Денежные потоки

Лекция 6. Денежные потоки 6.1. Виды финансовых рент Инвестиции могут генерировать доходы в течение нескольких лет. Поступления денежных средств от реализации проекта или использования какого-либо актива называются денежными потоками. В данном случае это положительные денежные потоки. Математически денежный поток можно определить как последовательность поступлений денежных средств и моментов времени, в которые они осуществлены. Отдельные поступления денежных средств называются элементами денежного потока и могут быть независимыми или связанными между собой определенным алгоритмом. Взаимосвязь элементов денежного потока может быть прямой или обратной. В первом случае оценка денежного потока осуществляется по схеме наращения, во втором случае - по схеме дисконтирования. Денежный поток, все элементы которого приведены к настоящему моменту времени с помощью дисконтирующих множителей, называется приведенным. Денежные потоки можно классифицировать по нескольким признакам: 1) по количеству поступлений денежных средств различают срочные (конечные) и бессрочные (бесконечные) потоки; 2) по величине интервалов между поступлениями денежных средств различают денежные потоки с равными (постоянными) и с неравными (непостоянными) интервалами; 3) по равенству отдельных платежей различают денежные потоки с равными и с неравными поступлениями; 4) по моменту поступления денежных средств в выбранном временном интервале различают потоки с поступлениями денежных средств в начале интервала (пренумерандо) и потоки с поступлением денежных средств в конце интервала (постнумерандо); 5) по вероятности выплаты различают денежные потоки верные и условные. Верные потоки подлежат безусловной выплате, а выплата условных связана с наступлением некоторого случайного события. Поток с равными интервалами и равными поступлениями называется финансовой рентой или аннуитетом. По количеству поступлений принято выделять: 1) срочные аннуитеты (количество поступлений ограничено); 2) бессрочные аннуитеты (количество поступлений неограничено. Под рентой понимается денежный поток с равными интервалами между поступлениями денежных средств. По количеству поступлений различают конечную и вечную ренту. Конечная рента с одним платежом в год называется конечной годовой рентой, с несколькими платежами в год – конечной общей рентой. 6.2. Формулы наращенной суммы Конечная годовая рента представляет собой простую ренту с одним платежом в год при длительности в n лет и годовой процентной ставке r. Наращение осуществляется по формуле сложных процентов. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины , так как на сумму R проценты начислялись в течение (n-1) года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии . (6.1) Эта сумма будет равна (6.2) где называется коэффициентом наращения ренты. При начислении процентов m раз в году наращенная сумма вычисляется по формуле: (6.3) или . (6.4) Конечная общая рента представляет собой сложную ренту с поступлениями и начислениями процентов несколько раз в год. Найдем наращенную сумму, если рента выплачивается q раз в год равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года. Если R – годовая сумма платежей, то размер одного платежа Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке: , (6.5) у которой первый член , знаменатель , общее число членов . Тогда наращенная сумма такой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии: , (6.6) где коэффициент наращения ренты с выплатами q раз в год при начислении процентов один раз в конце года. В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Т.е. число платежей q и число начислений процентов m совпадают (m=q). Тогда для получения наращенной суммы можно воспользоваться формулой аналогичной формуле для расчета конечной годовой ренты. Для расчета наращенной суммы конечной годовой ренты используется формула: , для случая, который мы рассматриваем расчетная формула будет выглядеть следующим образом: . (6.7) Теперь рассмотрим общий случай, когда платежи поступают q раз в год через равные интервалы, а общая сумма годовых платежей составляет R. Таким образом, сумма единичного платежа будет равна Проценты начисляются m раз в год через равные интервалы времени по ставке r сложных процентов на каждый более ранний платеж с учетом момента поступления. Так как k-ый платеж отстоит от конца срока ренты на лет, то проценты будут начислены на него раз по ставке, равной Величина такого платежа может быть рассчитана по формуле: (6.8) (6.9) Используя формулу геометрической прогрессии, получим наращенную сумму (6.10) 6.3. Формулы современной величины. Дисконтированная величина конечной годовой ренты будет определяться следующим образом. Дисконтированная величина первого платежа равна: , где - дисконтный множитель. Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: , сумма которой равна: , (6.11) где - коэффициент привидения ренты. Коэффициент привидения ренты зависит только от срока ренты n и процентной ставки r. Поэтому его значения могут быть представлены в табличном виде. Для конечной общей ренты формула приведения имеет вид: . (6.12) Наращение процентов PV за n лет дает сумму, равную FV: . (6.13) Отсюда же следует, что дисконтирование FV дает PV: , (6.14) а коэффициенты дисконтирования и наращения ренты связаны следующими соотношениями: , (6.15) . (6.16) 6.4. Определение параметров финансовой ренты При разработке контрактов иногда возникает задача определения по заданной наращенной сумме ренты FV или ее приведенной стоимости PV других параметров ренты: R, n, r, m, q. Параметры m и q определяются по согласию сторон при разработке и подписании контракта. При определении ежегодной суммы платежа R в зависимости от того какая обобщающая характеристика ренты задана возможны два варианта расчета: (6.17) или (6.18) При определении срока ренты n, решая исходные формулы для FV и PV: и относительно n получим два выражения соответственно: и (6.19) Последнее выражение имеет смысл только при . Для того, чтобы найти ставку процента r, необходимо решить одно из нелинейных уравнений следующего вида: или , которые эквивалентны двум другим или . (6.20) В этих уравнениях единственным неизвестным является процентная ставка r. Решение нелинейных уравнений может быть найдено лишь приближенно. Известно несколько методов решения подобных уравнений: метод линейной интерполяции, метод Ньютона – Рафсона и др. При использовании метода линейной интерполяции вначале при помощи прикидочных расчетов, определяют нижнюю и верхнюю оценки процентной ставки путем подстановки в одну из формул (3.20) различных числовых значений r и сравнения результата с правой частью выражения. Затем производится корректировка нижнего значения процентной ставки по интерполяционной формуле: , (6.21) где - коэффициент наращения ренты, соответствующий искомой ставке процента. Полученное значение ставки процента подставляют в левую часть исходного уравнения и сравнивают результат с правой частью. Если достигнутая точность недостаточна, повторно применяют ф. (6.21), заменив в ней значение одной из приближенных ставок процента на более точное, взятое из предыдущей итерации, и соответствующее ей значение коэффициента наращения ренты. При использовании метода Ньютона – Рафсона решение также находится итеративно, постепенно шаг за шагом уточняя оценку. Метод разработан для решения нелинейных уравнений вида . Алгоритм поиска сводится к трем операциям на каждом шаге, которые зависят от постановки задачи (задана FV или PV) и типа ренты. Будем считать, что известна наращенная сумма FV и найдена какая-то начальная оценка процентной ставки (например, методом проб). 1. Конечная годовая рента постнумерандо . Требуется решить уравнение вида: или Введем обозначение и умножим обе части уравнения на . В результате получим алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k, состоящий из следующих трех операций: 2. Конечная общая рента постнумерандо . Требуется решить уравнение вида: или . Получим Замечания: а) начальную оценку требующуюся для начала итеративной процедуры выбирают такой, чтобы соответствующий ей множитель наращения был как можно ближе к заданному отношению ; б) остановка вычислений происходит после того как сравнение множителя наращения и отношения , свидетельствует о достижении заданной точности. Теперь будем считать, что известна приведенная стоимость PV и найдена какая-то подходящая начальная оценка процентной ставки. 1. Конечная годовая рента постнумерандо . Требуется решить уравнение вида: или . Введем обозначение и после умножения обеих частей равенства на получим алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k, состоящий из следующих трех операций: 2. Конечная общая рента постнумерандо . Требуется решить уравнение вида: или . Сделав подстановку , получим алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k, состоящий из следующих трех операций: 6.5. Особые случаи постоянных рент. Вечная рента. Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой неограниченно, т.е. она выплачивается бесконечное число лет (например, бессрочные облигации; консоли – государственные облигации со сроком погашения более тридцати лет). Наращенная сумма для таких рент возрастает бесконечно и ее определять бессмысленно, а приведенная сумма имеет определенную величину. Современная величина бесконечной годовой ренты можно определить по формуле: . (6.22) Современная величина бесконечной общей ренты может быть определена по формуле: . (6.23) Отложенная рента. Начало отложенной или отсроченной ренты отодвигается от момента заключения сделки на какой-то момент в будущем. Наращенная сумма такой ренты может быть определена по известным формулам. Современную величину такой ренты определяют в два этапа: сначала находят современную величину ренты на момент ее начала, а затем с помощью дисконтирования этой величины в течение срока задержки приводят ее к моменту заключения договора. Например, если современная величина ренты на момент ее начала равна , то современная величина отложенной ренты на t лет составит: , (6.24) где - дисконтный множитель за t лет, <1. Рента пренумерандо. Как было отмечено выше рента пренумерандо представляет собой ренту, в которой платежи производятся в начале каждого периода. Различие между рентами постнумерандо и пренумерандо заключаются лишь в том, что у последней на один период начисления процентов больше. В дальнейшем обозначать ренты простнумерандо и пренумерандо будем pst и pre соответственно. Формула оценки конечной годовой ренты постнумерандо по схеме наращения имеет следующий вид: (6.25) Формула оценки конечной годовой ренты постнумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид: (5.26) Оценку конечной годовой ренты пренумерандо по схеме наращения можно рассчитать по формуле: (6.27) Формула оценки конечной годовой ренты пренумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид: (6.28) Аналогично выводятся формулы оценки конечной общей ренты пренумерандо. Оценку конечной общей ренты пренумерандо по схеме наращения можно рассчитать по формуле: (6.29) Оценку конечной общей ренты пренумерандо по схеме дисконтирования можно определить по формуле: . (6.30) Таким образом, при однократном платеже за период , а (6.31) В случае бессрочного аннуитета поток равных платежей через равные интервалы в течение длительного периода времени рассматривается как бесконечный. При этом подразумевается, что в рамках выбранного интервала осуществляется только один платеж. В этой связи бессрочный аннуитет математически можно представить как бесконечность () или бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. В отличие от других денежных потоков, которые можно рассчитывать как по схеме наращения, так и по схеме дисконтирования, оценка бессрочного аннуитета способом наращения не имеет смысла, так как поток стремится к бесконечности и нельзя определить n. При этом сначала рассчитывается приведенная стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо, а затем с его помощью приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо. Формула оценки бессрочного аннуитета постнумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид: (6.32) где: R – одно денежное поступление за выбранный временной интервал. Формула оценки бессрочного аннуитета пренумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид: (6.33) 6.6. Переменные денежные потоки Временные интервалы между последовательными платежами в нерегулярном денежном потоке могут быть любыми, так же как и отдельные элементы потока. Оценки денежных потоков в этом случае получают только путем прямого счета. Оценки переменных денежных потоков также можно рассчитать как потоки пренумерандо и постнумерандо, в том числе по схеме наращения и дисконтирования. При этом следует помнить, что поток пренумерандо рассчитывается на основе потока постнумерандо. При оценке потока постнумерандо по схеме наращения нужно иметь в виду, что на все элементы денежного потока с неравными поступлениями постнумерандо, за исключением последнего, начисляются сложные проценты. Тогда денежный поток с неравными поступлениями постнумерандо имеет следующий вид: (6.34) Оценка потока постнумерандо по схеме дисконтирования предполагает суммирование элементов приведенного денежного потока. При этом полученная сумма характеризует приведенную или текущую стоимость денежного потока, которую при необходимости можно сравнить с величиной первоначально вложенных средств. Будущая стоимость исходного денежного потока пренумерандо по схеме наращения рассчитывается по следующей формуле: (6.35) Будущая стоимость исходного денежного потока пренумерандо по схеме дисконтирования рассчитывается по следующей формуле: (6.36) Рассмотрим переменную ренту с разовыми изменениями размеров платежа. Пусть общая продолжительность ренты n и этот срок разбит на k участков продолжительностью , в каждом из которых член ренты постоянен и равен но изменяется от участка к участку. Тогда наращенная сумма для конечной годовой ренты постнумерандо вычисляется по формуле: (6.37) а современная величина (6.38) Далее рассмотрим ренту с постоянным абсолютным изменением платежей. Пусть размер платежей изменяется с постоянным приростом a (положительным или отрицательным). При ренте постнумерандо размеры последовательных платежей составят . Величина t-го члена равна . Тогда наращенная стоимость ренты будет равна , (6.39) а современная стоимость такой ренты будет равна . (6.40) Если платежи осуществляются несколько раз за период с постоянным приростом платежей последовательные выплаты равны где a – прирост платежей за год, R – первый платеж, т.е. где t – номер члена ряда, . Тогда наращенная стоимость ренты будет равна: , (6.41) а современная стоимость ренты - . (6.42) Если платежи годовой конечной ренты изменяются с постоянным темпом роста d, то члены ренты будут представлять собой ряд: Величина t-го члена равна . Для того чтобы получить современную величину, продисконтируем этот ряд: В результате получена геометрическая прогрессия. Тогда современная стоимость такой ренты равна: , (6.43) а наращенная стоимость ренты – . (6.44) В случае, если платежи осуществляются несколько раз за период современная стоимость ренты будет равна: , (6.45) а наращенная стоимость ренты – . (6.46) 6.7. Конверсия аннуитетов В практике иногда возникает необходимость изменить условия финансового соглашения, предусматривающего выплату аннуитетов, т.е. конвертировать ренту. Встречаются несколько типичных ситуаций. 1. Выкуп ренты. Выкуп ренты представляет собой замену предстоящей последовательности выплат единовременным платежом. Из принципа финансовой эквивалентности следует, что в этом случае вместо ренты выплачивается ее современная величина. 2. Рассрочка платежей. Это замена единовременного платежа аннуитетом. Для соблюдения принципа финансовой эквивалентности современную величину ренты следует приравнять величине заменяемого платежа. Далее задача сводится к определению элемента ренты или ее срока при заданных остальных параметрах. 3. Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется годовая конечная рента с параметрами и ее необходимо заменить на отсроченную на лет ренту, т.е. начало выплаты платежей сдвигается на лет. Обозначим параметры отсроченной ренты как . Ставка процента остается неизменной. Тогда возникает два типа задач. А. Задан срок , требуется определить размер платежа . Исходим из принципа финансовой эквивалентности результата, т.е. из равенства современных стоимостей заменяемого и заменяющего потоков: . Раскрывая это равенство получаем, , (6.47) В частном случае, когда , решение принимает следующий вид: . Б. Размеры платежей заданы, требуется определить срок . Рассмотрим частный случай, когда платежи конечной годовой ренты остаются неизменными, т.е. . Исходя из равенства современных стоимостей, , (6.48) где , получим . (6.49) 4. Изменение продолжительности ренты. Пусть имеется годовая конечная рента, и у партнеров есть договоренность об изменении срока ренты, т.е. вместо срока принят новый срок . Тогда для эквивалентности финансовых результатов требуется и изменение размера платежа. Найдем его из равенства: , (6.50) из которого следует, что . (6.51) 5. Общий случай изменения параметров ренты. В случае одновременного изменения нескольких параметров ренты, исходим из равенства . Если рассматривается общая конечная рента, то приходим к формуле: , 65.52) где подсчитывается заранее, t – период отсрочки, ряд параметров задается по согласованию сторон, и один параметр находится из (6.52). 6. Объединение рент. В случае объединения (консолидации) нескольких рент в одну из принципа финансовой эквивалентности обязательств до и после операции следует, что , где PV – современная стоимость заменяющей ренты; PVk – современная стоимость k –ой объединяемой ренты.