Несобственные интегралы

ЛЕКЦИЯ НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ План Определение несобственного интеграла. Несобственные интегралы I типа. Вычисление несобственных интегралов I типа. Признаки сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. 5. Несобственные интегралы II типа. 6. Признаки сходимости несобственных интегралов II типа. 1. 2. 3. 4. В предыдущей лекции рассматривались определенные интегралы, соответствующие с геометрической точки зрения площадям замкнутых ограниченных областей (криволинейных трапеций). Расширим понятие определенного интеграла на случай неограниченной области. Такую область можно получить либо, приняв какой-либо из пределов интегрирования равным бесконечности, либо рассматривая график функции с бесконечными разрывами (т. е. неограниченной). Определение несобственного интеграла При изучении определённых интегралов b ∫ f (x )dx мы предполагали, что a 1) промежуток интегрирования [a, b] конечен; 2) подынтегральная функция f (x ) ограничена на отрезке [a, b] . Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то интеграл называется несобственным. Несобственные интегралы бывают I типа и II типа. Несобственные интегралы I типа Несобственные интегралы I типа – интегралы с бесконечными пределами. Определение 1. Несобственным интегралом от непрерывной функции f (x ) на промежутке [a, ∞ ) называется предел интеграла M ∫ f (x )dx a ∞ M a a f ( x )dx . ∫ f (x )dx = Mlim →∞ ∫ (1) при M → ∞ : Определение 2. Если предел (1) существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходящимся. Примеры: ∞ 1) M ( −x −x ∫ e dx = lim ∫ e = lim − e −x M →∞ M →∞ ) M   1 = lim  − M + 1 = −0 + 1 = 1 . M →∞   e ∞ Следовательно, несобственный интеграл ∫ e − x dx сходится и равен 1. 2) вычислить интеграл ∞ 1 а) если k ≠ 1 , то dx ∫x k , где k ∈ R . ∞ M M   1 dx x − k +1 −k lim lim x dx = = = lim   = 1 k − ∫1 x k M →∞ ∫1 M →∞ − k + 1 M → ∞ (1 − k )x  1 1 M 1  1  , если k > 1  , если k > 1 0 − = 1 − k =  1− k ∞, если k < 1 ∞, если k < 1. б) если k = 1 , то ∞ ∞ dx = lim ln x = ∞ − 0 = ∞ . 1 x M →∞ 1 ∫ Таким образом, интеграл ∞ dx ∫x k сходится при k > 1 и расходится при k ≤ 1 . 1 ∞ M a a M cos xdx = lim sin x = lim sin M . Последний предел не 3) интеграл ∫ cos xdx = Mlim M →∞ M →∞ →∞ ∫ существует, так как величина sin M колеблется от -1 до +1. ∞ Следовательно, ∫ cos xdx расходится. a Вычисление несобственных интегралов I типа Аналогично определяется несобственный интеграл в интервале (− ∞, b] : b ∫ f (x )dx = −∞ b lim m → −∞ ∫ f (x )dx = F (b) − F (− ∞ ) , m где F (− ∞ ) – предел первообразной F (x ) , при x → −∞ . Если функция f (x ) определена и непрерывна на всей числовой оси, то можно рассматривать несобственный интеграл в интервале (− ∞, ∞ ) . По определению ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx . Если оба интеграла в правой части сходятся, то интеграл ∞ ∫ f (x )dx −∞ называется сходящимся. Если первообразная F (x ) функции f (x ) известна, то ∞ ∫ f (x )dx = F (+ ∞ ) − F (− ∞ ) , где под символами F (+ ∞ ) и F (− ∞ ) понимают −∞ пределы, к которым стремится F (x ) при x → +∞ и x → −∞ . Если хотя бы один из этих пределов не существует, то несобственный интеграл расходится . ∞ 4) dx ∫ 1+ x −∞ ∞ 5) ∞ 2 = arctgx + ∞ = ∫ e dx = e x x +∞ −∞ −∞ π  π − −  = π . 2  2 = ∞ − 0 = ∞ . Интеграл расходится. Признаки сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами Признак сравнения. Если для всех x ≥ a непрерывные функции f (x ) и g (x ) ∞ удовлетворяют неравенствам 0 ≤ f (x ) ≤ g (x ) и интеграл ∫ g (x )dx сходится, то a ∞ ∫ f ( x )dx тоже сходится, причём ∞ ∫ a a Если же интеграл ∞ ∫ ∞ f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx . a f ( x )dx расходится, то интеграл ∞ ∫ g (x )dx тоже a a расходится. Второй признак сравнения. Если ∞ ∫ f (x ) dx сходится, то сходится и интеграл a ∞ ∫ f (x )dx . В этом случае последний интеграл называется абсолютно a сходящимся. Несобственные интегралы II типа Несобственные интегралы II типа – интегралы от функции с бесконечными разрывами. Определение 1. Если f (x ) непрерывна на [a, b ) и неограниченна в любой окрестности точки b, то b ∫ f ( x )dx = lim ε →0 a b −ε ∫ f (x )dx (1) называется несобственным a интегралом II типа от функции f (x ) . Определение 2. Если предел справа в (1) существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Признаки сходимости несобственных интегралов II типа Теорема 1. (Признак сравнения). Если непрерывные на промежутке (a, b] функции f (x ) и ϕ (x ) в точке a терпят бесконечные разрывы, причём 0 ≤ f (x ) ≤ ϕ (x ) , то: b 1) если ∫ ϕ (x )dx , сходится, то a 2) если b ∫ a b ∫ f (x )dx тоже сходится; a b f ( x )dx расходится, то ∫ ϕ (x )dx тоже расходится. a Теорема 2. Если функция f (x ) непрерывна на промежутке (a, b], в точке a имеет бесконечный разрыв, и b ∫ f ( x ) dx сходится, то интеграл a сходится и называется абсолютно сходящимся. b ∫ f (x )dx a тоже