Справочник от Автор24
Поделись лекцией за скидку на Автор24

Понятие производной, ее геометрический и экономический смысл. Правила дифференцирования. Дифференцирование основных элементарных функций: линейной, степенной, показательной и логарифмической.

  • 👀 500 просмотров
  • 📌 467 загрузок
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Конспект лекции по дисциплине «Понятие производной, ее геометрический и экономический смысл. Правила дифференцирования. Дифференцирование основных элементарных функций: линейной, степенной, показательной и логарифмической.» pdf
Лекция 10. Понятие производной, ее геометрический и экономический смысл. Правила дифференцирования. Дифференцирование основных элементарных функций: линейной, степенной, показательной и логарифмической Пусть функция определена в некоторой окрестности точки Определение. Производной функции отношения приращения функции ∆ в точке ∆ → Производную функции ("эф штрих от икс"), ∆ = ∆ → ; при . Итак, − − = lim , ∈ называется предел к приращению аргумента ∆ ∆ → 0, если этот предел существует, и обозначается = lim . . , в точке x обозначают ("игрек штрих по икс"), ("де эф от икс по де икс"), ("де игрек по де икс"), причем все эти обозначения равноправны. Экономисты используют также символ = (т.е. ) и термин – маржинальное значение функции f в точке x. Из определения производной вытекает следующая схема ее нахождения, которую изложим на конкретном примере. Пример 1. Найти производную функции = = −2∙ + 3 в произвольной (но фиксированной) точке x. 1) Даем аргументу x приращение ∆ ≠ 0 и находим "приращенное" значение функции: = +∆ = +2∙ +∆ ∙∆ + ∆ = +∆ −2∙ 2) Находим приращение функции: ∆ = ∆ = +2∙ ∙∆ + ∆ =2∙ −2∙ −2∙ − 2 ∙ ∆ + 3. = −2∙∆ +3− ∙∆ + ∆ +∆ −2∙∆ . +∆ −2∙ +3= − +3= = 3) Находим отношение приращения функции к приращению аргумента: ∆ ∆ ∆ 2∙ ∙∆ ∆ ∆ ∆ 2∙∆ 2∙ ∆ 2. 4) Находим предел этого отношения при ∆ → 0 , т.е. искомую производную: ∆ ∆ lim lim 2 ∙ ∆ ∆ → ∆ ∆ → ∆ → ∆ Определение. Операция нахождения lim 2 2∙ 2 2∙ производной 1 . называется дифференцированием функции. Определение. Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала ; , называется дифференцируемой на этом интервале; при этом производную можно рассматривать как функцию на ; . Необходимое условие существования производной вытекает из следующего утверждения. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Геометрический дифференцируемая в точке смысл производной. Пусть – функция, график которой изображен на рис. 1. 2 AC – касательная к графику функции ординатой в точке A с абсциссой и . Являясь, по сути, скоростью изменения функции в точке (точнее, в бесконечно малом интервале вблизи точки ), производная функции численно равна тангенсу угла наклона касательной, в точке проведенной к графику этой функции в точке # ; $. Можно показать, что этот вывод не зависит от расположения графика функции и касательной на координатной плоскости. Правила Определение дифференцирования. производной редко используется для практического вычисления производных функций. Если функция, производную которой нужно найти, представляет собой комбинацию элементарных функций, то для вычисления производных применяются таблицы производных элементарных функций и правила дифференцирования, важнейшие из которых приведены ниже. 1. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) ±' производных этих функций: #% (∙% % $ =% ±' . 2. Постоянный множитель выносится за знак производной: #( ∙ % $ = ∙' $ = . 3. Правило дифференцирования произведения функций: #% ∙' +% ∙' . 4. Правило дифференцирования частного функций: ) % ' * = % ∙' −% +' , ∙' . 5. Правило дифференцирования сложной функции - #% #% $= = $.: % ∙% ∙% . 6. Правило дифференцирования обратной функции # $: 3 1 . 7. Правило дифференцирования неявной функции 0 = 1 =− 1 . 1 , : Дифференцирование основных элементарных функций: линейной, степенной, показательной и логарифмической. 1. ( = 0 (производная константы равна нулю). 2. 3. + 2 ∙ = =3∙ (производная линейной функции равна константе). >0 245 (дифференцирование степенной функции уменьшает ее степень на единицу). 4. 5. log = = ∙ ln 5 0< = ∙ log = : ≠ 1 . В частности, : 0< =: . ≠ 1, > 0 . В частности, ln 5 = . 4
«Понятие производной, ее геометрический и экономический смысл. Правила дифференцирования. Дифференцирование основных элементарных функций: линейной, степенной, показательной и логарифмической.» 👇
Готовые курсовые работы и рефераты
Купить от 250 ₽
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты

Тебе могут подойти лекции

Автор(ы) ЧОАНО ВО «ОмРИ»
Автор(ы) Трегубова С.Н.
Смотреть все 270 лекций
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot