Матрицы и операции над ними.

МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 1.1. Определения и примеры Вещественной матрицей размерности mn назовем таблицу из m строк и n столбцов, составленную из вещественных чисел:  x11   x21  X   ...   ... x  m1 x12 ... ... x22 ... ... ... ... ... ... ... ... xm 2 ... ... x1n   x2 n   1,..., n ...   {xij }ij1,..., m.  ...  xmn  (1.1) Частным случаем матриц являются вектора, т.е. матрицы, имеющие одну строку или один столбец. 1,..., n 1,..., n Пусть A  {aij }ij1,..., – матрицы одинаковой размерности. Для B  {bij }ij1,..., m, m них можно определить операции:  сложения: 1,...,n , C  A  B, C  {cij }ij1,..., m , cij  aij  bij , i  1, ..., m, j  1, ..., n  умножения на числовую константу: 1,..., n . C    A, C  {cij }ij1,..., m , cij    aij , i  1, ..., m, j  1, ..., n Пример 1.1. Вычислить матричное выражение A+3B, где  5 3 2    A   4 7 10  ,    5 2 0   0 3 1    B   8 6 4  .    7 6 5  Решение.  5 3 2  0 3    A  3  B   4 7 10   3   8 6     5 2 0  7 6 3  3  3 2  3  (1)   5  5  3 0     4  3  8 7  3  (6) 10  3  (4)    28    2  3 6 0  3  (5)   16  5  3  7 1   4    5  6 1   11 2   20 15  Транспонирование - это операция, переводящая матрицу размера mn в матрицу размера nm. При этом строки исходной матрицы становятся столбцами транспонированной и наоборот. Транспонированную матрицу обычно обозначают AT. Элементы транспортированной матрицы AT связаны с элементами исходной матрицы A простым соотношением: aTij = aji. Матрица A называется симметричной, если A = AT. Пример 1.2. Транспонировать заданную матрицу С. Решение.  10 49    0   10 56 15 67   56 T C   , C    49 0 33 28   15 33     67 28  Операцию умножения двух матриц можно определить в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы 1,...,n j 1,...,l Результатом будет третья матрица A  {aij }ij1,..., m , B  {bij }i 1,...,n . n 1,...,l C  A×B, C  {cij }ij1,..., cij   aik bkj . m, (1.2) k 1 Пример 1.3. Найти произведение матриц  2 3   1 1 2 5      2 4 8 3   4 1   A ,B  3 0 1 7  4  0    5 0 6 1       5 1 Решение. Количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B, значит операция умножения матриц корректна. В результате получится матрица C = AB, имеющая 4 строки и 2 столбца.  1  2  (1)  (4)  ( 2)  0  5  5 1 ( 3)  ( 1) 1  ( 2)  4  5 1   31     (2)  2  4  (4)  8  0  ( 3)  5 (2)  ( 3)  4 1  8  4  ( 3) 1   35 C  3  2   (  4)  (  1)   7  5 3  (  3)   1  (  1)  4  7  1    41    5  (3)  0  1  6  4  1  1   15  5  2  0  (4)  6  0  1  5 7   39   6   10  Для квадратных матриц определим операцию возведения в целую степень: C  С С  т С m  2 1   3 3    Пример 1.4. Возвести квадратную матрицу C   в куб. Решение. По определению, C3 = CCC. Выполняем умножение матриц:  2 1   2 1   2 1   2  2  (1)  3 2  (1)  (1)  (3)   2 1  C3        3 3   3 3   3 3   3  2  (3)  3 3  (1)  (3)  (3)   3 3            1 (1)  1 (3)   5 4   1 1   2 1   1 2  1 3        3 6   3 3   3  2  3  6 (1)  (3)  6  (3)  12 15          Следует заметить, что даже если обе матрицы – квадратные и имеют одинаковую размерность, AB  BA, т.е. операция умножения не коммутативна. Частным случаем операции является умножение матриц на вектор-строку и вектор-столбец. Согласно правилу умножения матриц, если матрица стоит слева от вектора, то вектор должен быть вектор-столбцом и иметь столько компонент (строк), сколько столбцов в матрице. Если же вектор стоит слева от матрицы, то он должен быть вектор-строкой с количеством компонент (строк), равным количеству строк исходной матрицы. Единичной матрицей называется матрица I размером n n, такая, что AI = IA = A, где A – любая квадратная матрица. Легко убедиться, что этому определению удовлетворяет матрица 1  0 I ...  0  0 ... 0   1 ... 0  ... ... ...   0 ... 1  Определителем (детерминантом) квадратной матрицы A порядка n называется многочлен порядка n, в котором каждое слагаемое содержит по одному элементу из каждой строки и по одному элементу из каждого столбца матрицы, причем члены ряда суммируются с учетом индексов элементов, входящих в сомножитель. Суммирование идет по всем возможным перестановкам порядка n, поэтому число слагаемых в ряде равно n!. Определитель порядка n вычисляется по формуле n A     (1) N (1 , 2 ,..., n )  a11  a 2 2  ...  a n n , (1.3) 1 , 2 ,..., n где 1 , 2 ,...,  n - перестановки чисел от 1 до n, N (1 ,  2 ,..., n ) - число инверсий в перестановке. Определители первого, второго и третьего порядков вычисляются по простым формулам: 1  a11  2  a11  a22  a21  a12  3  a11  a22  a33  a12  a23  a31  a21  a32  a13 .  a31  a22  a13  a21  a12  a33  a11  a23  a32 (1.4) Для нахождения определителей более высокого порядка используем разложение по строкам/столбцам n  n  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain   aij Aij , j 1 где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij, которое находится по формуле: Aij  (1)i  j  Mij , а матрица Мij получена путем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца матрицы A. Пример 1.5. Найти определитель матрицы С из Примера 1.4. Решение. Применяем формулы (1.4): C  2  (3)  (1)  3  3 . Пример 1.6. Найти определитель матрицы А из Примера 1.1. Решение. A  5  7  0  (3) 10  (5)  4  2  2  (5)  7  2  4  (3)  0  2 10  5  0 150 16  70  0 100  136. Пример 1.7. Найти определитель матрицы  1  1 2 5     2 4 8 3  A . 3 0 1 7     5 0 6 1    Решение. Разложим определитель по второму столбцу: 2 A  (1)1 2  (1)  3 5 8 3 1 2 5 1 7  (1) 2 2  4  3 1 7  6 1 5 6 1 2 5 1 2 5  (1)3 2  0  2 8 3  (1) 4 2  0  2 8 3  5 6 1 1 7 1 3 (1)  (1)  (2)  (1)  1  8  7  5  3  6  (3)  5  (1)  (3)  3  8  1  6  7  (2)   1  4  1 (1)  1  (2)  7  5  3  6  5  5  (1)  5  3  (2)  1  6  7  1  273  32  305. Рангом матрицы называется наибольшее натуральное число k, для которого существует отличный от нуля определитель k-ого порядка подматрицы, составленной из любого пересечения k строк и k столбцов исходной матрицы. Если ранг квадратной матрицы A порядка n совпадает с ее порядком, т.е.  n  0 то матрица называется невырожденной, и для нее можно определить обратную матрицу A-1, обладающую следующим свойством: 1 1 A × A  A × A  I , где I – единичная матрица. Обратную матрицу можно найти различными методами. В данной работе будем использовать метод ГауссаЖордано, описанный в разделе 2.3. 1.2. Операции с матрицами в MathCAD Описанные выше операции реализованы в MathCAD в виде операторов, запись которых максимально приближена к Рис. 1.1. Панель инструментов «Матрица» математическим выражениям. Для работы с матрицами и векторами предназначена панель инструментов Matrix (Матрица), показанная на рис. 1.1. В таблице 1.1. приведен список операций и функций с матрицами и векторами. Таблица 1.1. Операции с матрицами и векторами Название операции Вызов/обозначение в MathCAD Клавиши Создание матриц Меню: Insert – Matrix + Панель инструментов: Обращение к Панель инструментов: <[> элементу матрицы Выделение столбца +<6> Панель инструментов: Создание единичной Identity(N) матрицы NN Размерность rows(A) – число строк A матрицы A cols(A) -число столбцов A Выделение Submatrix(A,ir,jr,ic,jc) - ча подматрицы из сть матрицы между строками ir,jr матрицы A и столбцами ic,jc Слияние матриц augment(A,B,C,...) - новая матрица формируется слиянием матриц аргументов слева – направо; stack(A,B,C,...) - новая матрица формируется слиянием матриц аргументов cверху - вниз rank(A) Ранг матрицы Определитель Панель инструментов: +<\> матрицы Обратная матрица Панель инструментов: Умножение матриц A, A*B B Транспонирование Панель инструментов: матрицы +<1> На рис. 1.2 и 1.3. показан процесс создания матрицы и примеры использования различных матричных функций. Рис. 1.4 представляет решение в MathCAD разобранных выше примеров 1.1 - 1.7. а в б г Рис. 1.2. Фрагменты рабочего листа MathCAD, представляющие создание матрицы (а), сложение матриц (б), произведение матриц (в), нахождение определителя и обратной матрицы (г) Рис. 1.3. Фрагмент рабочего листа MathCAD, представляющий умножение матриц несоответствующих размерностей Рис. 1.4. Фрагмент рабочего листа MathCAD с решением задач 1.1 – 1.7