Малые колебания ограниченного стержня при наличии начальных отклонения и скорости, когда на обоих концах заданы усилия

Лекция 21. 5.4. Малые колебания ограниченного стержня при наличии начальных отклонения и скорости, когда на обоих концах заданы усилия Математическая формулировка такой задачи представляет вторую начально-краевую задачу для волнового уравнения с неоднородными начально-краевыми условиями: (5.4.1) (5.4.2) (5.4.3) (5.4.4) (5.4.5) Для решения такой задачи с граничными условиями второго рода на обоих концах стержня используем метод, аналогичный методу для решения подобной задачи для уравнения параболического типа, приведенный в разделе 4.4.2. Для этого продифференцируем по переменной уравнение (5.4.1) и начальные условия (5.4.2), (5.4.3), сделав обозначение (5.4.6) и полагая независимость смешанных производных от порядка дифференцирования, из (5.4.1)–(5.4.5) получим задачу (5.4.7) (5.4.8) (5.4.9) (5.4.10) (5.4.11) Решение первой начально-краевой задачи (5.4.7)–(5.4.11) аналогично решению задачи (5.3.1)–(5.3.5) без возмущающей силы Для решения задачи (5.4.7)–(5.4.11) применим редукцию (5.4.12) подставляя которую в задачу (5.4.7)–(5.4.11), получим систему из которой выделяется задача для (подчеркнута) (5.4.13) (5.4.14) (5.4.15) (5.4.16) (5.4.17) и задача для (остальные члены) (5.4.18) (5.4.19) (5.4.20) Решением задачи (5.4.18)–(5.4.20) будет функция (см. (5.3.71)) (5.4.21) С ее помощью доопределим задачу (5.4.13)–(5.4.17) (5.4.22) (5.4.23) (5.4.24) (5.4.25) (5.4.26) где Задача (5.4.22)–(5.4.26) упрощается редукцией (5.4.27) Подстановка (5.4.27) в (5.4.22)–(5.4.26), приводит к системе откуда формируется задача для функции (подчеркнута) (5.4.28) (5.4.29) (5.4.30) (5.4.31) (5.4.32) и задача для функции (остальные члены) (5.4.33) (5.4.34) (5.4.35) (5.4.36) (5.4.37) Задача (5.4.28)–(5.4.32) для совпадает с задачей (5.3.6)–(5.3.10) и следовательно ее решением будет функция, аналогичная (5.3.27) (5.4.38) Задача (5.4.33)–(5.4.37) для функции совпадает с задачей (5.3.28)–(5.3.32) и следовательно ее решением будет функция, аналогичная (5.3.43) (5.4.39) Таким образом, в соответствии с редукциями (5.4.12), (5.4.27), решением задачи (5.4.7)–(5.4.11) будет сумма функций (5.4.21), (5.4.38) и (5.4.39) (5.4.40) где Решение исходной задачи (5.4.1)–(5.4.5) получим подстановкой (5.4.40) в (5.4.6) с последующим интегрированием по переменной В результате получим Для вычисления в (5.4.41) произвольной функции определяется среднее значение на отрезке функции двумя способами: путем интегрирования функции (5.4.41) по переменной в пределах от до и дальнейшего деления, полученного выражения на с одной стороны, и двойного интегрирования исходного дифференциального уравнения (5.4.1) по переменным и – с другой. Интеграл от (5.4.41) с последующим делением на равен : (5.4.42) Интеграл от (5.4.1) по переменной в пределах от до равен отсюда (5.4.43) Интегрируя (5.4.43) по времени и меняя в левой части порядок интегрирования, получим Интегрируем последнее равенство еще один раз по времени от до находим (5.4.44) Отсюда (5.4.45) Приравнивая (5.4.42) и (5.4.45), находим (5.4.46) Осталось (5.4.46) подставить в (5.4.41) (5.4.47) где 5.5. Задача о малых колебаниях ограниченного стержня с начальными отклонением и скоростью, когда концы упруго закреплены и движутся под действием заданных сил При упругом закреплении концов стержня усилие на конце стержня по закону Гука пропорционально перемещению (5.5.1) где – модуль упругости, – коэффициент жесткости заделки. Если при упругой заделке концы стержня перемещаются под действием внешней силы то усилие, возникающее в заделке равно (5.5.2) Если коэффициент жесткости разделить на модуль упругости то коэффициент называют относительным коэффициентом заделки. Для общности примем коэффициент заделки на левом конце равны на правом В этом случае математическая постановка задачи, сформулированной в заголовке параграфа, имеет вид: (5.5.3) (5.5.4) (5.5.5) (5.5.6) (5.5.7) Таким образом, имеем третью начально-краевую задачу для волнового уравнения в конечном стержне длиной с неоднородными начально-краевыми условиями. Метод решения подобных задач аналогичен методу, изложенному в параграфе 4.5 для уравнений параболического типа, то есть редукцией (5.5.8) задача (4.5.3)–(4.5.7) сводится к системе из которой выделяется третья краевая задача для стационарного уравнения относительно функции (подчеркнута) (5.5.9) (5.5.10) (5.5.11) и задача для функции (остальные члены) (5.5.12) (5.5.13) (5.5.14) (5.5.15) (5.5.16) Поскольку функция входит в правые части задачи (5.5.12)–(5.5.16), вначале получим решение третьей краевой задачи (5.5.9)–(5.5.11) для стационарного уравнения второго порядка (5.5.9) (5.5.17) Подставляя (5.5.17) в (5.5.10), (5.5.11), получим (5.5.18) С помощью полученной функции доопределим задачу (5.5.12)–(5.5.16), обозначив (5.5.19) (5.5.20) (5.5.21) (5.5.22) (5.5.23) где Задача (5.5.19)–(5.5.23) решается также как аналогичная задача (5.4.22)–(5.4.26) с граничным условием первого рода, то есть с помощью редукции она сводится к сумме следующих двух задач для функций и (5.5.24) (5.5.25) (5.5.26) (5.5.27) (5.5.28) и (5.5.29) (5.5.30) (5.5.31) (5.5.32) (5.5.33) Задача (5.5.24)–(5.5.28) решается методом разделения переменных (5.5.34) Подставляем (5.5.34) в (5.5.24) отсюда имеем два ОДУ (5.5.35) (5.5.36) Подставляя (5.5.34) в граничные условия (5.5.27), (5.5.28), получим при (5.5.37) (5.5.38) Обыкновенное однородное дифференциальное уравнение второго порядка (5.5.36) и однородные граничные условия третьего рода (5.5.37), (5.5.38) определяют задачу на собственные значения и собственные функции так как задача (5.5.36)–(5.5.38) всегда имеет нулевое решение, но существуют такие которым соответствуют ненулевые решения а именно такие решения и необходимо найти, так как в противном случае (при ) решение (5.5.34) для будет нулевым, что не приемлемо. Общим решением уравнения (5.5.36) будет функция (при ) (5.5.39) в котором постоянные интегрирования находятся из удовлетворения функции (5.5.39) граничным условиям (5.5.37), (5.5.38): Отсюда из первого равенства имеем (5.5.40) которое подставив во второе равенство, находим Поскольку (в противном случае из (5.5.40) и из (5.5.34) что не приемлемо, так как собственные функции не могут быть равными нулю), из последнего равенства получаем трансцендентное уравнение относительно при делении на имеющее бесчисленное множество корней. Обозначив (5.5.41) где – корни уравнения (5.5.42) которое решается численно, то есть из (5.5.42) и (5.5.41) находим собственные значения Собственные функции определяются из равенств (5.5.39) и (5.5.40) (5.5.43) или делая обозначения находим из (5.5.43) (5.5.44) Собственные функции ортогональны на отрезке с положительной нормой (см. выкладки (4.5.32)–(4.5.41), то есть (5.5.45) Общим решением ОДУ (5.5.35), в котором уже больше нуля, будет функция (5.5.46) Подставляя (5.5.44) и (5.5.46) в разделение переменных (5.5.34), находим (5.5.47) Общее решение задачи (5.5.24)–(5.5.28) равно сумме решений (5.5.47) по количеству собственных функций (5.5.48) Коэффициенты находятся из удовлетворения (5.5.48) начальным условиям (5.5.25), (5.5.26) (5.5.49) (5.5.50) Умножим (5.5.49) и (5.5.50) на – фиксировано, и проинтегрируем полученные соотношения в пределах от до учитывая ортогональность и норму функций (5.5.45), находим (5.5.51) (5.5.52) Подставляя коэффициенты (4.5.51), (4.5.52) в (5.5.48), получим решение задачи (5.5.24)–(5.5.28) (5.5.53) Решение задачи (5.5.29)–(5.5.33) аналогично решению задачи (5.3.28)–(5.3.32) с тем отличием, что вместо однородных граничных условий первого рода (5.3.31), (5.3.32) необходимо использовать однородные граничные условия III-го рода (5.5.32), (5.5.33), то есть вместо собственных функций в задаче (5.3.28)–(5.3.32) необходимо использовать собственные функции (5.5.44) В остальном алгоритм решения задачи (5.5.29)–(5.5.33) повторяет последовательность решения задачи (5.3.28)–(5.3.32). В результате решением задачи (5.5.29)–(5.5.33) будет функция (5.3.43), в которой собственные функции заменены на собственные функции (5.5.54) Для окончательного решения исходной задачи (5.5.3)–(5.5.7) необходимо, в соответствии с редукцией (5.5.8), и редукцией за равенством (5.5.23) сложить функции (5.5.18), (5.5.53), (5.5.54): где определяется выражением (5.5.45).