Кратные интегралы.

Кратные интегралы. Двойные интегралы. Условия существования двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан. Двойной интеграл в полярных координатах. Тройной интеграл. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрическая система координат. Сферическая система координат. Геометрические и физические приложения кратных интегралов. Кратные интегралы. Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов. Двойные интегралы. Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой f(x, y) = 0. y 0 x Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью . Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область . С геометрической точки зрения  - площадь фигуры, ограниченной контуром. Разобьем область  на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние хi, а по оси у – на уi. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера. Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны Si = xi  yi . В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(хi, yi) и составим интегральную сумму где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области . Если бесконечно увеличивать количество частичных областей i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю. Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области  интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области . С учетом того, что Si = xi  yi получаем: В приведенной выше записи имеются два знака , т.к. суммирование производится по двум переменным х и у. Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу: Условия существования двойного интеграла. Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла. Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , то двойной интеграл существуе. Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области  и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно-гладких линий, то двойной интеграл существует. Свойства двойного интеграла. 1) 2) 3) Если  = 1 + 2, то 4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования. 5) Если f(x, y)  0 в области , то . 6) Если f1(x, y)  f2(x, y), то . 7) . Вычисление двойного интеграла. Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), где  и  - непрерывные функции и   , тогда y y = (x)  y = (x) a b x Пример. Вычислить интеграл , если область  ограничена линиями: y = 0, y = x2, x = 2. y 4  0 2 x = = Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) ((y)  (y)), то Пример. Вычислить интеграл , если область  ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2. y y = x 2  1 0 x Пример. Вычислить интеграл , если область интегрирования  ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2. = = Пример. Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х = 2. 1. 2. 3. Замена переменных в двойном интеграле. Расмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от 1(x) до 2(х). Положим х = f(u, v); y = (u, v) Тогда dx = ; dy = ; т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0. , т.е. пожставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получаем: Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций f(u, v) и (u, v). (Якоби Карл Густав Якоб – (1804-1851) – немецкий математик) Тогда Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид ( при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение: Двойной интеграл в полярных координатах. Воспользуемся формулой замены переменных: При этом известно, что В этом случае Якобиан имеет вид: Тогда Здесь  - новая область значений, Тройной интеграл. При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет. Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в трехмерном пространстве. Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью (x, y, z) = 0. Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами. Пример. Вычислить интеграл Замена переменных в тройном интеграле. Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла. Можно записать: Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают с целью перейти от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической или сферической системе. Цилиндрическая система координат. z P z  x  y Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам: Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан: Итого: Сферическая система координат. z P   0  x y Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам: Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан: Окончательно получаем: Геометрические и физические приложения кратных интегралов. 1) Вычисление площадей в декартовых координатах. y y = (x) S y = f(x) a b x Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле: Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0. Построим графики заданных функций: Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна: S = 2) Вычисление площадей в полярных координатах. 3) Вычисление объемов тел. Пусть тело ограничено снизу плосткостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y), а с боков – цилиндрической поверхностью. Такое тело называется цилиндроид. z z = f(x, y) x1 y1 x2 x y2 y V = Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1; x + y + z =3 и плоскостью ХОY. Пределы интегрирования: по оси ОХ: по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1; 4) Вычисление площади кривой поверхности. Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле: Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = (x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле: 5)Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур. Пусть площадь плоской фигуры (область ) ограничена линией, уравнение которой f(x,y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся по формулам: - относительно оси Ох: - относительно оси Оу: - относительно начала координат: - этот момент инерции называют еще полярным моментом инерции. 6) Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур. Координаты центра тяжести находятся по формулам: здесь w – поверхностная плотность (dm = wdydx –масса элемента площади). 7) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла. Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле: при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные, у1 и у2 – функции от х или постоянные, х1 и х2 – постоянные. 8) Координаты центра тяжести тела. 9) Моменты инерции тела относительно осей координат. 10) Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей. 11) Момент инерции тела относительно начала координат. В приведенных выше формулах п.п. 8 – 11 r – область вычисления интеграла по объему, w – плотность тела в точке (х, у, z), dv – элемент объема • в декартовых координатах: dv = dxdydz; • в циллиндрических координатах: dv = dzdd; • в сферических координатах: dv = 2sinddd. 12) Вычисление массы неоднородного тела. Теперь плотность w – величина переменная.