Логарифмическая производная

Лекция 5. Логарифмическая производная Пусть дана некоторая дифференцируемая функция y=f(x). Прологарифмируем обе части последнего равенства: ln y  ln f ( x) . Теперь продифференцируем это равенство по x, помня, что y=f(x): ln y  x  ln f ( x)  x  1  y   ln f ( x)  x , откуда y   y   y  ln f ( x)   f ( x)  ln f ( x)  Данная производная называется логарифмической. Логарифмическая производная применяется, в частности, при дифференцируемости функций, у которых неизвестная присутствует и в основании, и в показателе степени. Логарифмическое дифференцирование также удобно использовать, когда функция задается в виде произведения и частного нескольких степенных выражений. Пример 1. Найти производную функции y   x  12 x  13 x  1 . Решение. ln y  ln  x  1  ln 2 x  1  ln 3 x  1 ln y   1 y   1  1  2  1  3 y x  1 2x  1 3x  1 1 1 2 3   1   1 y  y    2  3    x  12 x  13 x  1    3x  1   x  1 2x  1  x  1 2 x  1 3x  1  Вычислить производную заданной функции, непосредственно как произведения, оказалось бы значительно сложнее. Производная показательно-степенной функции Пусть u  u( x) и v  v( x) – дифференцируемые функции. Тогда функция y  u ( x) называется показательно-степенной. Ее производная может быть найдена с помощью логарифмического дифференцирования: v( x) y  u ( x) v ( x )  ln y  v ln u 1 v y   v  ln u  u  y u  v   y   u v   u v  v ln u  u   u   Пример 1. Найти производную функции y = (sin x)x. y  sin x  Решение. x ln y  x ln sin x  1 1 y   ln sin x  x cos x y sin x . y   y ln sin x  xctgx   sin x  ln sin x  xctgx  x Этот прием целесообразно применять при нахождении производных показательно-степенных функций, а также функций, содержащих достаточно большое число сомножителей. Производная функции, заданной параметрически Напомним, что функция задается определяется через параметр t по закону: параметрически, если она  y  y (t ) .   x  x(t ) Производная формулой: функции, заданной y x  параметрически, определяется yt y (t )  . xt x(t ) Пример 1. Найти производную функции, заданной параметрически:  y  a(1  cos t ) .  x  a ( t  sin t )  Решение. По формуле имеем: t t 2 sin cos y  a1  cos t  sin t sin t 2 2  ctg t . y x  t     t t xt at  sin t  1  cos t 2 2 sin 2 2 sin 2 2 2  Производная неявной функции Функция называется неявной, неявно-заданной, если она определяется выражением F(x,y)=0. В каждом конкретном случае, продифференцировав такое выражение по x, считая y функцией x, получим линейное уравнение для производной y   y x , из которого ее и определим. Пример 1. Найти производную y x функции, заданной неявно x 3  y 3  3xy  0 . Решение. Составляя производную левой части и приравнивая ее нулю, получим: 3x 2  3 y 2  y' 3 y  xy'   0 3x 2  3 y  3xy' 3 y 2 y'. x2  y отсюда  . x  y2 Геометрические приложения производной Геометрические приложения производной основаны на ее геометрическом смысле. На основании этого получим уравнение касательной T к кривой y=f(x) в точке M 0 ( x0 , y 0 ) . Уравнение любой прямой L, проходящей через данную точку M 0 ( x0 , y0 ) с заданным коэффициентом k выглядит следующим образом: y  y0  k x  x0 . Для касательной к графику функции y=f(x) в точке M 0 ( x0 , y 0 ) угловой коэффициент равен: kT  y ( x0 )  f ( x0 ) . Тогда y  f ( x0 )  f ( x0 )x  x0  и уравнение искомой касательной T примет вид: y  f ( x0 )  f ( x0 )x  x0 . Как известно, если прямые L1 и L2 перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением k1  k 2  1. Тогда угловой коэффициент нормали N в точке M 0 ( x0 , y 0 ) к графику функции y=f(x) будет равен k N   1 1 , а уравнение нормали N в  kT f ( x0 ) точке M 0 ( x0 , y 0 ) к графику функции y=f(x) примет вид: y  f ( x0 )  1  x  x0  . f ( x0 ) Пример 1. Найти уравнения касательной и нормали к параболе y  x 2 в точке M 0 (3,9) . Решение. Уравнение касательной: y  f ( x0 )  f ( x0 )x  x0 , x0  3 , y0  f ( x0 )  9 , отсюда уравнение искомой y  9  6( x  3)  6x  9 , а нормали: y  9  касательной имеет вид: 1 1 1 ( x  3)   x  9 . 6 6 2 основная литература: 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебник. В 3-х томах. Т.1 -13-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань», 2019. 608 с. Т.2 13-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань», 2019. 800 с. Т.3 – 10-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань». стер 2019. 656 с. 2. Зубков В.Г., Ляховский В.А., Мартыненко А.И., Миносцев В.Б., Пушкарь Е.А. Курс математики для технических высших учебных заведений. М.: МГИУ, 2012. 400 экз. https://e.lanbook.com/ ГМ курс 3. Миносцев В.Б., Мартыненко А.И., Ляховский В.А., Зубков В.Г. Курс высшей математики: Учебное пособие. Часть 1.М.: МГИУ, 2007; Часть 2.М.: МГИУ, 2007. Часть 3. М.: МГИУ, 2011. 400 экз. https://e.lanbook.com/ дополнительная литература: 1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2-х томах. М.: Интеграл - Пресс, 2009. 180 экз.