Математическая статистика и математические методы и модели

Математическая статистика Математическая статистика – это наука, разрабатывающая математические методы и модели, предназначенные для сбора, систематизации, обработки статистических данных с целью их удобного представления, интерпретации и получения научных и практических выводов. Назначение математической статистики – помочь исследователю в анализе и интерпретации статистических данных, обладающих ощутимой случайной изменчивостью. Основные понятия МС Статистические данные в традиционном понимании – сведения о распределении каких-либо социально-экономических или демографических объектов по тем или иным показателям или признакам. Статистические данные –  выборки из генеральной совокупности;  числовая информация, извлекаемая из результатов выборочных обследований;  любая система данных, однозначно описываемых эмпирическим распределением. Частные задачи МС. Установление закона распределения или числовых характеристик исследуемой случайной величины. 2. Построение прогнозов по результатам наблюдений. 3. Проверка гипотез. 4. Сравнение различных показателей по результатам наблюдений. Принципиальная схема решения задач МС:  выбор статистической модели;  сбор статистических данных;  проверка адекватности выбранной модели имеющимся данным;  корректировка или применение построенной модели. Генеральная совокупность – совокупность объектов, обладающих признаками (качественными или количественными), распределение которых в данной совокупности изучается статистическими методами на основании случайной выборки из нее. (Чибисов) Генеральная совокупность – совокупность всех наблюдений, которые можно произвести при заданных условиях. (Айвазян) Выборочная совокупность (или выборка) –  часть генеральной совокупности или  совокупность объектов, извлеченная из генеральной совокупности для анализа. Виды выборок:  случайная;  механическая (отбор с некоторым шагом);  стратифицированная (с отбором элементов из типических групп ГС);  серийная (гнездовая, групповая) – отбор серий, подвергаемых контролю  повторная  бесповторная Репрезентативная выборка представляет основные особенности генеральной совокупности. 1. Объем выборки – фиксированный n или случайный . Способы хранения выборки 1. X 1 , X 2 ,..., X n 2. Вариационный ряд X (1) , X ( 2 ) ,..., X ( n ) Вариационный ряд – выборка, элементы которой упорядочены в порядке неубывания. 3.Статистический ряд m n i 1 i X X (1) X ( 2) … X (m) ni n1 n2 … nm  n. 4.Интервальный ряд (группированная выборка) интервалы … [ X (1) ; X (1)  ) … [ X ( n )  ; X ( n ) ] … … nk n1 ni Количество интервалов k находим по формуле Стэрджеса: k  log2 n   1. Длина интервала равна  X ( n )  X (1) X max  X min .  k k Первичный анализ выборки (описательная статистика) Первичный анализ выборки состоит в вычислении числовых характеристик выборки. 1.Выборочным аналогом математического ожидания является выборочное среднее X  2. Выборочный начальный момент 1 n  Xi n i 1 k -го порядка 1 n X ik  n i 1 3. Выборочным аналогом дисперсии является выборочная дисперсия mk*  X k  2 SX  1 n n  X i  X i 1  2 Удобная формула для вычисления выборочной дисперсии n S 2 X  X 2    X 2 , где X2  Х i 1 n 2 i . 4. Выборочный центральный момент  k*  k -го порядка 1 n  ( X i  X )k n i 1 5. Выборочное среднее квадратичное отклонение (стандартная ошибка выборки) S  S2 . X X 6. Коэффициент вариации выборки SX  100%. X VX  7. Выборочная квантиль порядка p   * xp     8. Выборочная медиана если np  дробное, X   np 1 ,   X  np   X  np1 , 2 x*med  если np  целое. значение выборки, являющееся серединой вариационного ряда. (Выборочная квантиль порядка 0,5). 9. Мода выборки x*mod – наиболее часто встречающееся значение выборки. 10. Ранг элемента выборки – номер, под которым этот элемент располагается в вариационном ряду. 11. Выборочный коэффициент асимметрии * k as   3*  2 SX 3 12. Выборочный коэффициент эксцесса * k ex    4* S X2  4 3 13. Размах выборки – разность между максимальным и минимальным элементами выборки: Raz  Х ( n)  Х (1) . ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК по статистическому ряду 1. 2. Выборочное среднее: X  Выборочная дисперсия: S 1 m  X ( i )  ni n i 1 2 X   , где  X  X 2 m 2 X 2  Х i 1 2 (i ) n  ni ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК по интервальному ряду k 1. Выборочное среднее X  Х i 1 * (i )  ni , n X i* - середина i-го интервала группировки, ni - количество элементов выборки, попавших в этот интервал. k   2 2 2. Выборочная дисперсия S X  X  X 2 , где X  2 Х i 1 * 2 (i )  ni n Графическое описание выборки Гистограмма относительных частот – столбчатая диаграмма. Гистограмма 0,120 0,100 0,080 0,060 0,040 0,020 0,000 119,725 121,975 124,225 126,475 128,725 130,975 133,225 135,475 137,725 139,975 Гистограмма 0,1400 0,1200 0,1000 0,0800 0,0600 0,0400 0,0200 10 4, 50 00 10 3, 50 00 10 2, 50 00 10 1, 50 00 10 0, 50 00 99 ,5 00 98 ,5 00 97 ,5 00 96 ,5 00 95 ,5 00 0,0000 Гистограмма 0,0350 0,0300 0,0250 0,0200 0,0150 0,0100 0,0050 05 11 9, 6 15 10 7, 50 94 ,4 2 50 81 ,8 3 50 69 ,2 4 50 56 ,6 5 50 44 ,0 6 50 31 ,4 7 50 ,8 8 18 6, 29 5 0,0000 Гистограмму обычно строят на промежутке, границами которого являются минимальное и максимальное значения вариационного ряда. Количество столбцов гистограммы по формуле Стэрджеса: k   log 2 n   1. Ширина столбца гистограммы равна  Raz . k Высота i-го столбца гистограммы равна hi  ni n