sin x cos 2 x
sin 4 x cos 2 x
sin x cos 2 x
dx
2dx
cos 2 xdx
dx
dx
dx
2
ctg
x
=
+
+
=
+
2
+
⋅
=
sin 2 x sin 4 x cos2 x sin 2 x
cos 2 x
sin 2 x
u = ctgx
ctg 3 x
2
3
= tgx − 2ctgx − ctg xd (ctgx) = 2
= tgx − 2ctgx −
+C.
u
3
u
du
=
+
C
3
Пример 3. Вычислить интеграл sin 4 x cos5 xdx .
Решение. sin 4 x cos5 xdx = тип 3 = sin 4 x cos 4 x cos xdx =
= sin 4 x(cos2 x) 2 d (sin x) = sin 4 x(1 − sin 2 x) 2 d (sin x) = u = sin x = u 4 (1 − u 2 ) 2 du =
= u 4 (1 − 2u 2 + u 4 )du = (u 4 − 2u 6 + u 8 )du = u 4 du − 2 u 6 du + u 8 du =
u5
u7 u9
sin 5 x 2 sin 7 x sin 9 x
= −2 + +C =
−
+
+C.
5
7
9
5
7
9
sin 2 xdx
Пример 4. Вычислить интеграл
.
cos8 x
sin 2 xdx
sin 2 x dx
1
dx
2
Решение.
=
тип
4
=
⋅
=
tg
x
⋅
=
cos8 x
cos2 x cos6 x
cos 4 x cos2 x
2
1
1
= tg x ⋅
d (tgx) = 1 + tg 2 x =
= tg 2 x ⋅ (1 + tg 2 x) 2 d (tgx) = u = tgx =
2
2
cos x
cos x
2
= u 2 ⋅ (1 + u 2 ) 2 du = u 2 ⋅ (1 + 2u 2 + u 4 )du = (u 2 + 2u 4 + u 6 )du =
20
u3
u5 u7
tg 3 x 2tg 5 x tg 7 x
= u du + 2 u du + u du =
+2 +
+C =
+
+
+C.
3
5
7
3
5
7
2
4
№
5
6
Вид интеграла
Замена
u = cos x
R(sin x,cos x)dx .
Функция
нечетная
относительно sin x ,
R(− sin x; cos) = − R(sin x; cos x) .
6
u = sin x
R(sin x,cos x)dx .
Функция
нечетная
относительно
cos x ,
R(sin x;− cos) = − R(sin x; cos x) .
7
R(sin x,cos x)dx .
Функция
четная
относительно sin x , cos x ,
R(− sin x;− cos) = R(sin x; cos x) .
Если
подынтегральная
функция зависит только от
tgx или ctgx .
9 Если
подынтегральная
функция зависит только от
tgx или ctgx в четной или
нечетной степени.
10 Интеграл общего вида
dx
a sin x + b cos x + c .
8
Универсальная
тригонометрическая
подстановка 1:
du
u = tgx , dx =
,
1 + u2
u2
1
2
sin 2 x =
,
cos
x
=
.
1 + u2
1 + u2
du
u = tgx , x = arctgu , dx =
1 + u2
Отделить tg 2 x или ctg 2 x и применить
1
1
формулу tg 2 x =
− 1 , ctg 2 x =
−1.
2
cos x
sin 2 x
Универсальная
тригонометрическая
подстановка 2:
x
2du
2u
u = tg ,
,
=
,
dx =
sin
x
2
1 + u2
1 + u2
1 − u2
cos x =
.
1 + u2
sin 3 xdx
Пример 5. Вычислить интеграл
.
2 + cos x
sin 3 xdx
sin 2 x sin xdx
sin 2 x(− d (cos x))
Решение.
= тип 5 =
=
=
2 + cos x
2 + cos x
2 + cos x
(1 − cos 2 x)d (cos x)
(1 − u 2 )du
(u 2 − 1)du
= −
= u = cos x = −
=
=
2 + cos x
2+u
u+2
Дробь, стоящая под знаком интеграла является неправильной, поэтому путем
деления числителя на знаменатель дробь можно представить в виде суммы некоторого
многочлена и правильной дроби:
21
3
3du
d (u + 2)
Получаем: = u − 2 +
= udu − 2 du + 3
=
du = udu − 7 2du +
u + 2
u+2
u+2
cos2 x
u2
=
− 2u + 3 ln u + 2 + C =
− 2 cos x + 3 ln cos x + 2 + C .
2
2
cos5 xdx
Пример 6. Вычислить интеграл
.
3 − sin x
cos5 xdx
cos4 x cos xdx
(cos2 x) 2 d (sin x)
Решение.
= тип 6 =
=
=
3 − sin x
3 − sin x
3 − sin x
(1 − sin 2 x) 2 d (sin x)
(1 − u 2 ) 2 du
(1 − 2u 2 + u 4 )du
u 4 − 2u 2 + 1
=
= u = sin x =
=
= −
du =
3 − sin x
3−u
3−u
u −3
Дробь, стоящая под знаком интеграла является неправильной, поэтому путем
деления числителя на знаменатель дробь можно представить в виде суммы некоторого
многочлена и правильной дроби:
u 4 − 2u 2 + 1
64
Получаем: −
du = − u 3 + 3u 2 + 7u + 21 +
du =
u −3
u − 3
d (u − 3) u 4
u3
u2
= u du + 3 u du + 7 udu + 21 du + 64
=
+ 3 + 7 + 21u + 64 ln u − 3 + C =
u −3
4
3
2
4
2
sin x
7 sin x
=
+ sin 3 x +
+ 21sin x + 64 ln sin x − 3 + C .
4
2
dx
Пример 7. Вычислить интеграл 2
.
sin x − 4 cos2 x
du
dx =
,
u = tgx,
1 + u2
dx
= тип 7 =
=
Решение. 2
sin x − 4 cos 2 x
1
u2
cos 2 x =
sin 2 x =
,
1 + u2
1 + u2
3
2
22
du
1 + u2
du
2
du
du
1
u−2
1 tgx − 2
= 2
= 1 2+ u = 2
= 2
=
+ C = ln
+C.
ln
2
2⋅2 u + 2
4 tgx + 2
u
1
u −4
u −4
u −2
−4
1 + u2
1 + u2
1 + u2
3tg 2 x − 1
Пример 8. Вычислить интеграл 2
dx .
tg x + 5
3tg 2 x − 1
du
3u 2 − 1 du
Решение. 2
dx = тип8 = u = tgx, dx =
= 2
⋅
=
tg x + 5
1 + u2
u + 5 1 + u2
(3u 2 − 1)du
.
(u 2 + 5)(1 + u 2 )
Подынтегральная дробь является правильной, поэтому выписываем правильную
дробь отдельно, представим ее в виде суммы простейших рациональных дробей,
пользуясь таблицей:
3u 2 − 1
Au + B Cu + D
= 2
+ 2
.
2
2
(u + 5)(u + 1) u + 5
u +1
Находим коэффициенты разложения. Написанное равенство есть тождество,
поэтому приводим правую часть к общему знаменателю. Так как дроби равны и у них
одинаковые знаменатели, можно приравнять друг к другу числители. Получается
равенство двух многочленов.
3u 2 − 1
Au + B Cu + D ( Au + B )(u 2 + 1) + (Cu + D )(u 2 + 5)
=
+ 2
=
,
(u 2 + 5)(u 2 + 1) u 2 + 5
u +1
(u 2 + 5)(u 2 + 1)
=
3u 2 − 1 = ( Au + B )(u 2 + 1) + (Cu + D)(u 2 + 5) .
Пользуемся методом неопределенных коэффициентов, для этого раскроем скобки
3u 2 − 1 = Au 3 + Au + Bu 2 + B + Cu 3 + 5Cu + Du 2 + 5 D .
Имеем по методу неопределенных коэффициентов:
u 3 0 = A + C
u 3 A = −C A = 0
3 = B + D
2
2
−
3= B+D
u 3 = B + D
u
−
1
=
B
+
5
D
.
1
1
=
A
+
5
C
=
−
C
+
5
C
C
=
u
u
4 = −4 D D = −1 B = 4
u − 1 = B + 5 D u 0
− 1 = B + 5D
u2 −1
4
1
Таким образом, имеем: 2
= 2
− 2
.
2
(u + 5)(u + 1) u + 5 u + 1
Возвращаемся к решению интеграла:
(u 2 − 1)du
1
4
1
du
du
4
(u 2 + 5)(1 + u 2 ) = u 2 + 5 − u 2 + 1 du = u 2 + 5du − u 2 + 1du = 4 u 2 + ( 5 ) 2 − u 2 + 12 =
= 4⋅
1
u 1
u
4
4
tgx
tgx
arctg
− arctg + C =
arctg
arctg
− arctg (tgx ) + C =
− x+C.
1
5
5 1
5
5
5
5
23
Пример 9. Вычислить интеграл tg 5 xdx .
1
1
2
tg
x
=
−1 =
cos 2 x
cos 2 x
u = tgx
tg 3 xdx
1
3
3
3
2
= tg x ⋅
− 1dx =
− tg xdx = tg xd (tgx) − tgx ⋅ tg xdx = 3
u4 =
2
2
cos x
cos x
u du = 4
tg 4 x
tg 4 x
dx
tg 4 x
sin xdx
1
=
− tgx ⋅
− 1dx =
− tgx ⋅
+ tgxdx =
− tgxd (tgx ) +
=
2
2
4
4
4
cos x
cos x
cos x
Решение. tg 5 xdx = тип9 = tg 3 x ⋅ tg 2 xdx = 1 + tg 2 x =
u = tgx
u = cos x
4
2
tg
x
tg
x
d
(cos
x
)
tg 4 x tg 2 x
2 =
=
−
−
=
=
−
− ln cos x + C .
du
cos x
u
4
2
4
2
=
ln
u
+
C
udu
=
u
2
dx
Пример 10. Вычислить интеграл
.
9 + 8 cos x + sin x
2du
x
dx =
,
u = tg ,
1 + u2
2
dx
Решение.
= тип10 =
=
9 + 8 cos x + sin x
2u
1 − u2
sin x =
,
cos x =
1 + u2
1 + u2
2du
2du
2du
2du
1 + u2
1 + u2
=
=
=
=
9 + 9u 2 + 8 − 8u 2 + 2u 9 + 9u 2 + 8 − 8u 2 + 2u u 2 + 2u + 17 =
1 − u2
2u
9+8
+
1 + u2 1 + u2
1 + u2
2du
du
du
d (u + 1)
= 2
= 2 2
= 2
= 2
=
2
u + 2u + 17
(u + 2u + 1) − 1 + 17
(u + 1) + 16
(u + 1) 2 + 42
x
tg + 1
1
u
+
1
1
= 2 ⋅ arctg
+ C = arctg 2 + C .
4
2
4
4
№
Вид интеграла
Замена
11
Интегралы вида:
1
cosαx cos βx = (cos(α + β ) x + cos(α − β ) x) ,
2
cosαx cos βxdx ,
1
sin αx sin β x = (cos(α − β ) x − cos(α + β ) x) ,
sin αx sin βxdx
2
sin
α
x
cos
β
xdx
.
1
sin αx cos βx = (sin(α + β ) x + sin(α − β ) x) .
2
Пример 11. Вычислить интеграл sin 5 x cos 3 xdx .
1
(sin 8 x + sin 2 x)dx =
2
1
1
1 1
1 1
1
1
sin 8 xdx + sin 2 xdx = ⋅ sin 8 xd (8 x) + ⋅ sin 2 xd (2 x) = − cos 8 x − cos 2 x + C .
2
2
2 8
2 2
16
4
Решение. sin 5 x cos 3 xdx = тип11 =
24
№
1
8 способ. Интегрирование иррациональных выражений.
Вид интеграла
Замена
R(
p
q
x , x ,K, m x )dx
x = t r , где r - наименьшее общее кратное НОК
показателей корней p, q,..., m t = r x .
Находим dx = (t r )' dt .
2
ax + b
R( p cx + d , q
ax + b
ax + b
, K, m
)dx
cx + d
cx + d
ax + b r
= t , где r - наименьшее общее кратное
cx + d
НОК показателей корней p, q,..., m
ax + b = t r (cx + d ) ,
ax + b = ct r x + dt r ,
ax − ct r x = dt r − b ,
x(a − ct r ) = dt r − b ,
dt r − b
.
x=
a − ct r
'
3
4
5
dt r − b
dt .
Находим dx =
r
a
−
ct
2
2
x = a cos t или x = a sin t , в этом случае
R( x, a − x )dx
пользуемся формулами: sin 2 t = 1 − cos 2 t или
cos 2 t = 1 − sin 2 t .
2
2
x = atgt или x = actgt , в этом случае пользуемся
R( x, a + x )dx
1
формулами:
1 + tg 2 t =
или
cos 2 x
1
1 + ctg 2 t =
.
sin 2 x
2
2
a
a
R( x, x − a )dx
x=
или x =
, в этом случае пользуемся
cos t
sin t
1
формулами:
tg 2 t =
−1
или
cos 2 x
1
ctg 2 t =
− 1.
sin 2 x
3
x dx
Пример 1. Вычислить интеграл 3
.
x2 − x
3
x = t 6 , r = HOK (2,3)
x dx
t 2 ⋅ 6t 5 dt
t 7 dt
t 4 dt
Решение.
= тип1 =
= 4 3 = 6 3
= 6
3 2
t −1
t −t
t (t − 1)
dx = (t 6 )' dt = 6t 5 dt
x − x
Подынтегральная дробь является неправильной, поэтому путем деления числителя
на знаменатель дробь можно представить в виде суммы некоторого многочлена и
правильной дроби:
25
1
d (t − 1)
3
2
Получаем: 6 t 3 + t 2 + t + 1 +
=
dt = 6 t dt + 6 t dt + 6 tdt + 6 dt + 6
t −1
t −1
t4
t3
t2
3
= 6 ⋅ + 6 ⋅ + 6 ⋅ + 6t + 6 ln t − 1 + C = t 4 + 2t 3 + 3t 2 + 6t + 6 ln t − 1 + C =
4
3
2
2
3
= x = t 6 t = 6 x = (6 x ) 4 + 2(6 x )3 + 3(6 x ) 2 + 66 x + 6 ln 6 x − 1 + C =
2
3
= 3 x 2 + 2 x + 33 x + 66 x + 6 ln 6 x − 1 + C .
2
1 − x dx
Пример 2. Вычислить интеграл
.
1+ x 1+ x
Решение.
1− x 2
= t , r = HOK (2)
1+ x
1 − x = t 2 (1 + x),
1 − x = t 2 +t 2x,
1 − x dx
= тип2 = 1 + t 2 = x + t 2 x,
1+ x 1+ x
=
1− t2
1 + t = x(1 + t ) x =
1+ t2
2
2
'
1− t2
− 2t (1 + t 2 ) − (1 − t 2 ) ⋅ 2t
dt =
dx =
dt =
2
2 2
1
+
t
(
1
+
t
)
− 2t (1 + t 2 + 1 − t 2 )
− 4tdt
dt =
=
2 2
(1 + t )
(1 + t 2 ) 2
1
− 4tdt
1
− 4tdt
⋅
= t ⋅
⋅
=
2
2 2
2
2
1 − t (1 + t )
1 + t + 1 − t (1 + t 2 ) 2
1+
1+ t2
1+ t2
t2 +1
1 + t 2 − 4tdt
− 2tdt
t 2 dt
(t 2 + 1 − 1)dt
1
dt =
= t ⋅
⋅
= t ⋅
= −2
= −2
= −2
−
2 2
2
2
2
2
2
2 (1 + t )
1+ t
1+ t
1+ t
1
+
t
1
+
t
=
1− x 1
⋅ dx = t ⋅
1+ x 1+ x
26
t2 +1
1
dt
1− x 2
1− x
dt = −2 dt + 2
= −2t + 2arctgt + C =
=t t =
=
= −2
−
2
2
2
+
+
1
x
1
x
+
1
+
t
1
+
t
1
t
1− x
1− x
+ C .
= −2
+ 2arctg
1+ x
1
+
x
Пример 3. Вычислить интеграл
Решение.
=
4 sin 2 t ⋅ 2 cos tdt
4 − 4 sin t
2
x 2 dx
4 − x2
=
= 4 sin 2 tdt = sin 2 t =
= 2t − 2 ⋅
= тип3 =
4 − x2
x = 2 sin t
4(1 − sin t )
.
dx = (2 sin t )' dt = 2 cos tdt
4 sin 2 t ⋅ 2 cos tdt
2
x 2 dx
=
4 sin 2 t ⋅ 2 cos tdt
4 cos 2 t
=
(2 sin t ) 2 ⋅ 2 cos tdt
4 − (2 sin t ) 2
=
4 sin 2 t ⋅ 2 cos tdt
=
=
2 cos t
1 − cos 2t
1 − cos 2t
= 4
dt = 2 (1 − cos 2t )dt =2 dt − 2 cos 2tdt =
2
2
x
1
x
cos 2td (2t ) = 2t − sin 2t + C = x = 2 sin t sin t = t = arcsin =
2
2
2
x
x
= 2 arcsin − sin 2 arcsin + C .
2
2
Пример 4. Вычислить интеграл
dx
x4 x2 + 9
.
3dt
dx
cos 2 t
Решение.
= тип4 =
=
=
3dt
4
2
4
2
dx
=
(
3
tgt
)'
dt
=
x x +9
(3tgt ) (3tgt ) + 9
cos 2 t
3dt
3dt
3dt
3dt
2
2
2
cos t
cos t
cos 2 t
cos t
=
=
=
=
=
9
sin 4 t 3
81tg 4t ⋅ 9tg 2t + 9 81tg 4t ⋅ 9(tg 2t + 1)
4
81tg t ⋅
81 4
cos t cos t
cos 2 t
dt
cos3 tdt 1 cos3 tdt 1 cos 2 t cos tdt 1 cos 2 td (sin t )
cos
t
=
=
=
=
=
=
81
81
sin 4 t
81sin 4 t 81 sin 4 t
sin 4 t
sin 4 t
81 4
cos t
1 (1 − sin 2 t )d (sin t )
1 (1 − u 2 )du 1 1
1
=
=
u
=
sin
t
==
=
−
du =
81
81
81 u 4 u 2
sin 4 t
u4
1 du 1 du 1 − 4
1 du 1 u −3 1 1
= 4 − 2 = u du − 2 = ⋅
− ⋅− + C =
81 u
81 u
81
81 u
81 − 3 81 u
1
1
1
1
=−
+
+ C = u = sin t = −
+
+C =
3
3
243u 81u
243 sin t 81sin t
x = 3tgt
27
= x = 3tgt tgt =
x
x
t = arctg = −
3
3
1
3
x
243 sin arctg
3
+
1
x
81sin arctg
3
+C.
x2 −1
Пример 5. Вычислить интеграл
dx .
x
1
x=
cos t
'
Решение.
x2 −1
1
1
dx = тип5 = dx =
⋅ (cos t )' dt = =
dt = −
x
cos 2 t
cos t
1
sin tdt
=−
⋅ (− sin t )dt =
2
cos t
cos 2 t
2
1
−1
sin tdt
1
sin tdt
sin tdt
sin tdt
sin t sin tdt
cos t
=
=
−1
= tg 2t
= tgt
=
=
2
2
1
cos t
cos t
cos t
cos t cos t
cos t
cos t
cos t
2
sin tdt
(1 − cos 2 t )dt
dt
1
1
1
=
=
=
− dt = tgt − t + C = x =
cos t = t = arccos =
2
2
2
cos t
x
cos t
cos t
cos t
x
1
1
= tg arccos − arccos + C .
x
x
28
