Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы. Пусть функция 𝑓(𝑥) определена и непрерывна на интервале [𝑎, ∞). Тогда она непрерывна на любом отрезке [𝑎, 𝑏]. b Определение: Если существует конечный предел lim  f ( x)dx , то этот предел называется несобственным b  a интегралом от функции 𝑓(𝑥) на интервале [𝑎, ∞). Обозначение: b  a a lim  f ( x)dx   f ( x)dx b  Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится. Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида: b  b f ( x)dx  lim a     f ( x)dx a  c    c  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.  Теорема: Если для всех х (𝑥 ≥ 𝑎) выполняется условие 0  f ( x)  ( x) и интеграл  ( x)dx сходится, то a    a a a  f ( x)dx тоже сходится и  ( x)dx ≥  f ( x)dx .  Теорема: Если для всех х (𝑥 ≥ 𝑎) выполняется условие 0  ( x)  f ( x) и интеграл  ( x)dx расходится, то a   f ( x)dx тоже расходится. a  Теорема: Если    f ( x)dx . f ( x) dx сходится, то сходится и интеграл a a  В этом случае интеграл  f ( x)dx называется абсолютно сходящимся. a Интеграл от разрывной функции. Если в точке 𝑥 = 𝑐 функция либо неопределена, либо разрывна, то c  b f ( x)dx  lim b c  0 a b Если интеграл   f ( x)dx a c f ( x)dx существует, то интеграл a b  f ( x)dx - сходится, если интеграл a a c  f ( x)dx - расходится. a c Если в точке х = а функция терпит разрыв, то  f ( x)dx  c f ( x)dx  lim b a  0 a  f ( x)dx . b Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то с b c a a b  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx Таких точек внутри отрезка может быть несколько. Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл. не существует, то Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и прямыми 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, 𝑦 = 0. Если график расположен выше оси О𝑥, т.е. 𝑓(𝑥) > 0, то площадь имеет знак «+»: 𝑏 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑎 Если график расположен ниже оси 𝑂𝑥, т.е. 𝑓(𝑥) < 0, то площадь имеет знак «-»: 𝑏 𝑆 = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑎 Площадь фигуры ограниченной двумя кривыми 𝑦 = 𝑓1 (𝑥) и 𝑦 = 𝑓2 (𝑥), причем 𝑓2 (𝑥) ≥ 𝑓1 (𝑥), и прямыми 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 вычисляется по формуле: 𝑏 𝑆 = ∫(𝑓2 (𝑥) − 𝑓1 (𝑥))𝑑𝑥 . 𝑎 𝑥 = 𝜙(𝑡), Если фигура ограничена кривой, которая задана параметрически { где 𝑡 ∈ [𝛼; 𝛽] и прямыми 𝜙(𝛼) = 𝑎 и 𝑦 = 𝜓(𝑡), 𝜙(𝛽) = 𝑏, то площадь вычисляется по формуле: 𝛽 𝑆 = ∫ 𝜓(𝑡) ⋅ 𝜙 ′ (𝑡)𝑑𝑡. 𝛼 Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 = 2. 6 𝑦 = 𝑥2 5 4 𝑦=𝑥 3 2 𝑥=2 1 -1 1 2 3 4 -1 Искомая площадь (заштрихована на рисунке). Верхняя граница интегрирования проходит по линии 𝑥 = 2. Нижнюю границу находим по пересечению линий 𝑦 = 𝑥 2 и 𝑦 = 𝑥: 𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑥 2, { ⇒ 0 = 𝑥 2 − 𝑥 ⇒ 𝑥(1 − 𝑥) = 0 ⇒ { 1 𝑥2 = 1. 𝑦 = 𝑥, По рисунку подходит вторая точка 𝑥2 = 1, значит пределы интегрирования 𝑎 = 1 и 𝑏 = 2. Площадь находим по формуле 𝑏 2 2 𝑆 = ∫(𝑓2 (𝑥) − 𝑓1 (𝑥))𝑑𝑥 = ∫(𝑥 2 − 𝑥)𝑑𝑥 = ( 𝑎 1 𝑥3 𝑥2 23 22 13 12 8 4 1 1 5 − )| = − −( − )= − − + = . 3 2 1 3 2 3 2 3 2 3 2 6 Длина дуги кривой и площадь поверхности вращения Пусть кривая 𝐴𝐵 является графиком функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), где 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏], а функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) и ее производная 𝑦 ′ = 𝑓 ′ (𝑥) непрерывны на этом отрезке. Под длиной дуги 𝐴𝐵 понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу. когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наименьшего звена ее стремится к нулю и вычисляется по формуле: 𝑏 2 𝑙 = ∫ √1 + (𝑓 ′ (𝑥)) 𝑑𝑥. 𝑎 Пример: Найти длину дуги окружности радиуса 𝑅. Уравнение окружности радиуса 𝑅 равен: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑅2 или выражая 𝑦 получим 𝑦 = ±√𝑅2 − 𝑥 2 . Так как кривая симметрична по всем четвертям, то вычислив длину в одной четверти и умножая на 4 получим полную длину. Таким образом интервалы интегрирования будут от 𝑎 = 0 до 𝑏 = 𝑅 и формула: 𝑅 2 𝑙 = 4 ⋅ ∫ √1 + (𝑓 ′ (𝑥)) 𝑑𝑥. ′ Найдем производную уравнения: 𝑦 ′ = (√𝑅2 − 𝑥 2 ) = 1 2 √𝑅 2 −𝑥 2 ⋅ (−2𝑥) = − 𝑥 √𝑅 2 −𝑥 2 и подставляем в формулу: 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑥2 𝑅2 − 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑅2 𝑙 = 4 ⋅ ∫ √1 + (− ) 𝑑𝑥 = 4 ⋅ ∫ √1 + 2 𝑑𝑥 = 4 ⋅ ∫ √ 𝑑𝑥 = 4 ⋅ ∫ √ 2 𝑑𝑥 = 2 2 2 𝑅 −𝑥 𝑅 −𝑥 𝑅 − 𝑥2 √𝑅2 − 𝑥 2 𝑥 2 𝑅 = 4𝑅 ⋅ ∫ 1 𝑥 𝑅 𝜋 𝜋 𝑑𝑥 = 4𝑅 ⋅ arcsin ( )| = 4𝑅 ⋅ (arcsin 1 − arcsin 0) = 4𝑅 ⋅ ( − 0) = 4𝑅 ⋅ = 2𝜋𝑅. 𝑅 0 2 2 √𝑅2 − 𝑥 2 Площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси 𝑂𝑥 кривой 𝑦 = 𝑓(𝑥) определяется по формуле: 𝑏 2 𝑆𝑥 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥) ⋅ √1 + (𝑓 ′ (𝑥)) 𝑑𝑥. 𝑎 Объем тела вращения Пусть вокруг оси 𝑂𝑥 вращается трапеция, ограниченная линией 𝑦 = 𝑓(𝑥) ≥ 0 и прямыми 𝑥 = 𝑎 и 𝑥 = 𝑏. При этом, полученная от вращения фигура называется телом вращения. Тогда объем тела вращения по оси 𝑂𝑥 вычисляется по формуле: 𝑏 𝑉𝑥 = 𝜋 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑑𝑥 . 𝑎 Объем тела вращения, ограниченной линией 𝑥 = 𝜙(𝑦) и прямыми 𝑦 = 𝑐 и 𝑦 = 𝑑, по оси 𝑂𝑦 вычисляется по формуле: 𝑑 𝑉𝑦 = 𝜋 ∫ 𝜙 2 (𝑦)𝑑𝑦. 𝑐 Пример: Найти объем тела вращения полученного вращением параболы 𝑦 = 𝑥 2 : 1) вокруг оси 𝑂𝑥 при ограничении прямой 𝑥 = 1; 2) вокруг оси 𝑂𝑦 с ограничением 𝑦 = 2. При вращении вокруг оси 𝑂𝑥 пределы интегрирования от 𝑥 = 0 до 𝑥 = 1: 1 𝑉𝑥 = 𝜋 ∫(𝑥 1 2 )2 1 𝑥5 𝜋 𝜋 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋 | = (15 − 05 ) = . 5 0 5 5 4 При вращении вокруг оси 𝑂𝑦 уравнение линии выражаем через 𝑥, получим: 𝑥 = √𝑦, а пределами интегрирования будут 𝑦 = 0 и 𝑦 = 2: 5 2 2 𝑉𝑦 = 𝜋 ∫(√𝑦) 𝑑𝑦 = 𝜋 ∫ 𝑦𝑑𝑦 = 𝜋 2 𝑦2 𝜋 | = (22 − 02 ) = 2𝜋. 2 0 2