Многомерные случайные величины. Функции случайной величины. Числовые характеристики случайных величин

ЛЕКЦИЯ 5 МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Определение: Двумерный вектор {ξ ,η} называется двумерной случайной величиной, где ξ и η - случайные величины, заданные на Ω . В случае когда ξ и η - дискретные случайные величины возможно построить двумерный ряд распределения: ξ η ξ1 ξ2 … ξn η1 p11 p21 … pn1 η2 p12 p22 … pn 2 ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ p1k p2 k … pnk η k Где ξ1 < ξ 2 … < ξ n ; η1 < η 2 … < η k - все возможные значения ξ и η , P (ξ = ξ i ,η = η j ) = Pij . Если задан двумерный ряд распределения, то можно также построить одномерные ряды распределений ξ и η , а именно: ξ p ξ1 ξ2 k k ∑ p1 j ∑ p2 j j =1 j =1 n … k … ∑ pnj j =1 n k ∑ p(ξ = ξi ) = ∑ ∑ pij = 1 i =1 ξn i =1 j =1 η p η1 η2 k k ηk … k ∑ pi1 ∑ pi 2 i =1 i =1 ∑ pik … i =1 n k n i =1 j =1i =1 ∑ p(η = ηi ) = ∑ ∑ pij = 1 Заметим, что, распределениями, распределения. располагая только одномерными нельзя получить двумерный ряд Пример 1. Рассмотрим два различных двумерных ряда распределения: Соответствующие им одномерные распределения одинаковы и имеют вид: ξ -1 η 1 -1 1 1 1 1 1 р 2 2 2 2 Откуда следует, что одномерные распределения не могут определять двумерное. Исключением является случай, когда η и ξ - независимы. р Определение: - независимы, P (ξ = ξ i ,η = η j ) = P (ξ = ξ i )P (η = η j ), при ∀i, j . η и ξ если Функция случайной величины Пусть {ξ ,η} - случайный вектор, тогда θ = φ (ξ ,η ) - также случайная величина и можно построить ее ряд распределения. Для этого найдем все возможные значения θ ij = f (ξ i ,η j ) , ∀i, j . i = 1,..., n; j = 1,..., k . Получив эти значения и соответствующие ( ) им вероятности P θ = θij = Pij , следует расположить значения θ ij в порядке возрастания и с учетом повторов найти ряд распределения. Пример 2. Для случайного вектора {ξ ,η} задан двумерный ряд распределения: Найти двумерный ряд распределения случайного вектора: {ξ + η ,η}; выяснить являются ли независимыми его компоненты. Составим таблицу (*) для нахождения значений θ = ξ + η . ξ η ξ +η -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -2 -1 1 2 (*) Получим ряд распределения для θ : θ -2 -1 1 2 p 3 24 4 24 2 3 + 24 24 7 24 3 24 Он составлен с учетом повторов. Проверка: 5 ∑ pi = 1 . i =1 Ряд распределения для η имеет вид: η -1 1 p 12 24 12 24 5 ∑ pi = 1 i =1 Для решения вопроса о независимости ξ и составим двумерный ряд распределения: ξ +η ξ +η , используя (*) -2 -1 1 2 -1 3 24 4 24 5 24 1 2 24 7 24 3 24 η . Например P(ξ + η = −1,η = −1) ищется так: в таблице (*) эти 4 значения принимаются при ξ = 0 , η = −1 с вероятностью . 24 Паре значений ξ + η = 1 , η = −1 не соответствует ни одного значения ξ и η , поэтому P(ξ + η = 1,η = −1) = 0 . Наконец, проверим условие: P ξ +η =θi ,η =ηj = P(ξ +η =θi )Pη =ηj . Найдем, например ( ) ( ) P(ξ +η = −2,η = 1) = 0 ≠ P(ξ +η = −2) ⋅ P(η = 1) = зависимы. 3 1 ⋅ . То есть ξ + η и η 24 2 Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия Пусть случайная величина ξ задана рядом распределения ξ ξ1 ξ2 … ξn … p p1 p2 … pn … Определение: математическим ожиданием ξ ∞ (обозначается - M [ξ ] = M ξ = mξ ) называется ∑ξ p i i , если этот i =1 ряд сходится абсолютно. Свойства M [ξ ] 1. M [C ] = C , где С - константа 2. M [C ⋅ ξ ] = C ⋅ M [ξ ] 3. M [ξ + η ] = M [ξ ] + M [η ] 4. M [ξ ⋅η ] = M [ξ ] ⋅ M [η ] , если ξ и η независимы. Свойства 1 и 2 очевидны. Пусть для случайного вектора {ξ ,η} задан двумерный ряд распределения: P (ξ = ξ i ,η = η j ) = pij ; i = 1,..., ∞ ; j = 1,..., ∞ ; соответственно известны и одномерные распределения p j . Докажем свойство 3. ξ и η . P(ξ = ξ i ) = pi ; P (η = η j ) = ~ Имеем: ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ i=1 j=1 j=1 i=1 M[ξ +η] = ∑∑(ξi +ηj )pij = ∑ξi ∑pij + ∑ηj ∑pij = i=1 j=1 ∞ ∞ i =1 j =1 = ∑ ξ i pi + ∑η j ~ p j = M [ξ ] + M [η ] Для доказательства свойства 4 найдем: ∞ ∞ M [ξ ⋅ η ] = ∑∑ ξ iη j pij . i =1 j =1 Если ξ и η независимы, то: pij = pi ~ pj и ∞ ∞ i =1 j =1 M [ξ ⋅ η ] = ∑ ξ i pi ∑η j ~ pj , то есть M [ξ ⋅η ] = M [ξ ] ⋅ M [η ] . Далее примем без доказательства теорему о математическом ожидании функции случайной величины (доказательство приведем в дальнейшем, в общем случае). Теорема. Пусть ξ - случайная величина с P(ξ = ξ i ) = pi , η случайная величина: η = φ (ξ ) , тогда ∞ M[η] = ∑ ϕ(ξi ) pi . i=1 Определение. Дисперсией случайной величины ξ (обозначается D[ξ ] или Dξ ) называется математическое 2 ожидание квадрата разности ξ − mξ , то есть D[ξ ] = M [(ξ − mξ ) ] Свойства дисперсии. 1. D[ξ ] ≥ 0 2. D[C ] = 0 2 3. D[Cξ ] = C D[ξ ] 4. D[ξ ± η ] = D[ξ ] + D[η ] , если ξ и η независимы. Свойства 1-3 очевидны. Докажем свойство 4. Имеем: [ ] [ ] D[ξ ± η ] = M (ξ ± η − M [ξ ± η ]) = M {(ξ − mξ ) ± (η − mη )} = [ 2 2 ] [ = M (ξ − mξ ) ± 2 M [(ξ − mξ )(η − mη )] + M (η − mη ) Если ξ 2 2 ] и η независимы, то M [(ξ − mξ )(η − mη )] = M [(ξ − mξ )]M [(η − mη )] . M [ξ − mξ ] = M ξ − mξ = 0 = M [η − mη ] , Но получим [ ] [ ] D[ξ ± η ] = M (ξ − mξ ) + M (η − mη ) = Dξ + Dη . 2 2 Заметим, что, аналогично рассуждая, D[ξ ] можно представить в виде: [ ] D[ξ ] = M ξ 2 − mξ2 Действительно, 2 D[ξ ] = M [(ξ − M [ξ ]) ] = M [(ξ )2 ] − 2 M [(ξmξ )] + M [(mξ )2 ]= M [ξ 2 ] − 2mξ2 + тξ2 = M [ξ 2 ] − mξ2 . Производящая функция и числовые характеристики основных дискретных распределений Пусть ξ принимает только целые неотрицательные значения и задана рядом распределения … ξ 1 p p0 p1 Определение. … … pn ∞ ψ ξ (t ) = M [t ] = ∑ t k pk ξ Функция … n называется k =0 производящей функцией. ∞ Так как при t ≤ 1 ряд ∑ t k pk мажорируется сходящимся k =0 ∞ ∑ pk рядом = 1, то он при t ≤ 1 сходится абсолютно. Тогда k =0 при t ≤ 1 производящая функция определена и имеет следующие свойства: 1. Так как на области сходимости любой ряд вида ∞ ∑ ak t k является рядом Тейлора k =0 некоторой f (t ) , где то существует распределением ξ f (k ) (0) ak = , k! взаимнооднозначное и ψ ξ (t ), а именно: P(ξ = k ) = Pk = 2. Если ξ1 и ξ2 соответствие ψ ξ(k ) (0 ) k! - независимы, то ψ ξ1+ξ2 (t ) = ψ ξ1 (t ) ⋅ψ ξ2 (t ) , так как по свойству 4 для [ M [ξ ] ] имеем: [ ] [ ] M t ξ1 +ξ2 = M t ξ1 M t ξ2 между ∞ 3. ψ ξ (1) = 1; ψ ξ′ (t ) = ∑ kt k −1 p k ⇒ ψ ξ′ (1) = M [ξ ] , если ψ/ξ(1) k =1 существует. Найдем ψ ξ′′ (t ): ∞ ∞ ∞ k =2 k =2 ψ ξ′′ (t ) = ∑ k 2 t k −2 p k − ∑ kt k −2 p k ⇒ ψ ξ′′ (1) = ∑ k 2 p k − mξ = M [ξ 2 ] − mξ , если ψ ξ′′ (1) существует. Получим: D[ξ ] = M ξ 2 − mξ2 = ψ ξ′′ (1) − [ψ ξ′ (1)]2 + [ψ ξ′ (1)] [ ] Найдем M [ξ ] и D[ξ ] для основных дискретных распределений: 1. Распределение Бернулли: P (ξ = k ) = C nk p k q n−k , имеем: n ψ ξ (t ) = ∑ t C p q k k n k n n−k = ∑ ( pt ) q n−k Cnk = ( pt + q ) . k n ψ ξ′ (t ) = n( pt + q ) p ⇒ M ξ = np ; n −1 ψ ξ′′ (t ) = n(n − 1) p 2 ( pt + q )n−2 . D[ξ ] = n(n − 1) p 2 − n 2 p 2 + np = np − np 2 = n(1 − p ) p = npq . 2. Распределение Пуассона P(ξ = k ) = e −λ λk k! . Имеем: ∞ ψ ξ (t ) = ∑ e t λk ∞ 1 (λt ) = e λ eλ ; ∑ k! k! ψ ξ′ (t ) = λe − λ e λt ⇒ M [ξ ] = λ . ψ ξ′′ (t ) = λ2e − λ e λt ⇒ D[ξ ] = λ2 − λ2 + λ = λ . −λ k =e −λ k − t 3. Геометрическое распределение: P(ξ = k ) = pq k −1 , k = 1,2,... ∞ ψ ξ (t ) = ∑ t pq k k =1 при tq < 1 . Имеем: ∞ k −1 = pt ∑ (tq ) k =1 k −1 ∞ = pt ∑ (tq ) = pt n =0 n 1 , 1 − tq ψ ξ′ (t ) = p 1 − qt − t (− q ) p = 2 (1 − qt ) (1 − qt )2 . ψ ξ′′ (t ) = 2 pq (1 − qt )3 , следовательно, получим: M [ξ ] = ψ ξ′ (1) = D[ξ ] = ψ ξ′′ (1) + = 1 p p 1 = (1 − q )2 p , 1 1 2q 1 1 1 − 2 = 2 − 2 + = 2 (2q − 1 + p ) = p p p p p p (q + q − 1 + p ) = 2 1 p (q − p + p ) = 2 q p 2 .