Финансовые вычисления

Финансовые вычисления Введение. Общие понятия и основные категории в финансовых расчетах 2 1. Наращение 3 1.1. Простые проценты 3 1.1.1.Определение срока финансовой операции для n меньше года 6 1.1.2. Простые переменные ставки 8 1.2. Сложные проценты 9 1.2.1. Сравнение результатов наращения по простым и сложным процентам 9 1.2.2. Начисление процентов m раз в год 11 1.2.3. Определение размера процентной ставки и срока операции 12 2. Дисконтирование 13 2.1. Математическое дисконтирование 15 2.2. Банковский учет 16 3. Эквивалентность процентных ставок 18 3.1. Номинальная и эффективная ставки 18 4. Амортизация 21 5. Инфляция 22 6. Финансовые ренты 28 6.1. Аннуитет постнумерандо 30 6.1.1. Наращенная сумма постнумерандо 30 6.1.2. Текущая стоимость постнумерандо 32 6.1.3. Параметры ренты постнумерандо 33 6.2. Аннуитет пренумерандо 36 6.2.1. Наращенная сумма пренумерандо 36 6.2.2. Текущая стоимость пренумерандо 37 6.2.3. Параметры ренты пренумерандо 38 7. Кредитные расчеты 40 7.1. Погашение долга одним платежом в конце срока 40 7.2. Погашение основного долга одним платежом в конце срока с постоянной выплатой процентов 41 7.3. Погашение долга и процентов по нему равными суммами в течение срока ссуды 42 7.4. Погашение долга в рассрочку, проценты считаются на остаток долга (выплаты по аннуитету) 43 7.5. Потребительский кредит 44 8. Финансовая эквивалентность обязательств 45 Тема 1. Наращение капитала 0. Общие понятия и основные категории в финансовых расчетах Финансовая математика – это область знаний, которая дает целостную концепцию количественного финансового анализа условий и результатов финансово-кредитных и коммерческих сделок, связанных с использованием денег в любой форме. Кроме представления об основных понятиях этой области знаний, наша цель заключается в раскрытии тех больших возможностей, которые дает для таких расчетов Excel. Существует два типа экономического мышления: статический подход - используется в "бухгалтерском" анализе, не учитывает фактор времени, оперирует денежными показателями, относящимися к различным периодам времени; динамический подход - соответствует экономическому принципу анализа, где фактор времени играет решающую роль и его необходимо обязательно учитывать, здесь неправомерно суммировать денежные величины, относящиеся к различным моментам времени. Зависимость ценности денег от времени (сегодня и завтра деньги стоят по разному): • деньги могут быть инвестированы; • инфляционные процессы ведут к обесцениванию денег во времени; • неопределенность будущего и связанный с этим риск повышает ценность имеющихся денег. Основные категории в финансовых расчетах: РV - текущая стоимость (англ. present value) – оценка современной величины денежной суммы или исходная сумма долга. FV - будущая стоимость (англ. future value) или наращенная сумма, полученная из первоначальной суммы с начисленными на нее процентами к концу срока. I - процентные деньги (interest money), "проценты", абсолютный доход. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для сравнения ввиду их несопоставимости в пространстве и во времени. r – ставка процента за период (англ. rate of interest), норма доходности или темп прироста стоимости за период характеризует интенсивность начисления процентов за единицу времени и является относительным показателем. r - выражается либо в процентах (%), либо в долях единицы. n - время от начала до конца финансовой операции, период начисления процентов. Обычные или декурсивные (postnumerando) проценты начисляются в конце периода. В качестве единицы периода времени в финансовых расчетах принят год, однако это не исключает использования периода менее года: полугодие, квартал, месяц, день, час. Существуют различные способы начисления процентов и соответствующие им виды процентных ставок. Два основных типа: Простая процентная ставка – рассмотрим ниже. Сложная процентная ставка – рассмотрим ниже. Простые и сложные ставки, и та и другая могут называться в договорах: Фиксированная процентная ставка – ставка, зафиксированная в виде определенного числа в финансовых контрактах. Постоянная процентная ставка – неизменная на протяжении всего периода финансовой операции. Переменная процентная ставка – дискретно изменяющаяся во времени, как обусловлено договором (например, 1-й квартал 5%, 2-й - 7% и т.д.) . Плавающая процентная ставка – не фиксируется в договоре на весь срок, например во время инфляции, а меняется по истечении условленного времени по договоренности сторон. 1. Наращение 1.1. Простые проценты Наращение - это процесс увеличения капитала за счет начисления процентов. Простые проценты - Simple interest, процент начисляется только на исходную сумму PV. Схема простых процентов предполагает неизменность базы PV, на которую происходит начисление процентов. Процентные деньги или размер ожидаемого дохода I=FV-PV (1.1) зависит от трех факторов процентной ставки r, исходной суммы PV , срока финансовой операции n: I=r × n × PV. (1.2) Наращенная сумма по схеме простых процентов может быть определена по одной из формул: FV = PV + I, (1.3) FV = PV + r × n × PV, FV = PV (1 + r× n) (1.4) ЗДЕСЬ ПРИМЕР И еще Если Х хочет сегодня получить 1000, то сегодняшняя сумма эквивалентна той сумме, которую необходимо было поместить в банк год назад под 10%: 1000 / (1 + 1× 10%) = 909,91. «Вчера (9090,91)». «Сегодня (10000)». «Завтра (11000)». В формуле (1.4) величина стоящая в скобках коэффициент (множитель) наращения К простых процентов за n лет или индекс роста капитала (кредита): К= 1 + r× n, (1.5) Заметим, К можно посчитать, не зная нач. и конечной сумм! Процентная ставка r показывает на сколько процентов увеличился капитал за период , а множитель К показывает во сколько раз увеличился капитал за период. иначе множитель наращения можно оценить по формуле: . (1.6) Процентная ставка за n лет может быть определена из формулы (1.4) . (1.7) Простая процентная ставка, если срок операции n меньше года: , (1.8) где доля года, t – срок операции в днях, T – число дней в году, Формула определения срока операции n для простых процентов, получается из формулы 1.4: , (1.9) если срок операции выражается в днях, то число дней определяется как (1.10) Пример 1.1. Сумма в размере 1 000 рублей помещена в банк на депозит на 1 год по схеме простого процента под 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату. PV=1000 n=1 r= 10%= 10/100=0,1 I=? FV=? Решение: FV = PV (1 + n × r ) = 1000 (1 + 1 × 0,1) = 1100 руб. I= PV × n × r = 1000 × 1 × 0,1=100 или I = FV-PV=100 Ответ: Сумма начисленных процентов 100 руб., сумма, подлежащая возврату 1100 руб. Пример 1.4. Некто X обладает суммой 10000, которую он кладет в банк на депозит под 10% годовых. В идеальном случае (отсутствие инфляции, налогообложения, риска неплатежеспособности банка и т.д.), через год сумма, равна уже 11000, FV =10000 ×(1+ 1× 10%) = 11000. Если сумма 10000 окажется в распоряжении Х только через год, он теряет возможность получить доход в 1000. Если Х хочет сегодня получить 10000, то сегодняшняя сумма эквивалентна той сумме, которую необходимо было поместить в банк год назад под 10%: 10000 / (1 + 1× 10%) = 9090,91. «Вчера (9090,91)». «Сегодня (10000)». «Завтра (11000)». 1.1.1.Определение срока финансовой операции для n меньше года Для операции, срок которой меньше года, значение n в долях года можно определить по следующим формулам, если • время выражено в месяцах М, то ; (1.11) • время выражено в днях t, то (1.12) t – число дней финансовой операции, например, ссуды, т.е. продолжительность срока, на который выдана ссуда, T – расчетное число дней в году (временная база). День выдачи и день возвращения ссуды считаются за один день. Возможные варианты расчета срока финансовой операции для n 1года Число дней (t) Расчетное число дней в году (Т) Где используется 30 360 Германия, Дания, Швеция Точно точно "английская практика расчета" Точно 360 "французская практика расчета" Точно 365 Англия Функция Excel Долягода (нач дата; кон дата; базис) вычисляет период n начисления простых процентов (см. подробное описание этой функции в приложении). Базис Способ вычисления числа n=t/T 0 или опущен 30/360 1 точно/точно 2 точно/360 3 точно/365 4 30/360 ЭТОТ ПРИМЕР СМОТРИМ В EXCEL Пример 1.5. Сумма в размере 1000 рублей помещена в банк на депозит на 5 месяцев по схеме простого процента под 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату. PV=1000 n=5/12=0,4167 r= 10% I=? FV=? Решение: FV = PV (1 + n × r ) = 1000 (1 + 0,4167 × 0,1) = 1041,67 I= PV × n × r = 1000 × 0,4167× 0,1= 41,67 или I = FV-PV= 41,67 Ответ: Сумма начисленных процентов 41,67 руб; сумма, подлежащая возврату 1041,67 руб. ЭТОТ ПРИМЕР СМОТРИМ В EXCEL Пример 1.6. Сумма 2 млн. руб. положена в банк 18 февраля високосного года и востребована 25 декабря того же года. Ставка банка составляет 35% годовых. Определить сумму начисленных процентов при различной практике их начисления. PV=2000000 t1 = 18 февраля t2 = 25 декабря r = 35% I=? Не забудьте: день выдачи и день возвращения ссуды считаются за один день. Решение: 1. Германская практика начисления простых процентов: Временная база принимается за 360 дней, T = 360, число дней в месяце 30. Количество дней ссуды t = 13 (февраль) + 30 (март) + 30 (апрель) + 30 (май) + 30 (июнь) + 30 (июль) + 30 (август) + 30 (сентябрь) + 30 (октябрь) ++ 30 (ноябрь) + 25 (декабрь) - 1 = 307дней. =307/360 = 0,853 В Excel ДОЛЯГОДА ("18.02.2008";"25.12.2008";0)=0,85278 Как видно из приведенных расчетов, результат финансовой операции во многом зависит от выбора способа вычисления доли года n. Точное число дней в большинстве случаев больше приближенного числа дней, поэтому и проценты с точным числом дней ссуды обычно получаются выше процентов с приближенным числом дней ссуды 1.1.2. Простые переменные ставки На исходный капитал PV в различные сроки n начисляются различные проценты r, например, в течение срока n1 процентная ставка r1, а в течение срока n2 процентная ставка r2. Формула для получения наращенной суммы будет выглядеть следующим образом: или (1.13) Исходя из формулы (1.13) коэффициент наращения равен: (1.14) Пример 1.7. В договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 10% годовых, а на каждый последующий квартал на 1% меньше, чем в предыдущий. Определить множитель наращения за весь срок договора n1= n2= n3= n4=0,25 r1=10% r2=9% r3=8% r4=7% K=? Решение: Квартал равен 0,25 года или ni=1/4 K = 1+S ni ri = = 1+0,25*0,10+0,25*0,09 +0,25*0,08 +0,25*0,07 =1,085 Ответ: Множитель наращения за весь срок договора составит 1,085. 1.3. Сложные проценты В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов. Схема сложных процентов, это когда проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме и срок финансовой операции более года. Присоединение начисленных процентов к современной величине денежной суммы, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов или компаундинг. Пример 1.8. Сумма в 10000 руб. помещена в банк на депозит сроком на 4 года под сложные проценты, 10% годовых, проценты начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока? PV = 10 000 r = 10% n = 4 FV1 =, FV2 = … FV = ? вывести общую формулу Решение: Наращенная сумма на конец первого года: FV1 = PV + PV* r = PV*(1 + r) 10000*(1 + 0,1) = 11000. В конце второго года наращенная сумма: FV2 = FV1 + FV1* r = FV1*(1 + r)=PV(1 + r)2 10000*(1 + 0,1)2= 12100 В конце третьего года наращенная сумма: FV3 = FV2 + FV2* r = FV2*(1 + r)=PV*(1 + r)3 10000*(1 + 0,1)3= 13310 В конце четвертого года наращенная сумма: FV4 = FV3 + FV3* r = FV3*(1 + r)=PV*(1 + r)4 10000*(1 + 0,1)4= 14641 Ответ: Величина депозита через четыре года 14641 руб. Понятно, что таким образом проводить вычисления за несколько лет слишком трудоемкая задача, поэтому запишем формулу вычисления наращенной суммы FV по сложным процентам, для случая начисления процентов в конце каждого года (постнумерандо): . (1.15) Множитель наращения по сложным процентам: . (1.16) 1.2.1. Сравнение результатов наращения по простым и сложным процентам Самим сделать сравнение простых и сложных процентов Для сравнения результатов, получаемых по простым и сложным процентам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения при условии, что временная база для начисления процентов одна и та же:  для срока меньше года коэффициент наращения по простым процентам больше, чем по сложным процентам: ,  для срока больше года коэффициент наращения по сложным процентам больше, чем по простым процентам:  для срока равного году, множители наращения равны. На практике: В таблице 1 в качестве примера приведены значения множителей наращения для r =25%, число дней в году 365. Таблица 1 Сравнение множителей наращения для простых и сложных процентов N 30 дней 90 дней 180 дней 1 год 5 лет 10 Лет доля года 0,08 0,25 0,50 1 5 10 простые 1,021 1,062 1,123 1,250 2,250 3,500 сложные 1,019 1,057 1,116 1,250 3,052 9,313 Видно, что до года быстрее растет множитель наращения, вычисленный по простым процентам, а после года быстрее растет множитель, определяемый по сложным процентам. Как отмечалось выше, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму, т.е. база начисления остается постоянной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом базу за счет капитализации процентов. Рис. 1 Графическая иллюстрация соотношения множителей наращения для простых и сложных процентов 1.2.2. Начисление сложных процентов m раз в год Проценты могут начисляться не один, а несколько раз в году, m – число периодов начисления в году. Например: ежемесячно (m=12), раз в полгода (m=2), или ежеквартально (m=4). Формула для получения наращенной суммы в этом случае имеет вид: , (1.17) где m – число периодов начисления в году, n – число лет. Очевидно, что чем больше число начислений в году m, тем быстрее идет наращение суммы. В Excel функция БС (Ставка; Кпер; Плт; Пс; [тип]) осуществляет вычисления наращенной суммы – FV по сложным процентам (см. подробное описание этой функции в приложении). ПРИМЕР 1.2.3. Определение размера процентной ставки и срока операции Самостоятельно: Определим процентную ставку r из формулы сложных процентов 1.17. Известны: PV - современное значение, FV - будущее значение, n – срок финансовой операции, m - число начислений в год. Запишем выражение для определения сложной процентной ставки r (годовой процент): . (1.18) Для вычислений удобнее пользоваться следующей записью формулы 1.18: . В Excel функция Ставка (кпер; Плт; Пс; Бс; [тип]) вычисляет процентную ставку r (см. подробное описание этой функции в приложении). Длительность операции n определяется из формулы сложных процентов (1.17) путем логарифмирования (использовать можно или десятичные логарифмы log, или натуральные ln): FV/PV=(1+r/m)^(n*m); log(FV/PV)=(n*m)*log(1+r/m); Отсюда: . (1.19) В Excel функция КПЕР(ставка; выплата; ПС; БС; [тип]) вычисляет количество периодов начисления процентов. Результатом применения функции КПЕР является число периодов (а не число лет), необходимое для проведения операции. Для определения числа лет необходимо полученное число периодов разделить на число начислений в году ­ m, (см. подробное описание этой функции в приложении). Еще бывают: Переменная ставка сложных процентов (разные ставки в разные периоды), вывести формулу. FV = PV * П (1+ ri / mi ) ^ (ni * mi) Число лет может быть дробным. 2. Дисконтирование При разработке условий финансовой сделки часто возникают ситуации, при которых необходимо решать задачи обратные наращению, т.е. по известной наращенной сумме FV нужно определить неизвестную первоначальную сумму PV. Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом, а сами проценты дисконтом (discount). Термин дисконтирование означает определение значения стоимостной величины PV на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину FV. (Допустим, депозит на 5 лет, известно, сколько клиент получит в конце. А сколько он получит через 3 года, если досрочно заберет вклад?) Дисконт или чистая дисконтная стоимость: D = FV – PV . (2.1) Такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину PV называют приведенной (современной или текущей) величиной FV, при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет. Привести стоимость денег можно к любому моменту времени и не обязательно к началу финансовой операции. Применяют два вида дисконтирования: • математическое дисконтирование по процентной ставке r; • банковский учет по учетной ставке d. Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в различии базы для начислений процентов: • в процентной ставке в качестве базы берется PV ; (2.2) • в учетной ставке за базу принимается FV . (2.3) Конец 2-й лекции Это формулы при n = 1, т.е. годовая ставка. Проценты, начисленные по ставке процентов r - называются антисипативными, а по учетной ставке d – декурсивными. Учетная ставка более жестко отражает временной фактор, чем процентная ставка. 2.1. Математическое дисконтирование Для простых процентов приведенная (современная или текущая) величина PV определяется по формуле (выводится из формулы 2.2, куда вводится значение n не равное 1): , (2.4) дисконтный множитель или коэффициент приведения , (2.5) где FV - накопленная или будущая стоимость, n – срок операции, r процентная ставка. Для сложных процентов приведенная величина определяется из (1.17) по формуле , (2.6) а дисконтный множитель или коэффициент приведения: . (2.7) В Excel функция ПС (Ставка; Кпер; Плт; Бс; [тип]) осуществляет вычисления приведенной суммы РV. Пример 2.1. Выплаченная по 4-х летнему депозиту сумма составила величину в 14641$. Определить первоначальную величину вклада, если сложная процентная ставка по депозиту равна 10% годовых, капитализация 1 раз в год. n=4 FV=14 641 r=10% PV=? Решение: PV = 14641,00 / (1 + 0,1)^4 = 10000,00. В Excel ПС(10%;4;;-14641) 10 000,00. Ответ: Первоначальная величина вклада составляла 10 000$. Пример 2.2. Через 150 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 310 тыс. руб., исходя из 8% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму долга. t=150 FV=310 000 r=8% PV=? Решение: n=150/360=0,417 PV = FV / (1 + r*n ) = = 310000 / (1 + 0,08*0,417) = 300000 Использовать функцию ПС нельзя, т.к. начисляются простые проценты Ответ: Первоначальная величина вклада составляла 300 000 руб., а проценты за 150 дней составили 10 000 руб. 2.2. Банковский учет (дисконт по банковскому учету) Понятие векселя. Операция учета, например, учет векселя, заключается в том, что финансовое учреждение покупает вексель у векселедержателя до наступления момента платежа по векселю, но цена при этом ниже суммы векселя, т.е. приобретает его с дисконтом. Сумма, полученная векселедержателем при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк в свою пользу удерживает дисконт (проценты) за время оставшееся до срока погашения векселя. Государство с дисконтом продает большинство своих ценных бумаг. Математическое дисконтирование выгоднее для векселедержателя, а банковское дисконтирование для банка. D – сумма дисконта Для расчета дисконта используется простая и сложная учетные ставки. Простая учетная ставка (выводится из формулы 2.3 с учетом времени операции): D=FV - PV=FV* n*d, отсюда приведенная величина PV= FV – FV*n*d= FV*(1 – n*d) PV=FV* (1 – n*d), где (2.8) дисконтный множитель (коэффициент приведения) K=(1-n*d). (2.9) Номинальная годовая учетная простая ставка из формулы (2.8.): или (2.10) Очевидно, что чем выше значение учетной ставки, тем больше дисконт D. Срок ссуды по простой учетной ставке: (2.11) или в днях . Сложная учетная ставка: , где (2.12) дисконтный множитель или коэффициент приведения . (2.13) Номинальная годовая учетная сложная ставка: . (2.14) При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, т.к. учетная ставка применяется каждый раз к уменьшаемой на величину дисконта величине. Срок ссуды по сложной учетной ставке: (2.15) Пример 2.3. Вексель выдан на 5000 $ с уплатой 17 ноября, а владелец учел его в банке 19 августа по учетной ставке 8%. Определить сумму, полученную предъявителем векселя и доход банка при реализации дисконта. t1=17 ноября t2=19 августа FV=5 000 d =8% PV=? Решение: t = 13 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) + 17 (ноябрь) - 1 = 90 дней PV = FV × (1 - t / T × d) = 4900 дисконт составит: D = FV - PV = 5000 - 4900 = 100 или (по другой формуле) D = FV × d × t / T= 5'000 × 0,08 × 90 / 360 = 100 Ответ: Предъявитель векселя получит сумму 4 900 $., а банк при наступлении срока векселя реализует дисконт в размере 100 $. Пример 2.4. Определить величину суммы, выдаваемую заемщику, если он обязуется вернуть ее через два года в размере 55 тыс. руб. Банк определяет свой доход с использованием годовой учетной ставки 30%.. n=2 FV=55 000 d =30% PV=? Решение: PV = FV * (1 – n*d) = 55 000 * (1 – 2*0,3) = 22 000 дисконт составит: D = FV - PV = 55 000 - 22 000 = 33 000 Ответ: Заемщик может получить ссуду в размере 22 000 руб., а через два года вернет 55 тыс. руб., дисконт 33 000 руб. Пример 2.5. Обязательство уплатить через 100 дней (T=365) сумму долга в размере 50 тыс. руб. с начисляемыми на нее простыми процентами по ставке 40%, было учтено за 25 дней (T=360) до срока погашения по учетной ставке 25%. Определить сумму, полученную при учете обязательства. Обратите внимание: 1. различие временных баз, используемых при наращении и учете, 2. решать нужно последовательно 2 задачи. 1. Какую сумму нужно было вернуть через 100 дней? 2. Какая сумма получена при учете обязательства t=100 T=365 РV= 50 000 r =40% FV=? t=25 T= 360 FV= ? d =25% PV=? Решение: FV = PV × (1 + r × t/T)=50'000 × (1 + 0,4 × 100 / 365) =55 479 PV=FV ×(1 - d× t/ 360 ) =FV ×(1 – 0,25 ×25 / 360) = 54 516 Ответ: Сумма, получаемая при учете данного обязательства, составит 54 516 руб.. 3. Эквивалентные ставки 3.1. Номинальная и эффективная ставки В условиях финансовой операции указывается не ставка за период (за квартал или месяц), а годовая ставка с указанием периода начисления – т.е. номинальная ставка. В формуле (1.15) r – номинальная ставка. Но вот возникает m! Дать пример: 10000 руб, 10% годовых, сложные проценты с начислением 2 раза в год. 1-е полгода 10500, в конце срока – 11025 (FV=PV*(1+r/m)^(n*m)). Номинальная ставка: ◦ во-первых, не отражает реальной эффективности сделки; ◦ во-вторых, не может быть использована для сопоставлений в разных финансовых операциях. Наряду с номинальной ставкой существует эффективная процентная ставка (effecti ve rate), измеряющая тот реальный относительный доход, который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Обозначим эффективную процентную ставку через EPR. Эффективную ставку считаем, представляя, что у нас простые проценты: 10000/11025=0,907 Классическим примером эквивалентности являются номинальная процентная ставка r и эффективная процентная ставка EPR процентов. EPR – показывает какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке r/m. Приравняем множители наращения для EPR и r: , отсюда определим эффективную процентную ставку через номинальную . (3.1) Доходность финансовой операции обычно измеряется эффективной процентной ставкой, т.к. эффективная процентная ставка измеряет реальный относительный доход. Выразим из (3.1) годовую номинальную процентную ставку через эффективную процентную ставку: (3.2) Номинальная процентная ставка равна эффективной процентной ставке, если проценты начисляются один раз в год. В Excel функция Эффект (номинальная_ставка; кол_пер) вычисляет эффективную процентную ставку, т.е. фактическую. Функция Номинал (эффект_ставка; кол_пер) позволяет определить номинальную годичную процентную ставку через эффективную (см. подробное описание этих функций в приложении). Пример 3.1. Сумма в 10000 руб. помещена в банк на депозит сроком на 4 года. Ставка по депозиту – 10% годовых. Какова будет величина депозита в конце срока? Чему равна сумма процентного дохода? Чему равна эффективная процентная ставка? а) Проценты по депозиту начисляются раз в год. б) Если проценты выплачиваются ежеквартально (m = 4). PV=10 000 r=10%=0,1 n=4 a) m=1 б) m=4 а) FV=? I=? EPR=? б) FV=? I=? EPR=? Решение: A) FV = 10 000×(1+0,1)4 = 14 641; I= 14 641-10 000=4 641; EPR (1+0,1)1-1= 10%= r B) FV = 10 000×(1+0,1/4)4×4 = 14 845,06; I= 14 845,06 -10 000=4 845,06; EPR = (1+0,1/4) 4 -1 = 0,10381=10,38% Разность процентных доходов: 4 845,06 - 4 641= 204,06 Ответ: Процентный доход при ежеквартальном начислении процентов на 204,06 руб. больше, чем при начислении процентов раз в год. Эффективная процентная ставка (реальная) при начислении процентов раз в год равна номинальной, а при ежеквартальном начислении процентов эффективная процентная ставка 10,38%, выше номинальной 10%. Пример 3.2. Ставка банка по срочным валютным депозитам составляет 18% годовых. Какова реальная доходность вклада (эффективная ставка), если проценты начисляются а) раз в год; б) ежемесячно? R 18% 18% M 1 12 а)EPR=? б) EPR=? Решение: a) EPR = (1+r/m)m – 1 = (при m=1) = 18% = r б) EPR = (1+0,18/12) 12 -1 = 0,1956=19,56% Средствами Excel расчеты можно провести так: Ответ: Доходность вклада 18% (эффективная ставка), если проценты начисляются раз в год совпадают с номинальной процентной ставкой. Доходность вклада (эффективная ставка), если проценты начисляются ежемесячно 19,6%. Условия помещения на депозит сроком на 1 год под 18% годовых при ежемесячном начислении процентов и под 19,56%, начисляемых раз в год, являются эквивалентными. Пример 3.3. Компания – эмитент кредитных карточек взимает 2,4% в месяц с суммы дебетового остатка. Определить коэффициент наращения и эффективную ставку? r=2,4% m=12 EPR=? Решение: Определим номинальную ставку процента в год r = 2,4*12 = 28,8% K=(1+r/m)n*m=(1+28.8/12)12=1,329 – коэффициент наращения. Вычислим EPR EPR = (1+0,288/12)12-1 = 0,329=32,9% Ответ: Коэффициент наращения равен 1,329. Ежемесячная ставка 2,4%, годовая 28,8% соответствуют эффективной процентной ставке 32,9% в год. Средствами Excel расчеты можно провести так: Пример 3.4. Величина эффективной процентной ставки за период 15,39%. Определить годовую ставку, если проценты начисляются раз в пол года. m=2 EPR=15,39% r=? Решение: r = m×((1+EPR)1/m-1); r = 2*((1+0,1539)1/2 -1)=14,84% Ответ: Годовая процентная ставка 14,84% с начислением каждые пол года приносит тот же доход, что и эффективная процентная ставка 15,39%. Средствами Excel расчеты можно провести так: 4. Амортизация Амортизация представляет собой постепенное снижение ценности основных фондов вследствие их изнашивания. Суммы, на которые уменьшается стоимость основных фондов, образуют амортизационные отчисления. В практической деятельности устанавливаются нормативные сроки службы и единые нормы амортизации. Наиболее распространенными являются схема равномерной амортизации и схемы замедляющейся и ускоренной амортизации (последняя схема использует “правило 78”, оно рассмотрено в разделе 7.). Введем обозначения: PV - текущая стоимость актива; FV – стоимость актива после n периодов; r – норма амортизации. Схема равномерной амортизации определяет сумму годовых отчислений по формуле: (4.1) Схема замедляющейся амортизации, стоимость предмета (актива) уменьшается вначале быстрее, чем в конце периода n по фиксированной процентной ставке r: , (4.2) Норму амортизации можно определить, зная современное и будущее значение стоимости актива, а также время эксплуатации по формуле: . (4.3) В Excel функция Ставка (кпер; Плт; Пс; Бс; [тип]) вычисляет процентную ставку и соответственно норму амортизации (см. подробное описание этой функций в приложении). Длительность операции амортизации n определяется из формулы (4.1) путем логарифмирования: . (4.4) Пример 4.1. Стоимость компрессора составляет 500 000у.е. Определите стоимость агрегата через 3 года при норме амортизации 10% в год, на какую величину снизится стоимость компрессора. РV =500 000 r =10% n=3 FV=? РV - FV =? Решение: FV=РV(1-r)n = 500 000(1-0,1)^3=364 500 у.е. РV - FV = 5500 у.е Ответ: Стоимость компрессора через 3 года 364 500 у.е., т.е. за указанный период произойдет снижение его стоимости на сумму 5500 у.е Пример 4.2. Оборудование, приобретенное 2 года назад стоило 4000 у.е., в настоящее время оценивается 2400 у.е.. Определить норму амортизации этого оборудования. РV =4000 FV= 2400 n=2 r =? Решение: r =1-(FV/PV)^(1/n) = 1-(2400/4000 )^(1/2)= 0,2254=22,5% В Excel решениевыглядит так: СТАВКА(2;;4000;-2400) =22,5% Ответ: Норма амортизации 22,5%. Пример 4.3. Оборудование приобретено за 4000 у.е., в настоящее время оценивается 2400 у.е.. Норма амортизации этого оборудования 22,5%. Сколько лет использовалось оборудование? РV =4000 FV= 2400 r =22,5% n=? Решение: Воспользуемся формулой (4.3) Ответ: Оборудование использовалось 2 года. 5. Инфляция Инфляция это устойчивый рост среднего уровня цен на товары и услуги. Если инфляция (темп инфляции) составляет долю a в год то товар в конце года стоит в (1+a) раз больше, чем в начале. Дефляция - общее снижение цен. Обычно говорят, что цены выросли на a%, или в (1+a) раз. Инфляция бывает: • нормальная (ползучая)  3% < a < 10%; • галопирующая  10% < a < 100%; • гиперинфляция  a > 50% в месяц, сотни и тысячи процентов в год/ Индекс потребительских цен (ИПЦ) CPI – Consumer Price Index – показатель международной статистики, характеризует динамику затрат на постоянный набор товаров и услуг (потребительская корзина). Введем обозначения: Р1, Р2 – стоимость потребительской корзины в начале и конце периода; инфляция или темп инфляции  ; (5.1) (P1 = 6000, P2 = 6450, = 7,5%) индекс цен или индекс инфляции  ; (5.2) = 1,075 индекс, характеризующий покупательскую способность денег за период  . (5.3) = 0,93 Формула определения индекса инфляции или индекса цен за несколько периодов -n, если темп инфляции за каждый период одинаков и составляет a: . (5.4) Например, если месячная инфляция составляет a=1,5%, то за год (1 год=12 месяцам) индекс инфляции составит1,1956, а инфляция за год, как следует из формулы (5.1) составит a=-1=19,56%. Если темп инфляции за каждый период разный и составляет ai, а индекс инфляции за один период , то формула определения индекса инфляции (индекса цен) за несколько периодов: . (5.5) Например, инфляция в январе составила a1=1%, до марта ежемесячно инфляция росла на 0,5%, т.е. a2=1%+0,5%, a3=1,5%+0,5%=2%,, с апреля по июнь рост инфляции остановился и остался на уровне марта месяца. Индекс цен за пол года по формуле (5.5) составит: 1,10966, а инфляция за пол года по (5.2) равна a6=-1=1,10966-1=0,10966=10,966%. При наращении по простым процентам, для оценки наращенной суммы с учетом ее обесценения за счет инфляции, полученную величину делят на индекс инфляции за время осуществления наращения: (5.6) Точно так же поступают при определении наращенной суммы по сложным процентам с учетом инфляции (5.7) Коэффициент наращения по простым процентам с учетом инфляции: , (5.8) Из (5.8) определим реальную годовую простую ставку rreal, если первоначальная простая ставка r: . (5.9) Например, =1,10966, период 1 год, r = 10%. = ((1+1*0,1)/1,10966 – 1)/1= -0,0087 (!) Если =1,08, то = ((1+1*0,1)/1,08 – 1)/1= 0,0185. Т.е. реальный годовой процент всего 1,85% вместо 10% Коэффициент наращения по сложным процентам с учетом инфляции: , (5.10) определим реальную годовую номинальную сложную ставку с m разовым начислением процентов в год, если первоначальная номинальная ставка была r с m разовым начислением процентов в год: . (5.11) В условиях инфляции годовая реальная ставка всегда меньше номинальной и может быть даже отрицательной, т.к. доходность, выражаемая номинальной ставкой, не скорректирована на инфляцию. Для обеспечения роста стоимости первоначального капитала необходимо чтобы в формулах для коэффициентов наращения по простым (5.8) и по сложным процентам (5.10) числитель был больше знаменателя. Годовая ставка, обеспечивающая рост капитала по простым процентам, должна быть (5.12) Номинальная годовая ставка, обеспечивающая рост капитала по сложным процентам, должна быть или  (5.13) Если в формулах (5.12) и (5.13) будет стоять знак равенства, то полученная ставка не будет увеличивать рост капитала, а лишь сохранит его первоначальную стоимость за период n. Для обеспечения реального роста стоимости первоначального капитала при инфляции на столько же процентов, какова была первоначальная ставка, необходимо исходную ставку увеличивать (индексировать). Для обеспечения реальной доходности согласно исходному коэффициенту наращения необходимо так индексировать исходную ставку (увеличить на инфляционную премию), чтобы новый коэффициент наращения полностью компенсировал потери из-за инфляции. Простая годовая процентная ставка, обеспечивающая в условиях инфляции ту же доходность, что и первоначальная ставка r в отсутствии инфляции : , или (5.14) , где (5.15)  темп инфляции за период n,  индекс инфляции за период n. Сложная годовая процентная ставка, обеспечивающая в условиях инфляции ту же доходность, что и первоначальная ставка сложных процентов r(m): (5.16) Cрок операции с учетом инфляции: для простых процентов , (5.17) для сложных процентов ?????? . (5.18) ПРАВИЛЬНО Пример 5.1. Банк выдал клиенту кредит на один год в размере 20 000 руб. по простой ставке 6% годовых. Уровень инфляции за год составил 18%. Определить с учетом инфляции реальную ставку процентов по кредиту, погашаемую сумму и сумму процентов за кредит. Какая простая ставка с учетом инфляции 18% годовых обеспечит рост капитала 6% годовых? РV =20 000 r =6% n =1 =18% rreal=? FV=? I =? Решение: По формуле (5.4) индекс инфляции за 1год =1,18 По формуле (5.6) FVa = 20000*(1+6%)/ 1,18 = 17966,10 руб. (Для сравнения, наращенная сумма без инфляции FV= 21 200 руб., т.е. банк планировал получить прибыль 1 200 руб.) По формуле (5.9) определим реальные проценты rreal=(1+6%)/1,18-1= -10,17 % Ia = FV- PV = 17 966,10 – 21 200 = -2033,90 руб. По формуле (5.14) определим ставку по кредиту, обеспечивающую 6% с учетом инфляции: =25,08% Проверка: FVa = 20000*(1+25,08%)/ 1,18 = 21 200 руб. Ответ: Банк получит убыток 2 033,90 руб., а относительно планированной прибыли убыток банка составил 3 233,90 руб. Чтобы обеспечить доходность в размере 6% годовых, ставка по кредиту с учетом инфляции должна соответствовать 25,08% годовых. Пример 5.2. За три месяца стоимость потребительской корзины возросла с 634 руб. до 692 руб. Определить: а) индекс потребительских цен за три месяца; б) темп инфляции за 3 месяца; в) среднемесячный индекс потребительских услуг; г) среднемесячный темп инфляции Р1=634 Р2 = 692 a3=? a1=? Решение: а) темп инфляции за 3 месяца определим по формуле (5.2) =(P2)/P1= 1,0915; а инфляция за 3 месяца по формуле (5.1) или из (5.2) a3= -1=(P2-P2)/P1= 1,0915-1= 9,15% б) среднемесячный индекс потребительских цен определим из темпа инфляции за 3 месяца: ; (1,0915)^(1/3)=1,0296 a 1= -1= 1,0296-1= 2,96% Ответ: За 3 месяца цены потребительской корзины выросли в 1,0915 раза, или на 9,15%. Среднемесячный темп инфляции 2,96% , за месяц цены увеличивались в 1,0296 раз Пример 5.3. На вклад начисляются проценты а) ежегодно; б)ежеквартально; с) ежемесячно. Ежемесячный темп инфляции 3%. Определить номинальную ставку, при которой происходит реальное наращение капитала. m=1 m=2 m=3 =3% r=? Решение: Номинальная годовая ставка, обеспечивающая рост капитала по сложным процентам (5.13): . Вычислим годовой индекс инфляции из (5.4): Ответ: При ежемесячном темпе инфляции 3% номинальная годовая ставка, обеспечивающая рост капитала по сложным процентам при начислении процентов раз в год должна быть больше 42,58%, при начислении процентов раз в квартал должна быть больше 37,08%, при начислении процентов ежемесячно должна быть больше 36,00%. Пример 5.4. На сумму 80 тыс.руб. начисляются проценты 34% годовых, с начислением процентов раз в полгода. Постоянный темп инфляции 1,5% в месяц. Определить величину номинальной ставки нейтрализующей инфляцию и сумму вклада через 2,5 года. Как изменится ситуация, если темп инфляции 3% в месяц? PV 80 80 R 34% 34% M 2 2 N 2,5 2,5 FV 175,4 175,4 al1 1,50% 3,00% Периодов 30 30 Jp 1,56 2,43 FVal 112,21 72,26 r нейтрализует 18,69% 38,81% для решения задачи: FV вычисляем по формуле (5.7) и r по формуле (5.13) Ответ: При ежемесячном темпе инфляции 1,5% сумма вклада увеличится и составит 112, 21 тыс.руб. номинальная годовая ставка нейтрализующая инфляцию 18,69%; а при ежемесячном темпе инфляции 3% покупательская способность вклада даже уменьшится и составит 72,26 тыс.руб. номинальная годовая ставка нейтрализующая инфляцию должна быть 38,81%. Из рассмотренных выше примеров видно, что учет инфляции является важным моментом в определении наращенной суммы и процентных ставок. Дополнение по поводу эквивалентности в финансовых операциях Сначала дать разбор примера по эквивалентности ставок. Финансовая эквивалентность обязательств предполагает неизменность финансовых отношений сторон до, и после изменения контракта (замена одного обязательства другим, отсрочка платежа). При этом эквивалентными считаются платежи, которые, будучи приведенными, к одному моменту времени, оказываются равными. Если при изменении условий контракта принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то один из участников договора несет убытки. Рассматривали эквивалентность номинальной и эффективной ставок. Переход к последней дает удобства при анализе и сравнении результатов (эквивалентность при равных сроках, исходной и наращенной сумм). Эквивалентны ставки номинальная и реальная при инфляции (эквивалентность при равных сроках, режиме начисления процентов). Эквивалентны результаты финансовой операции после приведения к одному моменту времени, когда, например, вклад забирается раньше или позже, смотри задачи дисконтирования или наоборот наращения (эквивалентность при равных процентных ставках, режиме начисления процентов, начальной или конечной сумме). 6. Финансовые ренты. Ряд распределенных во времени выплат или поступлений называется потоком платежей (cash flows). Потоки платежей или последовательность платежей в зависимости от условий формирования, могут быть весьма разнообразны: с платежами равной либо произвольной величины; с осуществлением выплат в начале, середине или конце периода и др. Члены потока могут быть положительными (поступления), или отрицательными величинами (выплатами). Временные интервалы между членами потока могут быть равными или неравными. Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой (rent) или аннуитетом (annuity). Классификации финансовых рент (потоков) осуществляются: • по количеству выплат p членов ренты: • годовые, p=1 раз в год; • срочные, p>1 раз в год; • дискретные и непрерывные • по количеству начислений процентов: ◦ ренты с ежегодным начислением m=1; ◦ с начислением m ¹1 раз в году; ◦ с непрерывным начислением; • по величине членов ренты: ◦ постоянные; ◦ переменные; • по величине вероятности выплаты: ◦ верные (annuity certain); ◦ условные (contingent annuity); • по количеству членов ренты: ◦ ограниченные; ◦ бесконечные, вечные (perpetuity); • по отношению начала срока ренты: ◦ немедленные; ◦ отсроченные (deffered annuity); • по моменту выплаты платежей: ◦ обыкновенные, простые, постнумерандо (ordinary annuity); ◦ платежи в начале периодов, пренумерандо (annuity due). Рентой являются платежи по потребительскому кредиту, выплата в рассрочку страховых премий и т.д. На практике подобного рода поток платежей называют аннуитетом, что, строго говоря, применимо только к ежегодным выплатам. Принято считать, что аннуитет (финансовая рента) представляет собой частный случай денежного потока и обладает двумя важными свойствами: 1. все его n-элементов равны между собой и имеют одинаковый знак: R1 = R2 ...= Rn = R ; 2. отрезки времени между выплатой/получением сумм R одинаковы. Использование в финансово-банковских операциях условий, предполагающих выплаты в виде аннуитета, существенно упрощает их количественный анализ, дает возможность применять стандартные формулы. Для количественного анализа аннуитетов нам понадобятся следующие характеристики денежных потоков: FVА  наращенная стоимость потока платежей, сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами; PVА  современная стоимость потока платежей, сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты, или на некоторый упреждающий момент времени; R  член ренты (аннуитета), величина каждого отдельного платежа, +R или – R; t  период ренты, временной интервал между членами ренты; n  срок ренты, время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода; r  процентная ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента. p  количество выплат членов ренты за год; m  количество начислений процентов за год. Обычно считается, что генерируемые в рамках одного временного интервала поступления имеют место либо в его начале  пренумерандо, либо в его конце  постнумерандо, т.е. они сконцентрированы на одной из границ интервала. Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: • прямой, определяющей наращенную сумму денежного потока; • обратной, определяющей современную (приведенную на заданный момент) стоимость денежного потока. Понятно, что формулы для оценки характеристик денежных потоков пренумерандо и постнумеранто различны и будут рассмотрены отдельно. 6.1. Аннуитет постнумерандо 6.1.1. Наращенная сумма постнумерандо Будущая стоимость простого аннуитета, выплаты платежей осуществляются в конце периодов ренты, представляет собой сумму всех составляющих его платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции. Каждый взнос, наращенный к концу срока, имеет следующее значение  R*(1+r)n-1, R*(1+r)n-2 , …... R*(1+r), R. Как видно члены ряда образуют геометрическую прогрессию, а сумма накоплений равна сумме членов прогрессии. Рассмотрим пример. Пример 6.1 На счет в банке в течение 3-х лет в КОНЦЕ каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30% годовых. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета. Решение: Период   Проценты за период Взносы Наращенная сумма на конец периода 1 …. - 500 500 2 …. 150 500 1150 3 …. 345 500 1995 В конце 3-х лет на счету будет сумма FVA=1 995 Сумма всех платежей Сумма начисленных процентов будет равна: I = FVA - = 1995 – 1500 = 495 Ответ: Доход владельца счета за 3 года составит 495 руб.. Наращенная сумма постоянного аннуитета постнумерандо (обычная рента) для годовой ренты р=1 (раз в год) и количества начислений процентов m=1 (раз в год) определяется по формуле: (6.1) Для срочной ренты р>1, начисления процентов m>1, и р≠m наращенная сумма имеет вид: (6.2) Обратите внимание: • В случаях р>1, R – годовая сумма платежей, один раз выплачивается R/p. • При р=1, R – годовая сумма платежа или разовая это одна и та же величина. • Функцию БС для расчета FVA можно использовать только в случае m=p. Если на счету в начале периода лежит разовая сумма PV, а затем идут постоянные вложения +R или выемки –R, то наращенная сумма через n-лет определяется по формуле: (6.3) В Excel функция БС (Ставка; Кпер; Плт; Пс; [тип]) осуществляет вычисления наращенной суммы FV, только если m=p. Для постнумерандо тип=0 или ничего не ставится. Пример 6.1. Еще раз по формуле решим пример 6.1. Для этого примера введем определения: период ренты равен одному году - годовая рента; взносы в конце периода ренты – постнумерандо (обычная рента), проценты начисляются один раз в год; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты - постоянная рента; число членов ренты три - ограниченная рента; выплаты носят безусловный характер - это верная рента. Решим пример 6.1. по формуле аннуитета. R = 500 m=1 р=1 n =3 r = 30% I = ? Решение: Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна по формуле (6.1): FVA= =500*((1+30%)^3-1)/30%=1995,00 В Excel решение выглядит так: БС(30%;3;-500;)= 1995,00 Сумма начисленных процентов: I=FVA - PVA = 1 995,00 – 1 500 = 495,00 руб Ответ:Доход владельца счета за 3 года составит 495,00 руб Пример 6.2. На счете в банке находится 2000 руб.. В течение 3-х лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться ежеквартально проценты по ставке 30% годовых. Определить сумму, которую банк выплатит владельцу счета и доход владельца счета. PV=2000 R = 500 n =3 р=1 m = 4 r = 30% I = ? Решение: Используем формулу (6.3) FV= FV =2000*(1+0,3/4)^(3*4) + 500*(((1+0,3/4)^(3*4)-1)/((1+0,3/4)^4-1)) = 4763,56 + 2059,47= 6823,03 Если p ≠ m функцию БС использовать нельзя! Ответ: Банк выплатит владельцу счета через 3 года 6823, 03 руб. Доход владельца счета за 3 года составит: 6823,03 – 2000 – 1500 = 3323,03руб. 6.1.2. Текущая (современная) стоимость постнумерандо Под текущей величиной (стоимостью) денежного потока понимают сумму всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции. Определение текущей стоимости денежного потока рассмотрим на следующем примере. Современная (текущая) стоимость аннуитета постнумерандо для годовой ренты р=1, при начислении процентов m=1 раз в год определяется по формуле: . (6.4.) Для срочной ренты р>1, m>1, при р≠m современную стоимость находим по формуле: . (6.5) В случаях р>1, R – годовая сумма платежей, каждый раз выплачивается R/p. В Excel функция ПС (Ставка; Кпер; Плт; БС; [тип]) осуществляет вычисления приведенной суммы РVА только для случая m=p. Для постнумерандо тип=0 или ничего не ставится. Пример 6.3. пример 6.1., но нужно найти текущую стоимость всех поступлений по формуле. На счет в банке в течение 3-х лет в КОНЦЕ каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30% годовых. Определить текущую стоимость всех поступлений на начало первого года. Теперь решим пример по формуле аннуитета. R =500 r =30% m=4 р=1 n = 3 PVА = ? Решение: Найдем решение по формуле (6.4) PVА =500*(1-(1+30%)^(-3))/30%=908,06 Обратите внимание, мы получили ту же величину, что и в предыдущий раз, отыскивая текущую стоимость каждой величины по дисконту, а затем их суммируя. В Excel решение выглядит так: ПС(30%;3;-500;)=908,06 Ответ: Текущая стоимость всех поступлений на начало первого года равна 908,06 руб. 6.1.3. Параметры аннуитета постнумерандо Размер платежа R постнумерандо для случая p=m=1 можно определить двумя способами через наращенную cумму FVA, процентную ставку r и срок ренты n по формуле: , (6.6) и через современную стоимость аннуитета PVA, процентную ставку r и срок ренты n по формуле: . (6.7) Для случаев p>1, m>1 размер платежа R постнумерандо также можно определить двумя способами через наращенную cумму FVA, процентную ставку r и срок ренты n по формуле: (6.8) (6.9) В Excel функция ПЛТ (Ставка; Кпер; Пс; Бс; [тип]) служит для вычисления выплат R (подробнее об этой функции см. в приложении), использовать эту функцию можно, если p=m. Пример 6.4 Сумма 100 тыс. руб. предоставлена в долг на 3 года под 18% годовых. Определить ежегодную сумму погашения долга (по аннуитету). PVA =100 000 r =18% n = 3 R = ? Решение: Найдем решение по формуле (6.7) R =100 000*18%/(1-(1+30%)^(-3)) = 45 992,39 В Excel решение выглядит так: ПЛТ(18%;3;-100000) = 45 992,39 Ответ: Ежегодные выплаты составят 45 992,39 руб., по аннуитету. Решим эту же задачу по простым процентам: FV=PV*(1+r*n)= 154 000,00 руб., ежегодный платеж составит FV/n = 51 333,33 руб. Решим эту же задачу по сложным процентам: FV=PV*(1+r)^n= 164 303,20 руб., ежегодный платеж составит FV/n = 54 767,73 руб. Как выгоднее возвращать долг? Срок аннуитета n постнумерандо является еще одним параметром ренты. Срок ренты n можно найти логарифмированием формулы (6.1) для постоянной ренты постнумерандо при р=1 и m=1 и определить через наращенную cумму FVA , (6.10) либо прологарифмировав формулу (6.4) и определить срок ренты n через современную стоимость ренты PVA . (6.11) Срок аннуитета n постнумерандо для случаев p>1, m>1 можно определить из формулы (6.2) через наращенную сумму FVA: , (6.12) или из формулы (6.5) через современную стоимость ренты PVA: . (6.13) Расчетные значения n– дробные, поэтому выбирают ближайшее целое число лет или целое число периодов n×p, которое при определении числа лет необходимо полученное число периодов разделить на p. В Excel функция КПЕР (Ставка; Плт; Пс; Бс; [тип]) служит для вычисления общего количества периодов выплаты n использовать эту функцию можно, если p=m (подробнее об этой функции см. в приложении). Пример 6.5. Работник (ему 40 лет) заключает контракт с фирмой. По контракту в течение 25 лет фирма обязуется перечислять в конце года одинаковые вклады на его пенсионный счет в банк под 20% годовых. Это обеспечит работнику после выхода на пенсию (65 лет) получать с этого счета в течение 18 лет ежегодно по 8 000 руб. Какую сумму должна фирма перечислять ежегодно? Решение: Разделим задачи: Первая задача: – определить сумму, которая должна быть на счету работника в момент выхода на пенсию, значит найти дисконтную стоимость ежегодных выплат по 8 000 руб. в течение 18 лет. Вторая задача: – определить ежегодные вклады на пенсионный счет в течение 25 лет, значит найти член аннуитета. 1. 2. n=18 FVA = PVA (из первой задачи) r =20% n=65 – 40 R=8000 r =20% PVA= ? R=? 1. По формуле (6.4) определим дисконтную стоимость ежегодных выплат по 8 000 руб. в течение 18 лет: PVA=8000*(1-(1+0,2)^(-18))/0,2=38487,56 В Excel решение выглядит так: ПС(20%;18;-8000)=38497,56 2. По формуле (6.7) определим член ренты: R= (38497,56*0,2)/( (1+0,2)^(25)-1) = 81,57 В Excel решение выглядит так: ПЛТ(20%;25;;-38497,5585)= 81,57 Ответ: Фирма должна перечислять ежегодно в течение 25 лет на счет работника 81,57 руб. Пример 6.5.1. Работник (ему 40 лет) заключает контракт с фирмой. По контракту в течение 25 лет фирма обязуется перечислять в конце года одинаковые вклады на его пенсионный счет в банк под 20% годовых. Это обеспечит работнику после выхода на пенсию (65 лет) получать с этого счета в течение 18 лет ежемесячно по 8 000 руб. Какую сумму должна фирма перечислять ежегодно? Смотри решение в Exsel. 6.2. Аннуитет пренумерандо Очень важным является различие по моменту выплат платежей в пределах периода ренты. Выше уже отмечалось, если платежи осуществляются в конце периодов, то соответствующие ренты называют постнумерандо, если же платежи производятся в начале периода, то их называют пренумерандо. Рассмотрим пример платежей пренумерандо. 6.2.1. Наращенная сумма пренумерандо Наращенная сумма постоянного аннуитета пренумерандо (взносы в начале периода) всегда больше суммы обычной ренты постнумерандо (взносы в конце периода) за год в (1+r) или (1+r/m)m/p раз. Приведем формулы для определения наращенной суммы ренты пренумерандо: если p=1, m=1 (6.14) , если p>1, m>1 (6.15) В Excel функция БС (Ставка; Кпер; Плт; Пс; [тип]) осуществляет вычисления наращенной суммы FV, только в случае р≠m. Для пренумерандо во всех функциях Excel [тип]=[1]. Пример 6.6. На счет в банке в течение 3-х лет в НАЧАЛЕ каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета Период Взносы Проценты за период Наращенная сумма на конец периода 1 500 500*(1+0,3) 650,00 2 500 1150*(1+0,3) 1495,00 3 500 1995*(1+0,3) 2593,50 PA – сумма всех платежей Сумма начисленных процентов: I = FVA - PVA= 2 593,50 – 1 500 = 1093,50 Обратите внимание! Ежегодный процентный доход в случае пренумерандо выше постнумерандо, относительно примера 6.1. в (1+30%)=1,3 раза. Решим еще раз пример 6.6. по формулам для аннуитета пренумерандо. Решение: R = 500 n =3 r = 30% I = ? Решение: Используем формулу (6.4) В Excel решаем так: БС(30%;3;-500;;1)= 2593,50 Сумма всех платежей Сумма начисленных процентов: I = FVA - РА= 2593,50 – 1500 = 1093,50руб. Ответ: Доход владельца счета за 3 года составит 1093,50руб. 6.2.2. Текущая (современная) стоимость пренумерандо Формулы для определения современной (текущей) стоимости аннауитета пренумерандо: , если p=1, m=1 (6.16) , если p>1, m>1 (6.17) В Excel функция ПС (Ставка; Кпер; Плт; Бс; [тип]) осуществляет вычисления наращенной суммы –FV, только в случае р≠m. В этой функции для пренумерандо также [тип]= [1]. Пример 6.7. Фирма собирается в течение 3-х лет вносить на счет в банке в начале года по 80 тыс. руб. под 32% годовых. Какая сумма накопится в банке через 3 года? Чему равна текущая стоимость этого аннуитета? а) проценты начисляются 1 раз в год, б) проценты начисляются ежеквартально. R = 80 n =3 a) m1=1 б) m2=4 r = 32% FVA = ? PVA= ? Решение: а) Для определения FVA используем формулу (6.14) и для определения РVA используем формулу (6.16) FVA = 80*(1+32%)*( (1+32%)^3-1)/32% = 428,99 РVA = 80*(1+32%)*(1-(1+32%)^(-3))/32% = 186,52 так как р=m можно было использовать в Еxcel для определения FVA функцию БС, а для определения РVA функцию ПС. FVA = БС(32%;3;-80;;1) = 428,99 РVA =ПС(32%;3;-80;;1) = 186,52 б) Для определения FVA используем формулу (6.15) и для определения РVA используем формулу (6.17) FVA = 80*((1+32%/4)^(3*4)-1)*((1+32%/4)^ 4)/((1+32%/4)^ 4-1) = 458,37 РVA = 80*((1+32%/4)^4)*(1-(1+32%/4)^(- 4*3))/((1+32%/4)^ 4-1) =182,02 Использовать функции ПС и БС в Еxcel нельзя, т.к. р≠m. Значительно легче решать этот пример сразу в Еxcel. Ответ: а) В банке через 3 года накопится сумма 428,99 тыс. руб., текущая стоимость которой на момент начала договора составит 186,52 тыс. руб.; а) В банке через 3 года накопится сумма 458,37 тыс. руб., текущая стоимость которой на момент начала договора составит 182,02 тыс. руб. 6.2.3. Параметры аннуитета пренумерандо Размер платежа R пренумерандо p=m=1 можно определить двумя способами через наращенную cумму FVA, процентную ставку r и срок ренты n по формуле: , (6.18) и через современную стоимость аннуитета PVA, процентную ставку r и срок ренты n по формуле: . (6.19) Размер платежа R пренумерандо для случаев p>1, m>1 также можно определить двумя способами через наращенную cумму FVA, процентную ставку r и срок ренты n по формуле: , (6.20) и через современную стоимость аннуитета PVA, процентную ставку r и срок ренты n по формуле: . (6.21) В Excel функция ПЛТ (Ставка; Кпер; Пс; Бс; [тип]) служит для вычисления выплат R, для пренумерандо [тип]=[1] (подробнее об этой функции см. в приложении), использовать эту функцию можно, если p=m. Срок ренты n пренумерандо для случая р=m=1 можно определить через наращенную cумму FVA , (6.22) либо через современную стоимость ренты PVA . (6.23) Срок аннуитета n пренумерандо для случаев p>1, m>1 через наращенную сумму FVA: , (6.24) или через современную стоимость ренты PVA: . (6.25) Расчетные значения n– дробные, поэтому выбирают ближайшее целое число лет или целое число периодов n×p, которое при определении числа лет необходимо полученное число периодов разделить на p. В Excel функция КПЕР (Ставка; Плт; Пс; Бс; [тип]) служит для вычисления общего количества периодов выплаты n, для пренумерандо [тип]=[1]. Использовать эту функцию можно, если p=m. 7. Кредитные расчеты Заем, кредит, ссуда – финансовые операции предоставления денег или товаров в долг на условиях возврата с уплатой процентов. Условия выдачи и погашения ссуд (займов, кредитов) очень разнообразны. Рассмотрим некоторые из них. Для кредитной схемы в качестве исходных параметров выступают: D - величина займа или тело кредита, в формулах рассмотренных ранее это PV. Y – срочная уплата по займу в формулах рассмотренных ранее это FV. n - срок его погашения r - ставка процента по кредиту Rt - поток платежей по погашению кредита I – проценты по займу Планирование погашения долга заключается в определении периодических расходов, связанных с займом, – такие расходы называются обслуживанием долга. Разовая сумма обслуживания долга Rt – срочная уплата, в которую входят: • текущие процентные платежи; • средства, для погашения основной суммы долга (тела кредита). Размеры срочных уплат Rt зависят от условий займа: • срока; • наличия и продолжительности льготного периода; • уровня процентной ставки; • способа погашения основной суммы долга и выплаты процентов. Рассмотрим различные способы погашения задолженности, поскольку от выбора способа погашения зависит сумма выплачиваемых процентов, а значит и стоимость кредита будет различной. Здесь возможны два варианта: а) погашение единовременным платежом, т.е. возврат всей суммы в оговоренный срок; б) погашение долга в рассрочку, т.е. частями. 7.1. Погашение долга одним платежом в конце срока В простейшем случае кредит погашается единым платежом в конце срока. Срочная уплата Y – рассчитывается по формулам либо простых процентов (1.8) или по сложным процентам формула (1.18), это зависит от условий договора. Данный тип кредита практически не используют банки, т.к. клиент берет деньги и уходит, теряя связь с банком, а затем возникают проблемы с возвратом кредита. С другой стороны так возвращать кредит сложно и кредитору, т.к. нужно копить всю сумму: тело кредита и проценты по нему. Этот платеж, как наращенная сумма долга, состоит из двух частей: • возврат основной суммы долга (D); • выплата процентов по долгу I Для простых процентов проценты по долгу: I= D*(1 + r)*n – D; для сложных процентов: I= D*(1 + r)n - D. Пример 7.1. Предприниматель взял кредит 100000 $, на 3 года под 10% годовых. Долг вместе с процентами оплачивается в конце 3 х-лет. Посчитать сумму возврата по простой и сложной ставке. D=100 n = 3 r = 10% Y=? Решение: простые проценты сложные проценты Y = 100 *(1+0,1*3)=130000 I =130000-100000 =30000 В последний месяц 3-го года выплата 130000 $ Y = 100000(1+0,1)^3=133100; I =133 100-100 000 =33100 В последний месяц 3-го года выплата 133100 $ Ответ: Через 3 года и по простым, и по сложным процентам будет оплачен долг (тело кредита) 100000 $. Проценты по долгу для простых процентов ниже (30000 $), чем для сложным (33100 $). 7.2. Погашение основного долга одним платежом в конце срока с постоянной выплатой процентов Выплата процентов, установленных банком выплачивается кредитором ежемесячно, причем, эти проценты банк устанавливает сам, по простым или сложным процентам, а может быть даже некая фиксированная сумма. Тело кредита возвращается в конце срока займа. Такой тип кредита используют некоторые банки, но он создает проблемы как заемщику, если у него не окажется к концу срока необходимой суммы для оплаты тела кредита, так и, кредитору, который в конце срока начинает “выбивать” кредит. Пример 7.2. Условия те же, что и в примере 7.1. (предприниматель взял кредит 100000 $ , на 3 года под 10% годовых). Изменился тип возврата кредита - проценты выплачиваются ежемесячно, а тело кредита в последний месяц срока кредита. PV=100 r = 10% n = 3 It=? Решение: простые проценты сложные проценты Y = 100 *(1+0,1*3)=130000 I =130000-100000 =30000 Y = 100000(1+0,1)^3=133100; I =133100-100 000 =33100 Ежемесячные платежи в течение 3-х лет (36 мес.) It =30000/36= 833,33 (833,33*35=29166,67) It =33100/36=919,44 (919,44*35=32180,56) В последний 36-ой месяц 3-го года выплата 100 000+833,333=100 833,33 100 000+919,44=100 919,44 Всего выплачено по кредиту 130000 133100 Ответ: Будут выплачены те же суммы, что и в примере 7.1., но выплаты иначе распределены во времени: проценты выплачивались ежемесячно, а тело кредита в последний месяц срока кредита. 7.3. Погашение долга и процентов по нему равными суммами в течение срока ссуды Рассмотрим этот тип кредита на том же примере. Пример 7.3. Условия те же, что и в примере 7.1. Изменился тип возврата кредита - ежемесячные равные выплаты. PV=100 r = 10% n = 3 Rt=? Dt =? It=? Решение: простые проценты сложные проценты Y = 100 *(1+0,1*3)=130000 I =130000-100000 =30000 Y = 100000(1+0,1)^3=133100; I =133100-100000 =33100 Ежемесячные платежи в течение 3-х лет (36 мес.) Rt= 130000/36 = 3611,11 Rt=133100/36=3696,22 Из них Dt=2 777,78 оплата основного долга, It=833,33 проценты по долгу Из них Dt=2 777,78 оплата основного долга, It=919,44 проценты по долгу Всего выплачено по кредиту 130000 133100 Ответ: Будут выплачены те же суммы, что и в примерах 7.1. и 7.2., но выплаты равномерно распределены во времени. 7.4. Погашение долга в рассрочку, проценты считаются на остаток долга (выплаты по аннуитет) Пример тот же изменились условия возврата кредита. Весь долг Yt = Dt + It – тело кредита и проценты по нему погашается равными срочными уплатами, с начислением процентов на остаток основного долга. Такие платежи являются финансовой рентой (аннуитетом). Для этого по формулам аннуитета определяется параметр финансовой ренты – член ренты Rt для конкретного периода ренты. Пример 7.4. Условия те же, что и в примере 7.1. (предприниматель взял кредит 100000 $. , на 3 года под 10% годовых). Изменился тип возврата кредита - погашение долга предусматривает уплату равными срочными выплатами в конце года. Составить план погашения кредита. PV=100000 r = 10% n = 3 R =? Решение: По формуле (6.6) определим член аннуитета Rt=(100000*0,1)/(1-(1+0,1)^(-3)) = 40211,48 Составим план погашения кредита: годы Dt тело кредита на нач. периода выплата за период Rt платежи по процентам It=Dt*r выплаты по основному долгу Dt 1 100 000,00 40 211,48 100000*0,1= 10 000,00 40 211,48-10000= 30 211,48 2 69 788,52 40 211,48 69788,52*0,1= 6 978,85 40 211,48-6978,85= 33 232,63 3 36 555,89 40 211,48 36555,89*0,1= 3655,59 40 211,48-3655,59= 36 555,89    итого 120 634,44 20 634,44  100 000 В Excel функция ПЛТ (Ставка; Кпер; Пс;Бс; [тип]) служит для вычисления выплат R; функция ОСПЛТ (Ставка; Период; Кпер; Пс; Бс) служит для вычисления платежа в погашение основной суммы; функция ПРПЛТ (Ставка; Период; Кпер; Пс; Бс) служит для вычисления процентов по выплате R за данный период. Пример тот же, решаем через функции Excel, смотри этот пример в Excel. Ответ: Ежегодные расходы по погашению долга будут составлять 40211,48 долларов, за весь срок финансовой операции – 120 634,44 $ Погашение долга равными срочными уплатами (по аннуитету) некоторые выводы: 1. Расходы должника по обслуживанию долга постоянны на протяжении всего срока его погашения (достоинство) 2. Платежи по процентам уменьшаются, а суммы погашения основного долга увеличиваются (небольшой недостаток, для заемщика, т.к. если вдруг необходимо продлить кредит или его реструктуризировать, то в конце срока величина тела кредита - большая). 7.5. Потребительский кредит. При выдаче потребительского кредита проценты (обычно простые) начисляются сразу на всю сумму Y=D·(1+r·n). Выплатить нужно всю сумму Y. Погашение кредита осуществляется равными платежами на протяжении всего срока Погашение потребительского кредита по этой схеме во многих банках проводится, так как это описано в разделе 7.3. простые проценты начисляются на все тело кредита Y=D·(1+r·n). Уплаты Dt по телу кредита одинаковы во всех выплатах; It проценты по телу кредита одинаковы во всех выплатах. Выплатить нужно всю сумму Y, равными уплатами Rt=Dt+ It. В последнее время некоторые банки стали выдавать более выгодные потребительские кредиты с возвращением кредита по аннуитету, как это описано в разделе 7.4. Действительно, возвращаемая сумма по аннуитету 120 634,44 $, начислялись сложные проценты, ниже суммы 130 000 $ по простым процентам. Итоги по теме кредитные расчеты: • Долг D (тело кредита) оплачивается всегда полностью. • Кредиты 7.1., 7.2., 7.3., 7.5. имеют одинаковую величину процентов. • По кредиту 7.4. разовый платеж R определяется по аннуитету, проценты считаются на остаток долга, что снижает сумму процентов (I = 20 634$, вместо 30 000$). При составлении плана погашения займа нужно контролировать следующие показатели: 1. остаток основного долга на конец срока должен быть нулевым; 2. SDt сумма платежей по основному долгу должна быть равна величине основного долга D; D= SDt ; 3. сумма всех выплат SRt должна быть равна основному долгу плюс платежи по процентам Y=D+I; Y=SRt. Несмотря на то, что клиент не может диктовать условия своего кредитования банку, найти банк с наиболее приемлемыми условиями для себя это вполне выполнимая задача при умении составлять план погашения кредита. 8. Финансовая эквивалентность обязательств На практике возникают случаи, когда необходимо заменить одни финансовые обязательства на другие, например, возникла необходимость отодвинуть срок возврата долга, или желание заменить 3 последовательные платежа одним в конце срока. Понятно, что такие замены не могут быть произвольными, они должны в одинаковой степени учитывать интересы и кредитора и клиента. Принципом, по которому принято изменять условия контракта является финансовая эквивалентность обязательств. Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи “приведенными” к одному моменту времени (focal date – базовая дата) оказываются равными. Если принцип эквивалентности не соблюдается, то одна из сторон несет ущерб, размер которого можно определить заранее. Два контракта считаются эквивалентными, если приведенные стоимости потоков платежей по этим контрактам одинаковы. Приведение платежей к одному моменту времени осуществляется как путем наращения, так и путем дисконтирования. Нужно понимать, что с увеличением срока платежа растет и величина нового платежа, и наоборот с уменьшением срока платежа уменьшается и величина нового платежа. При замене старого платежа (срок оплаты n1) новым (срок оплаты nn), который осуществится позднее старого nn>n1, используют формулы наращения со сроком n=nn-n1, поэтому новый платеж будет больше старого. Если же новый платеж нужно оплатить раньше старого nn