Определение изгиба; внутренние силовые факторы

ЛЕКЦИЯ №11 Определение изгиба. Внутренние силовые факторы. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Дифференциальные зависимости между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки. Под плоским изгибом понимается такой вид нагружения, при котором внешняя нагрузка лежит в одной из главных плоскостей балки и вызывает в поперечном сечении изгибающий момент, поперечную и нормальную (продольную) силы. Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, а поперечная и нормальная силы равны нулю, изгиб называется чистым. Очень часто, наряду с изгибающими моментами возникают также и поперечные силы. В этом случае изгиб называют поперечным. Если помимо изгибающего момента присутствует еще и нормальная (продольная) сила, то изгиб называется продольным. Стержень, работающий в основном на изгиб, называют балкой. Для того, чтобы правильно ориентироваться в вопросах, связанных с расчетом стержня на изгиб, необходимо, прежде всего, научиться строить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Анализ внутренних силовых факторов начинается, обычно, с определения системы внешних сил и, в частности, с определения реакции опор (рис. 6.1). Рис. 11.1 Ya = bF aF Y = ; . a+b b a+b На расстоянии z от левой опоры проведем сечение D и разделим балку мысленно на две части. Для того, чтобы каждая из частей находилась в равновесии, в сечении D необходимо приложить силу Q и момент Мизг. Эти силовые факторы определяются из условия одной из частей стержня. Если взять сумму моментов всех сил, действующих на левую часть стержня относительно центральной поперечной оси в сечении D, и приравнять эту сумму нулю, то получим: Мизг=Ya·z. Если бы слева от сечения D действовали не одна, а несколько сил, величина изгибающего момента Мизг в сечении определилась бы суммой моментов этих сил. Таким образом, изгибающий момент в сечении может рассматриваться как сумма моментов относительно поперечной оси сечения стержня всех сил, расположенных по одну сторону от этого сечения. При построении эпюр изгибающих моментов используется правило знаков, при котором знак момента не зависит от направления внешних осей. Эпюра моментов строится на оси стержня, и ордината момента откладывается в сторону вогнутости упругой линии, т.е., как говорят, эпюра изгибающих моментов строится на сжатом волокне. Ориентироваться при постановке знаков изгибающих моментов можно при помощи рис. 11.2. Рис. 11.2 Рис. 11.3 Определим поперечные силы Qy. Во всех случаях величина поперечной силы для прямого стержня равна сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения. Отсюда устанавливается правило знаков для поперечной силы. Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, вниз – отрицательной. Для сил, расположенных справа – обратное: если равнодействующая внешних сил направлена вверх – «минус», вниз – «плюс». Иначе правило знаков для поперечной силы можно сформулировать с помощью рис. 11.3. В случае равнодействующего момента (от внешней и внутренней сил), направленного против часовой стрелки, ордината поперечной силы откладывается вниз со знаком «-», а в случае равнодействующего момента, направленного по часовой стрелке – вверх со знаком плюс. Рассмотрим построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов на примере консольной балки. Консольной балкой (или консолью) называют стержень, защемленный одним концом. 1. Действует только сосредоточенная сила F, приложенная на конце консоли (рис. 1.4). В зависимости от текущей координаты z поперечная сила Qy остается постоянной для всех сечений и равной внешней силе Qy=F. Величина же изгибающего момента будет возрастать по мере приближения сечения к заделке. Параметрически данную зависимость от текущей координаты можно выразить в виде M x = Fz . На конце консоли величина изгибающего момента будет равна 0, а у заделки Mx=Fl. По полученным значениям можно построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (см. рис. 11.4). Рис. 11.4 2. Действует только сосредоточенный момент М, приложенный на конце консоли (рис. 6.5). Независимо от текущей координаты z, поперечная сила Qy будет равна нулю, в виду отсутствия внешних сил, действующих на балку. Изгибающий момент Mx будет оставаться постоянным в любом поперечном сечении и равным Mx=М. По полученным значениям можно построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (см. рис. 11.5). Рис. 11.5 3. Действует только распределенная по длине нагрузка q (рис. 11.6). В этом случае поперечная сила, в рассматриваемом сечении, численно равна площади фигуры, ограниченной распределенной нагрузкой q. При равномерной распределенной нагрузке поперечная сила зависит от текущей координаты z и распределена по линейному закону. В данном случае Qy=qz. Следовательно, на конце консоли величина поперечной силы будет равна нулю, а у заделки – ql. Для определения изгибающего момента в некотором сечении при действии распределенной нагрузки необходимо сначала заменить действующую распределенную нагрузку эквивалентной сосредоточенной силой Q0=qz, приложить эту силу в центре тяжести фигуры, ограниченной распределенной нагрузкой и умножить на кратчайшее расстояние от сечения до линии действия эквивалентной силы. Если выразить это через текущую координату, qz 2 то получим зависимость M x = . Таким образом, изгибающий момент при 2 действии распределенной нагрузки изменяется по параболическому закону (см. рис. 11.6). Следовательно, на конке консоли изгибающий момент будет ql 2 . По полученным значениям можно построить равен нулю, а у заделки – 2 эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (см. рис. 11.6). Рис.11.6 4. Действуют несколько силовых факторов (рис. 11.7). При этом эпюры поперечной силы и изгибающего момента будут строиться как суммарные от действия каждого силового фактора, как если бы он действовал независимо от других. При этом параметрически зависимости для поперечной силы и изгибающего момента необходимо задавать кусочно, учитывая все силовые факторы. Пример построения эпюр показан на рис. 11.7. Рис. 11.7 Рассматривая эпюры поперечной силы и изгибающего момента, нетрудно подметить определенную закономерную связь. Судя по виду эпюр, поперечная сила Qy представляет собой первую производную от изгибающего момента Мx по координате z, направленной вдоль стержня. Докажем это. Пусть стержень закреплен произвольным образом и нагружен распределенной нагрузкой интенсивности q=f(z). Принятое направление q будем считать положительным (см. рис. 11.8). Выделим из стержня элемент длиной dz и в проведенных сечениях приложим моменты M и M+dM, а также поперечные силы Q и Q+dQ. Направления этих силовых факторов приняты положительными в соответствии с обусловленными выше правилами знаков. В пределах малого отрезка dz распределенную нагрузку q можно считать распределенной равномерно. Рис. 11.8 Приравниваем к нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов относительно поперечной оси: Q + qdz − Q − dQ = 0 , dz M + Qdz + qdz − M − dM = 0 . 2 dz qdz Учитывая абсолютную малость величины 2 остальными слагаемыми, получим по сравнению с dQ = q, dz dM = Q. dz (11.1) Таким образом, поперечная сила действительно представляет собой первую производную от изгибающего момента по координате z, направленной по длине стержня. Производная же по координате z от поперечной силы дает интенсивность внешней распределенной нагрузки q. Если стержень нагружен только равномерно распределенной нагрузкой q=const., то функция зависимости для поперечной силы Q, будет линейной, а для изгибающего момента Мизг – квадратичной. Если распределенная нагрузка отсутствует q=0, то Q=const. на участках стержня между сосредоточенными внешними силами, а Мизг – линейная функция от Q по z.