Двумерные случайные величины

Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 111 Ëåêöèÿ 6. Äâóìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, åå ñâîéñòâà. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, ñâîéñòâà. Ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â îáëàñòü. Íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Êîððåëÿöèîííûé ìîìåíò, êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè è åãî ñâîéñòâà. Ïðÿìûå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé ðåãðåññèè. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Âî ìíîãèõ ðåàëüíûõ çàäà÷àõ ìû èìååì íå îäíó, à íåñêîëüêî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â îäíîì è òîì æå ýêñïåðèìåíòå. Èíîãäà èõ óäîáíî ðàññìàòðèâàòü êàê åäèíûé îáúåêò. Ýòî ïðèâîäèò íàñ ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ. Îïðåäåëåíèå 6.1. n -ìåðíûì ñëó÷àéíûì âåêòîðîì èëè n-ìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íàçûâàåòñÿ íàáîð ξ = (ξ1 , ξ2 . . . , ξn ) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, çàäàííûõ íà îäíîì è òîì æå âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, A, P ). Ôàêòè÷åñêè ñëó÷àéíûé âåêòîð ξ åñòü îòîáðàæåíèå ξ : Ω → Rn Ïðèâåä¼ì ïðèìåðû ìíîãîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. 1. Ðåçóëüòàòû ýêçàìåíàöèîííîé ñåññèè ñòóäåí÷åñêèõ ãðóïï õàðàêòåðèçóåòñÿ ñèñòåìîé n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . , ξn  îöåíêàìè ïî ðàçëè÷íûì ïðåäìåòàì. 2. Îòêëîíåíèå ïóëè îò öåíòðà ìèøåíè â âèäå êâàäðàòà ìîæíî çàäàâàòü êàê ÷åòûð¼õìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð: X = (ξ; η; ζ; τ ), ãäå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû: ξ, η, ζ, τ  îòêëîíåíèå ïóëè âïðàâî, ââåðõ, âëåâî, âíèç, ñîîòâåòñòâåííî. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , âõîäÿùèå â ñèñòåìó, ìîãóò áûòü äèñêðåòíûìè è íåïðåðûâíûìè. Äëÿ ïðîñòîòû è áîëüøåé íàãëÿäíîñòè, ðàññìîòðèì äâóìåðíûå ñëó÷àéíûå âåêòîðû. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òî÷êó íà ïëîñêîñòè ñî ñëó÷àéíûìè êîîðäèíàòàìè (ξ; η). Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà îáå ñîñòàâëÿþùèå  äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Îïðåäåëåíèå 6.2. Çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé äâóìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà íàçûâàþò ïåðå÷åíü âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ýòîé âåëè÷èíû, ò.å. ïàð ÷èñåë (xi ; yj ), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, è èõ âåðîÿòíîñòåé pij = P (ξ = xi ; η = yj ). 112 Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàþò â âèäå òàáëèöû ñ äâîéíûì âõîäîì, â êîòîðîé óêàçûâàþò âñå çíà÷åíèÿ xi , yi è âåðîÿòíîñòè pij . ξ\ η x1 .. . xi .. . xn y1 ... p11 . . . .. .. . . pi1 . . . .. .. . . ... ym p1j . . . .. .. . . pij . . . .. .. . . p1m .. . yj pim .. . pn1 . . . pnj . . . pnm Äîáàâèì ê ýòîé òàáëèöå åù¼ ñïðàâà îäèí ñòîëáåö è ñíèçó îäíó ñòðîêó, â êîòîðûå çàïèøåì ñóììû ýëåìåíòîâ. Òàáëèöà 6.1 Ðàñïðåäåëåíèå äâóìåðíîé äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η y1 ... yj ... ym P (ξ = xi ) ξ\ x1 .. . p11 .. . xi .. . pi1 .. . xn P (η = yj ) pn1 p ∗1 ... .. . ... .. . p1j .. . ... ... pnj p ∗j pij .. . ... .. . ... .. . p1m .. . p1 ∗ .. . ... ... pim .. . pi ∗ .. . pnm p ∗m pn ∗ 1 Òàê êàê ñîáûòèÿ {ξ = xi , η = yi }, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m ïîïàðíî íåñîâìåñòíû è â ñóììå äàþò äîñòîâåðíîå ñîáûòèå, ñóììà âñåõ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà 1. Çíàÿ äâóìåðíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîæíî íàéòè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé (íî íå íàîáîðîò). Äåéñòâèòåëüíî: P (ξ = xi ) = P (ξ = xi , η = y1 ) + P (ξ = xi , η = y2 ) + . . . m P . . . + P (ξ = xi , η = ym ) = pij = pi ∗ . (6.1) j=1 Àíàëîãè÷íî P (η = yi ) = n X i=1 pij = p ∗j . (6.2) Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 113 Èòàê, ñëîæèâ âåðîÿòíîñòè ¾ïî ñòðîêàì¿ è çàïèñàâ èõ â ïîñëåäíèé ñòîëáåö, ìû ïîëó÷èì ðàñïðåäåëåíèå ñîñòàâëÿþùåé ξ (ïåðâûé è ïîñëåäíèé ñòîëáåö òàáëèöû 6.1). Ñëîæèâ âåðîÿòíîñòè ïî ñòîëáöàì è çàïèñàâ èõ â ïîñëåäíþþ ñòðî÷êó, ìû ïîëó÷èì ðàñïðåäåëåíèå ñîñòàâëÿþùåé η (ïåðâàÿ è ïîñëåäíÿÿ ñòðîêè òàáëèöû 6.1). Çíàÿ ðàñïðåäåëåíèå ñîñòàâëÿþùèõ, ìîæåì íàéòè ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè êàæäîé èç íèõ: n m X X M (ξ) = xi pi ∗ , M (η) = yj p ∗j . (6.3) i=1 j=1
6.3. Òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè M (ξ); M (η) íàçûâàåòñÿ öåíòðîì ðàñïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå Îòìåòèì, ÷òî òàáëèöà 6.1, êðîìå èíôîðìàöèè î ðàñïðåäåëåíèè êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé, ñîäåðæèò òàêæå èíôîðìàöèþ îá èõ âçàèìíîì âëèÿíèè. Íàéä¼ì, íàïðèìåð, óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè P (η = yj /ξ = xi ) è P (ξ = xi /η = yj ). Èç ôîðìóëû (2.3) ñëåäóåò, ÷òî P (B/A) = P (A · B) . P (A) (6.4) Ïîýòîìó P (η = yj /ξ = xi ) = P (ξ = xi , η = yj ) pij = . P (ξ = xi ) pi ∗ (6.5) pij . p ∗j (6.6) Àíàëîãè÷íî: P (ξ = xi /η = yj ) = Î÷åâèäíî, ÷òî æå, êàê è n P m P P (η = yj /ξ = xi ) = 1 äëÿ i = 1, . . . , n, òàê j=1 P (ξ = xi /η = yj ) = 1 äëÿ j = 1, . . . , m (äîêàæèòå i=1 ñàìîñòîÿòåëüíî). Âåðîÿòíîñòè P (η = yj /ξ = xi ) äëÿ j = 1, . . . , m îáðàçóþò óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ξ .  ÷àñòíîñòè, ìîæíî íàéòè óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå η ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ξ : m X M (η/ξ = xi ) = yj P (η = yj /ξ = xi ) äëÿ i = 1, . . . , n (6.7) j=1 114 Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. è óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ξ ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè η : n X M (ξ/η = yj ) = xi P (ξ = xi /η = yj ) äëÿ j = 1, . . . , m. (6.8) i=1 Çàìå÷àíèå 6.1. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ íåçàâèñèìûõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η P (η = yj /ξ = xi ) = P {η = yj } è P (ξ = xi /η = yj ) = P (ξ = xi ). Äðóãèìè ñëîâàìè, çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé èç íèõ íå çàâèñèò îò çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ äðóãîé. Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ 3.12 äëÿ íåçàâèñèìûõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η âåðîÿòíîñòü pij = pi ∗ · p ∗j , ïîýòîìó: pi ∗ · p ∗j pij P (η = yj /ξ = xi ) = = = p ∗j . pi ∗ pi ∗ Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì: pij pi ∗ · p ∗j P (ξ = xi /η = yj ) = = = pi ∗ . p ∗j p∗ j Ïðèìåð 6.1. Äèñêðåòíàÿ äâóìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà çàäàíà òàáëèöåé 6.2. Òàáëèöà 6.2 Óñëîâèå ïðèìåðà 6.1 ξ\η 1 3 5 1 0,1 0,2 0,3 2 0,0 0,3 0,1 Íàéòè áåçóñëîâíîå è óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå η ïðè óñëîâèè ξ = 2, à òàêæå áåçóñëîâíîå è óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ξ ïðè óñëîâèè η = 1. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ïðîèçâåäåíèÿ ξη . IÑíà÷àëà íàéä¼ì áåçóñëîâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ξ è η , ñóììèðóÿ âåðîÿòíîñòè ïî ñòðîêàì è ñòîëáöàì òàáëèöû 6.2, è äîïèøåì èõ â òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ (â ïîñëåäíèé ñòîëáåö è ñòðîêó) (ñì. òàáë. 6.3). Èñêîìûå áåçóñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ïîëó÷àòñÿ êàê îáû÷íî äëÿ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé: M (ξ) = 1 · 0,6 + 2 · 0,4 = 1,4, M (η) = 1 · 0,1 + 3 · 0,5 + 5 · 0,4 = 3,6. Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Ðåøåíèå ξ\η 1 1 0,1 2 0,0 P (η = yi ) 0,1 115 Òàáëèöà 6.3 ïðèìåðà 6.1 3 5 P (ξ = xi ) 0,2 0,3 0,6 0,3 0,1 0,4 0,5 0,4 1 Äàëåå, ïî ôîðìóëàì (6.5) è (6.6) íàéä¼ì óñëîâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ P (η = yj /ξ = 2) è P (ξ = xi /η = 1): (η = yj , ξ = 2) P (η = yj , ξ = 2) = , P (ξ = 2) 0,4 P (ξ = xi , η = 1) P (ξ = xi , η = 1) P (ξ = xi /η = 1) = = . P (η = 1) 0,1 Ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöàõ 6.4, 6.5. Óñëîâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ P (η = yj /ξ = 2) = η P (η = yj /ξ = 2) Òàáëèöà 6.4 1 3 5 0 3/4 1/4 Òàáëèöà 6.5 ξ 1 2 P (ξ = xi /η = 1) 1 0 Íàéä¼ì òåïåðü óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ïî ôîðìóëàì (6.7), (6.8) äëÿ äàííûõ èç òàáëèö 6.4, 6.5. M (ξ/η = 1) = 1 · 1 + 2 · 0 = 1, 1 3 M (η/ξ = 2) = 1 · 0 + 3 · + 5 · = 3,5. 4 4 Êàê âèäèì, óñëîâíûå è ñîîòâåòñòâóþùèå áåçóñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ðàçëè÷àþòñÿ. Íàéä¼ì òåïåðü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðîèçâåäåíèÿ ξη . Äëÿ ýòîãî íàïèøåì ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Òàáëèöà 6.6 Ðàñïðåäåëåíèå ïðîèçâåäåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξη 1 2 3 5 6 10 P 0,1 0,0 0,2 0,3 0,3 0,1 M (ξη) = 1 · 0,1 + 2 · 0 + 3 · 0,2 + 5 · 0, 3 + 6 · 0,3 + 10 · 0,1 = 5,1 D(ξη) = M ((ξη)2 ) − M 2 (ξη) = 1 · 0,1 + 4 · 0 + 9 · 0,2 + 25 · 0, 3 + 36 · 0,3 + + 100 · 0,1 − 5,12 = 30,2 − 26,01 = 4,19. 116 Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Îòâåò: M (ξ) = 1,4; M (η) = 3,6; M (ξ/η = 1) = 1; M (η/ξ = 2) = 3,5; M (ξη) = 5,1; D(ξη) = 4,19. 6.1. Äâóìåðíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòü Ïðèâîäèìîå íèæå îïðåäåëåíèå 6.4 ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ òàáëèöåé 6.1, ðàáîòàòü ñ êîòîðîé óäîáíåå, ÷åì ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ äâóìåðíîé äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. 6.4. Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ; η) íàçûâàþò Îïðåäåëåíèå F (x; y) = P (ξ < x; η < y). (6.9) Äâóìåðíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (1) 0 6 F (x; y) 6 1; (2) F (−∞; y) = F (x; −∞) = F (−∞; −∞) = 0 F (+∞; +∞) = 1; (3) F (x; y) åñòü íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ ïî êàæäîìó àðãóìåíòó; (4) Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé ïîëó÷àþòñÿ ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì: Fξ (x) = P (ξ < x) = F (x; +∞), Fη (y) = P (η < y) = F (+∞; y); (5) Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ïðÿìîóãîëüíèê âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëå: P (x1 6 ξ < x2
; y1 6 η < y2 ) =
= F (x2 ; y2 ) − F (x2 ; y1 ) − F (x1 ; y2 ) − F (x1 ; y1 ) . (6.10) Äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâ 1, 2 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþò èç îïðåäåëåíèÿ 6.4 (ïðîâåäèòå èõ ñàìîñòîÿòåëüíî). Äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâà 3 àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ñâîéñòâà 3 ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) â ï. 3.2 ëåêöèè 3. Ñâîéñòâî 4 î÷åâèäíî: F (x; +∞) = P (ξ < x; η < +∞) = P (ξ < x) = Fξ (x). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâà 5 çàìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 6.4 F (x2 ; y2 ) åñòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â óãîë
ACE , F (x2 ; y1 )  â óãîë F DE ; ñëåäîâàòåëüíî F (x2 ; y2 )− F (x2 ; y1 ) åñòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ïîëóïîëîñó ACDF (ðèñ. 21). Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 117
Àíàëîãè÷íî F (x1 ; y2 ) − F (x1 ; y1 ) åñòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ïîëóïîëîñó ABGF . Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçíîñòü ýòèõ âåðîÿòíîñòåé åñòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ïðÿìîóãîëüíèê BCDG. y y A y2 B C F y1 G D G ∆y H x1 E x2 x ∆x x 22. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â îáëàñòü Ðèñ. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ïðÿìîóãîëüíèê Ðèñ. 21. Îïðåäåëåíèå 6.5. Äâóìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (ξ; η) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé, åñëè å¼ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x; y) íåïðåðûâíà è èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà âñþäó (çà èñêëþ÷åíèåì áûòü ìîæåò, êîíå÷íîãî ÷èñëà êðèâûõ). 6.6. Ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ äâóìåðíîé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ; η) íàçûâàåòñÿ âòîðàÿ ñìåøàííàÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: Îïðåäåëåíèå ∂ 2 F (x; y) f (x; y) = . (6.11) ∂x∂y Äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (1) f (x; y) > 0; (2) f (−∞; y) = f (x; −∞) = f (±∞; ±∞) = 0; Rx Ry (3) F (x; y) = f (s; t)dsdt; −∞ −∞ (4) Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ; η) â îáëàñòü G ðàâíà: ZZ f (x; y)dxdy; P ((ξ; η) ∈ G) = G 118 Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Z+∞ Z (5) f (x; y)dxdy = 1. −∞ Ñâîéñòâî 1 åñòü ñëåäñòâèå ñâîéñòâà 3 F (x; y): ïðîèçâîäíàÿ îò íåóáûâàþùåé ôóíêöèè íåîòðèöàòåëüíà. Ñâîéñòâî 2 âûòåêàåò èç ñâîéñòâà 2 F (x; y), ò.ê. ïðîèçâîäíàÿ êîíñòàíòû ðàâíà íóëþ. Ñâîéñòâî 3 ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ 6.6, ïîñêîëüêó F (x; y) ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ f (x; y). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâà 4 îáëàñòü G ñëåäóåò ðàçáèòü íà ìíîæåñòâî ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñî ñòîðîíàìè ∆x è ∆y (ðèñ. 22). Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â i-é èç íèõ îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñâîéñòâà 5 ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x; y). Ïðèìåíèì ê ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ôîðìóëó Ëàãðàíæà:
P (x1i 6 ξ < x2i ; y1i 6 η
< y2i ) = F (x2i ; y2i ) − F (x2i y1i ) − ′′ − F (x1i ; y2i ) − F (x1i y1i ) = Fxy (si ; ti )∆x∆y = f (si ; ti )∆x∆y, (6.12) ãäå òî÷êà (si ; ti ) íàõîäèòñÿ âíóòðè i-ãî ïðÿìîóãîëüíèêà. Î÷åâèäíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â îáëàñòü G ïðèáëèæ¼ííî ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé ïîïàäàíèÿ â ýòè ïðÿìîóãîëüíèêè: P ((ξ; η) ∈ G) ≈ n X f (si ; ti )∆x∆y. i=1 Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ∆x → 0, ∆y → 0 (n → ∞), ïîëó÷èì ñâîéñòâî 4 ïëîòíîñòè f (x; y). Òåïåðü ñâîéñòâî 5 î÷åâèäíî, ò.ê. âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü âî âñþ ïëîñ+∞ RR êîñòü ñ îäíîé ñòîðîíû ðàâíà f (x; y)dxdy , à ñ äðóãîé ñòîðîíû  åñòü −∞ äîñòîâåðíîå ñîáûòèå. Ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ äâóìåðíîé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîëó÷àþòñÿ èç å¼ ïëîòíîñòè f (x; y) ïî ôîðìóëàì (6.13): Z+∞ fξ (x) = f (x; y)dy; −∞ Z+∞ fη (y) = f (x; y)dx. −∞ (6.13) Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó F (x; y) = Fξ (x) = F (x; +∞) = Rx +∞ R −∞ −∞ Rx Ry −∞ −∞ 119 f (s; t)dsdt, ïîëó÷àåì f (s; t)dsdt. Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ îáå ÷à- ñòè ýòîãî ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì:  Zx Z+∞  Z+∞ dFξ (x) d fξ (x) = = f (s; t)dsdt = f (x; t)dt. dx dx −∞ −∞ −∞ Èç ðàâåíñòâà (6.12) ñëåäóåò, ÷òî âåðîÿòíîñòíûé ñìûñë äâóìåðíîé ïëîòíîñòè ñîñòîèò â òîì, ÷òî f (x; y) ðàâíà âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé òî÷êè â ïðÿìîóãîëüíèê ñ âåðøèíîé (x; y), ñ ìàëûìè ñòîðîíàìè ∆x, ∆y , îòíåñ¼ííîé ê ïëîùàäè ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà. Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, íàéä¼ì óñëîâíóþ ïëîòíîñòü ñîñòàâëÿþùåé η ïðè ôèêñèðîâàííîé âåëè÷èíå ξ è íàîáîðîò. 6.7. Óñëîâíîé ïëîòíîñòüþ f (y/ξ = x) ðàñïðåäåëåíèÿ η ïðè óñëîâèè, ÷òî ξ = x, íàçûâàåòñÿ:  0, fξ (x) = 0, f (y/ξ = x) =  f (x; y) (6.14) , fξ (x) ̸= 0. fξ (x) Îïðåäåëåíèå Óñëîâíîé ïëîòíîñòüþ f (x/η = y) ðàñïðåäåëåíèÿ ξ ïðè óñëîâèè, ÷òî η = y , íàçûâàåòñÿ:  0, fη (y) = 0,  (6.15) f (x/η = y) = f (x; y) , fη (y) ̸= 0. fη (y) Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëû (6.14), (6.15) ñîîòâåòñòâóþò ôîðìóëå (6.4), åñëè ó÷åñòü âåðîÿòíîñòíûé ñìûñë ïëîòíîñòè. Òàê, íàïðèìåð: f (x; y)∆y f (x; y)∆x∆y = = f (y/ξ = x)∆y. fξ (x)∆x fξ (x) 6.8. Óñëîâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì η ïðè óñëîâèè, ÷òî ξ = x, íàçûâàåòñÿ: Îïðåäåëåíèå Z+∞ M (η/ξ = x) = yf (y/ξ = x)dy. −∞ (6.16) 120 Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Óñëîâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ξ ïðè óñëîâèè, ÷òî η = y , íàçûâàåòñÿ: Z+∞ M (ξ/η = y) = x · f (x/η = y)dx. (6.17) −∞ Çàìåòèì, ÷òî M (η/ξ = x) åñòü ôóíêöèÿ îò x: M (η/ξ = x) = fη/ξ (x). Àíàëîãè÷íî M (ξ/η = y) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò y : M (ξ/η = y) = ψξ/η (y). 6.9. Ôóíêöèþ fη/ξ (x) íàçûâàþò ðåãðåññèåé η íà ξ . Äðóãèìè ñëîâàìè, ðåãðåññèåé η íà ξ íàçûâàåòñÿ óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå η ïðè ôèêñèðîâàííîì ξ = x. Àíàëîãè÷íî ψξ/η (y) íàçûâàåòñÿ ðåãðåññèåé ξ íà η . Îïðåäåëåíèå 6.2. Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè Íàïîìíèì, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 3.21, äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè F (x; y) = Fξ (x) · Fη (y). Òåîðåìà 6.1. Äëÿ íåçàâèñèìîñòè íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè- ÷èí ξ è η íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû f (x; y) = fξ (x) · fη (y). Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ξ è η íåçàâèñèìû, òî ïî îïðåäåëåíèþ 3.21 ∂ 2 F (x; y) F (x; y) = Fξ (x) · Fη (y) =⇒ f (x; y) = = ∂x∂y   ∂ ′ ′ = Fξ (x) · Fη (y) = Fξ′ (x) · Fη′ (y) = fξ (x) · fη (y). ∂y Åñëè f (x; y) = fξ (x) · fη (y), òî Zx Zy Zx Zy fξ (s) · fη (t)dsdt = f (s; t)dsdt = F (x; y) = −∞ −∞ Zx = Zy fξ (s)ds −∞ −∞ −∞ fη (t)dt = Fξ (x) · Fη (y). −∞ Ñëåäîâàòåëüíî, ξ è η íåçàâèñèìû ïî îïðåäåëåíèþ 3.21. Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 121 Çàìå÷àíèå 6.2. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ íåçàâèñèìûõ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η f (y/ξ = x) = fη (y) è f (x/η = y) = fξ (x) ïðè fξ (x) ̸= 0, fη (y) ̸= 0. Ò.å. çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé èç íèõ íå çàâèñèò îò çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ äðóãîé. Äåéñòâèòåëüíî, ïî òåîðåìå 6.1 äëÿ íåçàâèñèìûõ íåïðåðûâíûõ ξ è η âûïîëíÿåòñÿ f (x; y) = fξ (x) · fη (y), ïîýòîìó ïðè fξ (x) ̸= 0 ïîëó÷àåì: f (y/ξ = x) = f (x; y) fξ (x) · fη (y) = = fη (y). fξ (x) fξ (x) Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ âòîðîå ðàâåíñòâî. Ïðèìåð 6.2. Ïëîòíîñòü f (x; y) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:  C ïðè x2 + y 2 6 R2 , f (x; y) = 0 ïðè x2 + y 2 > R2 . Îïðåäåëèòü êîíñòàíòó C è ôóíêöèè ðåãðåññèè η íà ξ è ξ íà η . IÄëÿ îïðåäåëåíèÿ êîíñòàíòû C âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì 5 ïëîòíîñòè: Z+∞ Z ZZ ZZ f (x; y)dxdy = 1 =⇒ C dxdy = 1 =⇒ C dxdy = 1. −∞ x2 +y 2 R fξ (x) = 0; ïðè |x| < R √ R Z2 −x2 fξ (x) = √ − R2 −x2 √ 1 2 R 2 − x2 dy = . πR2 πR2 Îêîí÷àòåëüíî:  √  2 R 2 − x2 ïðè |x| < R, fξ (x) = 2 πR  0 ïðè |x| > R. (6.18) 122 Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Àíàëîãè÷íî:  p  2 R2 − y 2 ïðè |y| < R, fη (y) = 2  0 πR ïðè |y| > R. Òåïåðü ïî ôîðìóëàì (6.14), (6.15)   √ 1 2 2 f (y/ξ = x) =  02 R − x   p 1 f (x/η = y) = 2 R2 − y 2  (6.19) îïðåäåëÿåì: ïðè x2 + y 2 < R2 , ïðè x2 + y 2 > R2 ; , ïðè x2 + y 2 < R2 , ïðè x2 + y 2 > R2 . Íàêîíåö, ïî ôîðìóëàì (6.16), (6.17) íàéä¼ì óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè: √ R Z2 −x2 M (η/ξ = x) = √ − R2 −x2 √ 2 2 ZR −y M (ξ/η = y) = − √ R2 −y 2 1 dy = 0, y √ 2 2 R − x2 1 x p dx = 0. 2 R2 − y 2 Ïðèìåð 6.3. Óñòàíîâèòü, áóäóò ëè çàâèñèìû ñîñòàâëÿþùèå ξ è η ïðèìåðà 6.2. IÊàê áûëî óñòàíîâëåíî â ïðèìåðå 6.2, ïëîòíîñòè ðàâíû: ( 1 ïðè x2 + y 2 < R2 , f (x; y) = πR2 ïðè x2 + y 2 > R2 ;  √  2 R 2 − x2 ïðè |x| < R, fξ (x) = 2  0 πR ïðè |x| > R; ( √ 2 R2 −y 2 ïðè |y| < R, fη (y) = πR2 ïðè |y| > R. Ïîñêîëüêó f (x; y) ̸= fξ (x) · fη (y), ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η çàâèñèìû. Ýòîò ôàêò ñëåäóåò òàêæå èç òîãî, ÷òî f (x/η = y) ̸= fξ (x) è f (y/ξ = x) ̸= fη (y). Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 123 Îòâåò: ξ è η çàâèñèìû. Äëÿ îïèñàíèÿ çàâèñèìîñòè ìåæäó äâóìÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ξ è η ââåä¼ííûå ðàíåå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè M (ξ), D(ξ), M (η), D(η) íåïðèìåíèìû. Ââåä¼ì ïîíÿòèå êîððåëÿöèîííîãî ìîìåíòà è êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè. 6.10. Êîððåëÿöèîííûì ìîìåíòîì Kξη ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η íàçûâàþò:


Kξη = M ξ − M (ξ) η − M (η) . Îïðåäåëåíèå Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî êîððåëÿöèîííûé ìîìåíò ìîæíî òàêæå âû÷èñëÿòü ïî ôîðìóëå: Kξη = M (ξ · η) − M (ξ) · M (η). (6.20) Äåéñòâèòåëüíî, ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ïîëó÷àåì: 

 Kξη = M ξ − M (ξ) η − M (η) = M ξη − ξM (η) − ηM (ξ)+
+M (ξ) · M (η) = M (ξη) − M (ξ)M (η) − M (η)M (ξ) + M (ξ)M (η) = = M (ξη) − M (ξ)M (η). Âû÷èñëåíèå êîððåëÿöèîííîãî ìîìåíòà ïî ôîðìóëå (6.20) äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ñóììû: Kξη = m X n X pij xi yj − M (ξ) · M (η), j=1 i=1 à äëÿ íåïðåðûâíûõ  èíòåãðàëà: Z+∞ Z xyf (xy)dxdy − M (ξ) · M (η). Kξη = −∞ Òåîðåìà 6.2. Äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí êîððåëÿöèîííûé ìîìåíò ðàâåí íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ èç ôîðìóëû (6.20), ïîëó÷àåì äëÿ íåçàâèñèìûõ ξ è η : Kξη = M (ξ · η) − M (ξ) · M (η) = M (ξ) · M (η) − M (ξ) · M (η) = 0. Òåîðåìà 6.3. Ìîäóëü êîððåëÿöèîííîãî ìîìåíòà íå ïðåâûøàåò ïðîèçâåäåíèÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îòêëîíåíèé: |Kξη | 6 σξ ση . 124 Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. I Ðàññìîòðèì D(ση · ξ − σξ · η) > 0. Ó÷èòûâàÿ (6.20), à òàêæå: σξ2 = M (ξ 2 ) − M 2 (ξ), ση2 = M (η 2 ) − M 2 (η), ïîëó÷àåì:
2 D(ση · ξ − σξ · η) = M (ση · ξ − σξ · η)2 − M (ση · ξ − σξ · η) =
2 = M (ση2 · ξ 2 − 2σξ ση · ξ · η + σξ2 · η 2 ) − ση M (ξ) − σξ M (η) = = ση2 M (ξ 2 ) − 2σξ ση M (ξη) + σξ2 M (η 2 ) − ση2 M 2 (ξ) + 2σξ ση M (ξ)M (η)−

−σξ2 M 2 (η) = ση2 M (ξ 2 ) − M 2 (ξ) + σξ2 M (η 2 ) − M 2 (η) −
−2σξ ση M (ξη) − M (ξ)M (η) = = ση2 σξ2 + σξ2 ση2 − 2σξ ση Kξη = 2σξ2 ση2 − 2σξ ση Kξη . Èç íåðàâåíñòâà 2σξ2 ση2 −2σξ ση Kξη > 0 ïîëó÷àåì: Kξη 6 σξ ση . Àíàëîãè÷íî, ðàññìîòðåâ D(ση ξ+σξ η) > 0, ïîëó÷èì: Kξη > −σξ ση . Îáúåäèíÿÿ äâà íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì: −σξ ση 6 Kξη 6 σξ ση . J Íà ïðàêòèêå ïîëüçóþòñÿ áåçðàçìåðíîé õàðàêòåðèñòèêîé  êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè. 6.11. Êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè rξη ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η íàçûâàåòñÿ K M (ξη) − M (ξ)M (η) rξη = ξη = . (6.21) σξ ση σξ ση Îïðåäåëåíèå Ïðèìåð 6.4. Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èç ïðèìåðà 6.2. IÏîñêîëüêó ïëîòíîñòè ñîñòàâëÿþùèõ ξ è η , îïðåäåëÿåìûå ïî ôîðìóëàì (6.18), (6.19), ÿâëÿþòñÿ ÷¼òíûìè ôóíêöèÿìè, ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ ðàâíû íóëþ: √ ZR 2 R 2 − x2 M (ξ) = x· dx = 0 πR2 −R êàê èíòåãðàë îò íå÷¼òíîé ôóíêöèè ïî ñèììåòðè÷íîìó îòíîñèòåëüíî íóëþ èíòåðâàëó. Àíàëîãè÷íî: ZR p 2 2 R − y2 M (η) = dy = 0. y πR2 −R Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 125 Íàéä¼ì M (ξ · η): Z+∞ Z M (ξ · η) −∞ 1 = πR2 Z+R 1 xdx x · yf (xy) dxdy = πR2 −R √ R Z2 −x2 dy = √ − R2 −x2 Z+R √ x · 2 R2 − x2 dx = 0 ïî òîé æå ïðè÷èíå. −R Èòàê: Kξη = M (ξ · η) − M (ξ) · M (η) = 0 =⇒ rξη = Kξη = 0. σξ ση Îòâåò: rξη = 0. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè. (1) Äëÿ íåçàâèñèìûõ ξ è η êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ðàâåí íóëþ: rξη = 0, (2) |rξη | 6 1, (3) |rξη | = 1 ⇐⇒ η = kξ + b èëè ξ = kη + b. Ñâîéñòâî 1 ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îïðåäåëåíèÿ 6.11 è òåîðåìû 6.2. Ñâîéñòâî 2 íåìåäëåííî ñëåäóåò èç òåîðåìû 6.3: K rξη = ξη =⇒ −1 6 rξη 6 1. σξ ση Ñâîéñòâî 3 áóäåò äîêàçàíî â ñëåäóþùåì ïóíêòå. 6.3. Èç ðàâåíñòâà íóëþ êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè íå ñëåäóåò íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Çàìå÷àíèå Äåéñòâèòåëüíî, â ïðèìåðå 6.4 îïðåäåëåíî, ÷òî êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èç ïðèìåðà 6.2 ðàâåí íóëþ, à â ïðèìåðå 6.3 óñòàíîâëåíî, ÷òî ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû çàâèñèìû. 6.12. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íàçûâàþòñÿ íåêîððåëèðîâàííûìè, åñëè èõ êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ðàâåí íóëþ: rξη = 0. Îïðåäåëåíèå Èç ñâîéñòâà 1 è çàìå÷àíèÿ 6.3 ñëåäóåò ñâÿçü ìåæäó íåçàâèñèìîñòüþ è íåêîððåëèðîâàííîñòüþ: íåçàâèñèìîñòü íåêîððåëèðîâàííîñòü êîððåëèðîâàííîñòü çàâèñèìîñòü =⇒ =⇒ / =⇒ =⇒ / íåêîððåëèðîâàííîñòü; íåçàâèñèìîñòü; çàâèñèìîñòü; êîððåëèðîâàííîñòü. 126 Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 6.3. Ïðÿìûå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé ðåãðåññèè Ðàññìîòðèì äâóìåðíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó (ξ; η). Ïîñòàâèì çàäà÷ó: ¾íàèëó÷øèì îáðàçîì¿ ïðèáëèçèòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó η ôóíêöèåé g(ξ). ¾Íàèëó÷øèì îáðàçîì¿ áóäåò ïîíèìàòüñÿ h â ñìûñëå
ìèíèìèi 2 çàöèè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ, ò.å. M η − g(ξ) äîëæíî ïðèíèìàòü íàèìåíüøåå âîçìîæíîå äëÿ äàííîãî êëàññà ôóíêöèé g(ξ) çíà÷åíèå. h
2 i η − g(ξ) Îïðåäåëåíèå 6.13. Ôóíêöèÿ y = g(x) òàêàÿ, ÷òî M ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå âîçìîæíîå äëÿ äàííîãî êëàññà ôóíêöèé g(ξ) çíà÷åíèå, íàçûâàåòñÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé ðåãðåññèåé η íà ξ . Åñëè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå èùåòñÿ â êëàññå ëèíåéíûõ ôóíêöèé g(x) = kx + b, òî ðåãðåññèÿ íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé ðåãðåññèåé η íà ξ ; å¼ ãðàôèêîì ÿâëÿåòñÿ, î÷åâèäíî, ïðÿìàÿ. Òåîðåìà 6.4. Ëèíåéíàÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêàÿ ðåãðåññèÿ η íà ξ èìååò âèä: y = M (η) + rξη
ση x − M (ξ) . σξ (6.22) Àíàëîãè÷íî
σξ y − M (η) . (6.23) ση
Îáå ïðÿìûå ðåãðåññèè (6.22) è (6.23) ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó M (ξ); M (η)  öåíòð ðàñïðåäåëåíèÿ. Îáå ïðÿìûå ñîâïàäàþò, åñëè rξη = ±1. σ Êîýôôèöèåíò rξη η íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ðåãðåññèè η íà ξ σξ  σ  η rξη  êîýôôèöèåíò ðåãðåññèè ξ íà η . Çíàê êîýôôèöèåíòà ðåσξ ãðåññèè ñîâïàäàåò ñî çíàêîì êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè rξη . Òàê, íàïðèìåð, ïðè rξη > 0 ëèíåéíàÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêàÿ ðåãðåññèÿ η íà ξ âîçðàñòàåò, ïðè rξη < 0  óáûâàåò. x = M (ξ) + rξη Ïðèìåð 6.5. Ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ, η) ðàñïðåäåëåí ðàâíîìåðíî â îáëàñòè G, ðèñ.23. 1) Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà è ïðîâåðèòü ÿâëÿþòñÿ ëè îíè çàâèñèìûìè. 2) Âûÿñíèòü, êîððåëèðîâàíû ëè êîìïîíåíòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, η). Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 127 3) Íàéòè P ((ξ, η) ∈ D), ãäå D = {(x, y)|x2 + y 2 6 1}. B y 1 -1 C 1 A -1 x -1 D Ðèñ. 23. Ïðè- ìåð 6.5 I 1) Íà ðèñ. 23 ïðåäñòàâëåíà îáëàñòü ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà G, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ïàðàëëåëîãðàìì è îáëàñòü D. Èç ñâîéñòâ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ïîñòîÿííà è ðàâíà 1/S (S ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà) íà îáëàñòè G è ðàâíà íóëþ âíå å¼. S = AC · AD = 4. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà  0, (x, y) ̸∈ G, f (x, y) = 1 , (x, y) ∈ G. 4 Ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ äâóìåðíîé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîëó÷àþòñÿ èç å¼ ïëîòíîñòè f (x; y) ïî ôîðìóëàì (6.13). Ïðè x ̸∈ [−1; 1] fξ (x) = 0, ò.ê. f (x, y) = 0. Ïðè çàêðàøèâàíèè îáëàñòè G âåðòèêàëüíûìè ëèíèÿìè íåîáõîäèìî äâèãàòüñÿ îò íèæíåé ëèíèè y = x − 1 äî âåðõíåé ëèíèè y = x + 1, ïîýòîìó Z+∞ Zx+1 1 1 fξ (x) = f (x; y)dy = dy = y 4 4 −∞ x+1 x−1 1 1 = (x + 1 − x + 1) = . 4 2 x−1 Ñëåäîâàòåëüíî, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [−1; 1] è å¼ ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàâíà  fξ (x) = 1 , 2 0, x ∈ [−1; 1], x ̸∈ [−1; 1]. 128 Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíòû η . Ïðè y ̸∈ [−2; 2] fη (y) = 0, ò.ê. f (x, y) = 0. Ïðè çàêðàøèâàíèè îáëàñòè G ãîðèçîíòàëüíûìè ëèíèÿìè íåîáõîäèìî ðàçáèòü îáëàñòü íà äâå ïîäîáëàñòè: DAC , êîòîðàÿ ñëåâà îãðàíè÷èâàåòñÿ ïðÿìîé x = −1, à ñïðàâà ïðÿìîé x = y + 1 è ABC , îãðàíè÷åííóþ ïðÿìûìè x = y − 1 (ñëåâà) è x = 1 (ñïðàâà). Ïðè y ∈ [−2; 0] Z+∞ Zy+1 1 1 fη (y) = f (x; y)dx = dx = x 4 4 −∞ −1 y+1 −1 1 1 1 = (y + 1 + 1) = y + . 4 4 2 Ïðè y ∈ [0; 2] Z+∞ Z1 1 1 fη (y) = f (x; y)dx = dx = x 4 4 −∞ íà: 1 y−1 1 1 1 = (1 − y + 1) = − y + . 4 4 2 y−1 Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíòû η èìååò ðàâ-   0, y ̸∈ [−2; 2],   1 1 y + , y ∈ [−2; 0), fη (y) = 4 2   1 1  − y y ∈ [0; 2]). 2 4 Íà ðèñ. 24, ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ; η). Îòìåòèì, ÷òî âñå ñâîéñòâà ôóíêöèè ïëîòíîñòè âûïîëíÿþòñÿ. fh(y) fx(x) 0,5 0,5 x 1 -1 Ðèñ. -2 24. âåêòîðà y Êîìïîíåíòû (ξ; η) 2 ïëîòíîñòè Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 129 Ñîãëàñíî òåîðåìû 6.1, êîòîðàÿ óòâåðæäàåò, ÷òî äëÿ íåçàâèñèìîñòè íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû f (x; y) = fξ (x) · fη (y), äåëàåì âûâîä, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η çàâèñèìû. Äîêàæåì ýòî åù¼ âòîðûì ìåòîäîì. Äëÿ ýòîãî íàéä¼ì óñëîâíûå ïëîòíîñòè êîìïîíåíò ïî ôîðìóëàì (6.14) è (6.15).  fξ (x) = 0,  0, f (x; y) f (y/ξ = x) = , fξ (x) ̸= 0.  fξ (x) ( 1 , x ∈ [−1; 1], 2 0, x ̸∈ [−1; 1]. f (y/ξ = x) =  0,    1      4 ,    1   y+1 2 4 f (x/η = y) = 1     4 ,    1 1    − y    2 4 0, y 6 −2,  0,   −2 < y 6 0,  1    , y+2 = 1   ,    0 6 y < 2,  2−y 0, y 6 −2, −2 < y 6 0, 0 6 y < 2, y > 2. y > 2,  ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå óñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ f (x/η = y) è f (y/ξ = x) íå ñîâïàäàþò ñ áåçóñëîâíûìè ïëîòíîñòÿìè fη (y) è fξ (x). Ýòî èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η çàâèñèìû. 2) Âûÿñíèòü, êîððåëèðîâàíû ëè êîìïîíåíòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, η). Ïî âû÷èñëåííûì ïëîòíîñòÿì ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà íàéä¼ì èõ ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ. Z+∞ Z1 1 x2 1 xdx = · M (ξ) = xfξ (x)dx = 2 2 2 −∞ −1 1 −1 = 0. 130 Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À.   Z+∞ Z0  Z2  1 1 1 1 y+ − y dy = M (η) = yfη (y)dy = y dy + y 4 2 2 4 −∞  =  2 y3 y + 12 4 −2  + −2  3 y2 y − 4 12 2 = 8 8 −1+1− = 0. 12 12 Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ìîæíî áûëî áåç âû÷èñëåíèé èíòåãðàëîâ íàéòè çíà÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé, èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî îáå ôóíêöèè ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, η) ðàâíî íóëü-âåêòîðó (0; 0). Êîððåëÿöèîííûé ìîìåíò (êîâàðèàöèÿ) Kξη âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (6.20) Kξη = M (ξη) − M (ξ)M (η). Âû÷èñëèì M (ξη) Z Z1 Zx+1 Z+∞ Z+∞ 1 1 x dx y dy = M (ξη) = xy f (x, y) dx dy = xy dxdy = 4 4 −∞ −∞ 1 = 4 Z1 −1 −1 G x+1 y2 x dx · 2 1 = 8 x−1 1 = 2 Z1 Z1 x(x2 + 2x + 1 − x2 + 2x − 1) dx = −1 1 x3 x dx = 2 3 1 2 −1 x−1 −1 1 = . 3 Òåïåðü íàéäåì êîððåëÿöèîííûé ìîìåíò 1 Kξη = M (ξη) − M (ξ)M (η) = . 3 Ñëåäîâàòåëüíî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íàõîäÿòñÿ â êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè. 3) Íàéòè P ((ξ, η) ∈ D), ãäå D = {(x, y)|x2 + y 2 6 1}. Íàéä¼ì ïëîùàäü êðóãà ðàäèóñà 1, çà âû÷åòîì äâóõ ñåãìåíòîâ êðóãà âûõîäÿùèõ çà ïðåäåëû ïàðàëëåëîãðàììà. Ýòà ïëîùàäü ðàâíà Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. π π + 0,5 · 1 · 1) = + 1. 4 2 ZZ S1 1 P ((ξ, η) ∈ D) = dxdy = = 4 4 131 S1 = 2 · ( π 2 +1 π 1 = + .J 4 8 2 DG 6.4. Äâóìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Îïðåäåëåíèå 6.14. Äâóìåðíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì (íîðìàëüíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ íà ïëîñêîñòè) íàçûâàþò ðàñïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîé äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ; η) ñ ïëîòíîñòüþ: 1 q f (x; y) = × 2 2πσξ ση 1 − rξη !  (x − aξ ) (y − aη ) (x − aξ )2 (y − aη )2 1 + − 2rξη . ×exp − 2 ) 2(1 − rξη σξ2 ση2 σξ ση (6.24) Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åãî ïàðàìåòðû èìåþò ñëåäóþùèé âåðîÿòíîñòíûé ñìûñë: aξ = M (ξ), aη = M (η), σξ2 = D(ξ), ση2 = D(η), rξη  êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ξ è η . Çàìå÷àíèå 6.4. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (6.13), ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñîñòàâëÿþùèå ξ è η èìåþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè ξ ∼ N (aξ ; σξ ) è η ∼ N (aη ; ση ) ñîîòâåòñòâåííî. Òåîðåìà 6.5. Åñëè ñîñòàâëÿþùèå äâóìåðíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àé- íîé âåëè÷èíû íåêîððåëèðîâàíû, òî îíè íåçàâèñèìû. Äîêàçàòåëüñòâî. f (x; y) = 1 √ σξ 2π ·e − Åñëè rξη = 0, òî èç (6.24) ñëåäóåò, ÷òî (x − aξ )2 2σξ2 · 1 √ ση 2π ·e − (y − aη )2 2ση2 = fξ (x) · fη (y). Ò.å. äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïëîòíîñòåé ñîñòàâëÿþùèõ, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäñòâèåì 6.3 îçíà÷àåò èõ íåçàâèñèìîñòü. Èòàê, äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîíÿòèå íåêîððåëèðîâàííîñòè è íåçàâèñèìîñòè ñîñòàâëÿþùèõ ðàâíîñèëüíû. 132 Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Îïðåäåëåíèå 6.15. Åñëè îáå ôóíêöèè ðåãðåññèè η íà ξ (ò.å. y = = M (η/ξ = x)) è ξ íà η (ò.å. x = M (ξ/η = y)) ëèíåéíû, òî ãîâîðÿò, ÷òî ξ è η ñâÿçàíû ëèíåéíîé êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòüþ. Òåîðåìà 6.6. Ñîñòàâëÿþùèå äâóìåðíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñâÿçàíû ëèíåéíîé êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòüþ. Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èâ u = ïëîòíîñòü (6.24) â âèäå: f (x; y) = 1 q ·e 2 2πσξ ση 1 − rξη − x − aξ y − aη , v = , çàïèøåì σξ ση
1 2 2 u + v − 2r u · v ξη 2 ) 2(1 − rξη . Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòàâëÿþùåé ξ â ñîîòâåòñòâèè ñ çàìå÷àíèåì 6.4 èìååò âèä: fξ (x) = u2 e 2. − 1 √ σξ 2π Íàéä¼ì óñëîâíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ η ïðè ôèêñèðîâàííîé ξ : ! f (x; y) 1 1 q f (y/ξ = x) = · exp − =√ (v − rξη u)2 = 2 ) fξ (x) 2(1 − r 2 2πσ 1 − r ξη η ξη  y − a x − aξ  2  η − rξη   ση σξ 1  =  · exp − =√  q q 2  2 2 2π ση 1 − rξη 2 1 − rξη  
2  σ y − aη + rξη η (x − aξ )   σξ 1 .  · exp  − =√  q   q 2   2 2 2π ση 1 − rξη 2 ση 1 − rξη Êàê âèäèì, ïîëó÷åííîå óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå íîðìàëüíî ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì (ôóíêöèåé ðåãðåññèè η íà ξ ): σ M (η/ξ = x) = aη + rξη η (x − aξ ) σξ 2 è äèñïåðñèåé ση2 (1 − rξη ). Ëåêöèÿ 6. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 133 Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü ôóíêöèþ ðåãðåññèè ξ íà η : σ M (ξ/η = y) = aξ + rξη ξ (y − aη ). ση Òàê êàê îáå ôóíêöèè ðåãðåññèè ëèíåéíû, óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî.