Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РАДИОТЕХНИКИ И СВЯЗИ. ЛЕКЦИЯ 7 Численное интегрирование Пост ановка задачи Пусть на отрезке задана совокупность точек (неравномерная сетка), и заданы значения непрерывной функции : . Вычислить (1). Очевидно, что аналитическую задачу решить нельзя, следовательно, применяют формулы приблизительного вычисления – квадратурные формулы. Они основаны на замене этого интеграла конечной суммой: (2), где – квадратурные коэффициенты, (2) – квадратурная сумма. (3) – погрешность квадратурной формулы. Суть численного интегрирования – подынтегральная функция приближенно заменяет интерполяционным многочленом , и далее приближенно считают . Простейшие квадратурные формулы Пусть необходимо вычислить интеграл (1). Данный интеграл равен площади криволинейной трапеции . f (t ) S a b t Простейшие квадратурные формулы Формула левых прямоугольников: . f (t ) f (a) a b t Простейшие квадратурные формулы Формула правых прямоугольников: . f (t ) f (b) a b t Простейшие квадратурные формулы Формула трапеций: . f (t ) f (b) f (a) a b t Квадратурная формула НьютонаКотеса Пусть необходимо вычислить интеграл (1) для , заданной своими значениями в узлах произвольной сетки . Заменим в (1) интерполяционным многочленом Лагранжа: , Где (4). Если подынтегральная функция будет задана на равномерной сетке, то можно получить выражение для квадратурных коэффициентов , не зависящее от конкретного значения этих узлов, а зависящее только от их числа (от значения ). Соответствующие квадратурные формулы называются формулами Ньютона - Котеса. Квадратурная формула НьютонаКотеса Пусть на задана равномерная сетка: . Если в формуле (4) ввести замену , изменить соответствующим образом пределы интегрирования, получим: , (5) В (5) фигурирует число узлов, значения отсутствуют. - коэффициент Котеса, не зависящий от конкретных значений узлов. Эти коэффициенты вычислены для разных и приведены в справочниках. (6) квадратурная формула Ньютона – Котеса. При из (6) следует формула трапеций; – формула Симпсона. Оценка погрешности квадратурных формул Погрешность квадратурных формул, определяемая (3), оценивается через погрешность, с которой подынтегральная функция заменяется интегральным многочленом, и величина этой погрешности зависит от шага сетки и свойств функции (из формулы остаточного члена), в частности от ее гладкости. Оценка погрешности по формулам остаточного члена (априорная оценка) не всегда возможна, с другой стороны эта оценка очень грубая. Поэтому на практике используют апостериорную (после произведения вычислений) оценку погрешности вычислений. Ее производят, использую правило Рунге (Рунге – Ромберга). Правило Рунге: Пусть какая либо квадратурная формула имеет на частичном отрезке порядок точности . Тогда погрешность на шаге (точное значение минус вычисленное по формуле) прямо пропорционально шагу в степени m. Оценка погрешности квадратурных формул Если вычислили интеграл с шагом , то: . Исключая , получим оценку погрешности: (7). Это выражение используют при апостериорной оценке погрешности вычисления определенного интеграла путем автоматического выбора шага. Автоматический выбор шага: вычислив интеграл (1) дважды (сначала с шагом , затем с ), и определив по (7) погрешность, сравнивают ее с заданной точностью (погрешность вычисляют на всем отрезке). Если значение погрешность больше чем точность, шаг снова уменьшают в 2 раза и снова вычисляют погрешность (до тех пор, пока не выполнится условие ). Для некоторых функций число шагов может быть большим, поэтому в программе следует предусмотреть как ограничение числа шагов, так и увеличение значения .