Непрерывная случайная величина

Прикладная теория вероятностей и математическая статистика 2.3. Непрерывная случайная величина Опр. 2.3.1. Будем называть с.в. непрерывной (н.с.в.) в том случае, когда множество значений, которое она принимает, сплошь заполняет некоторый промежуток на числовой оси. Замечание 2.3.1: Функция распределения д.с.в. всегда кусочно-постоянна, а функция распределения н.с.в. обязательно будет непрерывной! 2 2.3. Непрерывная случайная величина Опр. 2.3.2. Плотностью распределения н.с.в. будем называть функцию 𝑓ξ 𝑥 , которая удовлетворяет равенству: 𝑥 𝐹ξ 𝑥 = 𝑓ξ 𝑡 𝑑𝑡 −∞ 3 2.3. Непрерывная случайная величина Свойства функции плотности распределения: 1. В точках, где функция распределения непрерывна 𝑓ξ 𝑥 = 𝐹 ′ ξ 𝑥 2. Плотность распределения всегда неотрицательна: 𝑓ξ 𝑥 ≥ 0 3. Свойство нормировки: +∞ −∞ 𝑓ξ 𝑥 𝑑𝑥 = 1 4. Вероятность попадания н.с.в. в промежуток можно вычислить по формуле: 𝑏 𝑃 ξ ∈ 𝑎, 𝑏 = 𝑎 𝑎, 𝑏 4 𝑓ξ 𝑥 𝑑𝑥 2.3. Непрерывная случайная величина Вероятность попадания н.с.в. в промежуток 5 2.3. Непрерывная случайная величина Замечание 2.3.3. Функция, для которой выполняются свойства 2 (неотрицательности) и 3 (нормировки), является плотностью какого-то распределения. Замечание 2.3.4. Вероятность того, что н.с.в. примет фиксированное значение равна нулю: 𝑃 ξ = 𝑐 = 0. 6 2.3. Непрерывная случайная величина Пример 5. Предположим, с.в. задана плотностью распределения вида: 0, x  2  f ( x)  c, 2  x  4 0, x  4  Найти: 1. Константу 𝑐 2. Функцию распределения данной с.в. и ее график 0, x  2  f ( x)  0,5, 2  x  4 0, x  4  x F ( x)    f (t )dt 7 2.3. Непрерывная случайная величина Опр. 2.3.3. Математическим ожиданием н.с.в. ξ называют число E[ξ], которое вычисляют по формуле: +∞ 𝐸𝜉 = −∞ 𝑥𝑓ξ 𝑥 𝑑𝑥 Пример 5. С.в. задана плотностью распределения вида: 0, x  2 1  f ( x)   , 2  x  4 2 0, x  4 Найдите математическое ожидание данной случайной величины. 8 2.3. Непрерывная случайная величина Замечание 2.3.5: Если одна н.с.в. связана с другой н.с.в. некоторой функцией 𝜏 = 𝑔(ξ) , то математическое ожидание н.с.в. 𝜏 вычисляют по формуле: +∞ 𝐸 𝑔(𝜉) = −∞ 𝑔(𝑥)𝑓ξ 𝑥 𝑑𝑥 Пример 5. С.в. задана плотностью распределения вида: 0, x  2 1  f ( x)   , 2  x  4 2 0, x  4 Найдите математическое ожидание случайной величины ξ2 . 9 2.3. Непрерывная случайная величина Опр. 2.3.4. Дисперсию н.с.в. вычисляют по формулам +∞ 𝑉ξ = −∞ 𝑉 ξ = 𝐸 ξ2 − 𝐸 ξ (𝑥 − 𝐸 ξ )2 𝑓ξ 𝑥 𝑑𝑥 2 +∞ = −∞ 𝑥 2 𝑓ξ 𝑥 𝑑𝑥 − (𝐸 ξ )2 Пример 5. С.в. задана плотностью распределения вида: 0, x  2 1  f ( x)   , 2  x  4 2 0, x  4 Найдите дисперсию данной случайной величины. 10 2.3. Непрерывная случайная величина Опр. 2.3.5. Модой н.с.в. называют такое значение с.в. 𝑥𝑀𝑜 , при котором плотность распределения с.в. достигает своего максимума. Унимодальное распределение: 0, x  2 1  f ( x)   , 2  x  4 2 0, x  4 2 xMo  4 0, x  0  f ( x )   x, 0  x  4 0, x  4  4 xMo  4 11 2.3. Непрерывная случайная величина 0, x  0  f ( x )   x, 0  x  4 0, x  4  Бимодальное распределение 1 Mo x 2 Mo x 4 xMo  12 2.3. Непрерывная случайная величина Опр. 2.3.6. Медианой н.с.в. называют такое значение с.в. 𝑥𝑀e , при котором имеет место равенство: 𝑃 ξ < 𝑥𝑀𝑒 = 𝑃 ξ ≥ 𝑥𝑀𝑒 = 0,5 Замечание 2.3.6: Если известна функция распределения, то медиану ищут из уравнения: 𝐹ξ 𝑥𝑀𝑒 = 0,5 0, x  2 1  F ( x)   x  1, 2  x  4 2 1, x  4 F (x) 1 0,5 2 xMe 13 2.3. Непрерывная случайная величина Опр. 2.3.7. Начальным моментом порядка k называют следующую числовую характеристику: +∞ 𝛼𝑘 = −∞ 𝑥 𝑘 𝑓ξ 𝑥 𝑑𝑥 Опр. 2.3.8. Центральным моментом порядка k называют следующую числовую характеристику: 𝛽𝑘 = +∞ −∞ (𝑥 − 𝐸 ξ )𝑘 𝑓ξ 𝑥 𝑑𝑥 14 2.4. Свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины Математическим ожиданием д.с.в. называют число E[ξ], которое вычисляют по формуле: ∞ 𝐸𝜉 = 𝑥𝑖 𝑝𝑖 𝑖=1 Математическим ожиданием н.с.в. называют число E[ξ], которое вычисляют по формуле: +∞ 𝐸𝜉 = −∞ 𝑥𝑓ξ 𝑥 𝑑𝑥 15 2.4. Свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины Свойства математического ожидания: 1. 𝐸 𝑐 = 𝑐, 𝑐 = const 2. 𝐸 𝑐ξ = 𝑐𝐸 ξ 3. 𝐸 ξ + 𝑐 = 𝐸 ξ + 𝑐 𝐸 ξ−𝑐 =𝐸 ξ −𝑐 4. 𝐸 𝑐1 ξ1 + 𝑐2 ξ2 =𝑐1 𝐸 ξ1 ] + 𝑐2 𝐸[ξ2 5. Если 𝑃 ξ ≥ 0 = 1, то 𝐸 ξ ≥ 0 Если 𝑃 ξ ≤ 0 = 1, то 𝐸 ξ ≤ 0 16 2.4. Свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины Замечания: • Математическое ожидание НЕ может быть больше наибольшего значения с.в. и меньше наименьшего. • Математическое ожидание НЕ может быть на границе значений с.в. 17 2.4. Свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины Дисперсией с.в. называют число V[ξ], которое вычисляют по формуле: 𝑉 𝜉 = 𝐸[ 𝜉 − 𝐸 ξ 2 ] Теорема 2.4.1. Для дисперсии с.в. имеет место равенство: 𝑉 𝜉 =𝐸 ξ2 − 𝐸 ξ 2 18 2.4. Свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины Опр. 2.4.1. Число V1 2  E 1  E 1  2  E  2  называют моментом корреляции или ковариацией : cov1 ,  2   V1 2 Опр. 2.4.2. Если момент корреляции двух случайных величин равен нулю, то такие с.в. называются некоррелированными 19 2.4. Свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины Свойства дисперсии: 1. 𝑉 ξ ≥ 0 2. 𝑉 𝑐 = 0, 𝑐 = const 3. 𝑉 𝑐ξ = 𝑐 2 𝑉 ξ 4. 𝑉 ξ + 𝑐 = V ξ 𝑉 ξ−𝑐 =V ξ 5. 𝑉 𝑐1 ξ1 + 𝑐2 ξ2 =𝑐1 2 𝑉 ξ1 ] + 𝑐2 2 𝑉[ξ2 + 2𝑐1 𝑐2 𝑉ξ1 ξ2  Если 𝑐1 = 𝑐2 = 1, то 𝑉 ξ1 + ξ2 =𝑉 ξ1 ] + 𝑉[ξ2 + 2𝑉ξ1 ξ2  Если 𝑉ξ1 ξ2 = 0, то 𝑉 ξ1 + ξ2 =𝑉 ξ1 ] + 𝑉[ξ2 20 2.4. Свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины Опр. 2.4.3. Случайная величина ξ = ξ − 𝐸[ξ] называется центрированной случайной величиной Опр. 2.4.4. Случайная величина ξ 𝜏= 𝜎ξ называется центрированной нормированной случайной величиной 21 2.4. Свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины Теорема 2.4.2. Для математического ожидания и дисперсии центрированной и центрированной нормированной случайной величины имеют место следующие равенства: 𝐸 ξ =0 𝑉 ξ =𝑉 𝜉 𝐸 𝜏 =0 𝑉 𝜏 =1 22