Эпюры внутренних силовых факторов

Лекция 3 Эпюры внутренних силовых факторов 3.1Внешние силы и их классификация Внешними силами называют силы взаимодействия между рассматриваемым элементом конструкции и связанными с ними телами. Если внешние силы являются результатом непосредственного, контактного взаимодействия данного тела с другими телами, то они приложены только к точкам поверхности тела в месте контакта и называются поверхностными силами. Поверхностные силы могут быть непрерывно распределены по всей поверхности тела или ее части; например: давление пара в котле, ветровая и снеговая нагрузки, давление газа в цилиндре двигателя. Величина нагрузки, приходящаяся на единицу площади, называется интенсивностью нагрузки. Ее обозначают обычно p и измеряют в паскалях (Па) или кратных ему единицах (кПа, МПа, ГПа). Часто нагрузку, распределенную по поверхности (рисунок 2.1, а) приводят к главной плоскости (рисунок 2.1, б), в результате чего получается нагрузка, распределенная по линии, или погонная нагрузка. Интенсивностью такой нагрузки (Н/м, кН/м, МН/м) называют величину нагрузки, приходящуюся на единицу длины линии. Интенсивность может быть переменной по этой длине. Характер изменения нагрузки обычно показывают в виде эпюры (графика) q. p q = pb b b l l Рисунок 2.1, а Рисунок 2.1, б x В случае равномерно распределенной нагрузки (рисунок 2.1, а) эпюра q прямоугольная (рисунок 2.1, б). При действии гидростатического давления эпюра нагрузки q треугольная (рисунок 2.2). Встречаются эпюры q и более сложного вида: трапециевидная, синусоидальная и так далее. q(x) dx q(x) dx x Рисунок 2.2 Отметим, что равнодействующая распределенной нагрузки численно равна площади ее эпюры и приложена в центре ее тяжести. Если нагрузка распределена по небольшой части поверхности тела, то ее всегда заменяют равнодействующей, которую называют сосредоточенной силой F (Н, кН или МН). Кроме того, встречаются нагрузки, которые могут быть представлены в виде сосредоточенного момента (пары). Моменты M (Нм, кНм или МНм) будем изображать обычно одним из двух способов, показанных на рисунках 2.3, а и 2.3, б. Иногда момент удобно представлять в виде вектора, перпендикулярного к плоскости действия пары. Вектор момента условимся всегда считать правовинтовым. Чтобы отличать его от вектора силы, линию вектора-момента делают волнистой (рисунок 2.3, г) или ставят две стрелки (рисунок 2.3, в). М М М Рисунок 2.3, а Рисунок 2.3, б Рисунок 2.3, в М Рисунок 2.3, г Встречаются такие нагрузки, которые не являются результатом контакта двух тел, например: собственный вес, силы инерции движущегося тела и прочие. Эти силы приложены в каждой точке объема, занятого телом, а потому называются объемными или массовыми силами. Собственный вес деталей или частей машин и сооружений обычно меньше других нагрузок, действующих на них. Поэтому, если нет особой оговорки, во всем дальнейшем изложении собственный вес принимать во внимание не будем. В зависимости от характера приложения сил во времени различают нагрузки статические и динамические. Нагрузка считается статической, если она сравнительно медленно и плавно (хотя бы в течение нескольких секунд) возрастает от нуля до своего конечного значения, а затем остается неизменной. При этом можно пренебречь ускорениями деформируемых масс, а значит, и силами инерции. Динамические нагрузки сопровождаются значительными ускорениями как деформированного тела, так и взаимодействующих с ним тел. При этом возникают силы инерции, которыми нельзя пренебречь. Динамические нагрузки делят на мгновенно приложенные, ударные и повторнопеременные. Нагрузка считается мгновенно-приложенной, если она возрастает от нуля до своего конечного значения за в течение очень короткого промежутка времени (долей секунды). Такова нагрузка при воспламенении горючей смеси в цилиндре двигателя внутреннего сгорания или при трогании с места железнодорожного состава. Для ударной нагрузки характерно то, что в момент ее приложения тело, вызывающее нагрузку, обладает определенной кинетической энергией. Такая нагрузка получается, например, при забивании сваи с помощью копра, в деталях механического кузнечного молота и так далее. Многие детали машин (шатуны, валы, оси железнодорожных вагонов и прочие) подвержены действию нагрузок, непрерывно и периодически меняющихся во времени. Такие нагрузки называют повторно-переменными. Они, как правило, сопряжены с циклически повторяющимися движениями детали. Это вращательно-поступательное движение штока поршня, колебания элементов конструкций и другое. 3.2 Внутренние силы. Метод сечений. Виды деформаций Внутренними называются силы, возникшие между элементарными частями тела, к которым относятся кристаллы, молекулы, атомы и прочие элементарные части, сохраняющие тело как единое целое. При внешнем воздействии на любое тело внутренние силы в нем изменяются и появляются дополнительные составляющие, называемые внутренними усилиями (В.У.), или внутренними силами упругости (В.С.У.). Благодаря этим внутренним усилиям тело пытается вернуться в исходное положение при снятии внешней нагрузки. Если же внутреннее усилие достигает предельного значения, происходит разрушение нагруженного тела. В курсе сопротивления материалов довольно часто приходится определять (находить, рассчитывать) внутренние усилия, характеризующие прочность проектируемых конструкций. С этой целью применяется (используется) так называемый метод сечений (М.С.) Суть метода сечений заключается в следующем: тело, нагруженное системой уравновешенных нагрузок, рассекается в месте, где необходимо найти внутренние усилия (рисунок 2.4.1). 1 F1 Fi В  Fi  0 А F2 Fn секущая Рисунок 2.4.1 Отделяем одну из частей тела. Заменяем ее действие внутренними усилиями, действующими в сечении этого тела (рисунок 2.4.2). Fi 2 В.У. А Fn Рисунок 2.4.2   Приводим внутренние усилия к главному вектору R и главному моменту M (рисунок 2.4.3).  R 3 z y Fi  M центр тяжести Fn x Рисунок 2.4.3 Проецируем главный вектор и главный момент на три оси координат, которые являются главными центральными осями сечения (рисунок 2.4.4). В итоге получим шесть компонентов внутренних усилий, называемых внутренними силовыми факторами. y 4 M Fi Qy M Nz Q z x Fn M x Рисунок 2.4.4 x, y, z – главные центральные оси сечения. 3.3 Внутренние силовые факторы Nz Nz Nz Nz z: Nz – предельная сила (возникает при деформации растяжения или сжатия) R x: Qx поперечная сила (возникает при деформации сдвига или среза) y: Qy Q Q М М z: Mz – крутящий момент (возникает при деформации кручения) M x: Mx y: My изгибающие моменты (возникают при деформации изгиба) M M И в завершении, находим величины В.С.Ф., составляя уравнения равновесия (уравнения статики) путем сложения проекций всех внешних сил или моментов по трем осям координат. внешние силы Nz    z ( Fi ) оставшаяся часть  Qx   x ( Fi )  Q y   y ( Fi ) внешние силы Mz    m z ( Fi ) оставшаяся часть  M x   m x ( Fi )  M y   m y ( Fi )                  (2.1)* правило " РОЗУ" Таким образом, рассмотренный выше метод сечений позволяет найти любой В.С.Ф. в произвольном месте нагруженного бруса. Для этого удобно воспользоваться правилом «РОЗУ». Согласно методу сечений: 1 2 3 4 Р О З У ассекаем брус в рассматриваемом сечении; тбрасываем одну из частей (любую); аменяем действие отброшенной части внутренним силовым фактором; равновешиваем оставшуюся часть бруса, то есть пишем уравнения равновесия. 3.4 Эпюры внутренних силовых факторов и их построение q1 F F F М q2 Эпюрой называется график, характеризующий закон изменения какого-либо параметра (например, В.С.Ф., напряжения, перемещения, температуры и прочее) по длине или высоте составной части конструкции. Эпюра позволяет установить место положения опасного сечения, где вероятнее всего произойдет разрушение. При построении эпюр необходимо придерживаться некоторых общих правил и общего порядка. Правилами построения являются: - ось, или база, эпюры выбирается рядом с исходной расчетной схемой (рисунок 3.1.1); F F l l Q Q M M Рисунок 3.1.1 Рисунок 3.1.2 - ординаты эпюры откладываются от оси в некотором масштабе с учетом знака (рисунок 3.1.2); - поле эпюры подвергается штриховке (штриховые линии должны быть перпендикулярны к оси эпюры), внутри него указывается знак и обозначаются характерные ординаты эпюры (рисунок 3.1.3); F l F Q Fl M Рисунок 3.1.3 - выше или рядом с эпюрой дается ее название и указывается размерность, если эпюра построена в числовом виде. Порядок построения эпюр: - расчетная схема заданного бруса разбивается на силовые участки, то есть участки, в пределах которых закон изменения заданного фактора является одним и тем же (постоянным). Границами силовых участков являются сечения, в пределах которых действуют внешние нагрузки (M, F, q) или изменяется направление оси и поперечные размеры бруса (рисунок 3.2); M F F F III II q IV q V VII VI VIII IX X XI XII XIII XIV F I Рисунок 3.2 - для каждого силового участка применяется метод сечений (правило «РОЗУ») и составляется общее уравнение искомого В.С.Ф. в виде функции переменной абсциссы z (рисунок 3.3); F I z Q( z )  F ;  M ( z )  F  z. l Рисунок 3.3 - по полученным уравнениям определяются характерные ординаты эпюр (эпюры) и выполняется их построение в соответствии с вышерассмотренными правилами. QI  F ; M II  z0  F  l zl (рис уно к 3.1.3). При построении эпюр В.С.Ф. предварительно устанавливаются правила знаков, которые являются условными для каждого фактора. В дальнейшем будем принимать следующие правила знаков. Правило знаков №1: для продольной силы N. Продольная сила считается положительной, если внешняя продольная нагрузка пытается растянуть брус по отношению к выбранному сечению, и продольная сила отрицательна, если – вызывает сжатие бруса (рисунок 3.4). F F F F N>0 N<0 Рисунок 3.4 Правило знаков №2: для крутящего момента Mкр.. Крутящий момент считается положительным, если момент внешних сил – вращающий момент – направлен против часовой стрелки при взгляде со стороны сечения на оставшуюся часть бруса, и крутящий момент отрицателен, если – направлен по часовой стрелке (рисунок 3.5). Мвр. Мвр. Мвр. Мвр. Мкр. > 0 Рисунок 3.5 Мкр. < 0 Правило знаков №3: для поперечной силы Q. Поперечная сила считается положительной, если внешняя поперечная нагрузка пытается повернуть оставшийся участок бруса по часовой стрелке относительно сечения, и поперечная сила отрицательна, если – против часовой стрелки (рисунок 3.6). F F q q F q q Q>0 Рисунок 3.6 Это правило еще называют правилом «акробата»: Q<0 F + – Q>0 Q<0 Правило знаков №4 для изгибающего момента Мизг.. Изгибающий момент считается положительным, если относительно сечения внешние нагрузки действуют таким образом, что нижние волокна (слои) бруса растянуты, а верхние волокна (слои) сжаты, и изгибающий момент отрицателен, если все наоборот (рисунок 3.7). М М сжатие М F q q М сжатие растяжение растяжение растяжение растяжение сжатие F F q q сжатие F Мизг. > 0 Мизг. < 0 Рисунок 3.7 Это правило еще называют правилом «зонтика»: M>0 M<0 При построении эпюр изгибающих моментов можно использовать один из следующих приемов откладывания ординат от оси эпюры: - со стороны растянутого волокна – означает, что эпюра строится с той стороны бруса, с которой ее волокна растянуты (в этом случае для балок знак «+» оказывается снизу, а знак «–» – сверху); - со стороны сжатого волокна – означает, что эпюра строится с той стороны балки, с которой ее волокна сжаты (в этом случае знак «+» оказывается сверху, а знак «–» – снизу). z Пример (рисунок 3.8): 2 q qz z l + l2 q 2 M “на растянутом волокне” M “на сжатом волокне” – Рисунок 3.8 M ( z) z  0  0; 2 z z2  q  z    q   l 2 2 z  l  q  . 2 3.5 Дифференциальные зависимости между поперечной силой и изгибающим моментом. Пункты контроля правильности построения эпюр внутренних силовых факторов Рассмотрим брус, нагруженный произвольно распределенной нагрузкой (рисунок 4.1). q = const q = q(z) Q M + dM M z z dz Q + dQ I II I dz II Рисунок 4.1 Двумя сечениями вырежем из бруса бесконечно малый участок длиной dz. В этом случае действующую внешнюю нагрузку можно считать равномерно распределенной, или постоянной. Составляем уравнение равновесия для этого бесконечно малого участка:  y  0: Q  q  dz  Q  dQ   0; q dQ dz (4.1)*  M II  0 : M  Q  dz  q  dz  dz  M  dM   0; 2 бесконечно малая величина 2го порядка 0 dM dz (4.2)* d 2M q dz 2 (4.3)* Q Подставим (4.2) в (4.1), получим: Система уравнений (4.1), (4.2) и (4.3) носит название дифференциальных зависимостей при изгибе. При помощи этих зависимостей можно выполнить проверку правильности построения эпюр при изгибе. Рассмотрим основные пункты контроля построения эпюр В.С.Ф. для случая изгиба: 1) На участках, где действует только внешний момент, эпюра Q отсутствует, а эпюра M ограничена прямой, параллельной оси эпюры (рисунок 4.2). M q F z z z l Q=0 Q l + Q Q ql F + M M M – M Fl Рисунок 4.2 Рисунок 4.3 + – ql 2 2 Рисунок 4.4 2) На участках, где действует только сила, эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси, а эпюра M – наклонной линией (рисунок 4.3). 3) На участках, где действует только равномерно распределенная нагрузка, эпюра Q ограничена наклонной, а эпюра M – параболой, причем кривизна параболы совпадает с направлением стрелок распределенной нагрузки. Это утверждение справедливо только для растянутого волокна. (рисунок 4.4). 4) В сечениях, где приложен внешний момент, эпюра Q остается неизменной, а ан эпюре M наблюдается «скачки» на величину внешнего момента (рисунок 4.5). 5) В сечениях, где приложена внешняя сила, на эпюре Q наблюдается «скачок» по направлению и величине внешней силы, а на эпюре M возникает излом линии, острие которого (излома) совпадает с направлением внешней силы, если эпюра построена на растянутом волокне. 6) В сечениях, где эпюра Q пересекает осевую линию, то есть обращается в нуль, на эпюре M имеет место экстремальный момент, то есть максимальный или минимальный в пределах данного участка (рисунок 4.7). 7) На участках, где Q больше нуля, ординаты эпюры M слева направо возрастают алгебраически, а где Q меньше нуля – убывают (рисунки 4.3 – 4.7). M l M l M l l 2 F 2 l 2 l 2 + 2 F 2 «скачок» + Q F 2 F Q M 2 – «скачок» – M F 2 M + + M 2 Fl 4 Рисунок 4.5 Рисунок 4.6 8) Ординаты эпюры Q изменяются прямо пропорционально тангенсу угла наклона касательной к эпюре моментов в данной точке (рисунок 4.7, увеличенное изображение). Q1  Q2 ql 2 tgα1  tgα 2 ql 2 q l ql 2 Q Q  tgα Q Q1 + z экс.  l 2 M    Q=0 – Q2 ql 2 2 ql 8 + M 1 2 Рисунок 4.7 3.6 Основные гипотезы о деформируемом теле. Гипотезы сопротивления материалов При решении задач курса сопротивления материалов не всегда удается учесть все факторы нагружения или свойства материала в виду того, что это представляет большие трудности. В этом случае принимается ряд допущений, или гипотез, которые упрощают анализ выполняемого расчета. Возникающие при этом неточности или погрешности не превышают допустимых пределов, характерных для инженерного расчета.  < 10% (погрешность не превышает 10%) В курсе сопротивления материалов довольно часто используют следующие гипотезы, характеризующие как свойства деформируемого материала, так и особенности его нагружения. Рассмотрим эти гипотезы. 1 Гипотеза о сплошности материала предполагает, что материал заполняет объем тела без пустот или посторонних включений. 2 Гипотеза об однородности и изотропности предполагает, что свойства материала одинаковы во всех точках и по всем направлениям в теле. сталь бетон дерево однородная и изотропная неоднородный и изотропный однородное и анизотропное 3 Гипотеза об идеальной упругости материалов предполагает, что материал является абсолютно упругим, то есть в нем не остаются деформации после снятия внешнего нагружения. 4 Гипотеза о линейной зависимости между нагрузками и деформациями в теле предполагает, что с изменением нагрузки пропорционально изменяется и деформация, то есть считается справедливым закон Гука (F = – kx). 5 Гипотеза о малости деформаций предполагает, что деформации в теле намного меньше, чем его абсолютные размеры (рисунок 8.1). F B A MA = Fl B u MA = F(l – u) l бесконечно малая величина 0 Рисунок 8.1 u << l 6 Принцип суперпозиции (принцип независимости действия сил) предполагает, что результат действия группы сил равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности (рисунок 8.2). F1 F2 F3 у1 у2 у3 Рисунок 8.2 F F = F1 + F2 + F3 y y = y1 + y2 + y3