Интегралы

Интегралы Интегральное исчисление. Первообразная функция. Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число. 𝐹1 (𝑥) = 𝐹2 (𝑥) + 𝐶. Неопределенный интеграл. Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: 𝐹(𝑥) + 𝐶. Записывают:  f ( x)dx  F ( x)  C; Здесь 𝑓(𝑥) называется подынтегральной функцией, 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 – подынтегральным выражением, 𝑥 – переменной интегрирования, а 𝑑𝑥 является дифференциалом от переменной интегрирования. Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке. Свойства:  f ( x)dx  (F ( x)  C)  f ( x); 2. d  f ( x)dx   f ( x)dx; 1.  dF ( x)  F ( x)  C; 4.  (u  v  w)dx   udx   vdx   wdx; где u, v, w – некоторые функции от х. 5.  C  f ( x)dx  C   f ( x)dx; 3. Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Далее будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций. Интеграл и его значение Интеграл и его значение 9  tgxdx = −ln |𝑐𝑜𝑠𝑥| + 𝐶 dx  x = ln x  C ax x = C a dx  ln a 10  ctgxdx 11 4 e 12 5  cos x dx = sin 𝑥 + 𝐶  x    C 2 4 1 x  sin x dx = ln tg 2  C dx 1 x  a 2  x 2 = a arctg a  C 1 x 2 3  x  1 dx = x  C ,   1  1 dx = 𝑒 𝑥 + 𝐶 13 1 = ln |𝑠𝑖𝑛𝑥| + 𝐶  cos x dx = ln tg  6 7 8  sin x dx = − cos 𝑥 + 𝐶 1  cos 2 x 1  sin 2 x 14 dx = 𝑡𝑔𝑥 + 𝐶 dx = −𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶 x 15  16  dx 1 xa = ln C 2 2a x  a a dx x = arcsin + 𝐶 a a2  x2 2 dx x a 2 2 = ln x  x2  a2  C Методы интегрирования. Рассмотрим три основных метода интегрирования. 1 метод. Непосредственное интегрирование. Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования. Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных. Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже. 𝑑𝑥 Пример. Вычислить интеграл ∫ . √2+9𝑥2 Смотрим на таблицу интегралов и ищем похожий, 16 табличный интеграл вполне подходит, различие лишь в расположении переменной интегрирования и в числе перед ним. Итак, переменную интегрирования и число 2 меняем местами: ∫ 𝑑𝑥 √2 + 9𝑥 2 =∫ 𝑑𝑥 √9𝑥 2 + 2 = далее избавляемся от числа 9 умноженного на переменную 𝑥 вынося за знак интеграла 𝑑𝑥 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 =∫ =∫ = ∫ = 3 2 2 2 2 2 √9 (𝑥 + ) 3 ⋅ √(𝑥 + ) √𝑥2 + (√2) 9 9 3 в итоге, получили табличный интеграл с значением 𝑎 = √2 3 , получим: 2 1 1 √2 = ln |𝑥 + √𝑥 2 + ( ) | + 𝐶 = ln |𝑥 + √𝑥 2 + 2/9| + 𝐶. 3 3 3 2 метод. Способ подстановки (замены переменных). Теорема: Если требуется найти интеграл  f ( x)dx , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены 𝑥 = (𝑡) и 𝑑𝑥 =  ′(𝑡)𝑑𝑡 получается:  f ( x)dx   f ( (t )) d ( (t ))   f ( (t )) (t )dt . Функцию 𝜑(𝑡)выбирают так, чтобы интеграл в правой части формулы был проще исходного. Пример. Требуется найти ∫ 𝑥 √𝑥 − 1𝑑𝑥. Естественно возьмем заменой 𝑡 = √𝑥 − 1, тогда 𝑥 = 𝑡 2 + 1, находим дифференциал замены 𝑑𝑥 = 𝑑(𝑡 2 + 1) и 𝑑𝑥 = 2𝑡 𝑑𝑡 . Таким образом имеем: ∫ 𝑥 √𝑥 − 1𝑑𝑥 = ∫(𝑡 2 + 1) ∙ 𝑡 ∙ 2𝑡𝑑𝑡 = 2 ∫(𝑡 4 + 𝑡 2 )𝑑𝑡 = по 4 свойству раскроем интеграл и по таблице интегралов, по 1 табличному интегралу, получим 𝑡5 𝑡3 = 2 ∫ 𝑡 4 𝑑𝑡 + 2 ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 = 2 ∙ + 2 ∙ + 𝐶 = 5 3 возвращаемся к исходной переменной: 2 2 2 2 5 3 = (√𝑥 − 1) + (√𝑥 − 1) + 𝐶 = (𝑥 − 1)5/2 + (𝑥 − 1)3/2 + 𝐶. 5 3 5 3 Метод подведения под дифференциал Метод основан на теореме об инвариантности формул интегрирования и, можно сказать, что является частным случаем способа подстановки. Проследим процесс применения теоремы об инвариантности формул интегрирования, который позволяет находить первообразные для многих элементарных функций. Рассмотрим один из табличных интегралов ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶, где 𝑥 ∈ (−∞, ∞) Поставим вместо 𝑥 любую функцию, именующую непрерывную производную, например 𝜙(𝑡) = 𝑒 𝑡 . Тогда, по теореме, должно быть справедливо равенство ∫ sin 𝑒 𝑡 𝑑(𝑒 𝑡 ) = − cos 𝑒 𝑡 + 𝐶, где 𝑡 ∈ (−∞, ∞) или ∫ 𝑒 𝑡 sin 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = − cos 𝑒 𝑡 + 𝐶, где 𝑡 ∈ (−∞, ∞). Таким образом, если поставлена задача «Найти ∫ 𝑒 𝑡 sin 𝑒 𝑡 𝑑𝑡», то нужно уметь понять структуру подынтегрального выражения, увидеть в нем функцию 𝑒 𝑡 и её дифференциал, т.е. заметить, что 𝑒 𝑡 ∙ sin 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = sin 𝑒 𝑡 (𝑒 𝑡 𝑑𝑡) = sin 𝑒 𝑡 ∙ 𝑑(𝑒 𝑡 ). Умение видеть среди сомножителей подынтегрального выражения некоторую функцию 𝜙(𝑡) и её дифференциал, позволяющее свести данный интеграл ∫ 𝑓[𝜙(𝑡)]𝑑𝜙(𝑡) к табличному ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, составляет необходимую, важнейшую часть искусства интегрирования. Приведем примеры.: ln3 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡. Так как = 𝑑(ln 𝑥), то имеем 𝑥 ln3 𝑥 𝑑𝑡 1 ∫ 𝑑𝑡 = ∫ ln3 𝑥 ⋅ = ∫ ln3 𝑥 𝑑(ln 𝑥) = ln4 𝑥 + 𝐶. 𝑥 𝑥 4 𝑡4 Тут как бы получилась замена 𝑡 = ln 𝑥 и интеграл стал равным интегралу ∫ 𝑡 3 𝑑𝑡 = + 𝐶. 4 Действительно, проверим ′ 1 1 1 ( ln4 𝑥 + 𝐶) = ⋅ 4 ln3 𝑥 ⋅ (ln 𝑥)′ = ln3 𝑥 ⋅ 4 4 𝑥 таким образом, интеграл найден верно. Аналогично: 1 ∫ sin3 𝑥 ⋅ cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin3 𝑥 𝑑(sin 𝑥) = sin4 𝑥 + 𝐶, 4 2𝑥 + 3 𝑑(𝑥 2 + 3𝑥 − 7) ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 2 = ln|𝑥 2 + 3𝑥 − 7| + 𝐶. 𝑥 + 3𝑥 − 7 𝑥 + 3𝑥 − 7 Не забываем про простые случаи, когда под дифференциалом можно прибавить или отнять любое число, так как производная числа равна нулю 𝑑(𝑥 + 𝐶) = (𝑥 + 𝐶)′ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥: 1 𝑑(𝑥 − 23) ∫ 𝑑𝑥 = ∫ = ln|𝑥 − 23| + 𝐶, 𝑥 − 23 𝑥 − 23 или можно умножить на любое число, при этом спереди интеграла поделить на то же число, так как производная 𝑑(𝐶𝑥) = (𝐶𝑥)′ 𝑑𝑥 = 𝐶𝑑𝑥: 1 1 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos 2𝑥 𝑑(2𝑥) = sin 2𝑥 + 𝐶, 2 2 1 −𝑥 −𝑥 ∫ 𝑒 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑑(−𝑥) = −𝑒 −𝑥 + 𝐶. −1 Найти интеграл ∫