Динамика; основные определения

15. Динамика. Основные определения Динамика – раздел теоретической механики, изучающий механическое движение с самой общей точки зрения. Движение рассматривается в связи с действующими на объект силами. Раздел состоит из трех отделов: Динамика Динамика материальной точки Динамика механической системы Аналитическая механика 15. Динамика. Основные определения Основные допущения: – существует абсолютное пространство (обладает чисто геометрическими свойствами, не зависящими от материи и ее движения . – существует абсолютное время (не зависит от материи и ее движения). Отсюда вытекает: – существует абсолютно неподвижная система отсчета. – время не зависит от движения системы отсчета. – массы движущихся точек не зависят от движения системы отсчета. Эти допущения используются в классической механике, созданной Галилеем и Ньютоном. 15. Динамика. Основные определения Основные законы динамики – впервые открытые Галилеем и сформулированные Ньютоном составляют основу все методов описания и анализа движения механических систем и их динамического взаимодействия под действием различных сил. Закон инерции (закон Галилея-Ньютона) – Изолированная материальная точка тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Отсюда следует эквивалентность состояния покоя и движения по инерции (закон относительности Галилея). Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной. Свойство материальной точки стремиться сохранить неизменной скорость своего движения (свое кинематическое состояние) называется инертностью. 15. Динамика. Основные определения Закон пропорциональности силы и ускорения (Основное уравнение динамики - II закон Ньютона) Ускорение, сообщаемое материальной точке силой, прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе этой точки: 1 a F m ma  F . 15. Динамика. Основные определения Закон равенства действия и противодействия (III закон Ньютона) – Всякому действию соответствует равное по величине и противоположно направленное противодействие: F1, 2   F2,1 F1, 2 m1 F2,1 m2 Закон справедлив для любого кинематического состояния тел. Силы взаимодействия, будучи приложенные к разным точкам (телам) не уравновешиваются. 15. Динамика. Основные определения Закон независимости действия сил: Ускорение материальной точки под действием нескольких сил равно геометрической сумме ускорений точки от действия каждой из сил в отдельности: a ( F1 , F2 ,...)  a1 ( F1 )  a2 ( F2 )  .... a ( R )  a1 ( F1 )  a2 ( F2 )  .... Основное уравнение динамики : ma   Fi . 15. Динамика. Основные определения ma   Fi . Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторном виде: M F1 F2 r O a 2 d r m 2   Fi dt 15. Динамика. Основные определения d 2r m 2   Fi dt Дифференциальное уравнение движения материальной точки в координатном виде: r (t )  x(t )i  y(t ) j  z(t )k z az M(x,y,z) ay r O k z j x i x ax y Fi  X i i  Yi j  Zi k d2 m 2 ( xi  yj  zk )   ( X i i  Yi j  Z i k ). dt d 2x ( x) : m 2   X i ; mx  Xi; dt y d2y my  Yi ; ( y ) : m 2   Yi ; dt mz  Z i . d 2z ( z) : m 2   Zi . dt    15. Динамика. Основные определения ma   Fi . Естественные уравнения движения материальной точки – получаются проецированием векторного дифференциального уравнения движения на естественные (подвижные) оси координат:   s b O1  n M F2 a F1 ( ) : maττ   Fiτ ; (n) : man   Fin ; (b) : m  0   Fib . ms   Fiτ ; m s 2    Fin . 15. Динамика. Основные определения Две основные задачи динамики: Прямая задача: Задано движение (уравнения движения, траектория). Требуется определить силы, под действием которых происходит заданное движение. Решение первой задачи связано с операциями дифференцирования основного уравнения динамики. Обратная задача: Заданы силы, под действием которых происходит движение. Требуется найти параметры движения (уравнения движения, траекторию движения). Решение обратной задачи требует интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений и это значительно сложнее, чем дифференцирование. Обратная задача сложнее прямой задачи. Если рассматривается движение несвободной точки, то как и в статике, используется принцип освобождаемости от связей. В результате реакции связей включаются в состав сил, действующих на материальную точку. 15. Динамика. Основные определения Решение прямой задачи динамики - рассмотрим на примерах: Пример 1. Кабина весом G лифта поднимается тросом с ускорением a . Определить натяжение троса. 1. Выбираем объект. 2. Отбрасываем связь (трос) и заменяем реакцией R. y R 3. Составляем основное уравнение динамики: ma   Fi  G  R . 4. Проецируем основное уравнение динамики на ось y: ( y) : ma y  R  G. a Определяем реакцию троса: G ay G R  G  ma y  G  a y  G(1  ). g g Определяем натяжение троса: ay T   R ; T  R  G(1  ). g 15. Динамика. Основные определения Пример 2. Точка массой m движется по горизонтальной поверхности (плоскости Oxy) согласно уравнениям: x = acoskt, y = bcoskt. Определить силу, действующую на точку. N y x y r O x F 1. Выбираем объект (материальную точку). 2. Отбрасываем связь и заменяем реакцией N. 3. Добавляем к системе сил неизвестную силу F. 4. Составляем основное уравнение динамики: ma   Fi  G  N  F . ( x) : mx  Fx ; 5. Проецируем основное уравнение динамики на оси x,y : ( y ) : my  Fy . Fx  mx  mak 2 cos kt  mk 2 x; G Fy  my  mak sin kt  mk y. 2 2 F  Fx2  Fy2  mk 2 x 2  y 2  mk 2r. Fy Fx x y cos( F , x.)    ; cos( F , y.)   . F r F r Величина силы пропорциональна расстоянию точки до центра координат и направлена к центру по линии, соединяющей точку с центром. 15. Динамика. Основные определения Пример 3: Груз весом G подвешен на тросе длиной l и движется по круговой траектории в горизонтальной плоскости с некоторой скоростью. Угол отклонения троса от вертикали равен . Определить натяжение троса и скорость груза. 1. Выбираем объект (груз). 2. Отбрасываем связь и заменяем реакцией R. 3. Составляем основное уравнение динамики:  ma   Fi  G  R . l R b  4. Проецируем на оси ,n, b: n ( ) : maτ  0; (n) : man  R sin  ; an G G T  R ; T  R  . cos  (b) : 0  R cos   G. G v2 G  sin  . v  g l sin  cos  R G . cos  gl sin 2  . cos  15. Динамика. Основные определения Пример 4: Автомашина весом G движется по выпуклому мосту (радиус кривизны равен R) со скоростью V. Определить давление автомашины на мост. 1. Выбираем объект. N 2. Отбрасываем связь и заменяем реакциями N v и силой трения Fтр. 3. Составляем основное уравнение динамики: Fтр R G n ma   Fi  G  N  Fтр . 4. Проецируем на ось n: (n) : ma  G  N . n v2 v2 N  G  man  G  m  G(1  ). R gR Определяем давление автомашины на мост: v2 Q   N ; Q  G(1  ). gR Скорость, соответствующая нулевому давлению на мост (Q = 0): v  gR . 15. Динамика. Основные определения Решение обратной задачи динамики – В общем случае движения точки силы, действующие на точку, являются переменными, зависящими от времени, координат и скорости. Движение точки описывается системой трех дифференциальных уравнений второго порядка: mx   X i ; my   Yi ; mz   Z i . После интегрирования будет шесть постоянных C1, C2,…., C6: x  f1 (t , C1 , C 2 , C3 ); y  f 2 (t , C1 , C 2 , C3 ); z  f 3 (t , C1 , C 2 , C3 ). x  f 4 (t , C1 , C 2 ,..., C 6 ); y  f 5 (t , C1 , C 2 ,..., C 6 ); z  f 6 (t , C1 , C 2 ,..., C 6 ). x  x0 ; x  x 0 ; y  y0 ; y  y 0 ; z  z0 ; z  z0 . Значения постоянных Ci находятся из начальных условий при t = 0: x  f1 (t , x 0 , y 0 , z 0 ); y  f 2 (t , x 0 , y 0 , z 0 ); z  f 3 (t , x 0 , y 0 , z 0 ). x  f 4 (t , x 0 , y 0 , z 0 , x0 , y 0 , z 0 ); y  f 5 (t , x 0 , y 0 , z 0 , x0 , y 0 , z 0 ); z  f 6 (t , x 0 , y 0 , z 0 , x0 , y 0 , z 0 ). 15. Динамика. Основные определения mx   X i ; my   Yi ; mz   Z i . x  f1 (t , x 0 , y 0 , z 0 ); y  f 2 (t , x 0 , y 0 , z 0 ); z  f 3 (t , x 0 , y 0 , z 0 ). x  f 4 (t , x 0 , y 0 , z 0 , x0 , y 0 , z 0 ); y  f 5 (t , x 0 , y 0 , z 0 , x0 , y 0 , z 0 ); z  f 6 (t , x 0 , y 0 , z 0 , x0 , y 0 , z 0 ). Под действием одной и той же системы сил материальная точка может совершать целый класс движений, определяемых начальными условиями. Начальные координаты учитывают исходное положение точки. Начальная скорость, задаваемая проекциями, учитывает влияние на ее движение по рассматриваемому участку траектории сил, действовавших на точку до прихода на этот участок, т.е. начальное кинематическое состояние. 15. Динамика. Основные определения Пример 1. Свободная материальная точка массы m движется по действием силы F, постоянной по модулю и величине. В начальный момент скорость точки составляла v0 и совпадала по направлению с силой. Определить уравнение движение точки. 1. Составляем основное уравнение динамики: ma   Fi  F  const. z y F 2. Выберем декартову систему отсчета, направляя ось x вдоль направления силы и спроецируем основное уравнение динамики на эту ось: ( x) : max  Fx  F . x dvx m F dt F dv x  dt. m F  dvx   m dt mx  F. F vx  t  C1 m 15. Динамика. Основные определения z y F x F vx  t  C1 m dx F F  t  C1 dx  ( t  C1 )dt dt m m F t2 x  C1t  C2 m2 F  dx   ( m t  C1)dt Для определения значений постоянных C1 и C2 используем начальные условия t = 0, vx = v0 , x = x0 : F vx t 0   0  C1  v0 m F 02 x t 0   C1  0  C2  x0 m 2 C1  v0 ; C2  x0 В итоге получаем уравнение равнопеременного движения (по оси x): F t2 x  v0 t  x0 . m 2 15. Динамика. Основные определения Общие указания к решению прямой и обратной задачи 1. 1. Составление дифференциального уравнения движения: 1.1. Выбрать систему координат – прямоугольную (неподвижную) при неизвестной траектории движения, естественную (подвижную) при известной траектории, например, окружность или прямая линия. В последнем случае можно использовать одну прямолинейную координату. Начало отсчета совместить с начальным положением точки (при t = 0) или с равновесным положением точки, если оно существует, например, при колебаниях точки. 1.2. Изобразить точку в положении, соответствующем произвольному моменту времени так, чтобы координаты были положительными (s > 0, x > 0). При этом считаем также, что проекция скорости в этом положении также положительна. В случае колебаний проекция скорости меняет знак, например, при возвращении к положению равновесия. Здесь следует принять, что в рассматриваемый момент времени точка удаляется от положения равновесия. Выполнение этой рекомендации важно в дальнейшем при работе с силами сопротивления, зависящими от скорости. 1.3. Освободить материальную точку от связей, добавить активные силы. 1.4. Записать основной закон динамики в векторном виде, спроецировать на выбранные оси, выразить задаваемые или реактивные силы через переменные время, координаты или скорости, если они от них зависят. 15. Динамика. Основные определения 2. Решение дифференциальных уравнений: 2.1. Понизить производную, если уравнение не приводится к каноническому (стандартному) виду. 2.2. Разделить переменные. 2.3. Вычислить неопределенные интегралы в левой и правой частях уравнения. 2.4. Определить константы интегрирования из начальных условий. Замечание. Вместо вычисления неопределенных интегралов можно вычислить определенные интегралы с переменным верхним пределом. Нижние пределы представляют начальные значения переменных (начальные условия) .Тогда не требуется отдельного нахождения постоянной интегрирования. 2.5. Выразить скорость через производную координаты по времени, и повторить пункты 2.1 -2.4. 15. Динамика. Основные определения Различные случаи интегрирования Сила зависит от времени Сила зависит от координаты Сила зависит от скорости 15. Динамика. Основные определения Пример 2 решения обратной задачи: Сила зависит от времени. Груз весом P начинает двигаться по гладкой горизонтальной поверхности под действием силы F, величина которой пропорциональна времени (F = kt). Определить пройденное расстояние грузом за время t. 1. Выбираем систему отсчета так, чтобы тело имело положительную координату: y N F O x 2. Освобождаемся от связи и заменяем реакцией гладкой x поверхности: 3. Составляем основное уравнение динамики: P ma   Fi  F  P  N . 4. Проецируем основное уравнение динамики на ось x : ( x) : max  F  kt k x  t. m 15. Динамика. Основные определения k x  t m y 5. Понижаем порядок производной: N F O x P x dvx k  t dt m k dv x  tdt . m k t2 k 7. Интегрирование: vx   C1  dvx   m tdt m2 6. Разделяем переменные: 8. Определим значение постоянной C1 из начального условия t = 0, vx = v0=0: k 02 vx t 0    C1  v0  0 m 2 dx k t 2  dt m 2 k t2 dx  dt m2 F 03 x t 0   C2  x0  0 m 6 k t2 vx  m2 C1  0 k t2  dx   m 2 dt C2  0 k t3 x  C2 m6 k t 3 kg t 3 xS   m6 P 6 15. Динамика. Основные определения Пример 3 решения обратной задачи: Сила зависит от координаты. Материальная точка массой m брошена вверх с поверхности Земли со скоростью v0. Сила притяжения Земли обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до центра тяготения (центра Земли). Определить зависимость скорости от расстояния y до центра Земли. y 1. Выбираем систему отсчета так, чтобы тело имело положительную координату: F 2. Составляем основное уравнение динамики: y ma   F  F . i 3. Проецируем основное уравнение динамики на ось y : R O x k ( y ) : ma y   F   2 y my   k . 2 y Коэффициент пропорциональности можно найти, используя вес точки на поверхности Земли: F  P при y  R. k  mg 2 R k  mgR 2 mgR 2 my   y2 gR 2 y   2 . y 15. Динамика. Основные определения gR 2 4. Понижаем порядок производной:  2 dt y dv y gR 2 y   2 y 5. Замена переменной: y dv y dt  dv y dy dydt  v y dv y dy 6. Разделяем переменные: F gR 2  2 dy y v y dv y y R x O 7. Интегрирование: vy y vy0 v 2y 0 2 1 1    gR    2 2  y R 2 gR dy 2 R y  v y dv y    v 2y gR 2 v y dv y   2 dy y 2 vy vy 2 vy0 y 1   gR ( ) y R 2 1 1 v y  v 2y 0  2 gR 2     y R 15. Динамика. Основные определения 1 1 v y  v 2y 0  2 gR 2     y R y Максимальную высоту полета можно найти приравнивая скорость нулю: F y  1 1     2 2 gR  H max R  v 2y 0 R O x H max 1 H max  v 2y 0 1  R 2 gR 2 2 gR 2  . 2 2 gR  v y 0 Максимальная высота полета  при обращении знаменателя в нуль: 2 gR  v 2y 0 Отсюда при постановке радиуса Земли и ускорения свободного падения получается II космическая скорость: v y 0  2 gR  11.2км / с 15. Динамика. Основные определения Пример 4 решения обратной задачи: Сила зависит от скорости. Судно массы m имело скорость v0. Сопротивление воды движению судна пропорционально скорости. Определить время, за которое скорость судна упадет вдвое после выключения двигателя, а также пройденное расстояние судном до полной остановки. y 1. Выбираем систему отсчета так, чтобы тело имело положительную координату. N O R x G x 2.Освобождаем от связей (воды) и заменяем реакцией (выталкивающей силой – силой Архимеда), а также силой сопротивления движению. 3. Добавляем активную силу (силу тяжести). 4. Составляем основное уравнение динамики: ma   Fi  G  R  N . 5. Проецируем основное уравнение динамики на ось x : ( x) : max   R  v x x    m vx . 15. Динамика. Основные определения x    m 6. Понижаем порядок производной: vx . dv x    dt. vx m 7. Разделяем переменные: y 8. Интегрирование: N R x G  vx 0 x O vx v ln vx vx x0 t   t m 0 dv x    vx . dt m t dvx     dt vx 0m ln v x  ln v x 0   v x0 t  ln .  vx m Время движения, за которое скорость упадет вдвое: t m  ln 2.  m t. 15. Динамика. Основные определения x    m Для определения пройденного пути обратимся к выражению, полученному после понижения порядка производной, и сделаем замену переменной: vx . y N dvx    vx dt m dvx dvx dx vx dvx   dt dxdt dx x O R G  dvx   dx m vx vx 0 m x  (v x 0  v x )  x  dx 0m  dvx   x Пройденный путь до остановки: x m  v x0 . vx dvx    vx dx m 15. Динамика. Основные определения Пример 5 решения обратной задачи: Сила постоянная. Движение точки, брошенной под углом к горизонту, в однородном поле силы тяжести без учета сопротивления воздуха ma  Fi  G . y  v0 O  G x dv x  0; dv y   gdt; x vx  dv x  0; vx 0 vy t  dv y    gdt; ( x) : mx  0; ( y) : my  G  mg; dv y dv x  0;   g; dt dt v x  v x0  v0 cos  ; v y  v y 0  gt  v0 sin   gt; vy0 dx  v0 cos  ; 2 x  v cos   t ; gt dt y  v0 sin   t  ; dy 2  v0 sin   gt; dt 15. Динамика. Основные определения v x  v x0  v0 cos  ; x  v0 cos   t; v y  v0 sin   gt; gt 2 y  v0 sin   t  ; 2 y v0 O  G x x Время полета определяем приравниванием координаты y нулю: Исключив время из уравнений движения получаем уравнение траектории: gx 2 y  xtg   2 . 2 2v0 cos  gT 2 y  v0 sin   T   0; 2 2v sin  T 0 g Дальность полета определяем подстановкой времени полета: 2v0 sin  2v02 sin 2 L  v0 cos   T  v0 cos   ; g g Максимальная высота полета: T 2v0 sin  v02 sin 2  Н  v0 sin    v0 sin   . 2 2g 2g