Математика. Развитие линейной алгебры

НВУЗ АНО «РЕГИОНАЛЬНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» МАТЕМАТИКА (Первая лекция) ________________________________ http://elearning.rfei.ru Содержание Введение .............................................................................................. 3 РАЗДЕЛ 1. РАЗВИТИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ........................... 6 Глава 1.1. О развитии числа .......................................................... 6 Глава 1.2. От аль-Хорезми до Эндрю Уайлса............................ 18 Глава 1.3. Основная теорема алгебры и теория Галуа.............. 24 Глава 1.4. Алгебра матриц........................................................... 25 Глава 1.5. Операции над матрицами........................................... 27 Глава 1.6. Определитель матрицы и его свойства .................... 36 Глава 1.7. Обратная матрица ....................................................... 43 Глава 1.8. Ранг матрицы............................................................... 49 Глава 1.9. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.......................................................................................... 54 Глава 1.10. Матричный метод в решении систем ..................... 62 Глава 1.11. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса............................................................................................. 68 2 Введение Что дала людям математика? Зачем ее изучать? На первый из вопросов часто можно прочесть ответ, что математика возникла в глубокой древности из практических потребностей людей. По поводу древности математики никто спорить не будет, а вот о том, что же побудило людей ею заниматься, существует и другое мнение. Согласно ему, математика, так же как поэзия, живопись, музыка, театр и вообще – искусство, была вызвана к жизни духовными потребностями человека, его, быть может, не до конца осознанным еще, стремлением к познанию и красоте. «Красота? Какая может быть красота в математике? – недоуменно спросит студент, не полюбивший эту дисциплину. – Искусство – совсем другое дело!» И действительно, мы согласны, что человека заставляет восхищаться и рыдать волшебная сила искусства. Вот что пишет другой человек, современник Шекспира о своем открытии. «Восемь месяцев тому назад передо мной блеснул первый луч света, за три месяца увидел я день, и, наконец, совсем недавно я смог увидеть лучезарное солнце… Я похитил золотые сосуды египтян, чтобы создать из них храм моему божеству вдали от пределов Египта… Жребий брошен. Я пишу свою книгу. Прочтется ли она моими современниками или потомством – мне все равно – она найдет своего читателя. Разве Господь Бог не ждал шесть тысяч лет созерцателя Своего творения?». Кто пишет это восторженное послание? Пишет великий ученый, который всю жизнь характеризовал себя только одним словом – математик: «Математик Иоганн Кеплер». Но математика – это не только вдохновение творцов и восхищение тех, кто способен оценить ее достижения. Она содействует объяснению законов природы, это общий инструмент, с помощью которого человек изучает, осваивает и ставит себе на службу материю, энергию и информацию. Если говорить о ее высшем назначении, то, по словам Н.Винера, оно, как раз и состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает. На вопрос «для чего изучать математику?» ответил еще в XIII в. английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон: 3 «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже обнаружить своего невежества». Сколько примеров из жизни говорит нам о том, что человек, обладающий математическим складом мышления, добивается успехов в любой отрасли, пусть даже далекой от математики. Например, выпускник физико-математического факультета Новороссийского университета Сергей Витте, решил заняться научными исследованиями в области математики, но защита его научной работы провалилась. Имея хорошую математическую подготовку, он определился на работу в должности управляющего обществом Юго-Западных железных дорог. Летом 1890 г. в один из дней царь Александр III ехал на отдых к морю. На железнодорожном переезде был обнаружен дефект, и Витте распорядился не пропустить поезд, в котором ехал царь. Все окружение царя требовало от управляющего пропустить поезд, но Витте был уверен в своем решении. После того как подтвердилось опасение Витте, связанное с возможностью крушения царского поезда из-за нарушения правил перевозки, по распоряжению Александра III он был назначен, минуя все иерархические ступени, директором департамента с чином действительного статского советника. В 1892 Витте стал министром путей сообщения, а через полгода – министром финансов. Приведенным примером мы хотели сказать, что на математику мы будем обращать свой взор еще и через призму исторических событий и фактов. В этом курсе мы расскажем не только о содержательной части этой предметной области, но и о том, как зародилась современная математика, как шло ее развитие, что послужило причиной появления новых ее разделов. Почему математику в вузе часто называют о высшей математикой? Это название пришло к нынешним студентам от их родителей или старших родственников. Так как ранее курс назывался высшей математикой. В настоящее время в учебных планах вузов курс называется математика. Дело в том, что деление математики на высшую и элементарную весьма условно. Одним из важнейших объектов курса высшей математики являются функции, которые 4 параллельно могут рассматриваться и в курсе элементарной школьной математики. Но более существенным является различие методов исследования функций. В отличие от элементарной высшая математика широко использует понятие предела, производной и интеграла. Исторически термин «высшая («вышняя») математика» начал употребляться еще в XVIII в. (Хр. Вольф, П.И. Гиларовский и др.) для обозначения двух разделов: аналитической геометрии и анализа бесконечно малых величин. В настоящее время в Математическом энциклопедическом словаре высшая математика определяется несколько шире – как «совокупность математических дисциплин, входящих в учебный план технических и некоторых других учебных заведений». В случае такой интерпретации курс высшей математики образуют аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, теория дифференциальных уравнений и теория вероятностей с элементами математической статистики. Курс «Математика» состоит из четырех лекций, представленных 6 разделами. После изучения каждой лекции вам необходимо выполнить самостоятельную работу. Ответы по самостоятельным работам следует отправлять в институт по ходу изучения лекций. В ходе изучения курса вам предстоит выполнить домашнюю контрольную работу, состоящую из 40 заданий. Рекомендуем выполнять решения контрольной работы по ходу изучения разделов. Заполнение матрицы ответов домашней контрольной работы выполняйте в конце изучения курса, проверив внимательно свое решение. Кроме того, вам предстоит выполнить компьютерный практикум и контрольный компьютерный практикум. Представлять на проверку матрицы ответов контрольной работы, контрольного компьютерного практикума следует одновременно. При положительном результате выполнения этих видов контроля вам предстоит выполнить экзаменационное тестирование. Экзаменационное тестирование представлено 100 контрольно-тестовыми заданиями. Желаем вам успехов в изучении курса. 5 РАЗДЕЛ 1. РАЗВИТИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Глава 1.1. О развитии числа Математика, как и другие науки, имеет свою историю. И мы часто будем обращаться к ней, чтобы оценить важность произошедшего. Все начинается с числа, или по Пифагору: «Число есть сущность всех вещей». Это действительно так. Вспомните себя в детстве. Ваша мама учила вас, не имеющего еще разговаривать, загибая пальчики руки, показывать свой возраст. Далее вас просили поделиться конфеткой, если у вас их было несколько. И Вы снова прибегали к математике. Затем вас просили посчитать, а сколько конфеток у вас осталось. Т. е. Вы свое первоначальное познание этой науки связывали с реальными конкретными ситуациями. А как же происходило развитие числа в древности? В очень отдаленной эпохе каменного века, называемой палеолитом, люди жили в пещерах, и их энергия уходила преимущественно на добывание пищи. Это длилось в течение тысячелетий, но переходя от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию человечество вступает в новый каменный век – в неолит. Археологи утверждают, что это великое событие в истории человечества произошло примерно десять тысяч лет тому назад. Таявшие ледники в Европе и Азии уступали место лесам и пустыням. Постепенно прекращались кочевые странствия в поисках пищи. Стали возникать деревни, в которых развивались такие простейшие ремесла, как гончарное, ткацкое и плотничье. Существовали житницы, так что население могло, производя излишки, запасать продукты на зиму и на случай неурожая. Развитие деревни влекло за собой развитие торговли, а значит, счета. Вначале при счете пользовались пальцами одной руки, затем обеих рук. Числовые записи велись с помощью пучков, зарубок на палках, узлов на веревках, камешков или ракушек. Если в первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах, то с развитием цивилизации ему приходилось изобретать большие и большие числа. Например, в 6 Древней Греции, самым большим числом, которое имело название, была «мириада» – 10 000. Из исторических записок мы узнаем, что с зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия «больше», «меньше», «столько же» или «равно». Вероятно, на этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признаком чрезвычайно высокой образованности человека. С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука арифметика. С раннего детства Вы осознаете, что арифметика – прикладная наука. Вы делитесь с другом яблоком, оставляя себе, а может быть, отдаете ему последнее, зная, что у вас есть еще дома. Арифметика возникла как прикладная наука, имевшая целью облегчить календарные расчеты, распределение урожая, организацию общественных работ и сбор налогов. Источником сведений о египетской математике являются два математических папируса. Один из которых, папирус Райнда, был открыт в 1858 г. и содержит 84 задачи. Второй, так называемый московский папирус, который, может быть, на два столетия старше, содержит 25 задач. Так, например, «вычисления песу» относятся к определению количества зерна, необходимого для приготовления пива и хлеба. Технический термин «песу» – припек – обозначает число хлебов или кружек пива, которые можно приготовить из одного шефеля зерна. Таким образом, речь идет о следующих соотношениях: (количество зерна) х (песу) = числу хлебов (или соответственно кружек пива) песу = (числу хлебов): (количество зерна). Частное представляет собой «содержание» зерна в буханке хлеба или «крепость» пива. Итак, задача счета была очень важной не только для частных лиц (купцов, строителей, боевых командиров и т. п.), но и для государства. Папирусы, о которых мы говорили выше, 7 заполнялись государственными писцами, кстати, профессия писца в Древнем Египте была почетной и высокооплачиваемой. Задачи, обнаруженные на папирусах, относились к переводу мер веса или емкости в другие единицы, к вычислению количества корма, распределению заработной платы и т. п. Постоянно не только проблемы усложнялись, но и человек умнел. И вот однажды, правда, неведомо когда, под грузом задач астрономии (и предсказаний разливов рек), строительства храмов и пирамид, геометрии и мореплавания человек делает решительный шаг – он отделяет число от предметов. Так рождается натуральное число. Это был выдающийся акт – начало абстрактного мышления. Исторически первым осознал эту проблему великий Архимед, он создал гениальный трактат о натуральных числах «Исчисление песка». Рисунок 1.1. Архимед из Сиракуз (287 г. до н.э. – 212 г. до н.э.) Архимед родился в 287 г. до нашей эры в греческом городе Сиракузы, где и прожил почти всю свою жизнь. Отцом его был Фидий, придворный астроном и математик правителя города Гиерона II – тирана Сиракуз. Учился Архимед в Александрии, где правители Египта Птолемеи собрали лучших греческих ученых и мыслителей, а также основали самую большую в мире библиотеку. После учебы в Александрии Архимед вновь вернулся в Сиракузы и унаследовал должность своего отца. В Сиракузах он живет без забот, он окружен почетом, вниманием и не нуждается в средствах. Впрочем, он мало думает о своем бытии, увлеченный вычислениями. Злые языки говорили, что Архимед забывал о пище, подолгу не бывал в бане и готов был чертить везде: в пыли, пепле, на песке, даже на собственном теле. В ванне вдруг осенила его мысль о выталкивающей силе, 8 действующей на погруженное в жидкость тело, и, забыв обо всем, голый, бежал он по улицам Сиракуз с победным кличем: «Эврика!» («Я нашел!»). Знаменитое «Эврика!» было произнесено не в связи с открытием закона Архимеда, но по поводу закона удельного веса металлов – открытия, которое также принадлежит сиракузскому ученому. Согласно преданию, однажды к Архимеду обратился правитель Сиракуз. Он приказал проверить, соответствует ли вес золотой короны весу отпущенного на нее золота. Для этого Архимед сделал два слитка: один из золота, другой из серебра, каждый такого же веса, что и корона. Затем поочередно положил их в сосуд с водой, отметил, на сколько поднялся ее уровень. Опустив в сосуд корону, Архимед установил, что ее объем превышает объем слитка. Архимед впервые вычислил число «пи» – отношение длины окружности к диаметру – и доказал, что оно одинаково для любого круга. Он изучал силы, которые двигают предметы или приводят в равновесие, изобретая новую отрасль математики, в которой материальные тела, приведенные к их геометрической форме, сохраняют в то же время свою тяжесть. Эта геометрия веса и есть рациональная механика, это статика, а также гидростатика. Архимед проверяет и создает теорию пяти механизмов, известных в его время и именуемых «простые механизмы». Это – рычаг («Дайте мне точку опоры, – говорил Архимед, – и я сдвину Землю»), клин, блок, бесконечный винт и лебедка. Изобретение бесконечного винта привело его к изобретению болта, сконструированного из винта и гайки. Он изобрел винтовой насос для выкачивания воды и ряд других машин и приспособлений. Из курса истории известен такой факт, что царь Гиерон II приказал построить корабль «Сиракосия», но корабль был столь тяжел, что его не смогла сдвинуть огромная толпа воинов. Тогда Архимед изобрел приспособление, позволившее одному царю сдвинуть корабль на воду, который в восторге от этого события закричал: «Отныне, что бы ни сказал наш Архимед, мы все будем считать истинным!». Архимед был семидесятилетним стариком, когда римляне осадили его родной город Сиракузы. Чтобы помочь жителям своего города он изобретал военные машины, которые 9 поднимали крюками корабли римлян и опрокидывали их в воду. Вряд ли найдется человек, который в наши дни не знает об интереснейшем факте, когда Архимед до блеска заставил натирать греческих воинов металлические щиты и затем выстроить их вдоль берега. Таким образом, солнечные лучи, отраженные от щитов, сфокусировались в одной точке на борту корабля, в результате высокой температуры на корабле начался пожар. Архимед был столь скромен, что относился ко всем перечисленным изобретениям, как к незначительным приложениям его научных открытий. Архимед погиб во время осады Сиракуз: его убил римский воин в тот момент, когда ученый был поглощен поисками решения поставленной перед собой проблемы. Завоевав Сиракузы, римляне так и не стали обладателями трудов Архимеда. Только через много веков они были обнаружены европейскими учеными. Плутарх пишет, что Архимед умер в глубокой старости. На его могиле была установлена плита с изображением шара и цилиндра. Архимед-вершина научной мысли древнего мира. Последующие ученые – Герон Александрийский (1-11 вв. до н. э.), Папп Александрийский (III в. н. э.) – мало что прибавили к наследию Архимеда. Итак, рассматривая историю развития числа, с позиций сегодняшнего дня, следует сказать об истории отрицательных чисел. Сегодня отрицательные числа мы воспринимаем как нечто само собой разумеющееся, однако путь к их признанию был совсем не прост. Первым, кто стал работать с отрицательными числами, был древнегреческий математик Диофант в своей «Арифметике», которая состояла из 13 книг, но сохранились лишь 6 книг. Рисунок 1.2. Диофант из Александрии (гг. рождения и смерти неизвестны, вероятно, 200/214 - 284/298 гг.) 10 Мы очень мало знаем о Диофанте. По одной из эпиграмм удалось определить, что прожил он 84 года и жил в III веке. В его «Арифметике» собраны задачи на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Потому алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или дробные решения называют Диофантовыми. Например, Ax 2 + Bx + C = y 2 , или Ax 3 + Bx 2 + C = y 2 – диофантовы уравнения. Историю появления отрицательных чисел иллюстрирует пример, связанный с состоянием финансов купца: отрицательные числа соответствуют размеру его долга. Но это не единственный способ записи финансовой динамики купца. Так, в бухгалтерских счетах отрицательных чисел не используют, просто активы и пассивы (долги) записывают по разным строкам – по кредиту и дебету соответственно. Долгу размером x соответствует число (− x ) , такое, что x + (− x ) = 0 , нуль соответствует пустому кошельку. Таким образом, вместе положительные (натуральные) и отрицательные числа образуют целые числа. Отношение к отрицательным числам было очень настороженным, их даже называли фиктивными числами. Дробные числа появились раньше отрицательных чисел. Систематически начали оперировать с дробями в Элладе (Древней Греции). Это и задачи разделения суток на более мелкие временные интервалы (или года и месяца), задачи на деление наследства. Ученым, который внес вклад в изучение дробных чисел был математик Евклид (365-300 до. н. э.) Рисунок 1.3. Евклид (365-300 до. н. э.) 11 О Евклиде почти ничего неизвестно, откуда он был родом, где и у кого учился. Все же у нас нет оснований сомневаться в существовании Евклида, тем более что в этом не сомневались и позднейшие греческие ученые, кое-что рассказывавшие о нем. Прежде всего Евклид является для нас автором «Начал», по которым учились математики всего мира. Это труд представляет собой тринадцать книг, среди которых книги с VII по IX посвящены арифметике, теории целых и рациональных (дробных) чисел. Евклид был очень доброжелателен ко всем тем, кто сделал хоть какой-нибудь вклад в математику, корректен, в высшей степени порядочен и совершенно лишен тщеславия. Как-то царь Птолемей I спросил Евклида, нет ли более короткого пути для изучения геометрии, чем штудирование «Начал». На это Евклид смело ответил, что «в геометрии нет царской дороги». Кроме того, Вы, наверное, помните об Евклиде, когда пытаетесь найти наибольший общий делитель двух чисел (алгоритм Евклида). Математика совершенствуясь, предполагала иллюстрацию всех рассмотренных ранее нами чисел на числовой прямой. И получалось, что между любыми двумя рациональными числами установлено отношение порядка, т. е. одно из них больше, а другое меньше. Но любознательному человеку должен прийти в голову вопрос: заполняют ли рациональные числа всю координатную прямую? Этот умный и важный вопрос связан с существованием несоизмеримых отрезков и приводит к необходимости введения иррациональных чисел. В своих «Началах» Евклид рассматривает различные геометрические способы получения иррациональных чисел. Один из них связан с так называемым золотым сечением – делением отрезка длиной a на две части, при котором большая его часть x является средним пропорциональным между всем отрезком и его меньшей частью (рисунок 1.4), т. е. a : x = x : (a − x ) или x 2 = a (a − x ) . Рисунок 1.4 12 Раскрывая скобки, и перенося слагаемые в левую часть уравнения, получаем, что x=a 3 −1 . 2 Золотое сечение считалось важнейшей архитектурной пропорцией. Сам термин «золотое сечение» ввел Леонардо да Винчи. С золотым сечением связана замечательная непрерывная дробь, состоящая из одних единиц, и ряд Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… (в котором каждый член за исключением первых двух:1, 1, равен сумме двух предыдущих). Говоря о дробных числах, следует напомнить, что дроби делятся на обыкновенные и десятичные. В наши дни чаще пользуются десятичными дробями, так как с ними проще производить действия, но ведь не всякую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби. 1 в форме десятичной понадобится 7 бесконечное число знаков: 0,1428671... Например, для записи дроби В наши дни мы производим действия с десятичными дробями легко и свободно, а стало это возможным благодаря нидерландскому математику Симону Стевину. Составляя таблицу сложных процентов в 1585 году, он систематизировал запись целых и дробных чисел в единую систему. Свой труд, в котором он впервые объяснил десятичные дроби и действия над ними, он назвал «Десятина». Казалось бы, что все о числах уже ясно и понятно, но это совсем не так. И в этом убеждает нас вот такой исторический факт: еще в VI в. до н.э. пифагорейцы (ученики и последователи греческого ученого Пифагора, о нем более подробно мы расскажем чуть позднее) были озадачены вопросом «каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1»? Диагональ разбивает квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она играет роль гипотенузы. Тогда по теореме Пифагора, длина диагонали квадрата равна 12 + 12 = 2 , рисунок 1.5. 13 Рисунок 1.5 Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор, нажать клавишу извлечения корня. На его дисплее мы увидим всего лишь семь десятичных знаков, и даже более совершенный калькулятор даст 12 десятичных знаков. Если у вас возникнет желание проверить результат на современном компьютере, то и он не сможет вычислить все десятичные цифры числа 2 или обнаружить в них какой-либо период. И хотя у Пифагора и его учеников компьютеров не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. А значит, отношение их длин – число 2 – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел. А, значит, десятичное представление числа 2 не имеет никакой закономерности. Открытие нового математического объекта привело пифагорейцев в замешательство. О пережитом учениками смятении свидетельствуют древние легенды. По их убеждению, в основе всей гармонии мира должны лежать целые числа и их отношения. Пифагорейцы славились взаимовыручой и крепкой дружбой, и вдруг один из них, Гиппас из Метапонта, разгласил людям «ужасную тайну» существования несоизмеримых величин, и небо покарало его – он утонул в море во время шторма. Другая легенда говорит, что пифагорейцы будто бы сами накликали беду на голову Гиппаса, из-за того, что он разгласил людям «ужасную тайну» существования несоизмеримых величин, и он ушел из жизни. Однако следует заметить, что удивление и досада, с которой вначале пифагорейцы восприняли иррациональные 14 числа, впоследствии сменилось интересом и пристальным вниманием к иррациональным числам. Позднее открываются такие числа, как π и e , которые также являются иррациональными. Несколько слов об открытии этих чисел. Вы, наверное, слышали из школьного курса математики, что числа π и e называют трансцендентными, что в переводе с латинского означает «потусторонние». В чем же выражается такая особенность этих чисел? Все заключается в том, что не все корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (1.1) удается выразить с помощью четырех арифметических действий и извлечения корня. a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a 1 x + a 0 = 0 , (1.1) где все a i - целые. Но это не означает, что трансцендентных чисел только два: π и e . На самом деле их даже больше, чем алгебраических, если алгебраические числа можно «пронумеровать», т. е. каждому алгебраическому числу поставить в соответствие отдельное натуральное число, то трансцендентные числа таким образом «пронумеровать» нельзя. Их несчетное количество. Число π (пи) – отношение длины окружности к ее диаметру – величина постоянная и не зависит от размеров окружности. Почему именно эту греческую букву взяли для этого обозначения? Дело в том, что окружность в переводе с греческого означает «периферия», первая буква этого слова и стала причиной обозначения. В III в. до н.э. Архимед нашел, что значение числа π 10 1 до 3 . 71 7 1 И в наши дни значение 3 считается вполне хорошим 7 приближением числа π для прикладных задач, хотя возможности заключено в пределах от 3 современной компьютерной техники позволяют определять значение этого числа с миллионами знаков после запятой. Что же касается другого трансцендентного числа – e , то его ввел немецкий математик Леонард Эйлер в 1736 г. для 15 1 определения предела последовательности чисел x n = 1 +   n неограниченном возрастании числа n . n при Если Вы будете искать самостоятельно значение числа, то с помощью инженерного калькулятора или компьютера Вы обнаружите, что при n = 10 значение последовательности будет 10 равным 1  1 +  ≈ 2,593742 ,  10  а при n = 100 значение 100 1  последовательности будет равным 1 +  ≈ 2,704814 .  100  Увеличивая значение n , получаем, что оно превышает значение 2,7 и остается меньше значения 2,8 при любом бесконечно большом значении n . Практически чаще всего пользуются округленным значением числа e ≈ 2,718 . Следует напомнить, что изучая логарифмы, Вы говорили, что если основанием логарифма является число e , то логарифм называют натуральным. Изобретателем логарифмов является шотландский математик Джон Непер, и почему-то число e иногда называют неперовым числом, что не совсем справедливо на наш взгляд. Его видимо следовало называть эйлеровым числом. Итак, рассмотрев, что иррациональные числа содержат в себе особые числа, называемые трансцендентными, следует отметить, что потребовалась не одна сотня лет, для того чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби. Как видно, понятие числа прошло длинный путь развития: сначала натуральные числа, затем целые числа, далее дробные, затем иррациональные и, наконец, действительные. Любое число, которое можно выразить в виде конечной или бесконечной дроби, представляет собой элемент множества действительных чисел. Действительные числа – это последний класс чисел, с которыми Вы сталкивались в курсе средней школы. Но на этом развитие числа не завершилось. Вспомните, как Вы поступали, если необходимо было решить уравнение вида: 16 x 2 = −1 . Вы утверждали, что это уравнение не имеет действительных корней. Но все тот же Леонард Эйлер, с которым мы встретились, рассматривая трансцендентное число е, предложил ввести обозначение числа, квадрат которого равен минус единице буквой i (открытие такого свойства чисел было сделано итальянским математиком Никколо Тарталья, о чем мы скажем ниже). Реально, зная свойства действительных чисел, это представить сложно. Поэтому он назвал такой элемент «мнимой», т. е. «нереальной» единицей и обозначил ее буквой i (от латинского imaginarius). Основное свойство мнимой единицы выражается простым равенством: i 2 = −1 (1.2) Таким образом, введенная мнимая единица позволила расширить множество действительных чисел до нового класса – множества комплексных чисел. И тогда уравнение x 2 = −1 будет иметь два корня: x 1 = −i и x 2 = i (мы заменили правую часть уравнения мнимой единицей). В связи с появлением комплексных чисел приведем такой исторический эпизод, о котором обещали рассказать. В XVI веке в Италии были распространены математические турниры, на которых участники в присутствии публики излагали решения задач, предложенных ранее каждому его противником. Как известно, в то время это был не единственный из видов турниров – в те времена сохранялись еще военные турниры. Итак, 12 февраля 1535 года в Италии состоялось математическое соревнование между математиками Фиоре и Тартальей. Фиоре был учеником профессора Болонского университета Сципиона дель Ферро (1456 – 1526), Никколо Тарталья (1500 – 1557) – преподаватель математики. Тарталья (заика) – его прозвище (настоящая фамилия – Фонтана), которое он получил из-за того, что после военного ранения в горло он не мог свободно разговаривать. Тарталье было предложено решить около 30 алгебраических уравнений третьей степени вида 3 x + ax = b; a f 0; b f 0 . В те времена не были известны общие формулы решения уравнений третьей степени, поэтому задачи, предложенные Тарталье, оказались весьма серьезными. Однако, как узнал Тарталья, профессор дель Ферро умел решать некоторые уравнения указанного вида. А поскольку эти 17 решения были средством конкурентной борьбы, профессор не стал публиковать полученные результаты, но сообщил их своим ученикам, в числе которых находился Фиоре. За неделю до соревнований Тарталье удалось найти общий вид решения этих уравнений и с блеском победить на турнире. Так что же предложил Тарталья? Он предложил существование мнимой единицы, о чем мы уже говорили ранее. Комплексные числа были открыты в XVI в., но они послужили началом многих открытий математиков спустя века. Один из них писал: «Могу спросить, к чему эти невозможные решения? Я отвечаю – для трех вещей: 1) для справедливости общего правила, 2) так как других решений нет, и 3) ради пользы». О чем мы расскажем в других разделах математики. Глава 1.2. От аль-Хорезми до Эндрю Уайлса В предыдущей главе мы рассмотрели историю развития числа, и упоминали об уравнениях, способы, решения которых были открыты итальянскими математиками в XVI в., т. е. мы затронули алгебру. История говорит, что уже во втором тысячелетии до нашей эры египетский писец Ахмес описывает задачу, которая приводит нас к составлению уравнения: «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37». Современным математическим языком это задача приведет нас к решению линейного уравнения. Первым, кто предложил способ решения таких задач, был багдадский ученый Мухаммед бен Мусса аль-Хорезми в IX в. Рисунок 1.6. Мухаммед бен Мусса аль-Хорезми (783-850) гг. 18 Имя аль-Хорезми указывает на его родину – среднеазиатское государство Хорезм (ныне территория Узбекистана), бен Муса – значит «сын муссы». Его работа над арифметикой была переведена на латинский в 12-ом столетии, и хотя оригинал потерян, латинский перевод ее все еще существует. Его название дало начало математическому термину «арифметика». Другая его работа «Книга о восстановлении и противопоставлении» стала отправной точкой становлении науки о решениях уравнений – алгебре. Имя ал-Хорезми в видоизмененной форме Algorithmus превратилось в нарицательное слово «алгоритм» и сначала означало всю систему десятичной позиционной арифметики. Впоследствии этот термин приобрел более широкий смысл в математике – правило выполнения операций в определенном порядке. Вспомним, к примеру, алгоритм Евклида или алгоритм решения квадратного уравнения. Сейчас Вы уже знакомы с теорией алгоритмов курса информатики. Видите, сколько терминов привнес в математику и другие науки один человек – аль-Хорезми. Известное значение среди математиков-церковников приобрел уроженец Британии Алкуин, связанный с двором Карла Великого. Его написанные по-латыни «Задачи для оттачивания ума юношей» содержат подборку задач, имевшую влияние на составителей учебников в течение ряда столетий. Многие из этих задач восходят еще к древнему Востоку. Например: «Собака гонится за кроликом, который находится впереди нее в 150 футах, и при каждом прыжке делает 9 футов, в то время как кролик прыгает на 7 футов. За сколько прыжков собака нагонит кролика?» «Через реку надо перевезти троих: волка, козу и кочан капусты; на лодке, кроме перевозчика, может поместиться только один из трех. Как перевезти их, чтобы коза не могла съесть капусту, а волк не мог съесть козу?» Эти задачи мы встречаем и в математических сборниках XXI в., т. к. они действительно, заставляют логически мыслить. 19 Рисунок 1.7. Франсуа Виет (1540-1603 гг.). Виет – сын прокурора, занимаясь адвокатской практикой в своем родном французском городе Фонтене-ле-Конт, вскоре стал секретарем и домашним учителем в доме знатного французского дворянина. Переехав в 1571 г. в Париж, он становится юристом, а затем и тайным советником при дворе Генриха IV. Одним из главных достижений Виета в этот период была разгадка шифра, содержащего около 500 знаков. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря этому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король Генриха IV обратился к Виету. Рассказывают, что Виет, две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки – Виет. Будучи уверенными, в невозможности разгадать способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции. Среди множества достижений Виета главным считают усовершенствование теории уравнений. Он был одним из первых, кто числа изображал буквами, знаки «+» и «–» применялись в нашем современном смысле, хотя это известно далеко не каждому. Но тот вклад, который он внес в теорию решения квадратных уравнений, известен каждому школьнику (если квадратный трехчлен имеет неотрицательный дискриминант, то 20 сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, деленному на первый коэффициент; а произведение этих корней равно свободному члену, деленному на первый коэффициент). В случае если уравнение приведенное, т. е. первый коэффициент равен единице, то сумма корней такого уравнения будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; а произведение этих корней равно свободному члену. Это дает возможность быстро находить корни уравнений. Например, найдем корни уравнения x 2 − 5 x + 6 = 0 , не решая его по формуле. Мы видим, что это уравнение имеет неотрицательный дискриминант: D = b 2 − 4ac = (−5) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1 . Тогда какие же два числа будут равны в сумме пяти, т. е. второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение этих чисел должно быть равно свободному члену, т. е. шести? Легко видеть, что это будут числа 2 и 3. Они и будут являться корнями уравнения x 2 − 5 x + 6 = 0 . Необходимо подчеркнуть, что Виет нашел эту зависимость не только для уравнения второй степени, но и для любого показателя степени n , но с оговоркой на положительность корней. В общем виде теорема Виета установлена Альбером Жираром (1629 г.). В частности Виет писал: «Искусство, которое я излагаю, ново или, по крайней мере, было настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид». Математики не оставались в стороне от решения проблем не только тех, что выдвигало им их время, но они и обращались к еще не завершенным, не решенным задачам прошлого. Это, в частности, относится к решению уравнений высоких порядков. Мы уже сказали, что работы математиков охватывали много областей, новых и старых. Они обогатили оригинальными результатами классические разделы, пролили новый свет на прежние области и создавали даже совершенно новые области математических исследований. Примером может служить то, как французский математик Пьер Ферма изучал Диофанта (см. главу 1). Диофант стал доступным для читающих на латинском языке в 1621 г. В своем экземпляре этого перевода Ферма сделал свои знаменитые заметки на полях, которые были опубликованы сыном Ферма в 1670 г. Среди которых и «великая» теорема 21 Ферма о том, что уравнение x n + y n = z n невозможно при целых положительных значениях x, y, z , если n ≥ 3 . Рисунок 1.8. Пьер Ферма (1601–1665 гг.) Ферма написал на полях книги Диофанта, что он нашел замечательное доказательство этого, однако поля слишком узки, чтобы поместить его. Если Ферма имел такое замечательное доказательство, то математики искали его более 350 лет. Ферма дал безупречное доказательство своей теоремы при n = 4 , но в 1738 г. этот случай доказан Эйлером, а его доказательство яснее и короче, чем у Ферма. Для случая n = 3 доказательство снова дано Эйлером, но лишь в 1768 г. Ученому потребовалось 30 лет на эти размышления, и их удалось осуществить только благодаря применению теории комплексных чисел. Уже в XIX в. и позднее многими математиками предпринимались попытки доказать великую теорему Ферма, но все они оказались безуспешными. Именно поиски доказательства великой теоремы Ферма привели математиков к новым открытиям. Так была открыта арифметика самых общих колец алгебраических чисел. Построили эту теорию независимо друг от друга русский математик Е.И. Золотарев и немецкие математики Л. Кронекер и Ю. Дедекинд. 22 Рисунок 1.9. Эндрю Уайлс (11 апреля 1953 г.) Поиски доказательства Великой теоремы Ферма были безуспешными до конца ХХ в. И лишь в 1994 г. американским математиком 42-летним Эндрю Уайлсом, профессором Принстонского университета, была выполнена основная часть доказательства теоремы. Он затворнически работал над ней почти 10 лет. На последнем этапе к нему подключился Ричард Тейлор, профессор Оксфордского университета. Полное доказательство Великой теоремы Ферма было опубликовано летом 1995 г. в одном из ведущих математических журналов – «Анналы математики». Доказательство Великой теоремы, выполненное Уайлсом, чрезвычайно сложное. Оно сводится к решению алгебраических кривых третьей степени. Так красиво завершилась 350-летняя история доказательства Великой теоремы Ферма. Кроме того, в математике известна малая теорема Ферма: если число a не делится на простое число p , то существует такой показатель λ , что a λ − 1 делится на p , причем λ является делителем p − 1 . В частности, a p −1 − 1 всегда делится на p . Эта теорема – основная во всей элементарной теории чисел. Леонард Эйлер нашел для нее несколько различных доказательств. Кроме того, он обобщил малую теорему для случая, когда p представляет собой не простое, а любое число, взаимно простое с числом a . И снова, возвращаясь к Великой теореме Ферма, возникает вопрос: «А могло ли доказательство самого Ферма (если такое существовало) быть аналогично уайлсовскому?» 23 На этот счет есть мнение Эндрю Уайлса: «Ферма не мог располагать таким доказательством. Это доказательство двадцатого века». Великая теорема Ферма носит как будто бы частный характер. Но попытки ее доказательства обогатили математику новыми идеями, методами, теориями. В этом и состоит непреходящее значение Великой теоремы. Глава 1.3. Основная теорема алгебры и теория Галуа Говоря о развитии алгебры, мы указывали, что Ф. Виет открыл формулы решения квадратных уравнений, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. А как быть с уравнениями пятой степени и выше? Ответ на этот вопрос дал норвежский математик XIX в. Нильс Хенрик Абель. Этот ответ звучал так: «Общее уравнение степени n при n ≥ 5 неразрешимо в радикалах». Им же была сформулирована основная теорема алгебры: «Любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами, т. е. уравнение P( x ) = 0 , где P( x ) - многочлен, имеет хотя бы один комплексный корень. Это чистая теорема о существовании. Она не объясняет, как найти корень, а лишь утверждает, что он есть. Эту теорему пытались доказать разные математики, но наиболее удачное и совершенно строгое доказательство дал немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) гг. Ему принадлежит известный афоризм: «Математика – царица наук, арифметика – царица математики». Едва трех лет от роду он уже умел считать и выполнять элементарные вычисления. Однажды, при расчетах своего отца, который был водопроводным мастером, его трехлетний сын заметил ошибку в вычислениях. Расчет был проверен, и число, указанное мальчиком, было верно. Заслуги Гаусса в математике огромны. Решение систем линейных уравнений с n неизвестными – также заслуга Гаусса, и мы будем рассматривать это позднее. А сейчас, продолжая рассмотрение основной теоремы алгебры, отметим, что большой вклад в развитие алгебраических уравнений внес французский математик Эварист Галуа (1811–1832 гг.). За свои 20 лет жизни 24 он вошел в историю как революционер и математик. Его труды по алгебраическим уравнениям положили начало современной алгебре. Имя Галуа связано с понятием группы, с созданием теории групп и так называемой «теории Галуа». Эта теория возникла из рассмотрения групп алгебраических преобразований при поисках решений в радикалах общих алгебраических уравнений степени выше 4. Именно Галуа принадлежат фундаментальные результаты в этой области. Отсюда и название «теория Галуа». Он ввел такие понятия, как «группа», «подгруппа», «нормальный делитель», «поле». Многие основные результаты своей работы Галуа получил в возрасте 16– 18 лет и дважды представлял свои результаты в Парижскую Академию наук, однако даже крупнейшие французские математики того времени – Коши, Фурье, Пуассон – не сумели разобраться в результатах Галуа и оценить их значение. Галуа был революционер по убеждениям, выступал открыто против королевского режима, за что подвергался гонениям и был дважды приговорен к тюремному заключению. Выйдя из тюрьмы, он был убит на дуэли, по-видимому, спровоцированной монархистами. Перед трагической смертью он написал другу письмо, в котором сжато изложил свои основные открытия. И лишь в 1846 г. французский математик Жозеф Лиувилл разобрал и опубликовал его работы. Теория групп, заложенная Галуа, развивалась и в трудах уже наших, российских математиков Н.Г. Чеботарева, Л.С. Понтрягина, А.И. Мальцева и др. Мы верим, что знакомство с этими главами не составило для вас большого труда, т. к. материал не требовал от вас брать в руки карандаш и лист бумаги. В следующей главе это сделать следует непременно. Глава 1.4. Алгебра матриц На основании предыдущих открытий строится новая теория – алгебра матриц. Эта теория впервые была построена английским алгебраистом Артуром Кели (1821 – 1895 гг.) в «Мемуаре о теории матриц», напечатанном в 1858 г. В наши дни эта теория еще более актуальна, так как нам часто приходится иметь дело со всякого рода таблицами. Так вот, матрица – это таблица, имеющая сколько-то строк и 25 сколько-то столбцов. Матрицы представляют собой весьма удобный способ записи количественной информации и потому часто используются в различных ситуациях. Например, продажи продукции по торговым центрам, успеваемость студентов по курсам и т. п. Матрицей A размерностью m×n называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов, где m и n натуральные числа. Числа, составляющие матрицу, называют ее элементами. Обозначают матрицы заглавными латинскими буквами и ее элементы заключают в скобки одним из трех предложенных ниже способом. Например, матрица A размерности 2 × 2 записана всеми тремя возможными способами. A= a 11 a 21 a 12 a , A =  11 a 22  a 21 a 12  a  , A =  11 a 22  a 21 a 12  a 22  В дальнейшем мы будем обозначать матрицы с помощью круглых скобок. 1 0 − 3 Например, матрица вида A =   = aij – прямоугольная, 4 5 2  т. к. содержит две строки и три столбца. Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрицу называют квадратной. Например, матрица вида 4 3   – квадратная второго порядка (две строки и два A =   0 − 9 столбца). Выше различными способами мы задавали квадратную матрицу второго порядка. Если матрица состоит только из одной строки (столбца), то ее называют вектор-строкой (вектор-столбцом). Например, матрица C = (− 8 4 3 0 ) – вектор-строка; матрица B – вектор-столбец. 3     − 2 B=  7   0    Элементы матрицы a ij , у которых номер столбца равен номеру строки, называются диагональными и образуют 26 главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a11 , a 22 ,..., a nn . Квадратная матрица, все элементы которой, кроме диагональных, равны нулю, а диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей. Например, матрица третьего порядка, представленная ниже, будет единичной. Часто единичную матрицу обозначают буквой E .  1 0 0   E =  0 1 0 0 0 1   – единичная. Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например, матрица  − 6 0 0   C =  0 2 0  0 0 1   – диагональная. Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов. Обозначают след квадратной матрицы n A символами tr A . По определению, tr A = ∑ a ii . Например, для i =1 матрицы 4 1   A =   6 − 9 ее след равен сумме элементов 4 и − 9 , т. е. tr A = 4 + (−9) = −5. Квадратная матрица если aij = a ji при i ≠ j . Например, матрица называется  2 − 1  B =  −1 2  симметричной, будет симметричной. Наверное, понятно, что использовать матрицу только как форму представления информации в компактном виде не совсем рационально, желательно бы над ними производить операции. Вот об этом мы будем говорить в следующей главе. Глава 1.5. Операции над матрицами Оказывается, что с матрицами можно проводить различные операции, подобные тем, которые мы привычно совершаем с числами: сложение, вычитание, умножение и пр. Однако 27 действовать здесь приходится осторожно, с оглядкой – не всякие матрицы можно сложить, а с перемножением дело обстоит еще сложнее. Но прежде рассмотрим отдельные свойства матриц. 1. Две матрицы равны, если они совпадают поэлементно. Например, матрицы − 4 2   B =   0 − 3 A и B − 4 равны, т.к. A =   0 2   − 3  и имеют элементы с одинаковыми индексами. 2. Две матрицы одинаковой размерности можно суммировать: C = A + B , причем результатом будет поэлементная сумма cij = a ij + bij . Например, найдем сумму матриц А и В, если − 4 2   6 0  − 4 + 6 2 + 0   2 2  и B =   . C = A + B =  .  =  A =   0 − 3  − 5 10   0 − 5 − 3 + 10   − 5 7  3. Матрицу любой размерности можно умножить на число k . Это значит – умножить на число все элементы матрицы:  2 − 9  4 − 18   , тогда B = 2A =  . B = k ⋅ A , b ij = k ⋅ a ij . Например, A =  1 7   2 14  4. Матрицу A можно умножить на матрицу B , если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Результатом будет матрица C с количеством строк, как у первой матрицы, и количеством столбцов, как у второй матрицы. Рассмотрим примеры умножения матриц различных размерностей. Не комментируя процедуру умножения матриц, замечаем, что умножение выполнимо только при соблюдении условия: количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.  2    7 1 ⋅ 2 + (−6) ⋅ 7 +   = 4; (1 − 6 0 4) ⋅   =  − 9  + 0 ⋅ (−9) + 4 ⋅ 11    11     4 ⋅ 2 + 7 ⋅ 3   29   4 7       2   3 0  ⋅   =  3 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3  =  6   − 1 2   3   (−1) ⋅ 2 + 2 ⋅ 3   4     ;   28  3 − 6  − 2 4   ⋅   = 7 0   1 5  3 ⋅ ( − 2) + ( − 6) ⋅ 1 3 ⋅ 4 + ( − 6) ⋅ 5  = =  7 ⋅ 4 + 0 ⋅ 5   7 ⋅ (−2) + 0 ⋅ 1  − 12 − 18  . =  14 28 −   Отметим, что в отличие от числовой арифметики, произведение матриц зависит от порядка сомножителей, т. е. в общем случае A ⋅ B ≠ B ⋅ A . В том случае, когда это равенство выполняется, матрицы A и B называются коммутирующими или перестановочными. Как и умножение чисел, произведение матриц подчиняется сочетательному закону: ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C ) . Операция возведения квадратной матрицы в степень m (m > 1) определяется в виде: A m = A A2 ⋅ ... A. 1⋅4 4⋅3 m раз По определению полагают A 0 = E (единичная матрица), A1 = A . Легко показать, что A m ⋅ A k = A m + k ; (A m )k = A m ⋅k . Единичная матрица E является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка A ⋅ E = E ⋅ A = A . Очевидно, что для любых матриц выполняется следующее свойство: A ⋅ 0 = 0 ⋅ A = 0 , где 0 – нулевая матрица. Операция перемножения матриц ассоциативна, т. е. если определены произведения A ⋅ B и (A ⋅ B) ⋅ C , то определены B ⋅ C и A ⋅ (B ⋅ C) и выполняется равенство: (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C). Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т. е. если имеют смысл выражения A ⋅ (B + C) и (A + B) ⋅ C , то соответственно: A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C; (A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C. Если произведение A ⋅ B определено, то для любого числа k верно соотношение: k ⋅ (A ⋅ B) = (k ⋅ A) ⋅ B = A ⋅ (k ⋅ B). 29 Рассматривая примеры на нахождение произведения матриц Вы, вероятно, ощутили, что процедура эта требует внимания и достаточно трудоемка, а так как французский математик Блез Паскаль говорил: «Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным» попытаемся облегчить эту процедуру, применив программу Excel, например, пакета MS Office 2003. Рассмотрим, как реализуется задача нахождения произведения матриц средствами электронных таблиц. Загрузив программный продукт MS Excel, введем в ячейки рабочего листа открытой книги содержимое двух матриц, как показано на рисунок 1.10. Рисунок 1. 10 Обращаем внимание на тот факт, что мы находим произведение двух матриц третьего порядка. Тогда, по правилу умножения матриц получаем, что произведением будет матрица третьего порядка. Выделите ячейки, в которых будет содержаться матрица, являющаяся результатом произведения этих матриц (в них будет вписан результат произведения матриц). Например, диапазон А5:С7. Воспользуйтесь мастером функций f x строки формул, или в меню Вставка выберите команду функция. В категории МАТЕМАТИЧЕСКИЕ выберите МУМНОЖ, (рисунок 1.11). Рисунок 1.11 30 В окне Массив 1 выберите область первой матрицы, в окне Массив 2 – область второй матрицы. Выделить диапазон – означает навести указать мыши на первую ячейку, например, А1, и, зажав левую кнопку мыши провести по диагонали до ячейки С3. В результате диапазон А1:С3 будет вписан в строку Массив 1. Аналогичное действие проделайте со вторым диапазоном, рисунок 1.12. Рисунок 1.12 Далее одновременно нажмите на клавиатуре Shift + Ctrl (комбинацию клавиш) и Ok в открытом диалоговом окне. Результатом будет матрица, представленная, на рисунке 1.13. (Если этого не сделать, компьютер отобразит только содержимое одной первой ячейки, т. е. число 18). Рисунок 1.13 Автоматизировать работу по изучению линейной алгебры можно не только средствами пакета MS Office, но с помощью пакета OpenOffice.org. 2.3. Для нахождения произведения матриц в пакете OpenOffice.org. 2.3 существует программа Calc. Загрузив 31 программу Calc, в Категории – МАССИВ выбирают функцию MMULT. Все действия по выделению массива и с диалоговыми окнами ведутся аналогично MS Excel. Математика – прикладная наука, поэтому вся ее теория направлена на решение конкретных задач. Например, мороженщица, торгующая в кинотеатре, перед утренним сеансом продала 36 порций пломбира: 8 порций в стаканчиках, 10 порций в брикетах, 7 порций в трубочках и 11 порций в рожках; перед дневным сеансом – 62 порции: соответственно 16, 15, 13 и 18. Наибольший спрос пришелся на вечер – 101 порция: 25, 21, 31, 24 соответственно. Определим утреннюю, дневную и вечернюю выручку продаж при цене 8 руб. за порцию пломбира в стаканчиках, 10 руб. за порцию в брикетах, 9 руб. за порцию в трубочках и 10,5 руб. за порцию в рожках. Для решения задачи найдем произведение матрицы объемов продаж на матрицу стоимости каждого вида мороженого:  8    342,5   8 10 7 11      10    584 = .   16 15 13 18  ⋅    25 21 31 24   9   941    10,5      Очевидно, что к этим результатам можно прийти, умножив стоимость каждого вида на количество проданного мороженого соответственно утром, днем и вечером. Предлагаем убедиться в этом самостоятельно с помощью функции МУМНОЖ пакета MS Excel Следующая операция, которую часто приходиться выполнять над матрицами – транспонирование. Транспонирование – это замена строк столбцами. Обозначают транспонированные матрицы с верхним индексом T над названием матрицы. Например, если a12 a A =  11  a 21 a 22 a13  , a 23  то  a11  A T =  a12 a  13 32 a 21   a 22  . a 23  Приведем основные свойства операции транспонирования, которые легко доказываются вычислением: 1. Двойное транспонирование возвращает исходную матрицу: T T (A ) = A . 2. Транспонирование суммы матриц эквивалентно сумме транспонированных слагаемых: ( A + B )T = AT + B T . 3. Транспонирование произведения двух матриц эквивалентно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: ( A ⋅ B )T = B T ⋅ AT . 4. Произведение матрицы на свою транспонированную A ⋅ AT или AT ⋅ A всегда имеет результатом симметричную квадратную матрицу. Транспонировать матрицы высоких порядков также можно с помощью Excel. Найдем транспонированную матрицу к матрице  1 5   A =  − 6 0 .  7 3   Для этого загрузим программный пакет MS Excel и введем матрицу в ячейки А2:В4 электронных таблиц. Затем выделим диапазон, который будет содержать транспонированную матрицу, предварительно проанализировав ситуацию: исходная матрица имеет размерность 3x 2 , тогда транспонированная матрица будет иметь размерность 2x3 , а значит, выделять будем, например, диапазон D1:F3. Далее обращаемся к мастеру функций f x строки формул, или выбрав в меню Вставка команду функция. В категории Ссылки и массивы выберите функцию ТРАНСП, кликните ОК в диалоговом окне Мастера функций, рисунок 1.14. 33 Рисунок 1.14 Как и в случае умножения матриц, загрузится диалоговое окно ввода аргументов функции. Для его заполнения выделите диапазон А2:В4 способом, описанным ранее (выделение диапазонов в случае умножения матриц), он автоматически будет вписан в строку Массив, рисунок 1.15. Рисунок 1.15 Далее одновременно нажмите на клавиатуре Shift + Ctrl (комбинацию клавиш) и Ok в открытом диалоговом окне. Результатом будет матрица, представленная на рисунке 1.16. (Если этого не сделать, компьютер отобразит только содержимое одной первой ячейки, т. е. число 1). Рисунок 1.16 34 В случае выделенного диапазона, как на рис. 1.9, в строке формул отображается та функция, которая реализована в этом диапазоне. Выполнение транспонирования в программном продукте Calc пакета OpenOffice. org. 2.3 осуществляется по такой же технологии, что и в программном пакете Excel, только применяется функция TRANSPOSE категории Массив. Рассматриваемая операция над матрицами – транспонирование, – не только широко применяется в экономике, но и ее применение позволяет рационализировать расчеты. Например, следующая производственная ситуация, которую решает менеджер, или отдел логистики. В таблице 1.1 указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины M 1 , M 2 и M 3 , причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин M 1 стоит 50 ден. ед., в магазин M 2 – 70, а в M 3 – 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого молочного завода. Таблица 1.1 Молоко –завод 1 2 Магазин M1 M2 M3 20 15 35 27 10 8 Обозначим через A матрицу количества единиц продукции, B – матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т. е.  20 35 10   A =   15 27 8  B = (50 70 130) . Рассуждая чисто арифметически, получаем, что матрицу A необходимо умножить на матрицу B . Но это умножение выполнить невозможно, так как по правилу умножения матриц число столбцов матрицы A (их три) должно быть равно числу строк матрицы B (а у матрицы B три столбца и одна строка). Тогда, выполнив транспонирование матрицы B , найдем произведение матриц в виде: 35  50    20 35 10    ⋅  70  = A ⋅ B =   15 27 8  130     20 ⋅ 50 + 35 ⋅ 70 + 1300   4750   =  . =  15 ⋅ 50 + 27 ⋅ 70 + 8 ⋅ 130   3680  T Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй – 3680 ден. ед. Надеемся, что Вы успешно разобрались с двумя интересными операциями над матрицами, но для того чтобы свойства транспонирования вам были понятны, разберите их в Excel на своих примерах. Получите удовольствие от результатов и по-настоящему оцените этот программный продукт. Глава 1.6. Определитель матрицы и его свойства Следующим важным понятием в теории матриц является понятие определителя - числа, характеризующего квадратную матрицу. Термин «определитель», иначе говоря «детерминант» (от латинского determine – определяю), в нашем смысле ввел в 1815 г. французский математик Огюстен Луи Коши. Определитель матрицы A обозначают A или ∆ . Обозначение определителя матрицы с помощью двух вертикальных линий было предложено английским математиком Э. Кэли. Мы для обозначения определителя будем использовать знак ∆ (греческая буква «дельта»). Если задана матрица первого порядка, например, A = (7 ) , то и ее определитель ∆ = 7 . Что же касается определителей квадратных матриц более высоких порядков, то там свои правила, о которых мы расскажем. Определителем второго порядка называется число, равное разности произведений элементов главной диагонали ( a11 и a 22 ) и элементов побочной диагонали ( a12 и a 21 ). Итак, определитель второго порядка вычисляется по формуле (1.3): ∆= a11 a12 = a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21. (1.3) a 21 a 22 Формально определитель записывается квадратной таблицей чисел с прямыми линиями по бокам. Вычисление 36 определителей третьего и более высокого порядков уже не так просто. Для этого потребуются дополнительные понятия. Рассмотрим это на примере определителя третьего порядка. a 11 ∆ = a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 . a 33 Введем дополнительные понятия. Если, например, в рассматриваемом определителе взять элемент a 23 и вычеркнуть вторую строку и третий столбец, на пересечении которых, расположен этот элемент, то получим уже определитель вида a11 a12 , который будет называться минором a 31 a 32 M 23 элемента a 23 определителя ∆ 3 . Еще раз обращаем ваше внимание на нижние индексы элемента a 23 : первый индекс – номер строки, второй индекс – номер столбца. Вы, вероятно, заметили, что при нахождении минора порядок определителя уменьшился на единицу (был определитель третьего порядка, стал определитель второго порядка). Итак, дадим более строгое понятие минора. Минором M ij элемента aij матрицы n-ого порядка называется определитель матрицы (n-1)-ого порядка, полученный из матрицы A вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Но для вычисления определителей необходимо ввести еще одно понятие – алгебраического дополнения. Алгебраическим дополнением A ij называется число, равное произведению минора M ij на (−1)i+ j , т. е. Aij = (− 1)i + j ⋅Mij . И снова напоминаем, что i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых расположен элемент aij . Приведем примеры вычисления миноров и алгебраических дополнений. Дан определитель третьего порядка 0 2 4 ∆3 = 1 1 5 . 3 9 3 37 Найдем миноры M 21 , M 32 и алгебраические дополнения A 21 , A 32 . Рассуждая в соответствии с определением, получим: M 21 = 2 4 = 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ 9 = −30, 9 3 M 32 = 0 4 = 0 ⋅ 5 − 4 ⋅ 1 = −4. 1 5 Для вычисления алгебраических дополнений к тем же элементам достаточно найденные значения миноров умножить на минус единицу в степени, равной сумме вычеркнутых строк и столбцов. Напомним, что, если получающаяся в степени сумма будет числом четным, значит, минус единица в четной степени будет равна единице. Если же получающаяся сумма в степени будет числом нечетным, то, минус единица в нечетной степени будет равна минус единице. Итак, 2 +1 3+ 2 A 21 = (−1) ⋅ (−30) = 30, A 32 = (−1) ⋅ (−4) = 4. После введения понятий минора, алгебраического дополнения и рассмотренных примеров их вычисления можно указать общее правило вычисления определителей, которое выражается теоремой Лапласа: определитель n-ого порядка равен сумме произведений элементов любого ряда (т. е. любых строк или столбца) на их алгебраические дополнения. Другими словами, определитель можно разложить по элементам любого ряда, т. е. строки или столбца. Например, определитель третьего порядка по правилу Лапласа можно представить в виде: ∆ = a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + a13 ⋅ A13 = a12 ⋅ A12 + a 22 ⋅ A 22 + a 32 ⋅ A 32 Вычислим определитель третьего порядка с помощью электронных таблиц Excel. Для этого заполним ячейки таблицы, как показано на рисунке 1.17. 38 Рисунок 1.17 Обращаем внимание на тот факт, что определитель матрицы – это число. А значит, для его вычисления нужна всего одна ячейка электронных таблиц, в которую будет вписано значение определителя. Выберем такую ячейку, пусть это будет, например, ячейка D4. Далее воспользуйтесь мастером функций f x строки формул, или в меню Вставка выберите команду функция. В открывшемся диалоговом окне Мастера функций, в категории МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, выберите функцию МОПРЕД., рисунок 1.18. Рисунок 1.18 После нажатия на кнопку OK диалогового окна Мастера функций на экране появляется окно ввода аргументов функции. Введите их, протянув при нажатой левой кнопке мыши по данным от ячейки А1 до ячейки С3, рисунок 1.19. Если окно закрывает определитель, то его надо сдвинуть, разместив указатель мыши в любом месте окна и зажав левую кнопку мыши. 39 Рисунок 1.19 Кликните на кнопке ОК диалогового окна Аргументы функции, в ячейке D4 отобразится значение определителя. Оно равно 148. Аналогично можно вычислять определители любого порядка, пользуясь возможностями пакета OpenOffice.org 2.3 и программой Calc. Загрузив программу, в КАТЕГОРИИ – МАССИВ выбирают функцию MDETERM. Все действия по выделению массива и окно ввода аргументов выполняются аналогично MS Excel. Рассматривая определители n-ого порядка, отдельно можно выделить треугольные определители. Это такие определители, все элементы которых, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны нулю. Например, 5 3 0 −1 0 0 0 0 2 3 7 3 . 1 1 Легко видеть, что все элементы рассматриваемого определителя, расположенные ниже главной диагонали равны нулю. Если мы будем вычислять этот определитель, пользуясь уже известным правилом Лапласа, то заметим, что значение этого определителя равно произведению элементов главной диагонали. Проверьте результат с помощью Excel. Как и для диагональной матрицы, вводят понятие диагонального определителя. Если в квадратном определителе все недиагональные элементы равны нулю, то такой определитель называют диагональным. Как и для треугольного определителя, 40 диагональный определитель равен произведению элементов главной диагонали. Например, вычислим предложенный определитель, разложив его по первой строке, и убедимся, что он равен произведению элементов главной диагонали. 5 −4 0 ∆ = 0 − 4 0 = 5 ⋅ (−1)1+1 ⋅ + 0 + 0 = 5 ⋅ (−4) ⋅ (−6) = 120. 0 −6 0 0 −6 Убедитесь в правильности этого свойства диагональных определителей, выбрав самостоятельно произвольный диагональный определитель, и вычислите его с помощью пакета Excel. Рассматривая способы вычислений определителей, особо следует остановиться на свойствах, которые позволят находить значения определителей очень быстро. Свойства определителей позволяют сократить трудоемкость при их вычислении. Следует заметить, что свойства определителей были впервые найдены уже известным вам французским математиком Коши. Приведем некоторые из них. 1. При транспонировании (замене строк на столбцы) значение определителя не меняется: ∆= a11 a12 a 21 a 22 = a11 a 21 a12 a 22 = ∆T , где T -знак транспонирования. 2. При однократной перестановке двух параллельных рядов (строк или столбцов) определитель меняет знак: a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 ∆ = a 21 a31 a 22 a32 a 23 = − a11 a33 a31 a12 a32 a13 . a33 3. Если два параллельных ряда (две строки или два столбца) определителя одинаковые, то этот определитель равен нулю. Например, 2 1 = 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 = 0. 2 1 4. Определитель с рядом, в котором все элементы равны нулю, равен нулю. 41 Например, 0 0 = 0. 2 6 5. Умножение всех элементов некоторой строки определителя на число равносильно умножению определителя на это число. Например, 2 3 −1 4 = 2 ⋅ 4 − 3 ⋅ (−1) = 11; 4 6 −1 4 = 4 ⋅ 4 − 6 ⋅ (−1) = 22; 11⋅ 2 = 22. 6. Если элементы двух строк определителя пропорциональны, −3 2 = 0. то определитель равен нулю. Например, 6 − 4 7. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель, то величина определителя не 3 −2 = 11, умножим элементы второй 1 3 изменится. Например, строки на 2 и прибавим к элементам первой строки. В результате получим, определитель 5 4 = 11, который не изменился. 1 3 8. Треугольный или диагональный определитель равен произведению элементов главной диагонали: a11 ∆= 0 a 22 0 = a11 ⋅ a 22 ⋅ a33 . a33 Все эти свойства легко доказываются прямым вычислением. Найдем значения различных определителей, применяя рассмотренные свойства: 0 − 12 а) ∆= 0 24 ; 35 4 8 2 3 −7 с) ∆ = 0 4 − 5 0 0 ; d). 3 b) ∆ = −1 3 2 9 −1 5 78 ∆ = − 11 69 42 2 46 − 28 ; ; e) 7 0 0 ∆ = 18 1 3 : f) 36 2 6 2 0 0 ∆= 0 −5 0 4 В варианте а) определитель будет равен нулю, т. к. в нем есть нулевой ряд – первый столбец; в варианте b) определитель будет равен ∆ = 2 ⋅ ( −1)1+ 2 ⋅ −1 2 = (−2) ⋅ ( −5 − 18) = 46 9 5 (в первой строке два нулевых элемента, тогда вычисляем этот определитель по правилу Лапласа, раскладывая его по первой строке); в варианте с) определитель треугольный и он будет равен произведению элементов главной диагонали, т. е. ∆ = 2 ⋅ 4 ⋅ 3 = 24 ; в варианте d) определитель треугольный, а значит, он равен произведению элементов главной диагонали, причем один из элементов главной диагонали равен нулю, тогда и определитель равен нулю; в варианте е) вторая и третья строки пропорциональны, значит, он равен нулю; в варианте f) определитель диагональный, он равен произведению элементов главной диагонали, т. е. ∆ = 2 ⋅ (−5) ⋅ 4 = −40 . Рассматривая определитель матрицы и его свойства, мы приблизились к рассмотрению еще одного важного понятия в теории матриц – обратной матрице. Глава 1.7. Обратная матрица Прежде чем вводить понятие напомним, что числа, например, 5 и обратной 1 5 матрицы, называют взаимно обратными, т. к. их произведение равно единице. Число также можем записать в виде степени, как 1 мы 5 1 = 5−1 . Очевидно, ясно, 5 что не существует числа, обратного к нулю. Такую же аналогию можно провести и для матриц. Итак, понятие обратной матрицы определено только для квадратных матриц, определитель которых не равен нулю. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица не имеет обратной и называется особенной (или вырожденной). 43 Матрица A −1 называется обратной по отношению к матрице A , если выполняется равенство A −1 ⋅ A = A ⋅ A −1 = E (т. е. их произведение дает единичную матрицу). Обратные матрицы обладают рядом свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Укажем следующие свойства обратных матриц: 1. (A −1 ) −1 = A; 2. (A ⋅ B) −1 = B−1 ⋅ A −1; 3. (AT ) = (A −1 )T . −1 Итак, выясним, как для конкретной матрицы найти обратную. Алгоритм вычисления обратной матрицы покажем на примере матрицы третьего порядка общего вида:  a11  A =  a 21 a  31 a 22 a32 a13   a 23  a33  a11 a12 a13 ∆ = a 21 a31 a 22 a32 a 23 . a33 a12 1. Вычисляем определитель Если ∆ = 0 , то работа прекращается с заключением: A – вырожденная матрица, обратной матрицы для нее не существует. 2. Вычисляем все алгебраические дополнения матрицы A : A 11 , A12 , ..., A 33 . 3. Из вычисленных алгебраических дополнений составляем присоединенную матрицу  A11  A =  A12 A  13 c A 21 A 22 A 23 A 31   A 32 . A 33  Обратим внимание на то, что индексы этой матрицы транспонированы по отношению к исходной матрице A . 4. Вычисляем обратную матрицу A −1 = 1 c ⋅A ∆ (находим произведение числа, обратного значению определителя, на присоединенную матрицу). 44 5. Если расчет производится вручную, то выполняется −1 −1 проверка A ⋅ A = E или A ⋅ A = E . Рассмотрим на примере, как находится матрица, обратная данной. Пусть матрица задается видом: 5 8 7   A =  0 2 3 . 0 0 4   1. Найдем определитель матрицы: так как матрица является треугольной (элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю), то ее определитель равен произведению элементов главной диагонали: 5 8 7 ∆ = 0 2 3 = 5 ⋅ 2 ⋅ 4 = 40 . 0 0 4 2. Вычислим все алгебраические дополнения: 2 5 A22 = A11 = 3 = 8 ; A12 = − 4 7 5 = 20; A23 = − 4 3 = 0; A13 = 4 8 8 = 0; A31 = 2 A33 = 2 8 = 0; A21 = − 7 5 = 10; A32 = − 3 7 = −32; 4 7 = −15; 3 5 8 = 10. 0 2 3. Составим присоединенную матрицу:  8 − 32 10    A c =  0 20 − 15 . 0 10   4. Находим обратную матрицу, умножив величину, обратную определителю, на присоединенную матрицу: 8 −32 10  0,2 − 0,8 0,25     1  A = ⋅ 0 20 −15 =  0 0,5 − 0,375. 40    0,25  0 0 10   0 −1 5. Выполним проверку: 45 5 8 7 0,2 −0,8 0,25  1 0 0      A⋅ A =0 2 3⋅ 0 0,5 −0,375 =0 1 0. 0 0 4  0 0 0,25  0 0 1      −1 В результате получена единичная матрица, значит, обратная матрица определена верно. Вы успели почувствовать, что процедура нахождения обратной матрицы достаточно трудоемкая, даже если порядок матрицы не высок (мы рассматривали матрицу третьего порядка). Поэтому мы снова обращаемся за помощью к Excel. Вычислим матрицу, обратную к матрице  4 − 8 − 5   A =  − 4 7 −1 . −3 5 1   Введя элементы матрицы в ячейки А1:С3, и, выделив диапазон ячеек (в нашем случае D4:F6), в которых будет содержаться матрица, обратная данной, загружают мастер функций f x . В категории МАТЕМАТИЧЕСКИЕ выбирают функцию МОБР, см. рисунок 1.20. В открывшееся окно ввода аргументов вводят диапазон ячеек исходной матрицы, т. е. А1:С3, затем одновременно нажимают на клавиатуре комбинацию клавиш Shift + Ctrl и кнопку Ok в открывшемся диалоговом окне. Рисунок 1.20 По умолчанию результат будет представлен десятичными дробями. Чтобы представить обратную матрицу в виде простых дробей с определенным количеством значащих цифр, ее выделяют и в меню ФОРМАТ выбирают команду Ячейки. В открывшемся диалоговом окне выбирают вкладку Число. В содержимом открывшейся вкладки выбирают, например, 46 ДРОБНЫЙ. При этом в открывшейся вкладке Тип, выбирают, например, дробями до двух цифр (рисунок 1.21). Рис. 1.21 Результатом будет матрица, представленная на рисунке 1.22. Рис. 1.22 Рассмотрим нахождение обратной матрицы для предыдущего примера, но выполним это в пакете OpenOffice.org. 2.3. Загрузив программу Calc, введем элементы предыдущей матрицы в те же ячейки – А1:С3. Для отображения обратной матрицы выделим тот же диапазон – D4:F6. Войдем в Мастер функций f x . В категории Массив выберем функцию MINVERSE, нажмем на кнопку Далее в этом окне, см. рисунок 1.23. В открывшееся окно Мастера функций в строку Матрица вводят диапазон ячеек исходной матрицы, т. е. А1:С3, затем одновременно нажимают на клавиатуре комбинацию клавиш Shift + Ctrl и кнопку Ok в открывшемся диалоговом окне, рисунок 1.24. Так как обратная матрица будет представлена десятичными дробями, то выделив получившийся диапазон в меню Формат, выберем Ячейки и на вкладке Число в Категории выбираем 47 Дробный. Затем на вкладке Формат этого же окна задаем формат (до двух цифр – это показано выделением), нажимаем на кнопку ОК открытого диалогового окна, рисунок 1.25. Рисунок 1.23 Рисунок 1.24 Рисунок 1.25 В результате получится матрица, представленная на рисунке 1.26. 48 Итак, мы выяснили, что матрицу, обратную данной можно найти не только вычислениями вручную, но и с помощью двух программных продуктов – Calc и Excel. Ну а как эту работу выполнить проще, думаем, что Вы уже усвоили. А потому мы приступаем к рассмотрению следующей главы, в которой рассмотрим способы решения систем линейных уравнений. Рисунок 1.26 Глава 1.8. Ранг матрицы При рассмотрении определителей было введено понятие минора. Аналогично можно говорить о миноре матрицы. Пусть дана прямоугольная матрица из m строк и n столбцов.  a11 a12  a 22 a A =  21 ... ...  a  m1 a m 2 ... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a mn  В частном случае допускается равенство m = n , т. е. матрица A может быть квадратной. Выбирая в этой матрице k (не превосходящее чисел m и n) строк с номерами ( i1 , i 2 ,..., i k ) и k столбцов с номерами ( j1 , j2 ,..., jk ), на пересечении которых получим определитель, который и называется минором k-го порядка матрицы А. В случае k = 1 минором будет элемент a ij матрицы А. Так как выбор строк и столбцов можно осуществлять произвольным образом, то можно говорить о числе сочетаний из m по k для строк и числе сочетаний из n по k для столбцов. Тогда число всех миноров k-го порядка для матрицы A будет найдено как C km ⋅ C kn . Рангом матрицы называют наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. 49 Ранг матрицы А обозначают rang A или r(A). Из определения следует: • ранг матрицы A m×n не превосходит меньшего из ее размеров, т. е. r(A) ≤ min(m; n ) ; • r(A) = 0, когда все элементы матрицы равны нулю; • для квадратной матрицы n-ого порядка r (A) = n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная. Если в матрице А все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры более высокого порядка, если они существуют. Задача определения ранга матрицы достаточно трудоемка, так как требует большого числа вычислений. Для ее упрощения над матрицами производят элементарные преобразования. Элементарными называют следующие преобразования матриц: 1) перестановка параллельных рядов; 2) умножение всех элементов ряда на одно и то же число, не равное нулю; 3) прибавление элементов какого-нибудь ряда к соответствующим элементам параллельного ряда; 4) вычеркивание ряда, являющегося линейной комбинацией некоторых параллельных ему рядов (в частности, вычеркивание ряда, состоящего из нулей). При применении к матрице А какого-либо элементарного преобразования получается новая матрица В. Этот факт записывается так: A∼B. Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк. Примем эти теоремы без доказательства. Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. При этом количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А. Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем. Необходимо найти какой-нибудь минор ∆1 первого порядка (т. е. элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица А нулевая и r = 0 . 50 Затем вычислять миноры 2-го порядка, содержащие ∆1 (окаймляющие ∆1 ) до тех пор, пока не найдется минор ∆ 2 , отличный от нуля. Если такого минора нет, то r = 1 , если есть, то r ≥ 2 . И так далее. Вычислять (если они существуют) миноры k-го порядка, окаймляющие минор ∆ k −1 = 0 . Если таких миноров нет или они все равны нулю, то r = k − 1 ; если есть хотя бы один такой минор ∆ k ≠ 0 , то r ≥ k , и процесс продолжается. При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каком-то вычислительном этапе найти всего один нулевой минор k-го порядка, причем искать его следует среди миноров, содержащих минор ∆ k −1 ≠ 0 . С помощью элементарных преобразований приводят матрицу к ступенчатому виду, ранг которой определяется числом ненулевых элементов на главной диагонали. Найдем ранг матрицы  2 3 − 5 7 11    A = 5 1 6 11 8  .  4 6 − 10 14 22    Решение. Минорами первого порядка элементы матрицы, например 2; 5; 11; -10 и т. д. Минорами второго порядка являются, 2 −5 4 − 10 являются например, все 2 3 5 1 , и т. д., которые отличны от нуля. А все миноры третьего порядка равны нулю, т.к. в матрице третья строка пропорциональна первой. Т. к. отличных от нуля миноров более высокого порядка, чем 2, у матрицы нет, значит, по определению ее ранг равен 2. Найдем ранг предыдущей матрицы, пользуясь элементарными преобразованиями.  2 3 − 5 7 11    A = 5 1 6 11 8  .  4 6 − 10 14 22    Умножим второй столбец на (-1) и прибавим его к первому, получим: 51  2 3 − 5 7 11   − 1 3 − 5 7 11      6 11 8  ~  4 1 6 11 8  . 5 1  4 6 − 10 14 22   − 2 6 − 10 14 22      (Символ ~ означает эквивалентность преобразований). Умножив первую строку на 4 и прибавив ко второй, а затем, умножив первую строку на (-2) и прибавив к третьей, получим:  − 1 3 − 5 7 11     − 1 3 − 5 7 11    0 13 − 14 39 52  ~  0 13 − 14 39 52   0 0  0 0  (При этом вычеркнули нулевую третью строку). Последняя матрица имеет треугольный вид (все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю). Найдем ее минор: −1 3 13 = −13 . Следовательно, ранг матрицы равен 2. Таким образом, мы вычислили ранг матрицы по определению и с помощью элементарных преобразований, в обоих случаях ранг матрицы равен 2. Рассмотрим ситуацию. Пусть ранг квадратной матрицы A 5-го порядка равен 4. Чему равен определитель ∆ этой матрицы? Так как задана квадратная матрица пятого порядка, то ее ранг не должен превышать числа 5, т. е., r (A) ≤ 5 . По условию же сказано, что в нашем случае r (A) = 4 , то ∆ = 0 Найдем ранг матрицы  1 2 3   B = 4 5 6 .  7 8 9   Умножим первую строку на (-4) и прибавим ко второй, а затем умножим первую строку на (-7) и прибавим к третьей, в результате получим 3   1 2 3  1 2      4 5 6 ~ 0 − 3 − 6  .  7 8 9   0 − 6 − 12      Умножив вторую строку на (-2) и прибавив ее к третьей, получим: 52 3  1 2 3   1 2 3  1 2        4 5 6 ~  0 − 3 − 6  ~  0 − 3 − 6 ~  7 8 9   0 − 6 − 12   0 0 0       3  1 2  ~   0 − 3 − 6 Так как матрица имеет треугольный вид, найдем ее минор, 1 2 0 −3 = −3 ≠ 0 , то ранг матрицы, а значит, и ранг искомой матрицы равен двум. Найдем ранг матрицы A методом окаймляющих миноров: 1 3 3 4    A = 0 0 1 2  .  2 6 1 − 2   Так как у матрицы есть ненулевые элементы, то r ≥ 1 . Найдем какой-либо ненулевой минор второго порядка (если он существует). Таким минором является, например, ∆2 = 3 3 = 3 ≠ 0. 0 1 Следовательно, r ≥ 2 . Вычислим миноры третьего порядка, окаймляющие ∆(31) 1 3 3 1 3 = 0 0 1 = − 1⋅ = 0; 2 6 2 6 1 ∆(32) 3 3 4 3 4 1 2 = 0 1 2 = 3⋅ + 6⋅ = 1 2 1 −2 6 1 −2 ∆2 : = −12 + 12 = 0. Все миноры третьего порядка, окаймляющие нулю. Следовательно, r p 3 . Итак, r = 2 . ∆2 , равны Понятие ранга матрицы поможет нам в дальнейшем разобраться с решением систем. Но, к сожалению, нет функции, которая бы определяла ранг заданной матрицы в пакете MS Excel оперативно, потому эта операция, как правило, производится вручную. Или же используют электронные таблицы для реализации в них словесного алгоритма по вычислению ранга. 53 Глава 1.9. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера Раздел, который мы с вами рассматриваем – линейная алгебра, возник из решения систем двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Такие системы умели решать еще в древнем Вавилоне. Из школьного курса Вы знаете различные способы решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными: метод подстановки, метод алгебраического сложения и графический метод. Рассмотрим решение систем n линейных уравнений с n неизвестными, которые в общем виде задаются равенствами (1.4). Способ решения систем вида (1.4), который ввел в 1750 г. швейцарский математик Габриэль Крамер, так и называют – способом Крамера или решением систем по формулам Крамера. a 11x1 + a 12 x 2 + ... + a1n x n = b1 ,  a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2 ,  ......................................... a n1x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = b n . (1.4) В системе вида (1.4) числа a11 , a12 ,..., a nn называют коэффициентами при неизвестных x1 , x 2 ,..., x n , а числа b1 , b 2 ,..., b n – свободными членами системы. Составим из коэффициентов при неизвестных определитель (1.5), будем называть его главным определителем системы и обозначать буквой ∆ . a11 a ∆ = 21 ... a12 a 22 ... ... a1n ... a 2 n ... ... . (1.5) a n1 a n 2 ... a nn Напомним, что первый нижний индекс в записи коэффициента означает номер строки, второй индекс означает номер столбца. Далее составляются вспомогательные определители при первой, второй, …, n-ой неизвестной. Их будем обозначать той же буквой ∆ , только с индексами, т. е. ∆1 , ∆ 2 ,…, ∆ n . Составляются вспомогательные определители из главного определителя с помощью замены столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной столбцом свободных членов, т. е., 54 например, первый вспомогательный определитель будет иметь вид: b1 b ∆1 = 2 ... bn a12 a 22 ... ... a1n ... a 2 n ... ... . (1.6) a n 2 ... a nn Составляются остальные вспомогательные определители ∆ k , где ∆ k – определитель, получающийся из ∆ заменой k-го столбца свободными членами системы: ∆k = a11 ... a1,k −1 a 21 ... a 2,k −1 b1 b2 ... ... ... ... a n1 ... a n ,k −1 b n a 1,k +1 ... a1n a 2,k +1 ... a 2 n ... a n , k +1 ... ... ... a nn . Далее используем теорему Крамера. Теорема Крамера. Если определитель ∆ системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение. Это решение может быть найдено по формулам: x1 = ∆1 , x2 = ∆2 ∆ ∆ ,..., x n = ∆ n . (1.7) ∆ Формулы (1.7) носят название формул Крамера. Решим систему методом Крамера:  x 1 + x 2 + x 3 = 6,   2 x 1 − x 2 + x 3 = 3,  0 ⋅ x + x − 4 x = − 10 . 1 2 3  Вычислим все определители. Главный определитель составляем из коэффициентов при неизвестных системы. Его вычисление выполним разложением по третьей строке: 1 ∆= 2 1 −1 1 1 1 1 1 = 0 + 1 ⋅ ( − 1) 3 + 2 ⋅ + 2 1 −4 + ( − 4 ) ⋅ ( − 1) 3 + 3 ⋅ 1 1 2 −1 = 1 + ( − 4 ) ⋅ ( − 3) = 13 . Главный определитель системы отличен от нуля, система имеет единственное решение. 55 Составляем первый вспомогательный определитель, заменив в главном определителе первый столбец столбцом свободных членов системы. Вычислим его разложением по второму столбцу: 6 ∆1 = 3 − 10 1 1 3 − 1 1 = 1 ⋅ ( − 1)1 + 2 ⋅ − 10 1 −4 + ( − 1) ⋅ ( − 1) 2 + 2 ⋅ 1 −4 + 6 1 1 + 1 ⋅ ( − 1) 3 + 2 ⋅ = −4 3 1 6 − 10 = 2 + 14 − 3 = 13 . Составляем второй вспомогательный определитель, заменив в главном определителе второй столбец столбцом свободных членов. Вычислим его разложением по первому столбцу. 1 ∆2 = 2 6 3 1 3 1 = 1 ⋅ ( − 1)1+ 1 ⋅ − 10 −4 − 10 + 2 ⋅ ( − 1) 2 + 1 ⋅ 6 1 − 10 −4 1 −4 + + 0 = − 2 + 28 = 26 . Третий вспомогательный определитель составляем заменой в главном определителе третьего столбца столбцом свободных членов системы. Его вычисление выполним разложением по первому столбцу. 1 ∆3 = 2 1 −1 6 3 1 − 10 + 2 ⋅ ( − 1) 2 + 1 ⋅ = 1 ⋅ ( − 1)1 + 1 ⋅ 1 6 1 − 10 −1 1 3 + − 10 + 0 = 7 + 32 = 39 . Воспользовавшись формулами Крамера (1.7), найдем значения неизвестных: x1 = ∆ 1 13 ∆ 26 ∆ 39 = = 1; x 2 = 2 = = 2; x 3 = 3 = = 3. ∆ 13 ∆ 13 ∆ 13 Если вспомнить школьный курс алгебры, то решением системы называют упорядоченный набор чисел, который при подстановке в каждое уравнение системы обращает его в верное равенство. Выполним проверку решения системы, подставив найденные значения неизвестных в каждое уравнение системы 56 (проделайте это устно, убедитесь в справедливости решения). Теперь можно записать ответ. Ответ: (1; 2; 3). Выполняя решение системы вместе с нами, Вы убедились, что даже в случае системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, эта задача трудоемкая. Попытаемся сделать ее более приятной и легкой с помощью программного продукта MS Excel. Решим систему четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными: 3x1 − 2x 2 − 5x 3 + x 4 = 3,  2 x1 − 3x 2 + x 3 + 5x 4 = −3,  x1 + 2x 2 − 4x 4 = −3, x1 − x 2 − 4x 3 + 9x 4 = 22. Так как Вы уже знаете, как вычислить определитель матрицы, то в нашем случае задача будет сводиться к вычислению пяти таких определителей – главного и четырех вспомогательных. Рассмотрим процесс вычислений. Чтобы ввести, например, в ячейку А1 символ ∆ , воспользуемся меню Вставка пакета MS Excel и в нем выберем команду Символ, где во вкладке Символы в шрифтах выбираем Symbol и в них выберем символ, выделенный на рисунке 1.27, далее нажимаем кнопку Вставить этого диалогового окна. Рисунок 1.27 Далее введем все коэффициенты системы в ячейки, как на рисунке 1.28. Рисунок 1.28 57 Вычислим главный определитель системы в ячейке В1 (как это делать с помощью функции МОПРЕД мы рассматривали в главе 1.6), см. рисунок 1.29. Рисунок 1.29 Мы будем вычислять все определители в ячейке В1, поэтому значение главного определителя, уже вычисленное в ячейке В1, мы еще перепишем (перенабрав число), например, в ячейку Е6. Затем, выделив столбец С1:С4, опустим его в диапазон С5:С8. А на его место вставим столбец свободных членов, т. е. диапазон Н1:Н4, предварительно, выделив его. Тогда в ячейке В1 уже будет вычислен первый вспомогательный определитель. Его значение перепишем в ячейку В2. Вы видимо уже уяснили, что ячейка В1 у нас будет рабочей, в ней будет вычисляться функция МОПРЕД, только к изменяемым по содержанию ячейкам. Чтобы вычислить второй вспомогательный определитель выделим диапазон свободных членов С1:С4 и отнесем его в диапазон Н1:Н4 (на прежнее место), а столбец коэффициентов при первой неизвестной С5:С8 восстановим на прежнее место, т. е. в диапазон С1:С4. Выделим диапазон D1:D4, опустим его в диапазон D5:D8, а на освободившееся место снова вставим диапазон свободных членов, т. е. Н1:Н4. В итоге в ячейке В1 снова отобразится значение вспомогательного определителя, оно будет равно − 1131 , перепишем его в ячейку В3. Вероятно, Вы уяснили, что задача вычисления двух оставшихся вспомогательных определителей снова будет сводиться к замене соответствующего столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной столбцом свободных членов и отображением в ячейке В1 результата. Затем эти результаты необходимо будет переписать в ячейки В3 и В4. Значения третьего и четвертого вспомогательных определителей будут соответственно 754 и − 754 . 58 После вычисления четвертого вспомогательного определителя в ячейке В1 будет отображаться значение − 754 , перепишем его в ячейку В5, а в ячейку В1 перепишем число − 377 , которое мы храним в ячейке Е6 – это значение главного определителя. Для вычисления значений неизвестных – в нашем случае это x1 , x 2 , x 3 , x 4 (поместим эти символы в ячейки от А6 до А9) будем использовать диапазон от В6 до В9. Для вычисления неизвестных будем использовать формулы Крамера (1.7). Все вычисления в MS Excel начинаются введением в ячейку знака равенства (=), затем вводится нужная формула. При этом сложение обозначается традиционным знаком «+», вычитание знаком «-», умножение знаком «*», деление знаком «/», возведение в степень знаком «^». Чтобы определить значение первой неизвестной x1 в ячейку В6 введем формулу = В2/В1. Так как адреса ячеек В2, В1 должны быть набраны на латинском языке, то лучше не набирать их вручную с клавиатуры, а после того как Вы ввели с клавиатуры в ячейку знак = (равно) кликнуть на ячейку В2, затем набрать с клавиатуры знак / (деления) и снова кликнуть на ячейку В1. В результате этого вводимая формула будет отображаться в ячейке В6 и в строке формул (белая строка над рабочей областью данной программы), рисунок 1. 30. Рисунок 1. 30 Завершается ввод формулы нажатием клавиши Enter (Return) на клавиатуре. В результате этого значение первой неизвестной x1 = −1 , рисунок 1.31. 59 Рисунок 1.31 Аналогичным образом пропишем в ячейках В7 формулу = В3/В1, в ячейке В8 формулу = В4/В1, в ячейке В9 формулу = В5/В1. Каждая из них завершается вводом с клавиатуры команды Enter (Return). Итогом будет окно, рисунок 1.32. Рисунок 1.32 Таким образом, мы решили систему четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными возможностями пакета MS Excel. Вручную эту систему решать достаточно трудоемко, так как пять раз придется вычислять определитель четвертого порядка. При большом желании можете попробовать и сравнить время, затраченное на вычисление вручную и с помощью программы. Мы уже неоднократно подчеркивали, что математика – прикладная наука, она обеспечивает существование других научных и производственных отраслей. Рассмотрим на примере следующей задачи, как реализуется теория на практике. У предприятия есть четыре потребителя, которым ежедневно отгружается готовая продукция. Груз доставляется на автомашине каждому потребителю упакованным в ящики, маркированные в зависимости от вида продукции. Однажды, когда автомашины были уже отправлены, но еще находились в пути, обнаружилось, что один из четырех видов груза был отправлен по ошибке и его следует возвратить (причем 60 в полной сохранности и без нарушения целостности остальных грузов). Одновременно выяснилось также, что по недосмотру служащего не осталось никаких сведений о том, как именно маркирована та партия ящиков, в которой находился этот подлежащий возврату груз. А что же известно? Известно количество маркированных ящиков каждого вида, общий вес груза в каждой машине (см. таблицу 1.2), а также и то, что ящики с возвращаемым грузом должны быть тяжелее остальных. Таблица 1.2 Груз (количество ящиков) Номер автомашины 1 2 3 4 1-й вид 2-ой вид 3-й вид 4-й вид 1 2 2 3 4 9 6 5 9 8 8 7 8 3 6 8 Общий вес, (ц.) 51 45 48 51 Возникает вопрос: а нельзя ли дать рекомендации по изъятию этого груза без распаковки и дополнительного взвешивания? Оказывается, можно. Приведем расчеты, при помощи которых совсем нетрудно выйти из этой ситуации. Обозначим через xk вес ящика с k-ым видом груза, k = 1, 2, 3, 4. Тогда общий вес груза на автомашине 1 можно вычислить так: x1 + 4x 2 + 9x 3 + 8x 4 = 51. Аналогично составим уравнения для всех остальных машин и запишем получившиеся уравнения системой:  x1 + 4 x2 + 9 x3 + 8 x4 = 51, 2 x + 9 x + 8 x + 3x = 45,  1 2 3 4  2 x1 + 6 x2 + 8 x3 + 6 x4 = 48, 3x1 + 5 x2 + 7 x3 + 8 x4 = 51. Будем решать эту систему по формулам Крамера, используя возможности пакета MS Excel и функции МОПРЕД. Предлагаем вам самостоятельно вычислить значения определителей, сверив их с нашими результатами. 61 1 4 9 8 51 4 9 2 9 8 3 ∆= = −30. ∆1 = 45 9 8 2 6 8 6 48 6 8 3 5 7 8 51 5 7 1 51 9 8 8 3 = −30, 6 8 1 4 51 8 1 4 2 9 45 3 2 9 ∆2 = = −60, ∆3 = = −60, ∆ 4 = 2 48 8 6 2 6 48 6 2 6 3 5 51 8 3 51 7 8 3 5 2 45 8 3 9 51 8 45 8 48 7 51 = −90. Для нахождения неизвестных воспользуемся формулами Крамера: x1 = ∆1 − 30 ∆ − 60 = = 1; x2 = 2 = =2; ∆ − 30 ∆ − 30 x3 = ∆ 3 − 60 ∆ − 90 = 2 ; x4 = 4 = =3. = ∆ − 30 ∆ − 30 В результате решения системы получили, что x1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 2 , x 4 = 3. Отсюда вытекает, что нужно вернуть на завод ящики с четвертым видом груза, т. е. 8 + 3 + 6 + 8 = 25 ящиков. Таким образом, с помощью математических расчетов мы определили, как разрешить возникшую производственную ситуацию. Введем еще ряд понятий относительно систем. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система, обладающая хотя бы одним решением, называется совместной. К системам мы приходим во многих вопросах как теоретического, так и прикладного характера, и часто сталкиваемся с ситуациями, когда число уравнений в системе не обязательно совпадает с числом неизвестных. В таких случаях аппарат теории определителей недостаточен. В таких случаях прибегают к теории матриц. Кстати сказать, теория матриц достигла большого развития в XIX в. Мы уже говорили ранее, что понятие матрицы и ее ранга ввел английский математик Дж. Сильвестер. Глава 1.10. Матричный метод в решении систем В предыдущей главе формулой (1.4) мы задавали систему n линейных уравнений с n неизвестными. Сейчас мы рассмотрим 62 случай системы, содержащей n неизвестных, и m уравнений, m≤n a 11x1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b1 ,  a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2 ,  ......................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = b m . (1.8) Над уравнениями исходной системы линейных алгебраических уравнений можно производить элементарные преобразования, в результате которых получим новую систему, называемую эквивалентной. Эквивалентные системы имеют одно и то же множество решений. К элементарным преобразованиям системы относятся: • вычеркивание уравнения нулевой строки; • перестановка уравнений или слагаемых в уравнениях; • прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число; • удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы. Последнее свойство вытекает из третьего свойства: если какое-либо уравнение представляет собой линейную комбинацию других уравнений, то из него можно сформировать нулевую строку. Из коэффициентов при неизвестных в системе (1.8) можно образовать матрицу (1.9) как таблицу из указанных чисел  a11 a12  a 22 a A =  21 ... ...  a  m1 a m 2 ... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a mn  (1.9) Эта матрица состоит из m строк и n столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных X и матрицу свободных членов B : 63  в1     в2    B =  ⋅⋅     ⋅     вm   x1     x2    X =  .⋅  ,   ⋅     xn  Теперь систему линейных уравнений (1.8) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы A равен m × n , размер матрицы X n ×1 и, следовательно, произведение этих матриц имеет смысл: A×X = B. (1.10) Вспомните, в главе 1.5 мы говорили, что произведение матриц возможно, если количество столбцов первой матрицы (первого сомножителя) равно количеству строк второй матрицы (второго сомножителя). И результатом произведения матриц будет матрица с количеством строк как у первой матрицы, и количеством столбцов, как у второй матрицы. Т. е. результатом будет матрица размерности m ×1 , что соответствует размерности матрицы B . Итак, задача свелась к определению некоторой матрицы X из равенства (1.10). Рассуждая арифметически, вам необходимо найти неизвестный множитель. А он равен отношению произведения к известному множителю. Но так как в теории матриц нет понятия деления матриц, а существует понятие умножения на обратную матрицу, то умножим справа равенство (1.10) на матрицу A −1 . Важно напомнить свойство матриц о том, что произведение матриц в общем случае не коммутативно (нельзя менять местами сомножители, см. главу 1.5). В результате получим: A −1 × A × X = A −1B . Рассуждая относительно левой части произведения, замечаем, что произведение обратной матрицы на себя дает единичную матрицу, а произведение единичной матрицы на матрицу X дает матрицу X . Итак, левая часть равенства – матрица X , правая часть – произведение обратной матрицы к A на матрицу свободных членов B , т. е. X = A −1 ⋅ B . 64 (1.11) Отсюда вытекает алгоритм решения систем матричным методом. Составляют матрицу из коэффициентов при неизвестных в системе, т.е. матрицу A . Находят к ней обратную матрицу (алгоритм нахождения обратной матрицы прописан в главе 1.7). Находят произведение обратной матрицы на матрицу B (правило умножения матриц прописано в главе 1.5). Получившаяся матрица и будет решением системы. Однако, следует заметить, что прежде чем решать систему, у которой число уравнений меньше числа неизвестных, необходимо выяснить ее разрешимость. Ответ на этот вопрос дает теорема Кронекера-Капелли. Теорема Кронекера-Капелли. Система уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы. Возникает вопрос, что такое расширенная матрица системы? Расширенной матрицей системы называют матрицу, которая получается добавлением в матрицу из коэффициентов при неизвестных столбца свободных членов, т. е. добавив в матрицу (1.9) матрицу-столбец B , получим матрицу A p (1.12). Получим новую матрицу размером m x (n+1):  a 11  a A p =  21 ...  a  m1 a 12 a 22 ... a 1n ... a 2 n ... a m2 ... ... ... a mn b1   b2  .(1.12) ...   b m  Итак, итог. Для решения систем с числом уравнений меньше, чем число неизвестных, необходимо определить совместность системы, т. е. определить сначала ранги матрицы системы и расширенной матрицы. По теореме КронекераКапелли если ранги этих матриц не совпадают, то система несовместна и тогда нет смысла ее решать. Если же указанные ранги равны, то система (1.8) совместна. Рассмотрим, как определить совместность заданной ниже системы.  x1 + 2 x 2 − x3 + x 4 = 2,   x1 + 3 x 2 + 2 x3 = 1, − x − x + 4 x − 2 x = 2. 2 3 4  1 65 В соответствии с теоремой Кронекера-Капели система будет совместна, если ранг матрицы будет равен рангу расширенной матрицы, поэтому составим расширенную матрицу и проведем с ней элементарные преобразования. Мы отделили в записи расширенной матрицы с помощью вертикальной черты матрицу коэффициентов при неизвестных от матрицы свободных членов (хотя эту вертикальную черту не обязательно ставить). 2 −1 1 2 1   Ap =  1 3 2 0 1 .  −1 −1 4 − 2 2   Т. к. в расширенной матрице нет нулевых и пропорциональных рядов, будем приводить ее к треугольному виду. Вычитая из второй строки первую, а к третьей прибавляя первую строку, получим 2 1 2 −1 1   A p =  0 1 3 − 1 − 1 , 0 1 3 −1 4    далее, вычитая из третьей строки вторую, получим:  1 2 −1 1 2    A p =  0 1 3 − 1 − 1 . 0 0 0 0 5    Т. к. в полученной матрице есть нулевой (третий) ряд, а минор второго порядка не равен нулю, (например, 1 2 = 1 ≠ 0 ), то 0 1 заключаем, что ранг матрицы равен 2. В расширенной матрице нет нулевых рядов, но существуют миноры третьего порядка, отличные от нуля (например, −1 1 3 − 1 − 1 = 5 ≠ 0 ), потому ранг расширенной матрицы равен 3. 0 5 2 Получили, что ранг матрицы не равен рангу расширенной матрицы. Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли, система несовместна. Рассмотрим ситуацию. Фермер вложил в прошлом году в зерноводство, животноводство и овощеводство всего 10 млн. д.е. и получил 780 тыс. д.е. прибыли. В текущем году он собирается 66 увеличить вложения в зерноводство в 2 раза, в животноводство в 3 раза, а вложения в овощеводство оставить на прежнем уровне. На все это фермер выделяет 22 млн. д. е. Какую прибыль собирается получить фермер в текущем году, если зерноводство приносит 10% прибыли на вложенные средства, животноводство 8% и овощеводство 6%? Как будем решать задачу. Введем обозначения: x1 – вложения фермера в зерноводство в прошлом году (в млн. д. е.), x 2 – в животноводство, x3 – в овощеводство. Вспомните, что процент – сотая часть числа, тогда составим уравнения и систему исходя из условия задачи:  x1 + x 2 + x3 = 10,  2 x1 + 3x 2 + x3 = 22, 0,1x + 0,08 x + 0,06 x = 0,78. 1 2 3  Так как число неизвестных равно числу уравнений, то спокойно решаем систему, например, матричным методом. И рассмотрим это решение сразу с помощью электронных таблиц MS Excel. Для этого занесем матрицу из коэффициентов при неизвестных в ячейки А1:С3 и найдем к ней обратную матрицу. Для этого выделим диапазон А6:С8, войдем в Мастер функций, выберем в категории Математические функцию МОБР. В открывшееся диалоговое окно Аргументов функции впишем с помощью выделения диапазон А1:С3. Далее, нажав одновременно на клавиатуре комбинацию клавиш Shift + Ctrl и кнопку Ok в открывшемся диалоговом окне, получаем обратную матрицу в диапазоне А6:С8. Так как обратная матрица будет представлена десятичными дробями, то выделив получившийся диапазон в меню Формат, выберем Ячейки и на вкладке Число в Категории выбираем Дробный. Затем на вкладке Формат этого же окна задаем формат – до двух цифр и – нажимаем на кнопку ОК открытого диалогового окна, рисунок 1.33. Матрицу свободных членов, которую мы условно называем матрицей B поместим в диапазон Е1:Е3. Нам осталось выполнить умножение матрицы, содержащейся в диапазоне А6:С8, и матрицы, содержащейся в диапазоне Е1:Е3. Так как мы умножаем матрицу размерностью 3 × 3 на матрицу размерностью 3 × 1 , то по правилу умножения 67 матриц (см. главу 1.5) их произведением будет матрица размерности 3 × 1 . Поэтому выделим диапазон Е6:Е8 и выполним умножение матриц, см. главу 1.5. Результат представлен на рис. 1.33 . Таким образом, x1 = 2 , x2 = 5 , x3 = 3 . Но для ответа на вопрос задачи о вложениях в текущем году в зерноводство необходимо 2 ⋅ x1 = 2 ⋅ 2 = 4 (млн. д.е.); соответственно в животноводство – 3 ⋅ x 2 = 3 ⋅ 5 = 15 (млн. д.е.); в овощеводство – x3 = 3 (млн. д.е.). Общая прибыль в текущем году составит: 4 ⋅ 0,1 + 15 ⋅ 0,08 + 3 ⋅ 0,06 = 1,78 (млн. д.е.) Решение этой же задачи матричным методом можете самостоятельно провести вручную. Ощущения будут приблизительно такими же, как при полете из Курска в Стамбул (в пути 1 час 40 минут) или из Курска до Одессы автобусом, а затем из Одессы до Стамбула паромом (в пути 36 часов). Рисунок 1.33 Далее мы рассмотрим еще один метод решения систем линейных уравнений – метод Гаусса. Глава 1.11. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса С немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом мы встречались уже в главе 1.3, когда речь шла об основной теореме алгебры. Но в большей степени заслуга Гаусса в математике – открытие способа решения систем линейных уравнений методом, который теперь так и называют – метод Гаусса. Методом Гаусса можно решать линейные системы с любым числом уравнений и неизвестных. Метод Гаусса иначе называют методом последовательного исключения неизвестных. Суть метода заключается в том, что с помощью элементарных преобразований (см. главу 1.9) система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или 68 треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних по номеру переменных, находятся все остальные переменные. Сформулируем основную идею метода Гаусса: 1. Путем элементарных преобразований добиваются, чтобы в первом уравнении при первой неизвестной коэффициент был равен единице (если возможно). 2. Избавляются от первой неизвестной во втором, третьем и т. д. уравнениях. 3. Избавляются от второй неизвестной во втором, третьем и т. д. уравнениях. 4. Избавляются от третьей неизвестной во втором, третьем и т. д. уравнениях. 5. И т. д. 6. Получили уравнение с одной неизвестной, найдя которую, совершаем обратный ход по системе вверх и последовательно определяем значения всех остальных неизвестных. Преобразования Гаусса можно проводить не только с уравнениями системы, но и с матрицей их коэффициентов. Вернемся к задаче, которую рассматривали в главе 1.9. с помощью таблицы 1.2. В процессе рассуждений мы пришли к системе, которую решим сейчас методом Гаусса. Система имеет вид:  x1 + 4 x2 + 9 x3 + 8 x4 = 51, 2 x + 9 x + 8 x + 3 x = 45,  1 2 3 4  2 x1 + 6 x2 + 8 x3 + 6 x4 = 48, 3 x1 + 5 x2 + 7 x3 + 8 x4 = 51. Если вернуться к алгоритму решения систем методом Гаусса, то нам желательно наличие коэффициента равного единице в первом уравнении. В нашем случае коэффициент при первой неизвестной в первом уравнении равен единице. Чтобы избавиться от первой неизвестной во втором, третьем и четвертом уравнениях, умножим первое уравнение системы на (2) и прибавим ко второму, затем первое умножим на (-2) и прибавим к третьему, далее первое уравнение умножим на (-3) и прибавим к четвертому уравнению. В результате преобразований получим систему: x1 + 4 x2 + 9 x3 + 8x4 = 51, 69 x 2 − 10 x3 − 13x 4 = −57, − 2 x 2 − 10 x3 − 10 x 4 = −54, − 7 x 2 − 20 x3 − 16 x 4 = −102. На этом шаге рабочим является второе уравнение. Умножим это уравнение на 2 и прибавим к третьему, а затем умножим это же уравнение на 7 и прибавим его к четвертому. В результате получим систему: x1 + 4 x2 + 9 x3 + 8x4 = 51, x 2 − 10 x3 − 13x 4 = −57, − 30 x3 − 36 x 4 = −168, − 90 x3 − 107 x 4 = −501. На этом шаге рабочим является преобразованное третье уравнение. Умножим это уравнение на (-3) и прибавим его к четвертому. В результате чего получим: x1 + 4 x2 + 9 x3 + 8x4 = 51, x 2 − 10 x3 − 13x 4 = −57, − 30 x3 − 36 x 4 = −168, x 4 = 3. На завершающем этапе будем совершать обратный ход, поднимаясь по системе вверх, определяя значения остальных неизвестных. Подставим значение x4 = 3 в третье уравнение системы и найдем значение переменной x3 : − 30 x3 − 36 ⋅ 3 = −168, отсюда x3 = 2 . Подставляя найденные значения переменных x4 = 3 и x3 = 2 во второе уравнение системы, получим значение второй неизвестной: x 2 − 10 ⋅ 2 − 13 ⋅ 3 = −57 ; x 2 = 2. Наконец, из неизвестной x1 : первого уравнения 70 находим значение x1 + 4 ⋅ 2 + 9 ⋅ 2 + 8 ⋅ 3 = 51 , x1 = 1 . В результате решения системы получили, что x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 2 , x 4 = 3. Отсюда вытекает, что нужно вернуть на завод ящики с четвертым видом груза, т.е. 8 + 3 + 6 + 8 = 25 ящиков. Сравнивая ответы, полученные нами по этой задаче в главе 1.9, видим, что они совпадают. Линейные системы можно рассматривать и с геометрической точки зрения. В случае двух неизвестных график линейного уравнения на координатной плоскости – прямая. Поэтому решить систему линейных уравнений с двумя неизвестными – значит найти общие точки нескольких прямых. Для двух уравнений возможны три случая: 1. прямые пересекаются – единственное решение; 2. прямые параллельны – нет решений; 3. прямые совпадают – множество решений. Линейное уравнение с тремя неизвестными задает плоскость в трехмерном пространстве. Поэтому если задана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными, то встает вопрос о взаимном расположении плоскостей. Если плоскости пересекаются в одной точке, то система имеет единственное решение. Если плоскости пересекаются по общей прямой, то система имеет множество решений. Если плоскости не имеют общих точек – система не имеет решений. Наконец, все три плоскости могут совпадать, в этом случае уравнения системы отличаются друг от друга только постоянным множителем. Следует отметить, что в общем случае при исследовании системы могут встретиться только три случая: • система имеет единственное решение; • система имеет бесчисленное множество решений; • система не имеет решений (несовместна). Итак, мы рассмотрели еще один способ решения систем линейных уравнений – метод Гаусса. Если в условии не оговаривается, каким методом решать систему, то выбор остается за вами – будете ли Вы решать ее по формулам Крамера, выберете ли Вы матричный метод или выберете метод Гаусса. 71 Если матричный метод и решение систем по формулам Крамера можно реализовать в Excel очень оперативно, то метод Гаусса можно реализовать в Excel, выполняя преобразования над строками системы, сопровождая действия словесным алгоритмом, и эта процедура достаточно трудоемка. Поэтому, на наш взгляд, решение систем методом Гаусса рациональнее выполнять вручную по указанному ранее алгоритму или, написав для этого специальный макрос – программу, что выходит за рамки нашего курса. Вы, вероятно, успели заметить, что многие экономические задачи, решаются благодаря решению линейных систем – отсюда особая важность этой темы для математической экономики. В завершении этой главы и этого раздела хотим еще раз напомнить о прикладном характере математики, в частности, – линейной алгебры. Так вот одной из основных целей балансового анализа является ответ на вопрос, каким должен быть объем производства каждой из отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли. Эта чрезвычайно важная экономическая задача была решена в 1936 г. американским экономистом В.Леонтьевым. (В. Леонтьев эмигрировал в США в 1925 г., в 1963 году ему была присвоена Нобелевская премия за труды в области экономики). Решение этой задачи сводилось к решению матричного уравнения, т. е. теории матриц. Как Вы уже знаете, вам предстоит выполнение самостоятельной работы №1 и домашней контрольной работы. Поэтому после изучения этого раздела рекомендуем вам выполнение самостоятельной работы №1 и заданий 1-8 домашней контрольной работы, т. к. вам сейчас это будет сделать гораздо проще. Но не торопитесь заполнять итоговую матрицу ответов, внимательно проверьте свое решение. В следующей лекции мы рассмотрим, как шел процесс развития геометрии. Конец первой лекции Все замечания и предложения отсылайте по адресу: [email protected]. 72