Общая характеристика задач управления материально-техническим снабжением предприятия

Лекция 6.1. Общая характеристика задач управления материально-техническим снабжением предприятия страница 1 6.1.1. Назначение, характеристика и основные задачи подсистемы 6.1.1.1. Назначение подсистемы УМТС Основная цель подсистемы управления материально-техническим снабжением (п/с УМТС) в рамках АСУП или корпоративных информационно-управляющих систем (КИУС) – своевременное и комплексное обеспечение потребности производства в основных и вспомогательных материалах, сырье и энергии, полуфабрикатах и инструментах, в соответствующих объемах, необходимом ассортименте и качестве при минимальных затратах на хранение и доставку. В автоматизированных системах эта задача решается наиболее эффективно за счет более полного и точного расчета потребности производства, страхового запаса, планов снабжения и т.д. 6.1.1.2. Задачи подсистемы УМТС В п/с УМТС можно выделить 4 укрупненных направления управления: 1)   Управление формированием фондов на материальные ресурсы. В этом блоке решается задача расчета потребности в материалах, сырье, покупных полуфабрикатах, топливе, энергии, инструментах и оснастке в сводной номенклатуре по предприятию на год или полугодие. Эта задача может быть решена нормативным методом, когда известны нормы расхода материалов на единицу выпускаемой продукции и план выпуска (что характерно больше для машиностроительных предприятий), либо может быть решена с использованием методов прогнозирования. В основе методов прогнозирования лежит допущение о том, что зависимость потребности на тот или иной материальный ресурс, существовавшая в прошлом, сохранится в будущем. 2)   Управление заказами на материальные ресурсы. Здесь решаются следующие задачи: -       формирование и ведение информационной базы поставщиков; -       оформление документов на поставку; -       учет выполнения заказов и т.д. Выбор и оценка деятельности каждого поставщика (в качестве стандартных критериев оценки) должны включать возможность поставки нужного объема материала и своевременность его доставки. 3)   Управление запасами материальных ресурсов. Здесь можно выделить следующие задачи:  -       определение оптимального уровня запасов материальных ресурсов (лимитов) по цехам на квартал, месяц, и т.д.; -       расчет оптимального временного интервала между соседними поставками материалов и размеры этих поставок; -       учет состояния запасов и контроль обеспеченности материалами по складам предприятия за сутки, месяц. 4)   Управление распределением материальных ресурсов внутри предприятия. Здесь можно выделить следующие задачи:  -       оперативный учет движения материалов по складам предприятия за сутки, месяц; -       статистическая отчетность по материалам по предприятию за месяц. П/с УМТС тесно связана с другими подсистемами управления производством, получая от них исходные данные, необходимые для ее успешного функционирования, в частности от п/с ТЭП (технико-экономического планирования) – цены на материалы, сырье, комплектующие изделия, материальные нормативы, планы (годовые и месячные) по цехам; от п/с ТПП (технической подготовки производства) – материальные нормативы на новые изделия; от п/с ОУП (оперативного управления производством) – данные о браке и  т.д. Эффективная работа п/с УМТС возможна лишь на основе широкого применения экономико-математических методов и современных средств регистрации, передачи и обработки данных. Широкое использование баз данных исключает необходимость хранения на рабочих местах различных первичных и нормативных документов, карточек и т. д. 6.1.2. Общая характеристика запасаемых материалов 6.1.2.1. Необходимость хранения запасов материалов на складах предприятия При решении задач об объеме потребляемого материала и его доставке, наиболее очевидным подходом является решение, направленное на сокращение объемов складирования и более частое осуществление поставок. Уменьшение размера заказываемой партии по каждому материалу позволяет экономить на расходах на хранение. Такой подход привел к созданию системы своевременности поставок материалов (JIT – just in time, точно в момент их реальной необходимости для производства), т.е. системы закупок без создания запаса при сокращении времени доставки и стоимости заказа. Однако существует много причин, не позволяющих предприятиям работать без запасов, среди которых необходимо отметить: -       длительный цикл закупок, например из-за аккуммуляции ресурсов на складах до их перемещения, -       опоздания с поставками, преждевременные поставки или срыв поставок вообще, -       колебания уровня потребности в ресурсах, -       дефекты сырья и материалов, требующие возврата, -       разные по объему партии разных видов сырья и материалов, -       изменения в графике производства, -       ошибки в прогнозировании потребности. В связи с этим современные системы снабжения, как правило, включают в себя запасы различных предметов с количеством их видов от нескольких единиц до сотен тысяч наименований. В некоторых военных организациях учитывается свыше 600 тыс. позиций, в торговле – до 100 тыс., на среднем предприятии порядка 10 тыс. Дополнительно увеличивают число учитываемых номенклатур различия: -       по весу, размеру, фасону, -       по номиналу (емкости, мощности, сопротивлению, быстродействию и т.п.), -       по виду и кратности упаковки  и т.д. 6.1.2.2. Классификация запасаемых материалов Существуют различные классификации запасаемых материалов, которые призваны помочь при контроле запасов и принятии решений о времени и объеме закупок. 1)   По типу удовлетворяемой потребности. Различают потребность в энергоресурсах, сырье, компонентах и комплектующих, предметах для ремонта и содержания, в инструментах, изделиях для перепродажи и в упаковке. 2)   По частоте покупки (замещения). Некоторые изделия, чаще из основных средств, приобретаются однократно, другие могут закупаться повторно. Именно о материалах, требуемых повторных закупок, и пойдет речь ниже в этом пособии. Для редких закупок подходят совсем другие критерии решений. 3)   По физической или химической природе и параметрам закупленных изделий. Речь может идти о предметах в твердом, жидком или газообразном состоянии. Некоторые виды товаров могут быть нестойкими, скоропортящимися (или даже опасными) и поэтому они нуждаются в совсем другом обращении, условиях хранения и закупаются в других количествах, нежели более стойкие и безопасные материалы. Размер и форма упаковки также влияют на способность покупателя хранить изделия на складе и поэтому тоже оказывают влияние  на количество закупаемого сырья. 4)   По виду транспортировки. Изделия, перевозимые на короткое расстояние транспортом покупателя, можно закупать гораздо меньшими партиями, чем перевозимые на дальние расстояния коммерческими перевозчиками или судами. 5)   По характеру использования. Различают товары внутреннего пользования или предназначенные для внешних клиентов компании. Иногда такие товары определяются как внутренние или внешние потребности. 6)   По стоимости в денежном выражении. Итальянец Вильфредо Парето (Vilfredo Pareto) отметил, что независимо от изучаемой страны, меньшая часть населения контролирует большую часть благосостояния. Это заключение привело к появлению кривой Парето, общие принципы построения которой могут быть применены к разным ситуациям. Например, при управлении запасами кривая Парето обычно иллюстрирует закупаемые изделия, количество поставщиков, величину затрат и многие другие аспекты. Кривую Парето часто называют правилом 80-20 или, чаще, анализом ABC, в результате которого выявляются изделия классов А, В и С. Что же это такое? 6.1.2.3. Разделения материалов на классы А, В, С Для обеспечения дифференцированного подхода к разным материалам все закупаемые материалы в зависимости от их стоимости в денежном выражении, что эквивалентно затратам на снабжение, делят на группы. В таблице 6.1 приведен принцип разделения материалов по классам А, В, С.   Таблица 6.1 Принцип разделения товаров на классы А, В, С В разных компаниях это процентное соотношение разбиения товаров на классы может несколько различаться. Принцип разделения товаров весьма существен при управлении запасами, поскольку он позволяет концентрировать усилия в областях наибольшей рентабельности. Например, производитель с общим годовым объемом закупок в размере $30,4 млн. имел следующее соотношение закупаемых товаров (табл.6.2). Аналогичный анализ поставщиков компании, вероятно, покажет такую же высокую долю общей стоимости относительно небольшого числа поставщиков. Стоимость закупки – это сочетание цены изделия и количества изделий, поэтому недостаточно отнести изделия к классу А на основе только одного из этих компонентов, необходимо вычислять годовую стоимость и классификацию на три группы проводить уже на этой основе, как показано в таблице 6.3. Таблица 6.2 Пример анализа А, В, С 6.1.3. Применение анализа ABC для управления запасами 6.1.3.1. Управление запасами материалов  класса А Каким же образом можно использовать классификацию закупаемых материалов по классам АВС? При большом числе номенклатур реализация сколько-нибудь сложных методик управления всеми запасами оказывается невозможной, а стоимость автоматизированной системы может перекрыть возможную экономию. Поэтому, по мнению специалистов, сложные оптимизационные методики управления должны применяться только для материалов группы А. Эти изделия часто заказываются, а их уровень запасов часто контролируется (подвергается переучету), причем для деталей с более высоким или более низким спросом внутри группы используются разные подходы. Например, для оборудования (изделия с низким спросом) ремонт и замена планируются при проведении регламентных работ. Учет штрафов считается предпочтительнее работы с уровнем обслуживания. К группе А могут быть отнесены не только изделия с большим стоимостным спросом, а также некоторые другие – с учетом дополнительных соображений важности, комплектности, трудности организации поставки. Для изделий этого  класса желательно проводить аналитический прогноз потребности. В особо сложных случаях для оценки и выбора стратегий управления запасами по номенклатурам группы А рекомендуется имитационное моделирование. К таким случаям можно отнести : -       зависимый спрос; -       совместный заказ со скидками; -       эшелонированные системы; -       переходные (нестационарные) режимы работы; -       планирование последовательности обработки; -       агрегированное планирование производства и снабжения. 6.1.3.2. Управление запасами материалов  класса В Для материалов группы В допустимо применение простых расчетных методов, в том числе и с учетом случайного спроса. Могут также рассматриваться многопродуктовые задачи управления запасами с совместными ограничениями (с использованием множителей Лагранжа). При решении задач этого типа рекомендуется всегда выполнять расчет с ослабленными ограничениями – для оценки его влияния на целевую функцию и дисциплину снабжения. Такой расчет может служить основанием для пересмотра ограничений: в меньшую сторону для использования дефицитных ресурсов в других целях, и в большую – при выявлении возможности заметного выигрыша ценой незначительного ослабления ограничений. Изделия группы В являются промежуточными между изделиями класса А и С и, хотя закупаются систематически, подвергаются переучету реже, чем изделия класса А. Нужно отметить, что к некоторым видам изделий класса В и С иногда следует относиться как к изделиям класса А, например ввиду специфики их природы, ввиду того, что это может быть скоропортящийся товар, или из других соображений. 6.1.3.3.Управление запасами материалов  класса С Для всех остальных материалов (класс С) возобновление запасов организуется из соображений практического удобства или по стабильным нормам. Чаще всего для изделий группы С решения принимаются по совокупности, но потребность должна быть обеспечена комплексно. Информация о спросе регистрируется укрупненно (например, измеряется в коробках). Соответственно может быть сформулировано и правило восполнения: выдавать заказ, когда будет вскрыта последняя коробка. По группе С обычно создают страховой запас, так как это обходится недорого. Поскольку этих номенклатур очень много и осуществляется нечастый переучет изделий, то вероятность дефицита хотя бы по одной велика. Используемые методы уменьшают объем работы по управлению (для большинства изделий), но предполагают высокий уровень затрат на обслуживание. Попавшие сюда дорогостоящие предметы с крайне низким спросом хранятся на складе высшего звена системы снабжения, их запас пополняется при возникновении каждой потребности. Некоторые материалы из этой группы (важные, трудно добываемые, предметы особого интереса) могут быть переведены в класс В. 6.1.4. Планирование потребности в материалах 6.1.4.1. Проблемы прогнозирования потребности в  материалах Решения относительно того, сколько приобрести и когда, логически следуют за определением того, что необходимо приобрести. Решение задачи определения потребности в материалах существенно осложняется тем, что необходимо предварительно принять решения о закупке, часто задолго до того, как становится известна действительная потребность. Поэтому одним из важных подходов к решению этой задачи является прогнозирование будущей потребности. Прогнозирование часто используется не только для определения потребности в материале, но и для оценки ожидаемых цен на материалы, затрат системы снабжения, условий рынка и т. д., учет которых необходим для принятия правильных решений. В большинстве компаний потребность в сырье, изделиях и комплектующих обычно калькулируется исходя из прогноза объема продаж, что является обязанностью службы сбыта (маркетинга). Например, в компаниях, занимающихся перепродажей, необходимо оценить ожидаемый объем продаж (включая объем продаж по сниженным ценам на сезонный товар), и на базе этого прогноза осуществить необходимые закупки в зависимости от времени года. В компаниях сферы обслуживания или государственных структурах отдел снабжения часто составляет прогнозы самостоятельно. Проблема прогнозов заключается в их ненадежности. Прогнозы обычно неправильны, поэтому для уменьшения отклонений от реальных потребностей желательно использовать краткосрочные прогнозы, построенные на базе различных математических методов с регулярным пересчетом (например, ежеквартальным) прогнозируемых показателей по мере поступления новых реальных данных. Основными методами прогнозирования являются статистические (количественные) и экспертные методы (качественные). 6.1.4.2. Качественные методы прогнозирования (методы экспертных оценок) При качественном подходе к прогнозированию осуществляется сбор мнений ряда компетентных людей (экспертов) и использование этих мнений для разработки прогноза. Примером могут служить рыночные прогнозы, разработанные на основе оценок служащих отдела продаж, региональных управляющих закупками и т. д. Наиболее популярными методами из этой группы является метод Делфи и некоторые другие методы экспертного оценивания, формализующие процесс сбора данных и получения прогноза. Прогнозы, полученные на основе анализа коллективного мнения, не обязательно менее точны, чем полученные на основе количественных методов, так как знающие люди, знакомые с рынком изнутри, обладают чувством, которому трудно дать определение, но которое дает хорошие результаты прогнозов. 6.1.4.3. Методы прогнозирования на основе регрессионных моделей При использовании методов количественного прогнозирования прогнозы на будущее строятся на основе прошлых данных. Наиболее популярными методами количественного прогнозирования являются методы, использующие модели линейной или нелинейной регрессии. Например, для составления прогноза объема продаж производитель ковровых изделий должен использовать данные о количестве выданных разрешений на строительство, ставки ипотечного кредитования, доли свободного жилья и т. д. Регрессионная модель может иметь следующий вид: где y – объем продаж ковровых изделий в следующем месяце, x1 – количество выданных разрешений на строительство в прошлом месяце, x2 – количество выданных разрешений на строительство два месяца назад, x3 – ставка ипотечного кредитования, x4 – доля свободного жилья, x5 – объем продаж ковровых изделий в прошлом месяце. 6.1.4.4. Методы прогнозирования на основе анализа временных рядов Второй тип количественных методов предполагает, что объем продаж (или другие прогнозируемые величины) реализуется в соответствии с некоторой временной моделью. При этом данные, характеризующие значение прогнозируемых величин в прошлом в соответствующий интервал времени (например, год, квартал или месяц), представляются в виде последовательности чисел, называемых временным рядом. Анализ закономерности развития этих данных во времени заканчивается построением временной модели, тем самым выявляется тренд ряда или другими словами сглаживающая кривая. Затем, предполагая, что выявленная закономерность сохранится и в будущем, используют полученную модель для вычисления (прогноза) одного или нескольких значений ряда (например, объема продаж) для последующих периодов времени (например, для будущего года). Основными условиями применения временных моделей является постоянная стоимость, устойчивые тенденции, сезонные и другие цикличные изменения, действие внешних случайных факторов и переломные пункты. Эти моменты проиллюстрированы на рис. 6.1. Методы построения временных моделей подробно описаны в разделе 7, поэтому здесь мы на них останавливаться не будем. 6.1.4.5. Методология планирования потребности в материалах MRP Определение спроса на тот или иной вид материала с использованием методов прогнозирования основано на предположении, что потребность в данном материале не зависит от других потребностей. Такая ситуация справедлива для большей части готовой продукции, но не применима в отношении комплектующих, сырья и компонентов. Потребность в этих изделиях зависит от графика производства готовой продукции. Предметы для ремонта и содержания оборудования требуются в соответствии со сроками проведения ремонта и регламентных работ. Признание существования этой взаимозависимости потребности легло в основу методологии, известной как планирование потребностей в материалах (MRP – Material Requirement Planning). Для определения потребностей в материалах MRP-системам необходим, во-первых, точный перечень сырья и материалов для каждого конечного продукта или проекта и, во-вторых, прогнозируемый объем выпуска конечного продукта в каждый плановый период (год, квартал или месяц). Эти перечни (BOM – Bills of Material) могут принимать любые формы, но концептуально предпочтительнее в виде структурных деревьев. Использование этих данных позволяет рассчитать потребность в закупаемых материалах, величина которой используется в дальнейшем для решения основной задачи управления МТС, а именно определения размера и времени поставки заказа на каждый требуемый материал. Лекция 6.2.Однопродуктовые детерминированные задачи управления запасами страница 1 6.2.1. Классификация задач управления запасами предприятия 6.2.1.1. Формулировка задачи управления запасами Центральной проблемой п/с УМТС является решение задачи определения необходимого запаса используемых продуктов. Решением этой задачи занимается теория управления запасами. В общем случае задача управления запасами формируется следующим образом. Имеются некоторые запасы продукта (ресурса), затраты на хранение которых являются функцией их величины (линейной или нелинейной). Известны также затраты на оформление поставки и доставку ресурсов. Необходимо определить оптимальный размер, частоту и сроки поступления ресурсов, чтобы суммарные издержки на хранение и доставку были минимальны. 6.2.1.2. Классификация задач управления запасами по характеру пополнения запасов Задачи управления запасами по наличию того или иного признака можно разделить на отдельные группы. По характеру пополнения запасов их делят на две основные группы: -         задачи с фиксированным размером заказа (ФРЗ); -         задачи с фиксированным (постоянным) уровнем запаса (ПУЗ). В первом случае упрощенно управление запасами происходит следующим образом. Вначале имеется запас продукта объемом Q. В течение периода времени t этот запас расходуется полностью (до нуля) и в этот же момент снова мгновенно пополняется до величины Q, т.е. фиксированная величина заказа тоже равна Q. Процесс периодически повторяется. Политика, проводимая системой УМТС, при которой Q и t - постоянные величины, называется (Q, P)- политикой, где Р – точка заказа (reorder point). Во втором случае устанавливается фиксированный верхний  (максимальный, max stock) уровень запасов. Текущий уровень запаса периодически проверяется и делается заказ для пополнения запасов до верхнего уровня. На рисунке 6.3 учтено, что время доставки заказа  , – периодичность проверки. Политика, проводимая системой УМТС в этом случае, называется (М)- политикой. Существует еще промежуточный случай, при котором установлен не только верхний уровень запасов М, но и нижний размер заказа, т.е. заказ выдается, если (где Р – точка заказа) в момент проверки состояния уровня запаса. Такая стратегия называется (М, Р) - политикой. 6.2.1.3. Условия применения различных систем управления запасами Применение той или иной системы управления запасами зависит от ряда обстоятельств и конкретных условий обстановки. Считается, что систему с фиксированным уровнем заказа предпочтительно применять, если: -         издержки МТС достаточно велики; -         наложены ограничения снизу на размер партии; -         учет запасов ведется точно и с малой дискретностью; -         интенсивность потребления продукта не имеет резких колебаний. Систему с постоянным уровнем запасов целесообразно применять, если: -         издержки МТС незначительны; -         наложены ограничения по грузоподъемности транспорта на суммарный размер заказа по нескольким продуктам, поставляемым одним поставщиком; -         поставка продуктов происходит в определенные сроки; -         учет запасов ведется с достаточно большой дискретностью; -         интенсивность потребления продукта подвержена резким изменениям. Если эти факторы перемешаны, следует применять (М, Р)-политику. 6.2.1.4. Классификация задач управления запасами по характеру спроса и количеству типов ресурсов По учету характера спроса все задачи  управления запасами можно разделить на: -         детерминированные; -         вероятностные. Во втором случае либо интенсивность потребления продукта, либо длительность его доставки (время поставки), либо и то и другое одновременно являются случайными величинами. По количеству типов ресурсов задачи  управления запасами делятся на: -         однопродуктовые; -          многопродуктовые. Во втором случае запас включает несколько видов продукции. Лекция 6.2.Однопродуктовые детерминированные задачи управления запасами страница 2 6.2.2. Однопродуктовая детерминированная задача управления запасами с фиксированным размером заказа 6.2.2.1. Модель Уилсона Рассмотрим однопродуктовую детерминированную задачу управления запасами с фиксированным размером заказа. В простейшем виде при следующих упрощениях реальной ситуации эта задача решается с использованием модели Уилсона: 1)    уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью; 2)    выполнение заказа осуществляется мгновенно, т.е. время доставки равно нулю; 3)    накладные расходы, связанные с размещением заказа и поставкой материалов, не зависят от объема партии и равны СД; 4)    затраты на хранение единицы запаса в единицу времени постоянны и равны СХ. Эти затраты включают издержки упаковки, расходы, связанные с хранением на складе, расходы на страховку, расходы в связи с выходом из строя, мелкой кражей, устареванием и т.п. Короче говоря, включаются любые расходы, связанные с обладанием определенным запасом, в отличие от отсутствия такового. Ежегодные расходы по содержанию производственного запаса составляют по некоторым оценкам от 25% до 50% стоимости собственно запасенного сырья. Допустим, что на основе статистических данных составлен прогноз потребности предприятия в материале данного вида W на будущий интервал времени T. Необходимо определить объем заказа Q, при котором суммарные затраты на доставку и хранение запаса будут минимальными. Количество необходимых поставок для удовлетворения потребности предприятия в продукте в течение периода T определим как где t – период потребления одного заказа (поставки). Средний уровень запаса в течение времени t равен Решение можно проанализировать графиком (рис.6.4). 6.2.2.2. Учет убытков от неудовлетворенного спроса в модели Уилсона Усложним теперь задачу: будем учитывать убытки, если спрос не удовлетворён. Пусть на предприятии вследствие неудовлетворённого спроса (дефицита) возникают убытки, характеризующиеся величиной СУ на единицу ресурса в единицу времени. Они включают потерянный доход от объема продаж (как в настоящем, так и в будущем), расходы, связанные с изменениями производства, вызванными нехваткой ресурсов и возможной заменой их на более дорогие, расходы на простой оборудования и рабочей силы, расходы на конфликты с потребителями и штрафы за несвоевременную поставку готовых изделий. Во многих компаниях очень трудно точно оценить расходы, связанные с отсутствием запаса. Считается, однако, что расходы, связанные с отсутствием запаса гораздо более существенны, чем расходы на его содержание. В течение времени t1 каждого периода t уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса, а затем в течение интервала t2 запас отсутствует, причём неудовлетворённый спрос покрывается из следующей партии с момента поступления её на склад (рис. 6.5). Пусть потребности в материале составляют W единиц в период Т. Определить, какими должны быть максимальные запасы на складе и поставляемая партия Q', чтобы затраты на доставку и хранение с учётом неудовлетворенного спроса были минимальными. По графику Потери на хранение, доставку и вследствие дефицита (неудовлетворенного спроса) за период Т будут: Общие затраты на функционирование системы материально-технического снабжения  составят: Чтобы определить минимум функции, приравняем к нулю частные производные: Оптимальный интервал времени между двумя поставками 6.2.2.3. Учет времени выполнения заказа в модели Уилсона Ещё раз усложним задачу, предположив, что выполнение заказа осуществляется не мгновенно, а в течение некоторого интервала времени Dt. В этом случае все выведенные формулы (6.5 – 6.7) остаются справедливыми, однако точка заказа (т.е. момент оформления заказа) должна соответствовать не нулевому, а некоторому отличному от нуля уровню заказа (рис.6.1), который определяется по формуле 6.2.2.4. Реальные условия применения модели Уилсона Все рассмотренные модели соответствуют случаю, когда удельные затраты на хранение СХ и издержки на осуществление заказа СД постоянны, поэтому являются в основном теоретическими. Практическую ценность может иметь только задача, когда: 1)      допускается дефицит (нехватка) материалов, имеющих небольшую ценность (СУ  незначительно); 2)      учитывается время доставки; 3)      учитывается зависимость закупочной цены от размера партии (заказа). Это связано с тем, что поставщики часто предлагают изделия в больших количествах со скидкой в цене и стоимости транспортных услуг. Покупка небольшими партиями может привести к увеличению транспортных расходов и расходов на закупку, а покупка большими партиями может обернуться значительно возросшими расходами на содержание запаса. 4)      издержки хранения являются функцией от стоимости запаса. Лекция 6.2.Однопродуктовые детерминированные задачи управления запасами страница 3 6.2.3. Однопродуктовая детерминированная задача управления запасами с неравномерной по времени интенсивностью потребления 6.2.3.1. Математическая модель задачи управления запасами с неравномерной по времени интенсивностью потребления Существует разновидность детерминированной задачи, когда размер заказа не является постоянным, но заранее известно количество поставок за период Т (например, одна поставка в месяц, 12 - в год), такую политику управления запасами называют (n)- политикой. Применяется она в тех же случаях, что и (Q,P)- политика, только исключается упрощение, что уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью, т.е.  является функцией времени. Задача сводится к определению моментов времени оформления заказа ti , где i = 1, 2,…,n-1, для которых суммарные издержки МТС минимальны, и соответствующих размеров поставляемых партий Qi . Построим математическую модель такой задачи. Введем следующие упрощения реальной ситуации: 1)    уровень запасов убывает с переменной интенсивностью, т.е интенсивность потребления есть функция от времени , и в тот момент, когда все запасы материала исчерпаны, подается заказ на поставку новой партии в объеме Qi; 2)    выполнение заказа осуществляется мгновенно, т. е. время доставки равно нулю и уровень запасов восстанавливается до значения, равного Qi; 3)    накладные расходы, связанные с размещением заказа и поставкой товара, не зависят от объема партии и равны постоянной величине СД; 4)    затраты на хранение единицы запаса в единицу времени постоянны и равны СХ. В общем случае для неравномерной интенсивности потребления необходимо определить, в какие моменты данного периода Т следует подавать заказ и каковы должны быть  размеры партий, чтобы суммарные издержки хранения и осуществления доставки были минимальными. Задача рассматривается при условии, что число партий n, приобретаемых за период Т, известно заранее (принято, например, подавать заказы на поставку раз в месяц). Обозначим моменты прибытия партий через t0, t1, t2,..., ti,..., tn-1. Начальный момент t0=0, остальные моменты неизвестны. На рис. 6.6 видно, что размеры партий в моменты времени ti-1 и ti должны быть соответственно: 6.2.3.2. Решение задачи управления запасами с неравномерной по времени интенсивностью потребления Стоимость хранения материала за интервалы [ti-1, ti] и [ti, ti+1] пропорциональна площади криволинейных треугольников I и II. Введем интеграл (6.11), который выражает разность площадей прямоугольника с ординатой V(ti) и криволинейной трапеции с основанием ti – ti-1, т.е. интеграл равен площади криволинейного треугольника I.  Здесь  – производная функции использования материалов в момент времени ti, i =1,2,...n-1. Таким образом, мы получили систему n-1 уравнений с n-1 неизвестными, решив которую можно найти неизвестные, т. е. моменты подачи и использования заказа, минимизирующие общие издержки. Решение системы уравнений (6.12) можно осуществить разными методами, например методом Гаусса.  Размеры поставляемых партий определяются из рекуррентных соотношений (6.10). О числе заказов на период Т можно сказать, что выбор n следует производить исходя из соотношений СД/СХ. Действительно, суммарные издержки Лекция 6.2.Однопродуктовые детерминированные задачи управления запасами страница 4 6.2.4. Однопродуктовая детерминированная n-этапная задача управления запасами с возможностью учета функций затрат 6.2.4.1. Исходные допущения для построения динамической детерминированной модели задачи управления запасами Для решения этой задачи предполагается использование метода динамического программирования, который можно практически применять только при сведении задачи управления запасами к динамической многоэтапной задаче с конечным числом этапов (шагов). Построение динамической детерминированной модели задачи управления запасами осуществляется за счет разбиения всего планируемого периода T на n интервалов (этапов) планирования и рассмотрения каждого этапа отдельно, последовательно друг за другом. Такой подход является вполне допустимым, так как потребление материала в отдаленном будущем (на будущих этапах) обычно не оказывает существенного влияния на решения, принимаемые для рассматриваемого интервала времени. Кроме того, как правило, не имеет смысла предполагать, что материал будет храниться в запасе бесконечно. В этой модели предполагается: 1)    уровень запасов контролируется периодически в начале каждого i-того этапа, при этом объём потребляемого запаса изменяется от этапа к этапу; 2)    выполнение заказа осуществляется мгновенно, т. е. время доставки равно нулю. Уровень запасов пополняется на величину заказа Qi, в начале следующего i+1-того этапа. В данной модели может быть учтено конечное время доставки, которое необходимо выражать фиксированным числом временных интервалов (этапов планирования); 3)    дефицит материала не допускается; 4)    расходы, связанные с размещением заказа и поставкой товара, могут изменяться от этапа к этапу и зависят от объема поставляемой партии: 6.2.4.2. Динамическая детерминированная модель задачи управления запасами Определим для этапа i, i = 1, 2,…,n, следующие величины: Qi – количество заказанного материала (размер заказа), Vi – потребность в материале (спрос) – заданная величина, xi – исходный запас (на начало этапа i). Величина x1 – исходный запас этапа 1 задается. Средний уровень запаса на этапе i: Так как дефицит не допускается, то требуется найти оптимальные значения Qi, минимизирующие общие затраты на оформление заказов, закупку и хранение по всем N этапам. Объем запаса, переходящего из этапа i в этап i+1 можно определить как Отсюда затраты на хранение на этапе i равны  В более простом случае (если затраты на хранение единицы запаса в единицу времени в течение i-того этапа постоянны и равны СХi) можно затраты на хранение на этапе i представить в виде Прямое рекуррентное уравнение задачи динамического программирования можно получить, определив состояния на шаге i как объем запаса на конец этапа i xi+1 . На любом шаге на величины xi+1 наложены следующие ограничения: Таким образом, в предельном случае объем заказанной продукции Qi на этапе i может быть настолько велик, что запас xi+1 удовлетворяет спрос на всех последующих этапах. Пусть fi(xi+1) - минимальные общие затраты на этапах 1, 2, ... , i,...,n при заданной величине запаса xi+1 на конец этапа i. Тогда рекуррентное уравнение записывается в виде Решение задачи динамического программирования на каждом этапе можно осуществлять простым перебором возможных значений xi+1  и соответствующих значений Qi , если количество этих значений ограничено, или использовать один из известных методов оптимизации, выбор которого зависит от вида функций затрати  . 6.3.1. Понятие страхового запаса 6.3.1.1. Необходимость страхового запаса Все рассмотренные нами ранее модели основывались на предложении, что средний расход запаса в единицу времени постоянен или его закон изменения заранее известен, а среднее время поставки либо равно нулю, либо постоянно. В действительности интенсивность потребления продукта и длительность его поставки являются случайными величинами со своими законами распределения. В большинстве случаев эти величины имеют нормальное распределение, в некоторых – показательное или равномерное. Для «смягчения» влияния колебания интенсивности потребления и сроков поставки на уровень запасов создаются резервные (или страховые, safety stock) запасы. 6.3.1.2. Точка заказа Рассмотрение начнем с анализа самой простой ситуации, которая упоминалась ранее. Для того чтобы не возникал дефицит, заказ должен быть подан в тот момент, когда на складе имеется некоторое количество товара Р, необходимое для удовлетворения спроса до прибытия очередной партии (2.23): Если же интенсивность потребления или время доставки являются случайными величинами, то для уменьшения вероятности дефицита, заказ нужно подавать, когда наличные запасы превосходят средний спрос за время доставки , или иначе говоря необходимо создавать страховые запасы b. Таким образом, точка заказа определится как 6.3.2. Определение страхового запаса из заданной величины риска дефицита 6.3.2.1. Общая формула определения страхового запаса из заданной величины риска дефицита Приступим к определению страхового запаса b. Пусть величина V (размер потребности за время доставки) имеет случайный характер и характеризуется распределением с математическим ожиданием . Это распределение может учитывать случайные колебания или интенсивности потребления, или длительности доставки, или обе причины вместе. Тогда задача состоит в нахождении такого значения b, при котором вероятность дефицита соответствует заданной величине риска  p: Здесь f(V) – плотность распределения случайной величины V. 6.3.2.2. Поиск страхового запаса и размера заказа в случае нормального распределения потребности за время доставки и заданной величины риска дефицита Для случая нормального распределения: Приведем нормальное распределение с произвольным математическим ожиданием  и среднеквадратическим отклонением к стандартному с нулевым математическим ожиданием и единичным среднеквадратическим отклонением, используя следующие преобразования: где Ф(k) – значение функции стандартного нормального распределения при x=k. Найдя квантиль k, можно найти страховой запас и точку заказа: При этом в общем случае   среднеквадратичные отклонения нормального распределения случайных величин интенсивности потребления и времени доставки заказа. 6.3.2.3. Поиск страхового запаса и размера заказа в случае показательного распределения потребности за время доставки и заданной величины риска дефицита Для показательного (экспоненциального) закона распределения  Если учесть, что у показательного закона среднеквадратичное отклонение равно математическому ожиданию, т.е. , то, введя по аналогии с нормальным законом параметр k, связывающий страховой запас со среднеквадратическим отклонением, получим 6.3.2.4. Поиск страхового запаса и размера заказа в случае равномерного распределения потребности за время доставки и заданной величины риска дефицита Для равномерного распределения 6.3.2.5. Анализ вероятностной модели задачи с фиксированным размером заказа и заданной величиной риска дефицита Рассмотренная вероятностная модель задачи с фиксированным размером заказа называется политикой фиксированного риска или (p) – политикой. Параметр k(p) характеризует важный показатель политики фиксированного риска, выраженный процентным отношением числа дефицитных циклов  к общему числу циклов заказа . За цикл заказа принимается интервал времени между двумя последовательными моментами поступления товара на склад. Таким образом,  – число случаев, когда уровень заказа уменьшается до 0, а очередная партия в этот момент еще не поступила. Для нормального распределения величины V, если k(p) = 1, 2, 3 среднее значение величины  составляет соответственно 16%, 2,3%, 0,14%. Для показательного распределения для тех же значений k среднее значение величины  составляет: 13%, 5%, 1,8%. Для равномерного распределения - 21,1%, 6,7%, 0%. Движение запасов в соответствии с (p)-политикой можно проиллюстрировать рис. 6.8. Из рис. 6.8 видно, что необходимо вести непрерывный учет уровня запасов, чтобы, как только уровень опустится до Р (точки заказа – 1), подать заказ. Однако в реальных условиях запас проверяется лишь периодически. При этом уровень запаса может понизиться существенно ниже точки заказа, прежде чем обнаружится необходимость в подаче заявки поставщику. Пусть  – время между двумя очередными проверками. Заказ подается, если при проверке обнаружено, что уровень запасов не превышает значения Р. Для учета потребления за время между проверками необходимо скорректировать формулу (6.15) определения точки заказа Р: Величина заказа Q при этой политике определяется по формуле Уилсона. Лекция 6.4. Многопродуктовые задачи управления запасами. Задача замены оборудования страница 1 6.5.1. Задача с постоянным уровнем запаса 6.5.1.1. Расчет размера заказа в задаче с постоянным уровнем запаса В системе с постоянным уровнем запасов имеется фиксированный верхний уровень запасов М. Текущий уровень запаса периодически проверяется и делается заказ на пополнение запасов до фиксированного уровня. Фиксированный уровень М определяется по формуле                                                         (6.51) если длительность доставки   . Процесс изменения запасов при (М)-политике показан на рис. 6.10. Резервный запас b должен гарантировать соответствующий коэффициент риска или уровень обслуживания при случайных колебаниях W и  где    QЗ  – количество единиц товара, находящегося в процессе доставки (поданные ранее заказы, которые еще не поступили). Если не поступил только последний заказ   Нетрудно заметить, что верхний уровень запасов может быть достигнут только если между моментом заказа и моментом его доставки (подачи) продукт не потребляется. 6.5.1.2. Расчет страхового запаса в задаче с постоянным уровнем запаса Для расчета страхового запаса могут быть использованы методики (p), либо (z)-политики. Единственное отличие в том, что рассматривается вероятность потребления запаса в течение промежутка времени     (а не только  , как в задачах с фиксированным размером заказа). Например, в случае использования политики фиксированного риска решается уравнение 6.5.2. Многопродуктовые задачи управления запасами с фиксированным размером заказа 6.5.2.1. Многопродуктовая задача с ограничением на общую стоимость запаса В реальных условиях приходится решать многопродуктовую задачу управления запасами сырья и материалов, вследствие чего возникают вопросы, связанные с ограничениями по транспорту, пропускной способности путей доставки и отпуска продуктов со склада, объемам хранения, размерам денежных сумм, подлежащих одновременной оплате и т.д. В частности, возникает задача равномерного распределения заказов разных ресурсов во времени с сохранением средней суммы оборотных средств, вкладываемых в запасы. Вначале рассмотрим случай, когда ограничена общая стоимость запаса. Пусть в обращении находится несколько продуктов  При решении допустим те же упрощения, что и в модели Уилсона. При условии независимости продуктов и их заказов для каждого i-го продукта размеры оптимальных партий будут по формуле Уилсона следующими:   где    Сi – закупочная стоимость единицы i-го продукта, b - нормировочный множитель, учитывающий, что заказы отдельных товаров могут поступать независимо друг от друга (b=1\2), или одновременно (b=1). Внесем ограничения на общую стоимость запасов C так, что 6.5.2.2. Решение многопродуктовой задачи с ограничением на общую стоимость запаса методом множителей Лагранжа Эта задача может быть решена методом множителей Лагранжа. Обозначим - стоимость хранения единицы продукции i за период Т как aСi, где Сi – закупочная стоимость i – ой продукции, а a - издержки хранения единицы i – ой продукции за время Т (например, год), выраженные как доля закупочной цены Сi, или процентная ставка (например, годовая). Строим функцию Лагранжа: 6.5.2.3. Многопродуктовая задача с ограничением на объем склада Аналогично решается задача с ограничением на объем склада. При этом вводится Vi – объем, занимаемый единицей i – ой продукции, V – общий объем склада. В зависимости от характера задачи вводятся ограничения либо по среднему    уровню запаса. Можно решить задачу с одновременным учетом этих двух ограничений, либо каких-либо еще. 6.5.2.4. Многопродуктовая задача с ограничением на общую стоимость запаса с учетом убытков от дефицита Усложним теперь задачу, учтя убытки, которые будет нести предприятие, если спрос не удовлетворён. Пусть на предприятии вследствие неудовлетворённого спроса (дефицита) возникают убытки, характеризующиеся величиной СУ на единицу ресурса в единицу времени. Неудовлетворённый спрос покрывается из следующей партии с момента поступления её на склад (рис.6.5). Необходимо определить, какими должны быть максимальные запасы на складе Mi и поставляемая партия Qi каждого i-того вида материала, чтобы затраты на доставку и хранение с учётом неудовлетворенного спроса были минимальными при ограничении на общую стоимость запасов C (6.56). В этом случае задача сводится к нахождению Mi и Qi, минимизирующих суммарные издержки МТС (см. формулу (6.4)): 6.5.2.5. Решение многопродуктовой задачи с ограничением на общую стоимость запаса с учетом убытков от дефицита Выполнив те же обозначения, построим функцию Лагранжа: или после несложных преобразований 6.5.2.6. Многопродуктовая задача с ограничением на объем склада с учетом убытков от дефицита Задача с ограничением на объем склада решается подобным образом, однако в ограничении используется не размер заказа Qi, а максимальный размер запаса Mi. При этом левая часть ограничения будет иметь вид  При таком ограничении функция Лагранжа примет вид  Лекция 6.6. Задачи замены оборудования   6.6.1. Общая характеристика задач замены оборудования 6.6.1.1. Цель задачи замены оборудования К задачам управления запасами тесно примыкают задачи замены оборудования, также решаемые либо в подсистеме УМТС, либо в подсистеме управления обслуживанием и ремонтом оборудования. Технические характеристики любой машины и оборудования вследствие старения, износа и других причин со временем ухудшаются. Это приводит к необходимости замены оборудования с целью как уменьшения суммарных затрат на эксплуатацию, так и предупреждения его полного выхода из строя (отказа). 6.6.1.2. Классификация задач замены оборудования Задачи замены оборудования по наличию того или иного признака можно классифицировать следующим образом. По характеру замены оборудования: -          по замене оборудования длительного использования из-за неуклонно возрастающих с увеличением срока службы эксплуатационных затрат. В этих задачах определяется оптимальный срок службы оборудования, минимизирующий эксплуатационные затраты; -          по замене оборудования с целью предупреждения отказов (поломки). Требуется найти такое время замены, чтобы суммарные затраты были минимальны; -          по выбору оптимального плана предупредительного ремонта и профилактического обслуживания оборудования для уменьшения вероятности отказа. По характеру учета затрат на оборудование на: -          дискретные. Расходы по ремонту и уходу за оборудованием производятся через некоторые интервалы времени; -          непрерывные. Расходы могут производиться в любой момент времени. По выходу из строя оборудования на: -          детерминированные. Расходы по ремонту и уходу за оборудованием являются постоянными или известными функциями от времени; -          случайные. Расходы являются случайными функциями от времени. По стратегии замены оборудования на: -          плановые. Если замена оборудования производится строго по плану с учетом соотношения затрат на ремонт и уход за оборудованием и эффекта, получаемого от эксплуатации оборудования; -          смешанные. Здесь придерживаются плановой стратегии замены оборудования, но если оборудование вышло из строя раньше запланированного срока, то оно заменяется. По времени учета затрат на оборудование на задачи: -          с приведением; -          без приведения. Если затраты на эксплуатацию оборудования осуществляются в разные сроки или они изменяются во времени, то следует привести затраты более поздних лет к расчетному году, в этом случае имеем задачу с приведением. В противном случае – без приведения. 6.6.2. Задачи замены оборудования длительного использования 6.6.2.1. Постановка задачи замены оборудования длительного использования Пусть в эксплуатации находится некоторое оборудование. Покупная цена равна S. Известны также затраты на эксплуатацию оборудования, производимые в течение 1,2,...,t,...,n периодов. Периоды, например, равны году. Обозначим затраты, производимые в t-ый период через Ct. В результате старения балансовая цена оборудования St непрерывно падает и зависит от периода списания. Требуется определить период списания оборудования, чтобы затраты на единицу времени были минимальными. Рассмотрим четыре случая (рис.6.11): Рис. 6.11. Зависимость эксплуатационных затрат (Ct) и балансовой стоимости оборудования (St) от времени: а – линейная, б – квадратичная, в – экспоненциальная. 6.6.2.2. Решение дискретной задачи  замены оборудования длительного использования Для дискретной задачи средние затраты за t периодов можно записать как Чтобы затраты при замене оборудования через t периодов были минимальными, естественно должно выполняться условие: Далее работаем с двумя неравенствами отдельно. В первом неравенстве сократим на t-1 и после приведения получим Во втором сократим на t+1 и после приведения 6.6.2.3. Решение непрерывных задач замены оборудования длительного использования Для непрерывных задач средние затраты примут вид Таким образом, оптимального момента времени списания также нет, но издержки будут минимальными при a2 = b2. Решать это уравнение целесообразно численным методом, обозначив предварительно Точка равенства этих двух выражений и даст искомый момент времени t, при котором необходимо произвести замену оборудования. 6.6.3. Задача замены оборудования с целью предупреждения отказа 6.6.3.1. Постановка задачи замены оборудования с целью предупреждения отказа Пусть известны затраты, связанные с отказом оборудования Cот. Это затраты на брак готовой продукции, простои оборудования, а также затраты на замену вышедшего из строя оборудования. Кроме того, известны затраты только на предупредительную замену Сз. Известно количество неотказавшего оборудования n(t) ко времени t. Требуется определить оптимальный интервал между последовательными заменами, при котором минимизируются средние затраты на единицу времени. Вероятность исправной работы оборудования свыше времени t: где n(t) – количество неотказавшего оборудования к моменту времени t, n(0) – количество обследованного оборудования (оно должно соответствовать исходному количеству оборудования). Среднее время безотказной работы оборудования за время t (средний аварийный возраст): Ориентировочный вид функции вероятности исправной работы приведен на рис.2.32. В соответствии с этим графиком Q1=1, Q2=1+0,95=1,95, Q3=1+0,95+0,9=2,85 и т.д. 6.6.3.2. Решение задачи замены оборудования с целью предупреждения отказа Обозначим средние затраты в единицу времени через Yt при замене оборудования в возрасте t. Так как вероятность выхода из строя оборудования в возрасте t  Pот(t) = 1 - p(t-1), то средние затраты Оптимальный интервал между последовательными заменами определяют табулированием дискретной функции Y(t) и фиксацией точки минимума (см. рис. 6.13). Предупредительная замена не всегда оправдана. Так, если вероятность отказа Pот(t) не зависит от возраста, то предупредительная замена не имеет смысла. Кроме того, если дополнительные потери, вызванные отказом, очень малы, то применять предупредительные замены нецелесообразно.