Матрицы и ее виды

1 Матрицы широко используются во всех областях науки, в том числе и в экономической науке. Многие обозначения при использовании матриц очень компактны, при этом не теряется ни наглядность, ни содержательность записи. Рассмотрим основные понятия, относящиеся к матрицам. Определители квадратных матриц Определителем или детерминантом квадратной матрицы А называется число, обозначаемое A , либо ∆ , либо det A . Его находят по следующим правилам: 1. Определитель матрицы первого порядка равен элементу этой матрицы, ( ) т.е., если A = a11 , то ∆ = a11 .  a11 2. Определитель матрицы второго порядка A =   a21  схеме: a12   вычисляют по a2 2   • • • • • • , т.е. из произведения элементов, стоящих на = − • • • • • • главной диагонали, вычитают произведение элементов, стоящих на побочной диагонали: ∆ = a11 a12 a21 a2 2 = a11 ⋅ a2 2 − a21 ⋅ a12 . 3. Определитель квадратной матрицы третьего порядка можно найти по правилу треугольников: со знаком «плюс» берут произведения элементов на главной диагонали и произведения элементов, стоящих в вершинах треугольников с основаниями, параллельными ей. Слагаемые со знаком «минус» вычисляют аналогично, но относительно побочной диагонали по схеме: 2 0 2 0 Пример. 4 5 6 = 0 ⋅ 5 ⋅ 9 + 2 ⋅ 6 ⋅ 7 + 4 ⋅ 8 ⋅ 0 − 7 ⋅ 5 ⋅ 0 − 4 ⋅ 2 ⋅ 9 − 8 ⋅ 6 ⋅ 0 = 12 . 7 8 9 4. Вычисление определителей высоких порядков. Рассмотрим квадратную матрицу An×n  a11   a21  ... = a  i1  ... a  n1 a ... a a22 ... a2 k ... ... ... ai 2 ... aik ... ... ... a ... a 12 n2 1k nk ... a  1n  ... a2n   ... ...  . ... ain   ... ...  ... a  nn  Минором M ik элемента аik матрицы А называется определитель матрицы, полученной из А вычёркиванием строки № i и столбца № k. Алгебраическим дополнением Аik элемента аik называется его минор, умноженный на ( −1 )i +k . Т.о. алгебраическое дополнение Аik совпадает с минором M ik , если сумма индексов чётная, и Аik = − M ik , если сумма индексов нечётная. Пример вычисления минора M 21 и алгебраического дополнения A21 элемента а21 матрицы А показан на рисунке: Определитель любого порядка равен сумме произведений элементов любой его строки либо столбца на их алгебраические дополнения. Это правило называется разложением определителя по элементам его строки (столбца). Строки и столбцы называют рядами определителя. Выгодно выбирать ряд, содержащий много нулей. 3 0 2 0 Пример. Вычислить ∆ = 4 5 6 . 7 8 9 Разложим определитель по элементам первой строки, т.к. в ней два нуля: ∆ = 0⋅ A + 2⋅ A + 0⋅ A 11 = −2 ⋅ 4 6 7 9 12 13 = −2 ⋅ M 12 = = −2 ⋅ ( 4 ⋅ 9 − 7 ⋅ 6 ) = −2 ⋅ ( 36 − 42 ) = 12. Ранее этот же ответ был получен по правилу треугольников. Свойства определителей 1. Определитель не меняется при замене строк столбцами с тем же номером, т.е. определители исходной и транспонированной матриц совпадают. 2. Определитель изменяет знак при перестановке двух параллельных рядов. 3. Определитель, имеющий 2 одинаковых параллельных ряда, равен нулю. 4. Определитель равен нулю, если любой его ряд состоит из нулей. 5. Общий множитель элементов любого ряда можно вынести за знак определителя, например, на схеме внизу выделены ряды, из которых вынесен общий множитель: 1 1 2 3 4 8 6 = 2⋅ 2 2 3 4 7 8 9 8 7 1 2 1 1 1 3 = 2⋅3⋅ 2 4 1 = 2⋅3⋅2⋅ 2 2 1 = 9 3 4 3 7 8 1 12 7 = 12 ⋅ (1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 7 − 7 ⋅ 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 ⋅ 3 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1) = −36. 6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число например: 1 3 2 4 = 4 − 6 = −2 . Прибавим к элементам первой строки соответствующие элементы второй, умноженные на 2, и найдём новый определитель: 1+ 2⋅2 3+ 4⋅2 2 4 = 5 11 2 4 = 20 − 22 = −2 . Ответы совпали. 4 7. Если элементы любого ряда определителя являются суммой двух слагаемых, то определитель равен сумме соответствующих определителей: c+d a b g+h = a c b g + a d b h . 8. Если А и В − матрицы одинакового порядка, то определитель произведения этих матриц равен произведению их определителей, т.е. A⋅ B = B⋅ A = A ⋅ B , даже если A ⋅ B ≠ B ⋅ A . 9. Определитель треугольной или диагональной матрицы равен произведению её диагональных членов, например, 1 254 348 0 2 576 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 , 0 0 3 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24 . 0 0 0 4 Обратная матрица Рассмотрим квадратную матрицу n - ого порядка. Она называется невырожденной, если её определитель ∆ = A ≠ 0 . Для невырожденной матрицы А существует обратная матрица, обозначаемая A −1 . Матрица A −1 называется обратной матрице А, если выполняются условия A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = E , где Е – единичная матрица того же порядка. Рассмотрим методы нахождения обратной матрицы. 1. Метод присоединённой матрицы Составим матрицу Aɶ из алгебраических дополнений Аik элементов aik исходной  A11  ɶ =  A21 матрицы А: A  ...   An1 A12 A22 ... An 2 ... A1n   ... A2 n  . ... ...   ... Ann  ɶ T называется присоединённой матрицей. Тогда Транспонированная матрица A 5  A11  1 ɶ T 1  A12 −1 A = ⋅A = ⋅ ∆ ∆  ...   A1n A21 A22 ... A2 n ... An1   ... An 2  . ... ...   ... Ann  1 2 −1 Пример. A =   . Найти A , если она существует. 3 4 Решение. ∆ = 1 2 3 4 = 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 = −2 ≠ 0 , следовательно, A −1 существует. Нахо- дим алгебраические дополнения элементов матрицы: A11 = M11 = 4, A21 = − M21 = −2, A12 = − M12 = −3, A22 = M22 = 1. 1 A A = ⋅  11 ∆  A12 −1  −2 1  A21  1  4 −2    ⋅ = 1 . = 3 A22  −2  −3 1   −   2 2 2. Метод Гаусса Составляем расширенную матрицу, приписывая к матрице А единичную матрицу Е того же порядка. Приписанную матрицу будем отделять вертикальной чертой от основной матрицы. Затем, используя элементарные преобразования строк матрицы (перестановка, умножение всех элементов строки на число ≠ 0, добавление ко всем элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число), добиваемся, чтобы на месте матрицы А возникла единичная матрица Е. Тогда на месте Е автоматически возникает A −1 . Матрицы А и В называются эквивалентными и обозначаются A ∼ B , если одна получена из другой элементарными преобразованиями её рядов. 1 2 −1 Пример. Рассмотрим снова матрицу A =   . Вычислим A методом Гаус3 4 са. Составляем расширенную матрицу. Справа от матрицы записываем действия, производимые с её строками (строки нумеруем римскими цифрами): 6  1 2 1 0  1 2 1 0 ∼ ∼    0 −2 −3 1  II : ( −2 ) 3 4 1 II − I ⋅ 3         1 0  −2 1    −2 1   1 2 I − II ⋅ 2 1 0 −1    , ∼ ∼ ; A = 3 3 1 3 1 1  0 1  −  −  −  0 1 2 2 2 2 2 2    E    A −1   что совпадает с предыдущим результатом.